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Mathematik · Klasse 8 und 9 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Ungleichungen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Ein Aufzug trägt 630 kg. Wie viele Personen dürfen hinein, wenn eine Person im Schnitt 75 kg wiegt und ein Gepäckwagen 90 kg dabei ist? Schreib die Bedingung auf.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Eine Gleichung 75 · x + 90 = 630 liefert 7,2 Personen – unsinnig. Die Klasse merkt: Gesucht ist kein Wert, sondern eine Grenze. 75 · x + 90 ≤ 630 – das Zeichen „kleiner oder gleich“ sagt, was die Gleichung nicht sagen kann: alle Zahlen bis zur Grenze, also höchstens 7.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Gleichung löst man, indem man auf beiden Seiten dasselbe tut.

  1. ●23
    Löse die Gleichung: 4x − 1 = 31
    Lösung zeigen
    1. | + 1 → 4x = 32
    2. | : 4 → x = 8
    3. Probe: 4 · 8 − 1 = 31 ✓
    Ergebnis:
    x = 8
  2. ●24
    Löse die Gleichung: 4x + 11 = 55
    Lösung zeigen
    1. | − 11 → 4x = 44
    2. | : 4 → x = 11
    3. Probe: 4 · 11 + 11 = 55 ✓
    Ergebnis:
    x = 11

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenEin Bereich, keine Zahl

Die Lösung einer Ungleichung ist kein einzelner Wert, sondern ein ganzer Abschnitt der Zahlengeraden. Deshalb gehört zur Antwort ein Bild und nicht nur ein Ergebnis.

Zahlengerade: Die Lösung von x größer 2 ist alles rechts von 2, die 2 selbst nicht−202468x > 22 gehört nicht dazuDie Lösung ist ein ganzer Abschnitt

WeiterdenkenDenk nach

x > 3 – nenne drei Lösungen. Wie viele gibt es?

1Ich lese aus einer Ungleichung die Lösungsmenge ab und stelle sie am Zahlenstrahl dar.

EntdeckenFrage

Warum darf ein Aufzug „höchstens 8 Personen“ tragen, obwohl 8 Kinder weniger wiegen als 5 Erwachsene?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Ungleichung dahinter heißt Gesamtmasse ≤ 630 kg; die Personenzahl ist nur die Faustregel für 75 kg je Person. Wer rechnet, darf mehr Kinder mitnehmen – der Prüfer rechnet mit der Ungleichung.

MerkenUngleichung

x < 3 heißt: alle Zahlen kleiner als 3. Am Zahlenstrahl: offener Kreis bei 3, Pfeil nach links.

Eselsbrücke: Mal oder geteilt durch eine negative Zahl: das Zeichen kippt – „Minus dreht den Krokodilmund um“

BeispielLösungsmenge in den natürlichen Zahlen

Welche natürlichen Zahlen erfüllen 4x + 3 < 23? Gib die Lösungsmenge an.
Schritt für Schritt
  1. 3 abziehen: 4x < 20
  2. Durch 4: x < 5
  3. Natürliche Zahlen kleiner als 5: 0 bis 4
  1. 3 abziehen: 4x < 20
  2. Durch 4: x < 5
  3. Natürliche Zahlen kleiner als 5: 0 bis 4
Ergebnis:
L = {0; 1; …; 4}

AchtungZeichen nicht gedreht

So nicht
−2x < 6  | : (−2)
x < −3
So richtig
−2x < 6  | : (−2)
x > −3  (Zeichen dreht sich)

Durch −2 geteilt? Dann wird aus „<“ ein „>“.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche natürlichen Zahlen erfüllen 2x + 8 < 14? Gib die Lösungsmenge an.
    So fängst du an:
    8 abziehen: 2x < 6
    Lösung zeigen
    1. 8 abziehen: 2x < 6
    2. Durch 2: x < 3
    3. Natürliche Zahlen kleiner als 3: 0 bis 2
    Ergebnis:
    L = {0; 1; …; 2}
  2. ●2
    Welche natürlichen Zahlen erfüllen 4x + 5 < 21? Gib die Lösungsmenge an.
    Lösung zeigen
    1. 5 abziehen: 4x < 16
    2. Durch 4: x < 4
    3. Natürliche Zahlen kleiner als 4: 0 bis 3
    Ergebnis:
    L = {0; 1; …; 3}
  3. ★3
    Ein Eis kostet 4 €, du hast 19 €. Wie viele Eis kannst du höchstens kaufen? Stelle die Ungleichung auf.
    Lösung zeigen
    1. 4 · x ≤ 19
    2. x ≤ 4,75
    3. Höchstens 4 Eis, weil x eine ganze Zahl ist
    Ergebnis:
    4 Eis

2Ich löse lineare Ungleichungen durch Umformen.

EntdeckenFrage

Warum reicht bei einer Ungleichung eine einzige Zahl als Antwort nicht aus?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil alles passt, was unter oder über der Grenze liegt. Die Lösung ist kein einzelner Punkt, sondern ein ganzer Abschnitt der Zahlengeraden.

MerkenUngleichung lösen

Umformen wie eine Gleichung: auf beiden Seiten dasselbe tun.

Addieren, subtrahieren, mit positiven Zahlen multiplizieren oder dividieren.

BeispielLineare Ungleichung

Löse: 4x − 8 < −16
Schritt für Schritt
  1. | − (−8): 4x < −8
  2. | : 4: x < −2
  1. | − (−8): 4x < −8
  2. | : 4: x < −2
Ergebnis:
x < −2

AchtungNoch einmal: Zeichen nicht gedreht

So nicht
−2x < 6  | : (−2)
x < −3
So richtig
−2x < 6  | : (−2)
x > −3  (Zeichen dreht sich)

Durch −2 geteilt? Dann wird aus „<“ ein „>“.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Löse: 4x + 4 < 20
    So fängst du an:
    | − (4): 4x < 16
    Lösung zeigen
    1. | − (4): 4x < 16
    2. | : 4: x < 4
    Ergebnis:
    x < 4
  2. ●5
    Löse: 3x + 6 < 24
    Lösung zeigen
    1. | − (6): 3x < 18
    2. | : 3: x < 6
    Ergebnis:
    x < 6
  3. ★6
    Löse: −3x − 9 < −6
    Lösung zeigen
    1. | − (−9): −3x < 3
    2. | : −3 (negativ → Zeichen dreht sich): x > −1
    Ergebnis:
    x > −1

3Ich beachte: Multiplizieren mit negativen Zahlen dreht das Zeichen.

EntdeckenFrage

Warum kehrt sich das Zeichen um, wenn man mit einer negativen Zahl malnimmt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil sich die Reihenfolge auf der Zahlengeraden umdreht: 2 ist kleiner als 5, aber −2 ist größer als −5. Das Malnehmen spiegelt die ganze Gerade an der Null.

MerkenZeichen drehen

Mal oder geteilt durch eine negative Zahl dreht das Zeichen um.

Beispiel: −2x < 6 wird zu x > −3.

BeispielUngleichung mit negativem Faktor

Löse: −5x + 3 < −17
Schritt für Schritt
  1. 3 abziehen: −5x < −20
  2. Durch −5 teilen – das Zeichen dreht sich: x > 4
  1. 3 abziehen: −5x < −20
  2. Durch −5 teilen – das Zeichen dreht sich: x > 4
Ergebnis:
x > 4

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Löse: −4x + 7 > 3
    So fängst du an:
    7 abziehen: −4x > −4
    Lösung zeigen
    1. 7 abziehen: −4x > −4
    2. Durch −4 teilen – das Zeichen dreht sich: x < 1
    Ergebnis:
    x < 1
  2. ●8
    Löse: −5x + 9 < 24
    Lösung zeigen
    1. 9 abziehen: −5x < 15
    2. Durch −5 teilen – das Zeichen dreht sich: x > −3
    Ergebnis:
    x > −3
  3. ★9
    Löse −5x + 3 < 3 und nenne zwei Zahlen, die die Ungleichung erfüllen. Warum dreht sich das Zeichen?
    Lösung zeigen
    1. 3 abziehen: −5x < 0
    2. Durch −5 teilen dreht das Zeichen: x > 0
    3. Beispiele: 1 und 2
    Ergebnis:
    x > 0, zum Beispiel 1

4Ich löse Sachaufgaben mit „höchstens“ und „mindestens“.

EntdeckenFrage

Ab wann lohnt sich eine Monatskarte gegenüber einzelnen Fahrscheinen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ab der Fahrtenzahl, bei der beide Wege gleich viel kosten. Alles darüber spricht für die Karte, alles darunter dagegen – die Antwort ist ein Bereich, keine einzelne Zahl.

MerkenHöchstens und mindestens

Höchstens heißt ≤, mindestens heißt ≥.

Aus dem Text die Ungleichung aufstellen, lösen, Antwort mit Bedingung.

BeispielUngleichung als Sachaufgabe

Du hast 80,00 €. Der Eintritt kostet 20,00 €, jede Fahrt 6,00 €. Bestimme, wie viele Fahrten höchstens drin sind.
Schritt für Schritt
  1. 20 + 6x ≤ 80
  2. x ≤ 10
  3. ganze Fahrten: 10
  1. 20 + 6x ≤ 80
  2. x ≤ 10
  3. ganze Fahrten: 10
Ergebnis:
höchstens 10

AchtungAnfangswert bei gleichmäßiger Änderung vergessen

So nicht
Anfang 20, je Minute 5 dazu, Ziel 60 → 60 : 5 = 12
So richtig
Anfang 20, je Minute 5 dazu, Ziel 60 → (60 − 20) : 5 = 8

Rechne zuerst den Unterschied von Anfang bis Ziel. Teile dann durch den Schritt.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Du hast 100,00 €. Der Eintritt kostet 15,00 €, jede Fahrt 6,00 €. Bestimme, wie viele Fahrten höchstens drin sind.
    So fängst du an:
    15 + 6x ≤ 100
    Lösung zeigen
    1. 15 + 6x ≤ 100
    2. x ≤ 14,17
    3. ganze Fahrten: 14
    Ergebnis:
    höchstens 14
  2. ●11
    Du hast 100,00 €. Der Eintritt kostet 12,00 €, jede Fahrt 6,00 €. Bestimme, wie viele Fahrten höchstens drin sind.
    Lösung zeigen
    1. 12 + 6x ≤ 100
    2. x ≤ 14,67
    3. ganze Fahrten: 14
    Ergebnis:
    höchstens 14
  3. ★12
    Du hast 80,00 €. Der Eintritt kostet 20,00 €, jede Fahrt 2,50 €. Bestimme, wie viele Fahrten höchstens drin sind.
    Lösung zeigen
    1. 20 + 2,5x ≤ 80
    2. x ≤ 24
    3. ganze Fahrten: 24
    Ergebnis:
    höchstens 24

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●13
    Löse: 2x + 0 < 8
    Lösung zeigen
    1. | − (0): 2x < 8
    2. | : 2: x < 4
    Ergebnis:
    x < 4
  2. ●14
    Du hast 100,00 €. Der Eintritt kostet 20,00 €, jede Fahrt 4,00 €. Bestimme, wie viele Fahrten höchstens drin sind.
    Lösung zeigen
    1. 20 + 4x ≤ 100
    2. x ≤ 20
    3. ganze Fahrten: 20
    Ergebnis:
    höchstens 20
  3. ●15
    Löse: −5x + 6 > 16
    Lösung zeigen
    1. 6 abziehen: −5x > 10
    2. Durch −5 teilen – das Zeichen dreht sich: x < −2
    Ergebnis:
    x < −2
  4. ●16
    Welche natürlichen Zahlen erfüllen 3x + 3 < 12? Gib die Lösungsmenge an.
    Lösung zeigen
    1. 3 abziehen: 3x < 9
    2. Durch 3: x < 3
    3. Natürliche Zahlen kleiner als 3: 0 bis 2
    Ergebnis:
    L = {0; 1; …; 2}
  5. ●17
    Löse: 2x − 3 < 5
    Lösung zeigen
    1. | − (−3): 2x < 8
    2. | : 2: x < 4
    Ergebnis:
    x < 4
  6. ●18
    Du hast 80,00 €. Der Eintritt kostet 15,00 €, jede Fahrt 4,00 €. Bestimme, wie viele Fahrten höchstens drin sind.
    Lösung zeigen
    1. 15 + 4x ≤ 80
    2. x ≤ 16,25
    3. ganze Fahrten: 16
    Ergebnis:
    höchstens 16

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Ungleichung
x < 3 heißt: alle Zahlen kleiner als 3. Am Zahlenstrahl: offener Kreis bei 3, Pfeil nach links.
Ungleichung lösen
Umformen wie eine Gleichung: auf beiden Seiten dasselbe tun.
Zeichen drehen
Mal oder geteilt durch eine negative Zahl dreht das Zeichen um.
Höchstens und mindestens
Höchstens heißt ≤, mindestens heißt ≥.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich lese aus einer Ungleichung die Lösungsmenge ab und stelle sie am Zahlenstrahl dar.

    19
    Welche natürlichen Zahlen erfüllen 2x + 6 < 14? Gib die Lösungsmenge an.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    L = {0; 1; …; 3}

  2. Ich löse lineare Ungleichungen durch Umformen.

    20
    Löse: 3x + 6 < 3
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x < −1

  3. Ich beachte: Multiplizieren mit negativen Zahlen dreht das Zeichen.

    21
    Löse: −4x + 6 > 22
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x < −4

  4. Ich löse Sachaufgaben mit „höchstens“ und „mindestens“.

    22
    Du hast 50,00 €. Der Eintritt kostet 12,00 €, jede Fahrt 2,50 €. Bestimme, wie viele Fahrten höchstens drin sind.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    höchstens 15

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Ein Aufzug trägt 630 kg. Wie viele Personen dürfen hinein, wenn eine Person im Schnitt 75 kg wiegt und ein Gepäckwagen 90 kg dabei ist? Schreib die Bedingung auf.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Die Ungleichung: Lösungen als Bereich statt als Zahl.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Budget: Was kann ich mir noch leisten? Beruf: Planung, Logistik, Optimierung.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Terme und Gleichungen

Lösungen

  1. L = {0; 1; …; 2}
  2. L = {0; 1; …; 3}
  3. 4 Eis
  4. x < 4
  5. x < 6
  6. x > −1
  7. x < 1
  8. x > −3
  9. x > 0, zum Beispiel 1
  10. höchstens 14
  11. höchstens 14
  12. höchstens 24
  13. x < 4
  14. höchstens 20
  15. x < −2
  16. L = {0; 1; …; 2}
  17. x < 4
  18. höchstens 16
  19. L = {0; 1; …; 3}
  20. x < −1
  21. x < −4
  22. höchstens 15
  23. x = 8
  24. x = 11