Kongruenzabbildungen im Koordinatensystem
Das lernst du
- Ich verschiebe Figuren mit einem Verschiebungspfeil und gebe die Bildpunkte an.
- Ich spiegle Figuren an Achsen, die nicht die Koordinatenachsen sind.
- Ich spiegle Figuren an einem Punkt.
- Ich drehe Figuren um 90° und 180° um einen Punkt.
- Ich erkenne, durch welche Abbildung eine Figur auf ihr Bild abgebildet wird.
- Ich erkenne achsensymmetrische, punktsymmetrische und drehsymmetrische Figuren.
- Ich begründe mit Abbildungen, dass Figuren kongruent sind.
- Ich führe zwei Abbildungen nacheinander aus und beschreibe das Ergebnis.
Merksätze
Bei einer Verschiebung geht jeder Punkt denselben Weg.
Der Pfeil nennt ihn nach rechts oder links und nach oben oder unten. So wird A(1 | 4) zu A'(4 | 2).
Der Bildpunkt liegt gleich weit hinter der Achse.
An der Geraden x = 2 wird P(5 | 1) zu P'(−1 | 1). P liegt 3 rechts von der Achse, P' liegt 3 links davon.
Der Spiegelpunkt Z ist die Mitte zwischen Punkt und Bildpunkt.
Geh von P bis Z und denselben Weg noch einmal. So wird P(3 | 1) an Z(0 | 0) zu P'(−3 | −1).
Beim Drehen wird der Weg vom Zentrum mitgedreht.
Um 90° gegen den Uhrzeigersinn wird aus 2 nach rechts 2 nach oben. Bei 180° kehrt sich der Weg um.
Nur die Achsenspiegelung kehrt den Umlaufsinn um.
Läuft ABC gegen den Uhrzeigersinn und A'B'C' im Uhrzeigersinn, wurde an einer Achse gespiegelt.
Eine Figur ist symmetrisch, wenn eine Abbildung sie genau auf sich legt.
Das Quadrat hat 4 Achsen, ist punktsymmetrisch und drehsymmetrisch mit 90°.
Kongruente Figuren lassen sich durch eine Abbildung genau aufeinanderlegen.
Längen und Winkel bleiben dabei gleich. Ist AB 4 Kästchen und DE 5 Kästchen lang, sind sie nicht kongruent.
Zwei Abbildungen hintereinander ergeben wieder eine Abbildung.
Spiegeln an x = 1 und danach an x = 3 ist eine Verschiebung um 4 nach rechts.
Selbst abfragen
Tippen dreht um, Wischen blättert.Leertaste dreht um, Pfeiltasten blättern.
So geht es – ein Beispiel je Aufgabenart
Verschiebe das Dreieck mit A(−1 | −1), B(0 | 4), C(2 | 2) um 5 nach links und 5 nach unten. Wo liegen die Bildpunkte A', B' und C'?
- Jeder Punkt geht denselben Weg: 5 nach links und 5 nach unten.
- A(−1 | −1) → A'(−6 | −6)
- B(0 | 4) → B'(−5 | −1)
- C(2 | 2) → C'(−3 | −3)
Ergebnis: A'(−6 | −6), B'(−5 | −1), C'(−3 | −3)
Eine Spielfigur rückt von P(1 | 1) nach P'(−5 | −5). Eine zweite Figur steht auf Q(2 | 5) und macht denselben Zug. Wo landet sie?
- Von P nach P': x ändert sich um −6, y um −6
- Der Pfeil: 6 nach links und 6 nach unten
- Q 6 nach links und 6 nach unten: Q'(−4 | −1)
Ergebnis: 6 nach links und 6 nach unten; Q'(−4 | −1)
Spiegle das Dreieck mit A(−4 | −2), B(−1 | −5), C(−5 | 3) an der senkrechten Geraden x = −3.
- Jeder Bildpunkt liegt gleich weit von der Achse entfernt, auf der anderen Seite.
- A: 1 links oder rechts von x = −3 → (−2 | −2)
- B: 2 links oder rechts von x = −3 → (−5 | −5)
- C: 2 links oder rechts von x = −3 → (−1 | 3)
Ergebnis: A'(−2 | −2), B'(−5 | −5), C'(−1 | 3)
Beim Spiegeln landet P(−6 | 2) auf P'(6 | 2). Gib die Gleichung der Achse an.
- Nur x ändert sich: Die Achse ist senkrecht.
- Mitte zwischen −6 und 6: (−6 + 6) : 2 = 0
Ergebnis: x = 0
Typische Fehler – so sieht es falsch aus, so richtig
A(1 | 2) um 3 nach rechts und 2 nach unten → A'(3 | 5)
x: 1 + 3 = 4, y: 2 − 2 = 0 → A'(4 | 0)
Zähle den Pfeil in Kästchen: erst rechts oder links, dann oben oder unten. Jeder Punkt geht genau diesen Weg.
P(5 | 1) an der Geraden x = 2 spiegeln → P'(−5 | 1)
P(5 | 1) liegt 3 rechts von x = 2: 2 − 3 = −1 → P'(−1 | 1)
Das klappt nur an den Koordinatenachsen. Zähle den Abstand zur Achse und trage ihn auf der anderen Seite ab.
P(4 | 2) an Z(1 | 1) spiegeln: 3 nach links und 1 nach unten → P'(1 | 1)
Bis Z und denselben Weg noch einmal → P'(−2 | 0)
Z ist die Mitte. Geh von P bis Z und dann denselben Weg noch einmal weiter.
P(3 | 0) um 90° gegen den Uhrzeigersinn um Z(0 | 0) drehen → P'(0 | −3)
Aus 3 nach rechts wird 3 nach oben → P'(0 | 3)
Gegen den Uhrzeigersinn wird aus rechts oben, im Uhrzeigersinn wird aus rechts unten. Prüfe mit einem Blatt Transparentpapier.
ABC läuft gegen den Uhrzeigersinn, A'B'C' im Uhrzeigersinn → Drehung um 90°
Umlaufsinn umgekehrt → Achsenspiegelung
Prüfe zuerst den Umlaufsinn, dann die Richtung einer Seite: gleich, umgekehrt oder um 90° gedreht.
Der Buchstabe S ist achsensymmetrisch.
Beim Falten passt das S nicht, nach einer halben Drehung schon → punktsymmetrisch, nicht achsensymmetrisch
Achsensymmetrisch heißt falten, punktsymmetrisch heißt halbe Drehung. Das S passt nach einer halben Drehung, aber nicht beim Falten.
ABC und DEF sehen fast gleich aus, AB ist 4 und DE 5 Kästchen lang → kongruent
AB = 4 Kästchen, DE = 5 Kästchen → Längen verschieden → nicht kongruent
Kongruente Figuren haben gleich lange Seiten und gleich große Winkel. Vergleiche die Längen in Kästchen, bevor du entscheidest.
Erst an x = 1, dann an x = 3 spiegeln → Verschiebung um 2 nach rechts
Doppelter Abstand der Achsen: 2 · 2 = 4 → Verschiebung um 4 nach rechts
Führe beide Abbildungen einzeln aus und vergleiche Start und Ziel. Bei Spiegelungen an parallelen Achsen zählt der doppelte Abstand.
Wo brauchst du das?
Fliesenmuster, Spielkarten, Tetris-Steine und Spiegelschrift. Beruf: Technisches Zeichnen, Mediengestaltung, Textil- und Fliesendesign.
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