Mathematik · Jahrgang 12 · Basiswissen

e-Funktion und Logarithmus

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Das lernst du

Ich kenne die e-Funktion und ihre besondere Ableitung.
Ich leite e-Funktionen mit Kettenregel ab.
Ich leite Produkte aus Polynom und e-Funktion ab.
Ich löse Exponentialgleichungen mit dem natürlichen Logarithmus.
Ich berechne Halbwerts- und Verdopplungszeiten.
Ich modelliere Wachstum und Zerfall mit e-Funktionen.
Ich untersuche Graphen von e-Funktionen (Extrema, Asymptoten).
Ich integriere e-Funktionen (Vertiefung).
Ich bereite die Klausur vor.

Merksätze

e-Funktion

f(x) = eˣ ist die einzige Funktion, die ihre eigene Ableitung ist. e ≈ 2,718.

e-Funktion ableiten

(e^(kx))' = k · e^(kx) – die innere Ableitung k kommt als Faktor davor.

Produkt mit e-Funktion

Produktregel, dann e^(kx) ausklammern – so sieht man die Nullstellen.

Exponentialgleichung mit ln

ln ist die Umkehrung von e: e^(kx) = c → kx = ln c.

Halbwertszeit

Halbwertszeit T = ln 2 : k (Zerfall), Verdopplungszeit ebenso ln 2 : k (Wachstum).

Modellieren

N(t) = N₀ · e^(kt): N₀ Startwert, k > 0 Wachstum, k < 0 Zerfall.

Asymptote

e^(kx) wird nie 0 – die x-Achse ist Asymptote; Nullstellen liefert nur der Polynom-Faktor.

e-Funktion integrieren

∫ e^(kx) dx = 1/k · e^(kx) + C – die Umkehrung der Kettenregel: durch die innere Ableitung teilen.

Selbst abfragen

Karte 1 von 8 · Vorderseite

e-Funktion und Logarithmuse-FunktionWas weißt du dazu? Erst selbst sagen, dann umdrehen.

Tippen dreht um, Wischen blättert.Leertaste dreht um, Pfeiltasten blättern.

Eselsbrücken

e-Funktion: die einzige Funktion, die ihre eigene Ableitung ist – (eˣ)' = eˣ – Bei e^(kx): Kettenregel → k · e^(kx).

So geht es – ein Beispiel je Aufgabenart

e-Funktion ableiten

Bestimme f'(x) für f(x) = e^−3x

Kettenregel: innere Ableitung −3
f'(x) = −3 · e^−3x

Ergebnis: f'(x) = −3e^−3x

Eigenschaften der e-Funktion prüfen

f(x) = eˣ: richtig oder falsch? Begründe.
(1) Der Graph hat eine Nullstelle.
(2) f'(x) = x · e^{x − 1}
(3) Der Graph schneidet die y-Achse bei 1.

(1) falsch: eˣ ist immer positiv, also keine Nullstelle.
(2) falsch: Die Potenzregel gilt hier nicht. Die Ableitung von eˣ ist eˣ.
(3) richtig: e⁰ = 1.

Ergebnis: (1) falsch, (2) falsch, (3) richtig

Produkt- und Kettenregel

Bestimme mit der Kettenregel f'(x) für f(x) = (2x + 4)²

äußere Funktion u², innere u = 2x + 4
f'(x) = 2 · (2x + 4) · 2 = 4 · (2x + 4)

Ergebnis: f'(x) = 4(2x + 4)

Produktregel mit der e-Funktion: Fehler finden

Mia leitet f(x) = (x + 4) · eˣ ab und schreibt f'(x) = 1 · eˣ. Finde den Fehler und leite richtig ab.

Fehler: Mia hat u' · v' gerechnet. Die Produktregel verlangt u' · v + u · v'.
u = x + 4, u' = 1; v = eˣ, v' = eˣ.
f'(x) = 1 · eˣ + (x + 4) · eˣ
Ausklammern: f'(x) = (x + 5) · eˣ

Ergebnis: f'(x) = (x + 5) · eˣ

Wörter

Funktion: eine Regel, die aus einer Zahl eine andere macht
Ableitung: wie schnell sich etwas an einer Stelle ändert

Typische Fehler – so sieht es falsch aus, so richtig

e-Funktion wie Potenz abgeleitet

f(x) = e^(3x), f'(x) = 3x · e^(3x − 1)

f(x) = e^(3x), f'(x) = 3 · e^(3x)  (die e-Funktion bleibt, k kommt davor)

Nicht x · e^(x−1)! Die e-Funktion bleibt, nur der Faktor k kommt davor.

ln falsch angewandt

e^(2x) = 10, also 2x = e^10

e^(2x) = 10, also 2x = ln 10, x = ln 10 : 2 ≈ 1,15

ln(e^(kx)) = kx – nicht e^(kx) = ln c.

Wo brauchst du das?

Radioaktiver Zerfall, Kaffee kühlt ab, Zinseszins. Beruf: Medizin (Medikamentenabbau), Finanzen, Ökologie.

Weiter lesen und ausprobieren – auf fremden Seiten

Serlo: Erklärungen und Aufgaben zu „Funktionen“ (CC BY-SA 4.0 – nur verlinkt)
GeoGebra: Graph mit Reglern zeichnen (GeoGebra-Lizenz (Fassung November 2025), kommerziell nur mit Sonderlizenz – nur verlinkt)
Berliner Prüfungsaufgaben (ISQ, MSA und Abitur): Aufgaben vergangener Jahre – MSA, eBBR, Abitur (für Schulen freigegeben – nur verlinkt)

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