Daten vergleichen und Zufall untersuchen
Das lernst du
- Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.
- Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.
- Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.
- Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.
- Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.
- Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.
- Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.
- Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.
Merksätze
Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.
Der Mittelwert zeigt die Mitte, die Spannweite zeigt, wie weit die Werte auseinanderliegen.
Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.
Den Median verändert er kaum. Bei Ausreißern beschreibt der Median die Gruppe besser.
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.
Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.
Zum Beispiel 12 von 40 ergibt 12/40 = 3/10 = 0,3. So kann man verschieden große Gruppen vergleichen.
Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.
Jede Zeile und jede Spalte muss ihre Summe ergeben. Das ist die Kontrolle.
Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.
Bei vielen Versuchen wird sie stabil. Dann ist sie eine gute Schätzung für die Chance.
Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.
Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3. Wer alle günstigen Ergebnisse zählt, kennt die Chance.
Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.
Gefühle täuschen, Zählen nicht.
Selbst abfragen
Tippen dreht um, Wischen blättert.Leertaste dreht um, Pfeiltasten blättern.
So geht es – ein Beispiel je Aufgabenart
Weitsprung beim Sportfest, in cm. Team Nord: 323, 258, 276, 350, 278. Team Süd: 356, 268, 372, 263, 261. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe springt weiter?
- Team Nord geordnet: 258, 276, 278, 323, 350, Median 278
- Team Süd geordnet: 261, 263, 268, 356, 372, Median 268
- 278 ist mehr als 268.
Ergebnis: Team Nord (Median 278 gegen 268)
Weitsprung beim Sportfest, in cm. Team Nord: 327, 336, 329, 327, 331. Team Süd: 333, 283, 289, 379, 366. Berechne für beide Gruppen die Spannweite. Welche Gruppe hat gleichmäßigere Ergebnisse?
- Team Nord: 336 − 327 = 9
- Team Süd: 379 − 283 = 96
- Die kleinere Spannweite hat Team Nord.
Ergebnis: gleichmäßiger: Team Nord (Spannweite 9 gegen 96)
Taschengeld in der Woche, in €: 5, 46, 7, 3, 9. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
- 46 ist viel größer als alle anderen Werte.
- Mit ihm: 70 : 5 = 14
- Ohne ihn: 24 : 4 = 6
Ergebnis: Ausreißer 46, Mittelwert 14 statt 6
Lukas hat die Ergebnisse von 5 Runden Korbwurf notiert. Im Mittel waren es 11 Treffer. 4 Ergebnisse sind noch zu lesen: 5, 15, 14, 7. Welches Ergebnis fehlt?
- Summe aller Werte: 5 · 11 = 55
- Summe der bekannten: 5 + 15 + 14 + 7 = 41
- 55 − 41 = 14
Ergebnis: 14 Treffer
Wörter
- Mittelwert
- alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
- Median
- der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
- Spannweite
- vom kleinsten bis zum größten Wert
Typische Fehler – so sieht es falsch aus, so richtig
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 3 = 20
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 4 = 15
Alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Eine Gruppe vergleicht man über Kennwerte, nicht über ihren besten Wert.
5, 6, 5, 7, 42 → Mittelwert 13 beschreibt die Gruppe
5, 6, 5, 7, 42 → Median = 6 beschreibt die Gruppe besser
Liegt ein Wert weit weg von allen anderen, beschreibt der Median die Gruppe besser.
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → der fünfte ist 14
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → 5 · 14 = 70, 70 − 54 = 16
Erst Mittelwert mal Anzahl: Das ist die Summe. Dann die bekannten Werte abziehen.
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5
Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.
3 Sechsen in 10 Würfen → Chance 3 : 10 = 0,3
3 Sechsen in 10 Würfen → noch zu wenige; 100 Sechsen in 600 Würfen → 100 : 600 ≈ 0,17
Erst viele Versuche machen die relative Häufigkeit verlässlich.
Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36
Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36
Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.
Wo brauchst du das?
Sportergebnisse vergleichen, Umfragen in der Klasse auswerten, Spielregeln auf Fairness prüfen. Beruf: Marktforschung, Qualitätskontrolle in der Produktion, Wetter- und Verkehrsstatistik.
Weiter lesen und ausprobieren – auf fremden Seiten
- Serlo: Erklärungen und Aufgaben zu „Wahrscheinlichkeit“ (CC BY-SA 4.0 – nur verlinkt)
- PhET-Simulation (University of Colorado Boulder): Galtonbrett: Zufall und Verteilung (CC BY-NC 4.0 – nur verlinkt)
- Statistisches Bundesamt: Echte Zahlen für Diagramme und Mittelwerte (Datenlizenz Deutschland 2.0 – nur verlinkt)
- Deutscher Wetterdienst, offene Daten: Wetterdaten je Station – für Mittelwert, Spannweite, Diagramm (GeoNutzV / Datenlizenz Deutschland – nur verlinkt)
- IQB-Beispielaufgaben: Freigegebene VERA-Aufgaben mit Lösungen und Kompetenzstufen (für den Unterricht freigegeben – nur verlinkt)
Zum Ausdrucken: Drucken-Befehl des Browsers – die Seite ist dafür gebaut. Üben geht am Handy über den Code deiner Klasse, nicht hier.