Wahrscheinlichkeit: Baumdiagramm und Vierfeldertafel
Das lernst du
- Ich wiederhole Laplace-Wahrscheinlichkeit und Pfadregeln.
- Ich rechne mehrstufige Zufallsexperimente mit Baumdiagrammen.
- Ich stelle Vierfeldertafeln auf und lese sie.
- Ich berechne bedingte Wahrscheinlichkeiten.
- Ich wechsle zwischen Baumdiagramm und Vierfeldertafel (Umkehrbaum).
- Ich prüfe Ereignisse auf stochastische Unabhängigkeit.
- Ich deute Ergebnisse (medizinische Tests, Fehlalarme).
- Ich bereite die Klausur vor.
Merksätze
Entlang eines Pfades multiplizieren, mehrere Pfade addieren.
Jede Stufe eine Verzweigung; ohne Zurücklegen ändern sich die Brüche auf der nächsten Stufe.
Vier Felder für A∩B, A∩nichtB, nichtA∩B, nichtA∩nichtB; Randsummen ergeben P(A) und P(B).
P_B(A) = P(A ∩ B) : P(B) – Anteil von A innerhalb von B.
Die Reihenfolge der Stufen tauschen: Was zuerst Bedingung war, wird Ergebnis – die Vierfeldertafel liefert die Zahlen.
A und B sind unabhängig, wenn P(A ∩ B) = P(A) · P(B).
Bei seltenen Krankheiten sind die meisten positiven Tests Fehlalarme.
Rechne mit einer Vierfeldertafel für 10 000 Personen – dann siehst du, wie klein der Anteil der Kranken unter den Positiven ist.
Selbst abfragen
Tippen dreht um, Wischen blättert.Leertaste dreht um, Pfeiltasten blättern.
So geht es – ein Beispiel je Aufgabenart
Urne mit 2 roten und 2 blauen Kugeln, zweimal ziehen ohne Zurücklegen. Berechne P(mindestens eine rote).
- Gegenereignis: keine rote = beide blau
- P(blau, blau) = 24 · 13 = 0,1667
- 1 − 0,1667 = 0,8333
Ergebnis: ≈ 83,3 %
Ein Würfel wird einmal geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, eine 6 zu würfeln.
- günstige : mögliche Ergebnisse
- 1 : 6 = 0,167
Ergebnis: 16 ≈ 16,7 %
Urne mit 2 roten und 2 blauen Kugeln. Zweimal ziehen mit Zurücklegen. Berechne P(rot, rot).
- Pfadregel: Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades multiplizieren
- 24 · 24 = 0,25
Ergebnis: ≈ 25 %
In einer Urne sind 6 rote und 5 blaue Kugeln. Es wird zweimal mit Zurücklegen gezogen. Ergänze die fehlenden Wahrscheinlichkeiten im Baum und berechne P(zweimal rot).
- An jeder Verzweigung ergeben die Wahrscheinlichkeiten zusammen 1.
- Erste Stufe: P(blau) = 1 − 6/11, also 5/11.
- Mit Zurücklegen ist die zweite Stufe wie die erste: rot 6/11, blau 5/11.
- Pfadregel: 611 · 611 ergibt 36/121.
Ergebnis: P(zweimal rot) = 36121
Wörter
- Wahrscheinlichkeit
- wie sicher etwas passiert
Typische Fehler – so sieht es falsch aus, so richtig
40 von 200 sind im Verein, 30 davon fahren Rad. P(Verein | Rad) = 30 : 40 = 75 %
Gefragt ist P(Rad | Verein) – innerhalb der Vereinsmitglieder: 30 : 40 = 75 %. Umgekehrt (Verein | Rad) wäre 30 : (Zahl der Radfahrenden).
P_B(A) ≠ P_A(B): Durch die Wahrscheinlichkeit der Bedingung teilen.
P(rot, dann blau) = 0,4 + 0,25
P(rot, dann blau) = 0,4 · 0,25 = 0,1
Entlang eines Pfades wird multipliziert.
Wo brauchst du das?
Corona-Schnelltest positiv – wie sicher ist das? Beruf: Medizin, Recht, Datenanalyse.
Weiter lesen und ausprobieren – auf fremden Seiten
- Serlo: Erklärungen und Aufgaben zu „Wahrscheinlichkeit“ (CC BY-SA 4.0 – nur verlinkt)
- PhET-Simulation (University of Colorado Boulder): Galtonbrett: Zufall und Verteilung (CC BY-NC 4.0 – nur verlinkt)
- Statistisches Bundesamt: Echte Zahlen für Diagramme und Mittelwerte (Datenlizenz Deutschland 2.0 – nur verlinkt)
- Deutscher Wetterdienst, offene Daten: Wetterdaten je Station – für Mittelwert, Spannweite, Diagramm (GeoNutzV / Datenlizenz Deutschland – nur verlinkt)
- Berliner Prüfungsaufgaben (ISQ, MSA und Abitur): Aufgaben vergangener Jahre – MSA, eBBR, Abitur (für Schulen freigegeben – nur verlinkt)
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