Einführung in die Differenzialrechnung
Das lernst du
- Ich berechne mittlere Änderungsraten als Differenzenquotient.
- Ich bestimme die lokale Änderungsrate als Grenzwert des Differenzenquotienten (Tangentensteigung).
- Ich leite Potenzfunktionen mit der Potenzregel ab.
- Ich leite Summen und Vielfache ab (ganzrationale Funktionen).
- Ich bestimme die Steigung an einer Stelle und stelle die Tangentengleichung auf.
- Ich lese Monotonie und Extremstellen aus f' ab.
- Ich wende die Kettenregel an.
- Ich wende die Produktregel an.
- Ich deute Ableitungen in Sachzusammenhängen (Geschwindigkeit, Kosten).
- Ich bereite die Klausur vor.
Merksätze
Mittlere Änderungsrate = Differenzenquotient (f(b) − f(a)) : (b − a) – die Steigung der Sekante.
Lässt man das Intervall gegen 0 gehen, wird aus der Sekante die Tangente: f'(x₀) ist ihre Steigung.
(xⁿ)' = n · xⁿ⁻¹. Konstante Faktoren bleiben, Summen werden gliedweise abgeleitet, Konstanten fallen weg.
Jeden Summanden einzeln mit der Potenzregel ableiten.
m = f'(x₀); Tangente: y = m · (x − x₀) + f(x₀).
f' > 0: streng monoton steigend; f' < 0: fallend. Vorzeichenwechsel von f' → Extremstelle.
Äußere Ableitung mal innere Ableitung: (u(v(x)))' = u'(v(x)) · v'(x).
Ein Produkt leitest du nicht faktorweise ab: (u · v)' = u' · v + u · v'.
Erst den einen Faktor ableiten, dann den anderen, beides addieren.
f' ist die Änderungsrate: Weg → Geschwindigkeit, Kosten → Grenzkosten, Bestand → Zu- oder Abfluss.
Einheit von f' = Einheit von f pro Einheit von x.
Selbst abfragen
Tippen dreht um, Wischen blättert.Leertaste dreht um, Pfeiltasten blättern.
Eselsbrücken
- Potenzregel: „Exponent nach vorn, Exponent minus eins“ – (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹ – Konstanten fallen weg, Faktoren bleiben.
- Kettenregel: „Äußere Ableitung mal innere Ableitung“ – von außen nach innen schälen
- Produktregel: „u' v + u v'“ – erst den einen, dann den anderen ableiten
So geht es – ein Beispiel je Aufgabenart
f(x) = x2 − 3x + 4. Berechne die mittlere Änderungsrate im Intervall [0; 2].
- f(0) = 4, f(2) = 2
- m = (f(b) − f(a)) / (b − a) = (2 − 4) / 2 = −1
Ergebnis: m = −1
Der Graph zeigt f. Lies f(2) und f(5) ab und berechne die mittlere Änderungsrate im Intervall [2; 5].
- Abgelesen: f(2) = 7 und f(5) = 4.
- Differenzenquotient: Unterschied der Werte geteilt durch Unterschied der Stellen.
- −3 : 3 = −1
- Das ist die Steigung der Sekante durch P und Q.
Ergebnis: m = −1
f(x) = x2 − 4x + 5. Bestimme die Steigung des Graphen an der Stelle x₀ = 2.
- f'(x) = 2x − 4
- f'(2) = 0
Ergebnis: m = 0
Im Bild ist die Tangente t an den Graphen von f(x) = −x² + 4 im Punkt P eingezeichnet. Lies ihre Steigung ab und vergleiche mit f'(0).
- Steigungsdreieck an der Tangente: 1 nach rechts, 0 nach oben, also m = 0.
- f'(x) = −2x
- f'(0) = −2 · 0 + 0 = 0
- Abgelesene und berechnete Steigung stimmen überein.
Ergebnis: m = 0 = f'(0)
Wörter
- Differenz
- was übrig bleibt, wenn man abzieht
- Steigung
- wie stark es nach oben geht, pro Schritt nach rechts
Typische Fehler – so sieht es falsch aus, so richtig
f(x) = x³ → f'(x) = 3x³
f(x) = x³ → f'(x) = 3x²
Der Exponent wird zum Faktor und dann um 1 kleiner: (x³)' = 3x².
Steigung bei x = 2: f(2) einsetzen
Steigung bei x = 2: f'(2) einsetzen
Die Steigung liefert die Ableitung an der Stelle, nicht der Funktionswert.
f(x) = (3x + 1)² → f'(x) = 2(3x + 1)
f'(x) = 2(3x + 1) · 3 = 6(3x + 1)
Bei (3x + 1)² kommt der Faktor 3 dazu.
Wo brauchst du das?
Tacho = Ableitung des Weges; Wachstumsrate. Beruf: Ingenieurwesen, Ökonomie (Grenzkosten), Medizin.
Weiter lesen und ausprobieren – auf fremden Seiten
- Serlo: Erklärungen und Aufgaben zu „Funktionen“ (CC BY-SA 4.0 – nur verlinkt)
- GeoGebra: Graph mit Reglern zeichnen (GeoGebra-Lizenz (Fassung November 2025), kommerziell nur mit Sonderlizenz – nur verlinkt)
- Berliner Prüfungsaufgaben (ISQ, MSA und Abitur): Aufgaben vergangener Jahre – MSA, eBBR, Abitur (für Schulen freigegeben – nur verlinkt)
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