Funktionen: Potenz-, ganzrationale und Exponentialfunktionen
Das lernst du
- Ich wiederhole lineare und quadratische Funktionen (Diagnose).
- Ich beschreibe Potenzfunktionen: Symmetrie und Verhalten für x → ±∞.
- Ich verschiebe und strecke Graphen und lese die Transformation aus dem Term ab.
- Ich bestimme Nullstellen ganzrationaler Funktionen durch Ausklammern und pq-Formel.
- Ich erkenne den Grad und das Globalverhalten am Leitterm.
- Ich beschreibe Exponentialfunktionen und ihr Wachstum.
- Ich modelliere Sachsituationen mit passenden Funktionstypen.
- Ich bereite die Klausur vor.
Merksätze
Lineare Funktion: konstante Steigung.
Quadratische: Parabel mit Scheitelpunkt. Beide sind Spezialfälle ganzrationaler Funktionen.
Gerader Exponent: achsensymmetrisch zur y-Achse.
Ungerader Exponent: punktsymmetrisch zum Ursprung. Das Vorzeichen von a entscheidet über die Richtung.
f(x − d) verschiebt nach rechts, f(x) + e nach oben, a · f(x) streckt in y-Richtung; negatives a spiegelt an der x-Achse.
Kein Absolutglied? x ausklammern.
Dann bleibt meist eine quadratische Gleichung für die pq-Formel.
Für große |x| bestimmt der Summand mit dem höchsten Exponenten den Verlauf.
f(x) = c · aˣ: gleiche Schritte in x → gleicher Faktor in y. a > 1 Wachstum, 0 < a < 1 Zerfall.
Gleiche Schritte, gleicher Zuwachs: linear.
Gleiche Schritte, gleicher Faktor: exponentiell. Ein Scheitel: quadratisch – erst die Daten ansehen, dann den Typ wählen.
Selbst abfragen
Tippen dreht um, Wischen blättert.Leertaste dreht um, Pfeiltasten blättern.
So geht es – ein Beispiel je Aufgabenart
Löse: x² + 11x + 30 = 0
- Satz von Vieta: x₁ + x₂ = −11, x₁ · x₂ = 30
- Passt: −6 und −5
Ergebnis: x₁ = −6, x₂ = −5
Der Graph einer linearen Funktion schneidet die y-Achse bei −4. Gehst du eine Einheit nach rechts, geht der Graph 1 nach oben. Gib die Funktionsgleichung an.
- y-Achsenabschnitt: b = −4
- Steigung: 1 : 1 = 1 (Steigungsdreieck)
- f(x) = x − 4
Ergebnis: f(x) = x − 4
f(x) = −3x2. Bestimme Symmetrie und Verhalten für x → ±∞.
- Exponent 2 ist gerade → achsensymmetrisch zur y-Achse
- x → +∞: f(x) → −∞ (Vorzeichen von a = −3)
- x → −∞: f(x) → −∞
Ergebnis: achsensymmetrisch zur y-Achse; x→+∞: −∞, x→−∞: −∞
Ordne die Graphen A, B und C zu: f(x) = −x², g(x) = x³, h(x) = −x³. Begründe mit Symmetrie und Verlauf.
- f: gerader Exponent, achsensymmetrisch, beide Enden nach unten – Graph A.
- g: ungerader Exponent, punktsymmetrisch, von links unten nach rechts oben – Graph B.
- h: ungerader Exponent, punktsymmetrisch, von links oben nach rechts unten – Graph C.
Ergebnis: f: A, g: B, h: C
Wörter
- Steigung
- wie stark es nach oben geht, pro Schritt nach rechts
- Scheitelpunkt
- der höchste oder tiefste Punkt der Parabel
- Funktion
- eine Regel, die aus einer Zahl eine andere macht
Typische Fehler – so sieht es falsch aus, so richtig
f(x) = −x²: negatives a → punktsymmetrisch
f(x) = −x²: gerader Exponent → achsensymmetrisch (das Minus spiegelt nur)
Die Symmetrie hängt vom Exponenten ab, nicht vom Vorzeichen von a.
f(x) = (x − 3)²: Scheitel bei x = −3
f(x) = (x − 3)²: f(3) = 0 → Scheitel bei x = 3, also 3 nach rechts
(x − 3) verschiebt nach rechts – das Minus täuscht.
x³ = 4x | : x → x² = 4
x³ − 4x = 0, x(x² − 4) = 0 → x = 0, x = 2, x = −2
x ausklammern statt teilen, sonst fehlt die Nullstelle x = 0.
Wo brauchst du das?
Jede App-Kurve: Schritte, Akku, Preisverlauf. Beruf: Alle MINT-Berufe, Wirtschaft, Medizin.
Weiter lesen und ausprobieren – auf fremden Seiten
- Serlo: Erklärungen und Aufgaben zu „Funktionen“ (CC BY-SA 4.0 – nur verlinkt)
- GeoGebra: Graph mit Reglern zeichnen (GeoGebra-Lizenz (Fassung November 2025), kommerziell nur mit Sonderlizenz – nur verlinkt)
- Berliner Prüfungsaufgaben (ISQ, MSA und Abitur): Aufgaben vergangener Jahre – MSA, eBBR, Abitur (für Schulen freigegeben – nur verlinkt)
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