Dreiecke und Vielecke: Winkel und besondere Linien
Das lernst du
- Ich berechne Winkel an geschnittenen Parallelen mit Stufen- und Wechselwinkeln.
- Ich berechne die Innenwinkelsumme von Vielecken durch Zerlegen in Dreiecke.
- Ich berechne Innen- und Außenwinkel regelmäßiger Vielecke.
- Ich zeichne Höhen in Dreiecken und berechne den Flächeninhalt mit jeder Höhe.
- Ich zeichne Seitenhalbierende und finde den Schwerpunkt.
- Ich nutze den Satz des Thales.
- Ich berechne Winkel in zusammengesetzten Figuren und begründe jeden Schritt.
- Ich entscheide, ob Angaben ein Dreieck eindeutig festlegen.
Merksätze
An geschnittenen Parallelen sind Stufenwinkel und Wechselwinkel gleich groß.
Nachbarwinkel ergänzen sich zu 180°. Aus 65° folgt also 65° oder 115°.
Von einer Ecke aus zerfällt ein Vieleck mit n Ecken in n − 2 Dreiecke.
Deshalb ist seine Winkelsumme (n − 2) · 180°. Ein Fünfeck hat 3 · 180° = 540°.
Im regelmäßigen Vieleck sind alle Innenwinkel gleich groß.
Ein Außenwinkel ist 360° durch die Eckenzahl, im Sechseck 60°. Der Innenwinkel ist dann 180° − 60° = 120°.
Die Höhe führt von einer Ecke senkrecht zur Gegenseite.
Sie kann auch außen liegen. Jede Seite kann Grundseite sein: A = g · h : 2.
Eine Seitenhalbierende verbindet eine Ecke mit der Mitte der gegenüberliegenden Seite.
Alle drei schneiden sich im Schwerpunkt S. S teilt jede Seitenhalbierende im Verhältnis 2 : 1, von der Ecke aus gezählt.
Liegt C auf dem Halbkreis über AB, ist der Winkel bei C ein rechter.
Der Mittelpunkt ist die Mitte von AB. Umgekehrt gilt das auch.
Jeder gesuchte Winkel bekommt einen Grund.
Nebenwinkel, Stufenwinkel, Winkelsumme oder Basiswinkel stehen mit im Heft. Gemessen wird nicht.
SSS, SWS, WSW und SsW legen ein Dreieck eindeutig fest.
Bei SsW liegt der Winkel der längeren Seite gegenüber. Drei Winkel legen nur die Form fest.
Selbst abfragen
Tippen dreht um, Wischen blättert.Leertaste dreht um, Pfeiltasten blättern.
So geht es – ein Beispiel je Aufgabenart
g ∥ h. Gegeben ist α = 35°. Bestimme β und nenne die Winkelbeziehung, die du benutzt.
- α und β liegen zwischen g und h auf verschiedenen Seiten von s: Wechselwinkel.
- Wechselwinkel an Parallelen sind gleich groß: β = 35°
Ergebnis: β = 35°
α misst 40°. Welcher Name passt zu α und β, und wie groß ist β?
- α und β liegen an g und h an derselben Stelle.
- Stufenwinkel an Parallelen sind gleich groß: β = 40°
Ergebnis: Stufenwinkel, β = 40°
Zerlege ein Fünfeck von einer Ecke aus in Dreiecke. Wie groß ist die Summe seiner Innenwinkel?
- Von einer Ecke aus entstehen 5 − 2 = 3 Dreiecke.
- Jedes Dreieck hat 180°: 3 · 180° = 540°
Ergebnis: 540°
Zeichne in ein Viereck alle Diagonalen, die von einer Ecke ausgehen. Wie viele sind es, und wie viele Dreiecke entstehen?
- Zu sich selbst und zu den zwei Nachbarecken geht keine Diagonale: 4 − 3 = 1
- 1 Diagonalen teilen in 2 Dreiecke.
Ergebnis: 1 Diagonalen, 2 Dreiecke
Wörter
- Gleichung
- zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Typische Fehler – so sieht es falsch aus, so richtig
g ∥ h; α = 70° und β liegen zwischen g und h auf derselben Seite → β = 70°
Nachbarwinkel ergänzen sich: β = 180° − 70° = 110°
Nur Stufen- und Wechselwinkel sind gleich groß. Liegen beide Winkel zwischen den Parallelen auf derselben Seite, ergänzen sie sich zu 180°.
Sechseck: 6 · 180° = 1080°
Sechseck: 4 Dreiecke → 4 · 180° = 720°
Von einer Ecke aus entstehen nur n − 2 Dreiecke. Zeichne die Diagonalen ein und zähle die Dreiecke.
Regelmäßiges Zehneck: Innenwinkel = 360° : 10 = 36°
Außenwinkel = 360° : 10 = 36° → Innenwinkel = 180° − 36° = 144°
Der Außenwinkel ist die Drehung an der Ecke: 360° durch die Eckenzahl. Der Innenwinkel ist 180° minus Außenwinkel.
Grundseite 4 cm, schräge Seite 6 cm, Höhe 5 cm → 4 · 6 : 2 = 12 cm²
Grundseite 4 cm, Höhe 5 cm → 4 · 5 : 2 = 10 cm²
Die Höhe steht senkrecht auf der Grundseite oder ihrer Verlängerung. Eine schräge Seite ist immer länger.
Seitenhalbierende 12 cm → S liegt 6 cm von der Ecke entfernt
Seitenhalbierende 12 cm → 2 : 1 → S liegt 8 cm von der Ecke entfernt
S teilt die Seitenhalbierende 2 : 1. Von der Ecke bis S sind es zwei Drittel, bis zur Seitenmitte ein Drittel.
C auf dem Halbkreis über AB, α = 30° → α ist der rechte Winkel
C auf dem Halbkreis → γ = 90°, β = 180° − 90° − 30° = 60°
Der rechte Winkel liegt bei C auf dem Halbkreis, nicht bei A oder B auf dem Durchmesser.
Außenwinkel bei C 110°, α = 50° → β sieht aus wie 70°, also β = 70°
γ = 180° − 110° = 70° (Nebenwinkel) → β = 180° − 50° − 70° = 60° (Winkelsumme)
Nenne zu jedem Schritt den Satz: Nebenwinkel, Stufenwinkel, Winkelsumme. Das Bild ist nur eine Skizze.
a = 5 cm, c = 8 cm, α = 30° → SsW, eindeutig
α liegt der kürzeren Seite a gegenüber → zwei Dreiecke möglich, nicht eindeutig
Liegt der Winkel der kürzeren Seite gegenüber, passen oft zwei verschiedene Dreiecke. Nur die längere Seite macht es eindeutig.
Wo brauchst du das?
Fliesenmuster, Straßenkreuzungen, das Pappdreieck auf der Bleistiftspitze. Beruf: Tischlerei und Dachdeckerei (Gehrung, Sparren), Vermessung, Metallbau.
Weiter lesen und ausprobieren – auf fremden Seiten
- IQB-Beispielaufgaben: Freigegebene VERA-Aufgaben mit Lösungen und Kompetenzstufen (für den Unterricht freigegeben – nur verlinkt)
Zum Ausdrucken: Drucken-Befehl des Browsers – die Seite ist dafür gebaut. Üben geht am Handy über den Code deiner Klasse, nicht hier.