Mathematik · Klasse 12 und 13 · Kapitel

Hypothesen testen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Ein Hersteller sagt: „Höchstens 10 % unserer Geräte sind defekt.“ Von 100 geprüften Geräten sind 17 defekt. Glaubst du ihm noch?

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die Klasse streitet: 17 sind viel, aber vielleicht Pech. Ohne eine Grenze, die vorher feststeht, bleibt es Bauchgefühl. Man legt vorher fest, ab wann man der Behauptung widerspricht, und begrenzt damit das Risiko, sich zu irren. Die Grenze liest man aus der kumulierten Binomialverteilung.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Kumulierte Wahrscheinlichkeiten P(X ≤ k) und P(X ≥ k) der Binomialverteilung berechnen.

●32
X ist binomialverteilt mit n = 8 und p = 0,2. Berechne P(X ≤ 3).
Lösung zeigen
1. P(X ≤ 3) = P(X = 0) + … + P(X = 3)
2. P(X = 0) = C(8;0) · 0,2⁰ · 0,8⁸ = 0,1678
3. P(X = 1) = C(8;1) · 0,2¹ · 0,8⁷ = 0,3355
4. P(X = 2) = C(8;2) · 0,2² · 0,8⁶ = 0,2936
5. P(X = 3) = C(8;3) · 0,2³ · 0,8⁵ = 0,1468
6. Summe ≈ 0,9437
Ergebnis:
P(X ≤ 3) ≈ 0,9437 (94,4 %)
●33
X ist binomialverteilt mit n = 6 und p = 0,2. Berechne P(X ≤ 3).
Lösung zeigen
1. P(X ≤ 3) = P(X = 0) + … + P(X = 3)
2. P(X = 0) = C(6;0) · 0,2⁰ · 0,8⁶ = 0,2621
3. P(X = 1) = C(6;1) · 0,2¹ · 0,8⁵ = 0,3932
4. P(X = 2) = C(6;2) · 0,2² · 0,8⁴ = 0,2458
5. P(X = 3) = C(6;3) · 0,2³ · 0,8³ = 0,0819
6. Summe ≈ 0,983
Ergebnis:
P(X ≤ 3) ≈ 0,983 (98,3 %)

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenEntscheiden unter Unsicherheit

Ein Test prüft eine Behauptung an einer Stichprobe. Abgelehnt wird nur, wenn das Ergebnis unter der Behauptung sehr selten wäre. Zwei Fehler sind möglich: zu Unrecht ablehnen und zu Unrecht beibehalten.

WeiterdenkenDenk nach

Der Test lehnt die Nullhypothese nicht ab. Ist sie damit bewiesen? Warum nicht?

1Ich kann eine Vermutung als Null- und Gegenhypothese formulieren.

EntdeckenFrage

Ein Würfel zeigt bei 60 Würfen 16-mal die Sechs – ist er gezinkt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Erwartet werden 10 Sechsen. 16 sind mehr, aber bei 60 Würfen kommt das öfter vor, als man denkt: P(X ≥ 16) liegt bei etwa 3 %. Auf dem Niveau 5 % wäre das schon auffällig, auf dem Niveau 1 % nicht. Ob man „gezinkt“ sagt, hängt vom Niveau ab, das man vorher festlegt.

MerkenNullhypothese

H₀ ist die Behauptung, die man prüft.

Die Gegenhypothese H₁ sagt, in welche Richtung sie falsch sein könnte.

Eselsbrücke: Erst zu Unrecht ablehnen (1. Art), dann zu Unrecht behalten (2. Art): „Alarm ohne Feuer“ und „Feuer ohne Alarm“

BeispielHypothesen formulieren

Ein Labor gibt an: „Höchstens 20 % der Proben sind belastet.“ Die Behörde zweifelt. Wie lauten Nullhypothese und Gegenhypothese für p, die Wahrscheinlichkeit des betrachteten Merkmals?

Schritt für Schritt

Anteil als Dezimalzahl: 20 % = 20 : 100 = 0,2
H₀ enthält die Behauptung, die geprüft wird (mit Gleichheitszeichen).
H₁ ist das, was die zweifelnde Seite vermutet.
H₀: p ≤ 0,2
H₁: p > 0,2 (einseitig, rechts)

Anteil als Dezimalzahl: 20 % = 20 : 100 = 0,2
H₀ enthält die Behauptung, die geprüft wird (mit Gleichheitszeichen).
H₁ ist das, was die zweifelnde Seite vermutet.
H₀: p ≤ 0,2
H₁: p > 0,2 (einseitig, rechts)

Ergebnis:

H₀: p ≤ 0,2; H₁: p > 0,2

AchtungAblehnungsbereich falsch bestimmt

So nicht

Rechtsseitig: Ablehnungsbereich X ≥ 62, weil P(X ≤ 62) ≈ 0,99 gerechnet wurde

So richtig

Rechtsseitig: kleinstes k mit P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k − 1) ≤ α; bei n = 100, p₀ = 0,5, α = 1 % ist das X ≥ 63

Rechts: kleinstes k mit P(X ≥ k) ≤ α, also 1 − P(X ≤ k − 1) rechnen. Links: größtes k mit P(X ≤ k) ≤ α.

ÜbenJetzt du

○1
Eine Schule meldet: „Mindestens 10 % der Kinder kommen mit dem Rad.“ Der Elternbeirat vermutet weniger. Wie lauten Nullhypothese und Gegenhypothese für p, die Wahrscheinlichkeit des betrachteten Merkmals?
So fängst du an:
Anteil als Dezimalzahl: 10 % = 10 : 100 = 0,1
Lösung zeigen
1. Anteil als Dezimalzahl: 10 % = 10 : 100 = 0,1
2. H₀ enthält die Behauptung, die geprüft wird (mit Gleichheitszeichen).
3. H₁ ist das, was die zweifelnde Seite vermutet.
4. H₀: p ≥ 0,1
5. H₁: p < 0,1 (einseitig, links)
Ergebnis:
H₀: p ≥ 0,1; H₁: p < 0,1
●2
Eine Münze soll fair sein. Man weiß nicht, ob sie zu Kopf oder zu Zahl neigt. Wie lauten Nullhypothese und Gegenhypothese für p, die Wahrscheinlichkeit des betrachteten Merkmals?
Lösung zeigen
1. Anteil als Dezimalzahl: 40 % = 40 : 100 = 0,4
2. H₀ enthält die Behauptung, die geprüft wird (mit Gleichheitszeichen).
3. H₁ ist das, was die zweifelnde Seite vermutet.
4. H₀: p = 0,5
5. H₁: p ≠ 0,5 (zweiseitig)
Ergebnis:
H₀: p = 0,5; H₁: p ≠ 0,5
★3
Eine Münze soll fair sein. Man weiß nicht, ob sie zu Kopf oder zu Zahl neigt. Wie lauten Nullhypothese und Gegenhypothese für p, die Wahrscheinlichkeit des betrachteten Merkmals? Begründen Sie, warum H₀ das Gleichheitszeichen enthält.
Lösung zeigen
1. Anteil als Dezimalzahl: 25 % = 25 : 100 = 0,25
2. H₀ enthält die Behauptung, die geprüft wird (mit Gleichheitszeichen).
3. H₁ ist das, was die zweifelnde Seite vermutet.
4. H₀: p = 0,5
5. H₁: p ≠ 0,5 (zweiseitig)
6. Nur mit Gleichheit lässt sich die Verteilung unter H₀ festlegen und rechnen.
Ergebnis:
H₀: p = 0,5; H₁: p ≠ 0,5

2Ich kann Testgröße, Stichprobenumfang und Signifikanzniveau benennen.

EntdeckenFrage

Warum wird ein neues Medikament nicht schon bei einem einzigen Heilerfolg zugelassen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil ein einzelner Erfolg Zufall sein kann. Ein Test legt vorher fest, ab wie vielen Erfolgen man der Behauptung „wirkt nicht“ widerspricht, und begrenzt damit das Risiko, sich zu irren.

MerkenAblehnungsbereich

Ablehnen, wenn das Ergebnis unter H₀ höchstens mit der Wahrscheinlichkeit α vorkommt.

Gesucht ist der größte Bereich, der das noch einhält.

BeispielTestgröße, Stichprobenumfang und Niveau benennen

Eine Lieferung enthält angeblich höchstens 10 % defekte Teile. Es werden 100 Teile geprüft; irrt man sich, soll das höchstens in 1 % der Fälle passieren. Nenne die Testgröße, den Stichprobenumfang und das Signifikanzniveau.

Schritt für Schritt

Testgröße X: Anzahl der defekten Teile in der Stichprobe.
Stichprobenumfang: n = 100.
Signifikanzniveau: α = 1 %.
Unter H₀ ist X binomialverteilt mit n = 100 und p = 0,1.
Erwartungswert unter H₀: 100 · 0,1 = 10

Testgröße X: Anzahl der defekten Teile in der Stichprobe.
Stichprobenumfang: n = 100.
Signifikanzniveau: α = 1 %.
Unter H₀ ist X binomialverteilt mit n = 100 und p = 0,1.
Erwartungswert unter H₀: 100 · 0,1 = 10

Ergebnis:

X = Anzahl der defekten Teile in der Stichprobe; n = 100; α = 1 %

AchtungNoch einmal: Ablehnungsbereich falsch bestimmt

So nicht

Rechtsseitig: Ablehnungsbereich X ≥ 62, weil P(X ≤ 62) ≈ 0,99 gerechnet wurde

So richtig

Rechtsseitig: kleinstes k mit P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k − 1) ≤ α; bei n = 100, p₀ = 0,5, α = 1 % ist das X ≥ 63

Rechts: kleinstes k mit P(X ≥ k) ≤ α, also 1 − P(X ≤ k − 1) rechnen. Links: größtes k mit P(X ≤ k) ≤ α.

ÜbenJetzt du

○4
Eine Lieferung enthält angeblich höchstens 15 % defekte Teile. Es werden 80 Teile geprüft; irrt man sich, soll das höchstens in 1 % der Fälle passieren. Nenne die Testgröße, den Stichprobenumfang und das Signifikanzniveau.
So fängst du an:
Testgröße X: Anzahl der defekten Teile in der Stichprobe.
Lösung zeigen
1. Testgröße X: Anzahl der defekten Teile in der Stichprobe.
2. Stichprobenumfang: n = 80.
3. Signifikanzniveau: α = 1 %.
4. Unter H₀ ist X binomialverteilt mit n = 80 und p = 0,15.
5. Erwartungswert unter H₀: 80 · 0,15 = 12
Ergebnis:
X = Anzahl der defekten Teile in der Stichprobe; n = 80; α = 1 %
●5
Ein Impfstoff soll bei höchstens 10 % der Geimpften Nebenwirkungen haben. 200 Geimpfte werden befragt; die Irrtumswahrscheinlichkeit soll höchstens 5 % betragen. Nenne die Testgröße, den Stichprobenumfang und das Signifikanzniveau.
Lösung zeigen
1. Testgröße X: Anzahl der Geimpften mit Nebenwirkungen.
2. Stichprobenumfang: n = 200.
3. Signifikanzniveau: α = 5 %.
4. Unter H₀ ist X binomialverteilt mit n = 200 und p = 0,1.
5. Erwartungswert unter H₀: 200 · 0,1 = 20
Ergebnis:
X = Anzahl der Geimpften mit Nebenwirkungen; n = 200; α = 5 %
★6
Eine Lieferung enthält angeblich höchstens 15 % defekte Teile. Es werden 200 Teile geprüft; irrt man sich, soll das höchstens in 5 % der Fälle passieren. Nenne die Testgröße, den Stichprobenumfang und das Signifikanzniveau. Geben Sie außerdem die Verteilung der Testgröße unter H₀ an.
Lösung zeigen
1. Testgröße X: Anzahl der defekten Teile in der Stichprobe.
2. Stichprobenumfang: n = 200.
3. Signifikanzniveau: α = 5 %.
4. Unter H₀ ist X binomialverteilt mit n = 200 und p = 0,15.
5. Erwartungswert unter H₀: 200 · 0,15 = 30
6. Unter H₀ gilt: X ist binomialverteilt, B(n; p₀).
Ergebnis:
X = Anzahl der defekten Teile in der Stichprobe; n = 200; α = 5 %

3Ich kann für einen rechtsseitigen Test den Ablehnungsbereich bestimmen.

EntdeckenFrage

Was ist schlimmer: Ein Rauchmelder, der ohne Rauch piept, oder einer, der bei Rauch schweigt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das ist genau die Frage nach Fehler 1. und 2. Art. Beide Fehler lassen sich nicht gleichzeitig beliebig klein machen. Man entscheidet, welcher Irrtum teurer ist, und legt danach das Niveau fest.

MerkenFehler 1. und 2. Art

1. Art: H₀ abgelehnt, obwohl sie stimmt (höchstens α).

2. Art: H₀ beibehalten, obwohl sie falsch ist (β).

BeispielHypothesentest mit der Binomialverteilung

Behauptet wird p₀ = 0,5. Bei n = 80 Versuchen soll auf dem Signifikanzniveau 5 % einseitig nach oben (rechtsseitig) getestet werden. Bestimme den Ablehnungsbereich mit der Binomialverteilung.

Schritt für Schritt

H₀: p ≤ 0,5 gegen H₁: p > 0,5; unter H₀: μ = 80 · 0,5 = 40
Gesucht: kleinstes k mit P(X ≥ k) ≤ 0,05
P(X ≥ 47) = 1 − P(X ≤ 46) ≈ 0,0728 > 0,05
P(X ≥ 48) = 1 − P(X ≤ 47) ≈ 0,0465 ≤ 0,05
Ablehnungsbereich: X ≥ 48 (Fehler 1. Art ≈ 4,65 % ≤ 5 %)

H₀: p ≤ 0,5 gegen H₁: p > 0,5; unter H₀: μ = 80 · 0,5 = 40
Gesucht: kleinstes k mit P(X ≥ k) ≤ 0,05
P(X ≥ 47) = 1 − P(X ≤ 46) ≈ 0,0728 > 0,05
P(X ≥ 48) = 1 − P(X ≤ 47) ≈ 0,0465 ≤ 0,05
Ablehnungsbereich: X ≥ 48 (Fehler 1. Art ≈ 4,65 % ≤ 5 %)

Ergebnis:

H₀ ablehnen für X ≥ 48

ÜbenJetzt du

○7
Behauptet wird p₀ = 0,6. Bei n = 50 Versuchen soll auf dem Signifikanzniveau 1 % einseitig nach oben (rechtsseitig) getestet werden. Bestimme den Ablehnungsbereich mit der Binomialverteilung.
So fängst du an:
H₀: p ≤ 0,6 gegen H₁: p > 0,6; unter H₀: μ = 50 · 0,6 = 30
Lösung zeigen
1. H₀: p ≤ 0,6 gegen H₁: p > 0,6; unter H₀: μ = 50 · 0,6 = 30
2. Gesucht: kleinstes k mit P(X ≥ k) ≤ 0,01
3. P(X ≥ 38) = 1 − P(X ≤ 37) ≈ 0,0133 > 0,01
4. P(X ≥ 39) = 1 − P(X ≤ 38) ≈ 0,0057 ≤ 0,01
5. Ablehnungsbereich: X ≥ 39 (Fehler 1. Art ≈ 0,57 % ≤ 1 %)
Ergebnis:
H₀ ablehnen für X ≥ 39
●8
Behauptet wird p₀ = 0,4. Bei n = 80 Versuchen soll auf dem Signifikanzniveau 5 % einseitig nach oben (rechtsseitig) getestet werden. Bestimme den Ablehnungsbereich mit der Binomialverteilung.
Lösung zeigen
1. H₀: p ≤ 0,4 gegen H₁: p > 0,4; unter H₀: μ = 80 · 0,4 = 32
2. Gesucht: kleinstes k mit P(X ≥ k) ≤ 0,05
3. P(X ≥ 39) = 1 − P(X ≤ 38) ≈ 0,0699 > 0,05
4. P(X ≥ 40) = 1 − P(X ≤ 39) ≈ 0,0445 ≤ 0,05
5. Ablehnungsbereich: X ≥ 40 (Fehler 1. Art ≈ 4,45 % ≤ 5 %)
Ergebnis:
H₀ ablehnen für X ≥ 40
★9
Behauptet wird p₀ = 0,3. Bei n = 50 Versuchen soll auf dem Signifikanzniveau 1 % einseitig nach unten (linksseitig) getestet werden. Bestimme den Ablehnungsbereich mit der Binomialverteilung.
Lösung zeigen
1. H₀: p ≥ 0,3 gegen H₁: p < 0,3; unter H₀: μ = 50 · 0,3 = 15
2. Gesucht: größtes k mit P(X ≤ k) ≤ 0,01
3. P(X ≤ 8) ≈ 0,0183 > 0,01
4. P(X ≤ 7) ≈ 0,0073 ≤ 0,01
5. Ablehnungsbereich: X ≤ 7 (Fehler 1. Art ≈ 0,73 % ≤ 1 %)
Ergebnis:
H₀ ablehnen für X ≤ 7

4Ich kann dasselbe für links- und zweiseitige Tests.

EntdeckenFrage

Warum heißt es im Test „nicht abgelehnt“ und nicht „bestätigt“?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil eine kleine Stichprobe eine falsche Behauptung oft nicht entlarvt. Kein Widerspruch ist kein Beweis.

MerkenNicht abgelehnt heißt nicht bewiesen

Bleibt H₀ bestehen, widerspricht die Stichprobe ihr nicht deutlich.

Das ist kein Beweis für H₀.

BeispielAblehnungsbereich beim linksseitigen Test

Ein Hersteller behauptet, die Trefferwahrscheinlichkeit sei mindestens 0,5. Bei n = 30 Versuchen wird vermutet, sie sei kleiner. Bestimme den Ablehnungsbereich auf dem Signifikanzniveau 5 %.

Schritt für Schritt

H₀: p ≥ 0,5 gegen H₁: p < 0,5 (linksseitig).
Erwartungswert unter H₀: 30 · 0,5 = 15
Gesucht: größtes k mit P(X ≤ k) ≤ 0,05 bei n = 30, p = 0,5.
P(X ≤ 11) ≈ 0,1002 > 0,05
P(X ≤ 10) ≈ 0,0494 ≤ 0,05
Ablehnungsbereich: X ≤ 10

H₀: p ≥ 0,5 gegen H₁: p < 0,5 (linksseitig).
Erwartungswert unter H₀: 30 · 0,5 = 15
Gesucht: größtes k mit P(X ≤ k) ≤ 0,05 bei n = 30, p = 0,5.
P(X ≤ 11) ≈ 0,1002 > 0,05
P(X ≤ 10) ≈ 0,0494 ≤ 0,05
Ablehnungsbereich: X ≤ 10

Ergebnis:

H₀ ablehnen für X ≤ 10

ÜbenJetzt du

○10
Ein Hersteller behauptet, die Trefferwahrscheinlichkeit sei mindestens 0,5. Bei n = 30 Versuchen wird vermutet, sie sei kleiner. Bestimme den Ablehnungsbereich auf dem Signifikanzniveau 1 %.
So fängst du an:
H₀: p ≥ 0,5 gegen H₁: p < 0,5 (linksseitig).
Lösung zeigen
1. H₀: p ≥ 0,5 gegen H₁: p < 0,5 (linksseitig).
2. Erwartungswert unter H₀: 30 · 0,5 = 15
3. Gesucht: größtes k mit P(X ≤ k) ≤ 0,01 bei n = 30, p = 0,5.
4. P(X ≤ 9) ≈ 0,0214 > 0,01
5. P(X ≤ 8) ≈ 0,0081 ≤ 0,01
6. Ablehnungsbereich: X ≤ 8
Ergebnis:
H₀ ablehnen für X ≤ 8
●11
Ein Hersteller behauptet, die Trefferwahrscheinlichkeit sei mindestens 0,4. Bei n = 100 Versuchen wird vermutet, sie sei kleiner. Bestimme den Ablehnungsbereich auf dem Signifikanzniveau 1 %.
Lösung zeigen
1. H₀: p ≥ 0,4 gegen H₁: p < 0,4 (linksseitig).
2. Erwartungswert unter H₀: 100 · 0,4 = 40
3. Gesucht: größtes k mit P(X ≤ k) ≤ 0,01 bei n = 100, p = 0,4.
4. P(X ≤ 29) ≈ 0,0148 > 0,01
5. P(X ≤ 28) ≈ 0,0084 ≤ 0,01
6. Ablehnungsbereich: X ≤ 28
Ergebnis:
H₀ ablehnen für X ≤ 28
★12
Ein Hersteller behauptet, die Trefferwahrscheinlichkeit sei mindestens 0,3. Bei n = 100 Versuchen wird vermutet, sie sei kleiner. Bestimme den Ablehnungsbereich auf dem Signifikanzniveau 5 %. Geben Sie außerdem den tatsächlichen Fehler 1. Art an.
Lösung zeigen
1. H₀: p ≥ 0,3 gegen H₁: p < 0,3 (linksseitig).
2. Erwartungswert unter H₀: 100 · 0,3 = 30
3. Gesucht: größtes k mit P(X ≤ k) ≤ 0,05 bei n = 100, p = 0,3.
4. P(X ≤ 23) ≈ 0,0755 > 0,05
5. P(X ≤ 22) ≈ 0,0479 ≤ 0,05
6. Ablehnungsbereich: X ≤ 22
7. Der tatsächliche Fehler 1. Art ist P(X ≤ k) und liegt unter α.
Ergebnis:
H₀ ablehnen für X ≤ 22

5Ich kann eine Entscheidungsregel im Sachkontext formulieren und anwenden.

EntdeckenFrage

Warum sind zwei Tests mit demselben Niveau nicht gleich gut?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das Niveau begrenzt nur den Fehler 1. Art. Wie oft ein Unterschied übersehen wird (Fehler 2. Art), hängt von der Stichprobengröße und vom wahren Wert ab.

MerkenNicht abgelehnt heißt nicht bewiesen

Bleibt H₀ bestehen, widerspricht die Stichprobe ihr nicht deutlich.

Das ist kein Beweis für H₀.

BeispielEntscheidungsregel im Sachzusammenhang

Ein Landwirt behauptet, höchstens 20 % der Samen seien nicht keimfähig. Man prüft das an 50 Samen mit α = 5 % (H₀: p ≤ 0,2). In der Stichprobe gibt es 14 nicht keimfähige. Formuliere die Entscheidungsregel und die Entscheidung im Sachzusammenhang.

Schritt für Schritt

Erwartungswert unter H₀: 50 · 0,2 = 10
Ablehnungsbereich: X ≥ 16.
Regel: Ab 16 nicht keimfähige unter 50 wird abgelehnt.
Beobachtet: 14 < 16.
Nicht abgelehnt: kein deutlicher Widerspruch, aber kein Beweis.

Erwartungswert unter H₀: 50 · 0,2 = 10
Ablehnungsbereich: X ≥ 16.
Regel: Ab 16 nicht keimfähige unter 50 wird abgelehnt.
Beobachtet: 14 < 16.
Nicht abgelehnt: kein deutlicher Widerspruch, aber kein Beweis.

Ergebnis:

nicht abgelehnt (unter 16), aber nicht bewiesen

ÜbenJetzt du

○13
Ein Landwirt behauptet, höchstens 20 % der Samen seien nicht keimfähig. Man prüft das an 100 Samen mit α = 5 % (H₀: p ≤ 0,2). In der Stichprobe gibt es 26 nicht keimfähige. Formuliere die Entscheidungsregel und die Entscheidung im Sachzusammenhang.
So fängst du an:
Erwartungswert unter H₀: 100 · 0,2 = 20
Lösung zeigen
1. Erwartungswert unter H₀: 100 · 0,2 = 20
2. Ablehnungsbereich: X ≥ 28.
3. Regel: Ab 28 nicht keimfähige unter 100 wird abgelehnt.
4. Beobachtet: 26 < 28.
5. Nicht abgelehnt: kein deutlicher Widerspruch, aber kein Beweis.
Ergebnis:
nicht abgelehnt (unter 28), aber nicht bewiesen
●14
Ein Landwirt behauptet, höchstens 20 % der Samen seien nicht keimfähig. Man prüft das an 50 Samen mit α = 5 % (H₀: p ≤ 0,2). In der Stichprobe gibt es 16 nicht keimfähige. Formuliere die Entscheidungsregel und die Entscheidung im Sachzusammenhang.
Lösung zeigen
1. Erwartungswert unter H₀: 50 · 0,2 = 10
2. Ablehnungsbereich: X ≥ 16.
3. Regel: Ab 16 nicht keimfähige unter 50 wird abgelehnt.
4. Beobachtet: 16 ≥ 16.
5. Abgelehnt: Es spricht viel dafür, dass mehr Samen nicht keimfähig sind.
Ergebnis:
abgelehnt (ab 16)
★15
Ein Landwirt behauptet, höchstens 20 % der Samen seien nicht keimfähig. Man prüft das an 50 Samen mit α = 5 % (H₀: p ≤ 0,2). In der Stichprobe gibt es 16 nicht keimfähige. Formuliere die Entscheidungsregel und die Entscheidung im Sachzusammenhang. Warum beweist der Test auch bei einer Ablehnung nichts?
Lösung zeigen
1. Erwartungswert unter H₀: 50 · 0,2 = 10
2. Ablehnungsbereich: X ≥ 16.
3. Regel: Ab 16 nicht keimfähige unter 50 wird abgelehnt.
4. Beobachtet: 16 ≥ 16.
5. Abgelehnt: Es spricht viel dafür, dass mehr Samen nicht keimfähig sind.
6. Auch bei Ablehnung bleibt der Fehler 1. Art möglich, höchstens α.
Ergebnis:
abgelehnt (ab 16)

6Ich kann Fehler 1. und 2. Art erklären und berechnen.

EntdeckenFrage

Warum gilt vor Gericht „im Zweifel für den Angeklagten“ – und was hat das mit Statistik zu tun?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Nullhypothese lautet: unschuldig. Einen Unschuldigen zu verurteilen ist der Fehler 1. Art, und er soll sehr selten sein, also wird α klein gewählt. Dafür bleibt manchmal ein Schuldiger frei: der Fehler 2. Art. Beide Fehler lassen sich nicht gleichzeitig beliebig klein machen.

MerkenNicht abgelehnt heißt nicht bewiesen

Bleibt H₀ bestehen, widerspricht die Stichprobe ihr nicht deutlich.

Das ist kein Beweis für H₀.

BeispielFehler 2. Art berechnen

Getestet wird H₀: p ≤ 0,4 gegen H₁: p > 0,4 mit n = 50 und α = 5 %. In Wahrheit ist p = 0,5. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art?

Schritt für Schritt

Erwartungswert unter H₀: 50 · 0,4 = 20
Ablehnungsbereich: X ≥ 27 (exakt aus der Binomialverteilung mit p = 0,4).
Fehler 2. Art: H₀ wird beibehalten, obwohl p = 0,5 gilt, also X ≤ 26.
β = P(X ≤ 26) mit n = 50, p = 0,5 ≈ 0,6641

Erwartungswert unter H₀: 50 · 0,4 = 20
Ablehnungsbereich: X ≥ 27 (exakt aus der Binomialverteilung mit p = 0,4).
Fehler 2. Art: H₀ wird beibehalten, obwohl p = 0,5 gilt, also X ≤ 26.
β = P(X ≤ 26) mit n = 50, p = 0,5 ≈ 0,6641

Ergebnis:

β ≈ 66,4 %

ÜbenJetzt du

○16
Getestet wird H₀: p ≤ 0,5 gegen H₁: p > 0,5 mit n = 30 und α = 5 %. In Wahrheit ist p = 0,7. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art?
So fängst du an:
Erwartungswert unter H₀: 30 · 0,5 = 15
Lösung zeigen
1. Erwartungswert unter H₀: 30 · 0,5 = 15
2. Ablehnungsbereich: X ≥ 20 (exakt aus der Binomialverteilung mit p = 0,5).
3. Fehler 2. Art: H₀ wird beibehalten, obwohl p = 0,7 gilt, also X ≤ 19.
4. β = P(X ≤ 19) mit n = 30, p = 0,7 ≈ 0,2696
Ergebnis:
β ≈ 27 %
●17
Getestet wird H₀: p ≤ 0,2 gegen H₁: p > 0,2 mit n = 50 und α = 5 %. In Wahrheit ist p = 0,4. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art?
Lösung zeigen
1. Erwartungswert unter H₀: 50 · 0,2 = 10
2. Ablehnungsbereich: X ≥ 16 (exakt aus der Binomialverteilung mit p = 0,2).
3. Fehler 2. Art: H₀ wird beibehalten, obwohl p = 0,4 gilt, also X ≤ 15.
4. β = P(X ≤ 15) mit n = 50, p = 0,4 ≈ 0,0955
Ergebnis:
β ≈ 9,6 %
★18
Getestet wird H₀: p ≤ 0,3 gegen H₁: p > 0,3 mit n = 50 und α = 5 %. In Wahrheit ist p = 0,4. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art? Geben Sie außerdem die Teststärke an.
Lösung zeigen
1. Erwartungswert unter H₀: 50 · 0,3 = 15
2. Ablehnungsbereich: X ≥ 21 (exakt aus der Binomialverteilung mit p = 0,3).
3. Fehler 2. Art: H₀ wird beibehalten, obwohl p = 0,4 gilt, also X ≤ 20.
4. β = P(X ≤ 20) mit n = 50, p = 0,4 ≈ 0,561
5. Die Teststärke ist 1 − β, die Wahrscheinlichkeit, H₀ zu Recht abzulehnen.
Ergebnis:
β ≈ 56,1 %

7Ich kann Alternativtests durchführen.

EntdeckenFrage

Eine Urne enthält entweder 30 oder 50 Prozent rote Kugeln. Wie viele Rote in 20 Zügen sprechen für die 50 Prozent?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Unter p = 0,3 sind mindestens 10 Rote nur mit 4,8 Prozent möglich. Ab 10 Roten entscheidet man sich also für 50 Prozent und irrt dabei höchstens mit 5 Prozent. Ist es in Wahrheit 50 Prozent, übersieht man das mit 41 Prozent Wahrscheinlichkeit (Fehler 2. Art).

MerkenNicht abgelehnt heißt nicht bewiesen

Bleibt H₀ bestehen, widerspricht die Stichprobe ihr nicht deutlich.

Das ist kein Beweis für H₀.

BeispielAlternativtest

Zwei Werte stehen zur Wahl: H₀: p = 0,3 und H₁: p = 0,5. Bei n = 50 wird H₀ für große X abgelehnt, der Fehler 1. Art soll höchstens 5 % sein. Bestimme den Ablehnungsbereich und die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 2. Art.

Schritt für Schritt

Erwartungswert unter H₀: 50 · 0,3 = 15
Ablehnungsbereich {k, …, 50} mit kleinstem k, für das P(X ≥ k) ≤ 0,05 bei p = 0,3.
P(X ≥ 20) ≈ 0,0848 > 0,05 und P(X ≥ 21) ≈ 0,0478 ≤ 0,05
Ablehnungsbereich: X ≥ 21
Fehler 2. Art: β = P(X ≤ 20) mit p = 0,5 ≈ 0,1013

Erwartungswert unter H₀: 50 · 0,3 = 15
Ablehnungsbereich {k, …, 50} mit kleinstem k, für das P(X ≥ k) ≤ 0,05 bei p = 0,3.
P(X ≥ 20) ≈ 0,0848 > 0,05 und P(X ≥ 21) ≈ 0,0478 ≤ 0,05
Ablehnungsbereich: X ≥ 21
Fehler 2. Art: β = P(X ≤ 20) mit p = 0,5 ≈ 0,1013

Ergebnis:

X ≥ 21; β ≈ 10,1 %

ÜbenJetzt du

○19
Zwei Werte stehen zur Wahl: H₀: p = 0,3 und H₁: p = 0,5. Bei n = 20 wird H₀ für große X abgelehnt, der Fehler 1. Art soll höchstens 5 % sein. Bestimme den Ablehnungsbereich und die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 2. Art.
So fängst du an:
Erwartungswert unter H₀: 20 · 0,3 = 6
Lösung zeigen
1. Erwartungswert unter H₀: 20 · 0,3 = 6
2. Ablehnungsbereich {k, …, 20} mit kleinstem k, für das P(X ≥ k) ≤ 0,05 bei p = 0,3.
3. P(X ≥ 9) ≈ 0,1133 > 0,05 und P(X ≥ 10) ≈ 0,048 ≤ 0,05
4. Ablehnungsbereich: X ≥ 10
5. Fehler 2. Art: β = P(X ≤ 9) mit p = 0,5 ≈ 0,4119
Ergebnis:
X ≥ 10; β ≈ 41,2 %

8Ich kann beurteilen, wie Signifikanzniveau und Stichprobenumfang die Fehler beeinflussen.

EntdeckenFrage

Warum findet eine kleine Studie oft keinen Unterschied, obwohl es ihn gibt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Bei 20 Versuchen und p₀ = 0,5 liegt die Grenze bei 15. Ist in Wahrheit p = 0,7, wird der Unterschied mit 58 Prozent übersehen. Bei 100 Versuchen sind es nur noch etwa 1 Prozent. Mehr Daten senken den Fehler 2. Art, ohne das Niveau zu ändern.

MerkenNicht abgelehnt heißt nicht bewiesen

Bleibt H₀ bestehen, widerspricht die Stichprobe ihr nicht deutlich.

Das ist kein Beweis für H₀.

9Ich kann ein Testergebnis sachgerecht deuten („nicht verworfen“ ist nicht „bewiesen“).

EntdeckenFrage

Eine Studie findet „keinen Zusammenhang“. Heißt das, es gibt keinen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Nicht abgelehnt heißt nur: Die Daten widersprechen der Nullhypothese nicht deutlich genug. Das kann an einer kleinen Stichprobe liegen. Wer daraus „bewiesen“ liest, verwechselt fehlenden Nachweis mit Nachweis des Fehlens.

MerkenNicht abgelehnt heißt nicht bewiesen

Bleibt H₀ bestehen, widerspricht die Stichprobe ihr nicht deutlich.

Das ist kein Beweis für H₀.

BeispielTestergebnis deuten

Bei einer Qualitätsprüfung (n = 200, α = 10 %) endet der Test so: Die Nullhypothese wird nicht abgelehnt. Eine Mitschülerin sagt: „Die Nullhypothese ist damit bewiesen.“ Stimmt das? Begründe.

Schritt für Schritt

Niveau als Dezimalzahl: α = 10 % = 10 : 100 = 0,1
Ein Test liefert eine Entscheidung unter Unsicherheit, keinen Beweis.
Nicht ablehnen: Fehler 2. Art ist möglich.
Die Stichprobe widerspricht H₀ nicht deutlich genug.
Kein Beweis: Bei kleinem n bleibt auch eine falsche H₀ oft bestehen (Fehler 2. Art).

Niveau als Dezimalzahl: α = 10 % = 10 : 100 = 0,1
Ein Test liefert eine Entscheidung unter Unsicherheit, keinen Beweis.
Nicht ablehnen: Fehler 2. Art ist möglich.
Die Stichprobe widerspricht H₀ nicht deutlich genug.
Kein Beweis: Bei kleinem n bleibt auch eine falsche H₀ oft bestehen (Fehler 2. Art).

Ergebnis:

Nein. Die Stichprobe widerspricht H₀ nicht deutlich genug. Kein Beweis: Bei kleinem n bleibt auch eine falsche H₀ oft bestehen (Fehler 2. Art).

AchtungFehlerarten vertauscht

So nicht

Die Nullhypothese wird nicht abgelehnt, also ist sie bewiesen

So richtig

Nicht abgelehnt → die Stichprobe widerspricht H₀ nicht deutlich; bewiesen ist H₀ damit nicht (β > 0)

1. Art gibt es nur nach einer Ablehnung, 2. Art nur nach einem Beibehalten.

ÜbenJetzt du

○20
Bei einem Test eines neuen Düngers (n = 120, α = 5 %) endet der Test so: Die Nullhypothese wird abgelehnt. Eine Mitschülerin sagt: „Die Nullhypothese ist damit sicher falsch.“ Stimmt das? Begründe.
So fängst du an:
Niveau als Dezimalzahl: α = 5 % = 5 : 100 = 0,05
Lösung zeigen
1. Niveau als Dezimalzahl: α = 5 % = 5 : 100 = 0,05
2. Ein Test liefert eine Entscheidung unter Unsicherheit, keinen Beweis.
3. Ablehnen: Fehler 1. Art ist möglich.
4. Das Ergebnis wäre unter H₀ sehr selten (höchstens α).
5. Man verwirft H₀, irrt sich dabei aber mit der Wahrscheinlichkeit höchstens α.
Ergebnis:
Nein. Das Ergebnis wäre unter H₀ sehr selten (höchstens α). Man verwirft H₀, irrt sich dabei aber mit der Wahrscheinlichkeit höchstens α.
●21
Bei einer Qualitätsprüfung (n = 80, α = 10 %) endet der Test so: Die Nullhypothese wird nicht abgelehnt. Eine Mitschülerin sagt: „Die Nullhypothese ist damit bewiesen.“ Stimmt das? Begründe.
Lösung zeigen
1. Niveau als Dezimalzahl: α = 10 % = 10 : 100 = 0,1
2. Ein Test liefert eine Entscheidung unter Unsicherheit, keinen Beweis.
3. Nicht ablehnen: Fehler 2. Art ist möglich.
4. Die Stichprobe widerspricht H₀ nicht deutlich genug.
5. Kein Beweis: Bei kleinem n bleibt auch eine falsche H₀ oft bestehen (Fehler 2. Art).
Ergebnis:
Nein. Die Stichprobe widerspricht H₀ nicht deutlich genug. Kein Beweis: Bei kleinem n bleibt auch eine falsche H₀ oft bestehen (Fehler 2. Art).
★22
Bei der Prüfung einer Münze (n = 50, α = 1 %) endet der Test so: Die Nullhypothese wird abgelehnt. Eine Mitschülerin sagt: „Die Nullhypothese ist damit sicher falsch.“ Stimmt das? Begründe. Nennen Sie auch, welcher Fehler möglich bleibt.
Lösung zeigen
1. Niveau als Dezimalzahl: α = 1 % = 1 : 100 = 0,01
2. Ein Test liefert eine Entscheidung unter Unsicherheit, keinen Beweis.
3. Ablehnen: Fehler 1. Art ist möglich.
4. Das Ergebnis wäre unter H₀ sehr selten (höchstens α).
5. Man verwirft H₀, irrt sich dabei aber mit der Wahrscheinlichkeit höchstens α.
6. Nach Ablehnung bleibt der Fehler 1. Art, nach Beibehalten der Fehler 2. Art.
Ergebnis:
Nein. Das Ergebnis wäre unter H₀ sehr selten (höchstens α). Man verwirft H₀, irrt sich dabei aber mit der Wahrscheinlichkeit höchstens α.

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●23
Ein Händler behauptet: „Höchstens 20 % der Artikel sind beschädigt.“ Ein Kunde zweifelt. Wie lauten Nullhypothese und Gegenhypothese für p, die Wahrscheinlichkeit des betrachteten Merkmals?
Lösung zeigen
1. Anteil als Dezimalzahl: 20 % = 20 : 100 = 0,2
2. H₀ enthält die Behauptung, die geprüft wird (mit Gleichheitszeichen).
3. H₁ ist das, was die zweifelnde Seite vermutet.
4. H₀: p ≤ 0,2
5. H₁: p > 0,2 (einseitig, rechts)
Ergebnis:
H₀: p ≤ 0,2; H₁: p > 0,2
●24
Behauptet wird p₀ = 0,2. Bei n = 50 Versuchen soll auf dem Signifikanzniveau 5 % einseitig nach unten (linksseitig) getestet werden. Bestimme den Ablehnungsbereich mit der Binomialverteilung.
Lösung zeigen
1. H₀: p ≥ 0,2 gegen H₁: p < 0,2; unter H₀: μ = 50 · 0,2 = 10
2. Gesucht: größtes k mit P(X ≤ k) ≤ 0,05
3. P(X ≤ 6) ≈ 0,1034 > 0,05
4. P(X ≤ 5) ≈ 0,048 ≤ 0,05
5. Ablehnungsbereich: X ≤ 5 (Fehler 1. Art ≈ 4,8 % ≤ 5 %)
Ergebnis:
H₀ ablehnen für X ≤ 5
★25
Bei der Prüfung einer Münze (n = 30, α = 10 %) endet der Test so: Die Nullhypothese wird nicht abgelehnt. Eine Mitschülerin sagt: „Die Nullhypothese ist damit bewiesen.“ Stimmt das? Begründe. Nennen Sie auch, welcher Fehler möglich bleibt.
Lösung zeigen
1. Niveau als Dezimalzahl: α = 10 % = 10 : 100 = 0,1
2. Ein Test liefert eine Entscheidung unter Unsicherheit, keinen Beweis.
3. Nicht ablehnen: Fehler 2. Art ist möglich.
4. Die Stichprobe widerspricht H₀ nicht deutlich genug.
5. Kein Beweis: Bei kleinem n bleibt auch eine falsche H₀ oft bestehen (Fehler 2. Art).
6. Nach Ablehnung bleibt der Fehler 1. Art, nach Beibehalten der Fehler 2. Art.
Ergebnis:
Nein. Die Stichprobe widerspricht H₀ nicht deutlich genug. Kein Beweis: Bei kleinem n bleibt auch eine falsche H₀ oft bestehen (Fehler 2. Art).
★26
Nullhypothese: „Das neue Mittel wirkt nicht besser als das alte (Erfolgsquote höchstens 62 %).“ Nach dem Test wird die Nullhypothese nicht abgelehnt. Welcher Fehler kann dabei passiert sein, welcher nicht? Beschreibe ihn im Sachzusammenhang.
Lösung zeigen
1. Fehler 1. Art gibt es nur, wenn abgelehnt wird.
2. Fehler 2. Art gibt es nur, wenn nicht abgelehnt wird.
3. Nicht abgelehnt: Möglich ist nur der Fehler 2. Art.
4. Im Sachzusammenhang: Man übersieht, dass das neue Mittel besser ist.
Ergebnis:
nur Fehler 2. Art: Man übersieht, dass das neue Mittel besser ist.
★27
Ein Labor gibt an: „Höchstens 20 % der Proben sind belastet.“ Die Behörde zweifelt. Wie lauten Nullhypothese und Gegenhypothese für p, die Wahrscheinlichkeit des betrachteten Merkmals? Begründen Sie, warum H₀ das Gleichheitszeichen enthält.
Lösung zeigen
1. Anteil als Dezimalzahl: 20 % = 20 : 100 = 0,2
2. H₀ enthält die Behauptung, die geprüft wird (mit Gleichheitszeichen).
3. H₁ ist das, was die zweifelnde Seite vermutet.
4. H₀: p ≤ 0,2
5. H₁: p > 0,2 (einseitig, rechts)
6. Nur mit Gleichheit lässt sich die Verteilung unter H₀ festlegen und rechnen.
Ergebnis:
H₀: p ≤ 0,2; H₁: p > 0,2
★28
Behauptet wird p₀ = 0,25. Bei n = 80 Versuchen soll auf dem Signifikanzniveau 1 % einseitig nach unten (linksseitig) getestet werden. Bestimme den Ablehnungsbereich mit der Binomialverteilung.
Lösung zeigen
1. H₀: p ≥ 0,25 gegen H₁: p < 0,25; unter H₀: μ = 80 · 0,25 = 20
2. Gesucht: größtes k mit P(X ≤ k) ≤ 0,01
3. P(X ≤ 11) ≈ 0,0106 > 0,01
4. P(X ≤ 10) ≈ 0,0047 ≤ 0,01
5. Ablehnungsbereich: X ≤ 10 (Fehler 1. Art ≈ 0,47 % ≤ 1 %)
Ergebnis:
H₀ ablehnen für X ≤ 10

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Nullhypothese: H₀ ist die Behauptung, die man prüft.
Ablehnungsbereich: Ablehnen, wenn das Ergebnis unter H₀ höchstens mit der Wahrscheinlichkeit α vorkommt.
Fehler 1. und 2. Art: 1. Art: H₀ abgelehnt, obwohl sie stimmt (höchstens α).
Nicht abgelehnt heißt nicht bewiesen: Bleibt H₀ bestehen, widerspricht die Stichprobe ihr nicht deutlich.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich kann eine Vermutung als Null- und Gegenhypothese formulieren.
29
Ein Hersteller behauptet: „Höchstens 5 % der Schrauben sind zu kurz.“ Der Einkauf zweifelt. Wie lauten Nullhypothese und Gegenhypothese für p, die Wahrscheinlichkeit des betrachteten Merkmals?
Lösung zeigen
Ergebnis:
H₀: p ≤ 0,05; H₁: p > 0,05
Ich kann für einen rechtsseitigen Test den Ablehnungsbereich bestimmen.
30
Behauptet wird p₀ = 0,4. Bei n = 25 Versuchen soll auf dem Signifikanzniveau 1 % einseitig nach unten (linksseitig) getestet werden. Bestimme den Ablehnungsbereich mit der Binomialverteilung.
Lösung zeigen
Ergebnis:
H₀ ablehnen für X ≤ 4
Ich kann ein Testergebnis sachgerecht deuten („nicht verworfen“ ist nicht „bewiesen“).
31
Bei einem Test eines neuen Düngers (n = 50, α = 1 %) endet der Test so: Die Nullhypothese wird nicht abgelehnt. Eine Mitschülerin sagt: „Die Nullhypothese ist damit bewiesen.“ Stimmt das? Begründe.
Lösung zeigen
Ergebnis:
Nein. Die Stichprobe widerspricht H₀ nicht deutlich genug. Kein Beweis: Bei kleinem n bleibt auch eine falsche H₀ oft bestehen (Fehler 2. Art).

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Ein Hersteller sagt: „Höchstens 10 % unserer Geräte sind defekt.“ Von 100 geprüften Geräten sind 17 defekt. Glaubst du ihm noch?

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Ablehnungsbereich.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Ist die Münze fair? Wirkt das Mittel? Stimmt die Umfrage? Beruf: Qualitätssicherung, Medizin, Marktforschung, Verwaltung.

Wörter

Wahrscheinlichkeit: wie sicher etwas passiert

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Binomialverteilung

Lösungen

H₀: p ≥ 0,1; H₁: p < 0,1
H₀: p = 0,5; H₁: p ≠ 0,5
H₀: p = 0,5; H₁: p ≠ 0,5
X = Anzahl der defekten Teile in der Stichprobe; n = 80; α = 1 %
X = Anzahl der Geimpften mit Nebenwirkungen; n = 200; α = 5 %
X = Anzahl der defekten Teile in der Stichprobe; n = 200; α = 5 %
H₀ ablehnen für X ≥ 39
H₀ ablehnen für X ≥ 40
H₀ ablehnen für X ≤ 7
H₀ ablehnen für X ≤ 8
H₀ ablehnen für X ≤ 28
H₀ ablehnen für X ≤ 22
nicht abgelehnt (unter 28), aber nicht bewiesen
abgelehnt (ab 16)
abgelehnt (ab 16)
β ≈ 27 %
β ≈ 9,6 %
β ≈ 56,1 %
X ≥ 10; β ≈ 41,2 %
Nein. Das Ergebnis wäre unter H₀ sehr selten (höchstens α). Man verwirft H₀, irrt sich dabei aber mit der Wahrscheinlichkeit höchstens α.
Nein. Die Stichprobe widerspricht H₀ nicht deutlich genug. Kein Beweis: Bei kleinem n bleibt auch eine falsche H₀ oft bestehen (Fehler 2. Art).
Nein. Das Ergebnis wäre unter H₀ sehr selten (höchstens α). Man verwirft H₀, irrt sich dabei aber mit der Wahrscheinlichkeit höchstens α.
H₀: p ≤ 0,2; H₁: p > 0,2
H₀ ablehnen für X ≤ 5
Nein. Die Stichprobe widerspricht H₀ nicht deutlich genug. Kein Beweis: Bei kleinem n bleibt auch eine falsche H₀ oft bestehen (Fehler 2. Art).
nur Fehler 2. Art: Man übersieht, dass das neue Mittel besser ist.
H₀: p ≤ 0,2; H₁: p > 0,2
H₀ ablehnen für X ≤ 10
H₀: p ≤ 0,05; H₁: p > 0,05
H₀ ablehnen für X ≤ 4
Nein. Die Stichprobe widerspricht H₀ nicht deutlich genug. Kein Beweis: Bei kleinem n bleibt auch eine falsche H₀ oft bestehen (Fehler 2. Art).
P(X ≤ 3) ≈ 0,9437 (94,4 %)
P(X ≤ 3) ≈ 0,983 (98,3 %)