Mathematik · Jahrgang 12, 13 · Basiswissen

Binomialverteilung

Alle Themen Rätsel dazu Als Kapitel

Das lernst du

Ich erkenne Bernoulli-Ketten (n, p) in Sachsituationen.
Ich berechne P(X = k) mit der Bernoulli-Formel.
Ich berechne kumulierte Wahrscheinlichkeiten P(X ≤ k) mit Tabelle oder Rechner.
Ich nutze das Gegenereignis für „mindestens“ und „höchstens“.
Ich berechne Erwartungswert und Standardabweichung.
Ich bestimme n oder p aus Bedingungen (Dreimal-Mindestens-Aufgabe).
Ich deute Histogramme der Binomialverteilung.
Ich führe einfache Hypothesentests durch (Vertiefung).
Ich bereite die Klausur vor.

Merksätze

Bernoulli-Kette

n gleiche, unabhängige Versuche mit Trefferwahrscheinlichkeit p – nur „Treffer“ oder „Niete“.

Binomialverteilung: P(X = k)

P(X = k) = (n über k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ. (n über k) zählt, auf wie viele Arten k Treffer verteilt sein können.

Kumuliert

P(X ≤ k) = Summe von P(X = 0) bis P(X = k); Tabelle oder Rechner.

Mindestens einmal

Mindestens einmal heißt: nicht kein einziges Mal.

Deshalb über das Gegenereignis: P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − (1 − p)ⁿ.

Erwartungswert und Standardabweichung

Im Mittel erwartet man μ = n · p Treffer; die Streuung darum ist σ = √(n · p · (1 − p)).

Beides folgt aus n und p allein.

n bestimmen

1 − (1 − p)ⁿ ≥ 0,9 → nach n auflösen mit Logarithmus.

Histogramm

Bei p = 0,5 symmetrisch, sonst schief; das Maximum liegt nahe μ.

Hypothesentest

Der Ablehnungsbereich kommt exakt aus der Binomialverteilung unter p₀: rechts das kleinste k mit P(X ≥ k) ≤ α, links das größte k mit P(X ≤ k) ≤ α, zweiseitig α/2 je Seite.

Liegt das Ergebnis darin, wird die Nullhypothese abgelehnt.

Selbst abfragen

Karte 1 von 8 · Vorderseite

BinomialverteilungBernoulli-KetteWas weißt du dazu? Erst selbst sagen, dann umdrehen.

Tippen dreht um, Wischen blättert.Leertaste dreht um, Pfeiltasten blättern.

Eselsbrücken

Bernoulli: „n über k, p hoch k, q hoch Rest“ – P(X = k) = (n k) pᵏ (1−p)ⁿ⁻ᵏ – Erwartungswert μ = n·p, Standardabweichung σ = √(n·p·q).

So geht es – ein Beispiel je Aufgabenart

Bernoulli-Kette erkennen

8-mal wird zufällig eine Karte gezogen und zurückgelegt. Interessiert: Wie oft ist es ein Ass? Entscheide, ob eine Bernoulli-Kette vorliegt. Bestimme gegebenenfalls n und p.

Bedingungen: nur zwei Ausgänge, immer dieselbe Wahrscheinlichkeit, Versuche unabhängig.
Alle drei erfüllt – die Versuche sind unabhängig, p bleibt gleich.
n = 8, p = 452

Ergebnis: ja: n = 8, p = 452

Vom Pfad zur Binomialverteilung

Ein Glücksrad zeigt mit der Wahrscheinlichkeit 0,1 „Treffer“. Es wird dreimal gedreht. Wie groß ist P(Niete, Niete, Treffer) in genau dieser Reihenfolge? Wie viele Pfade haben genau einen Treffer? Berechne P(X = 1).

Pfadregel: 0,9 · 0,9 · 0,1 = 0,081
Pfade mit genau einem Treffer: TNN, NTN, NNT – also 3.
Alle drei haben dieselbe Wahrscheinlichkeit.
P(X = 1) = 3 · 0,081 = 0,243

Ergebnis: 0,081; 3 Pfade; P(X = 1) = 0,243

Binomialverteilung: P(X = k)

Ein Multiple-Choice-Test hat 4 Fragen mit je Trefferwahrscheinlichkeit 0,2 beim Raten. Berechne die Wahrscheinlichkeit für genau 4 richtige.

Bernoulli-Kette: n = 4, p = 0,2
P(X = 4) = (4 über 4) · 0,2⁴ · 0,8⁰
= 1 · 0,0016 · 1 ≈ 0,0016

Ergebnis: ≈ 0,2 %

Kumulierte Wahrscheinlichkeit P(X ≤ k)

X ist binomialverteilt mit n = 5 und p = 0,2. Berechne P(X ≤ 3).

P(X ≤ 3) = P(X = 0) + … + P(X = 3)
P(X = 0) = C(5;0) · 0,2⁰ · 0,8⁵ = 0,3277
P(X = 1) = C(5;1) · 0,2¹ · 0,8⁴ = 0,4096
P(X = 2) = C(5;2) · 0,2² · 0,8³ = 0,2048
P(X = 3) = C(5;3) · 0,2³ · 0,8² = 0,0512
Summe ≈ 0,9933

Ergebnis: P(X ≤ 3) ≈ 0,9933 (99,3 %)

Typische Fehler – so sieht es falsch aus, so richtig

Binomialkoeffizient vergessen

n = 5, p = 0,3: P(X = 2) = 0,3^2 · 0,7^3 = 0,031

n = 5, p = 0,3: P(X = 2) = (5 über 2) · 0,3^2 · 0,7^3 = 10 · 0,031 = 0,31

pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ ist nur ein Pfad – mit (n über k) multiplizieren.

„mindestens“ falsch übersetzt

P(mindestens 1 Treffer) = P(X = 1)

P(mindestens 1 Treffer) = 1 − P(X = 0)

„Mindestens 1“ = 1 − P(X = 0); „höchstens 2“ = P(X ≤ 2).

Wo brauchst du das?

Wie viele Ausschussteile? Wie oft Sechsen? Beruf: Qualitätskontrolle, Umfragen, Medizin.

Weiter lesen und ausprobieren – auf fremden Seiten

Serlo: Erklärungen und Aufgaben zu „Wahrscheinlichkeit“ (CC BY-SA 4.0 – nur verlinkt)
PhET-Simulation (University of Colorado Boulder): Galtonbrett: Zufall und Verteilung (CC BY-NC 4.0 – nur verlinkt)
Statistisches Bundesamt: Echte Zahlen für Diagramme und Mittelwerte (Datenlizenz Deutschland 2.0 – nur verlinkt)
Deutscher Wetterdienst, offene Daten: Wetterdaten je Station – für Mittelwert, Spannweite, Diagramm (GeoNutzV / Datenlizenz Deutschland – nur verlinkt)
Berliner Prüfungsaufgaben (ISQ, MSA und Abitur): Aufgaben vergangener Jahre – MSA, eBBR, Abitur (für Schulen freigegeben – nur verlinkt)

Zum Ausdrucken: Drucken-Befehl des Browsers – die Seite ist dafür gebaut. Üben geht am Handy über den Code deiner Klasse, nicht hier.