Geraden und Ebenen
Das lernst du
- Ich stelle Geradengleichungen in Parameterform auf.
- Ich prüfe, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt (Punktprobe).
- Ich untersuche die Lage zweier Geraden (parallel, schneidend, windschief).
- Ich stelle Ebenen in Parameter- und Koordinatenform auf.
- Ich bestimme Normalenvektoren und wandle Ebenenformen um.
- Ich berechne Schnittpunkte von Geraden und Ebenen.
- Ich untersuche die Lage von Ebene und Ebene.
- Ich berechne Abstände Punkt–Ebene.
- Ich berechne Winkel zwischen Geraden und Ebenen.
- Ich löse Anwendungsaufgaben (Flugbahnen, Dächer, Schatten).
- Ich bereite die Klausur vor.
Merksätze
g: x = A + t · u – Stützpunkt A, Richtungsvektor u, Parameter t.
Punkt gleichsetzen, aus einer Koordinate t bestimmen, mit den anderen prüfen.
Alle drei müssen passen.
Richtungsvektoren kollinear?
Ja: parallel oder identisch. Nein: Schnittpunkt suchen; gibt es keinen, sind sie windschief.
n₁x₁ + n₂x₂ + n₃x₃ = d – der Normalenvektor n steht senkrecht auf der Ebene, d liefert ein Punkt der Ebene.
Senkrecht zu beiden Spannvektoren: Kreuzprodukt oder LGS aus zwei Skalarprodukten = 0.
Geradenkoordinaten in die Koordinatengleichung einsetzen, t berechnen, in die Gerade zurück.
Normalenvektoren kollinear: parallel oder identisch. Sonst Schnittgerade.
Hessesche Normalform: |n · P − d| : |n|.
Gerade–Gerade: cos über Richtungsvektoren.
Gerade–Ebene: sin über Richtungs- und Normalenvektor.
Skizze, Koordinatensystem festlegen (Einheit!), Punkte aus dem Text, dann Gerade oder Ebene aufstellen.
Am Ende zurück in die Situation übersetzen.
Selbst abfragen
Tippen dreht um, Wischen blättert.Leertaste dreht um, Pfeiltasten blättern.
So geht es – ein Beispiel je Aufgabenart
Bestimme eine Gleichung der Geraden durch A(−3 | −3 | 5) und B(−5 | −7 | 11) in Parameterform.
- Richtungsvektor: AB = OB − OA = (−2 | −4 | 6)
- Stützvektor: OA = (−3 | −3 | 5)
- g: x = (−3 | −3 | 5) + t · (−2 | −4 | 6)
Ergebnis: g: x = (−3 | −3 | 5) + t · (−2 | −4 | 6)
g soll durch A(−3 | 4 | 2) und B(1 | 0 | 0) gehen. Mia schreibt g: x⃗ = (−3 | 4 | 2) + t · (4 | −4 | −2). Stimmt das?
- Richtung von A nach B: B − A = (4 | −4 | −2).
- Probe mit t = 1: (−3 | 4 | 2) + (4 | −4 | −2) = (1 | 0 | 0) – das ist B.
- Mia hat recht.
Ergebnis: richtig
g: x = (−3 | −3 | 3) + t · (−1 | −2 | −1). Prüfe, ob P(−2 | −1 | 4) auf g liegt.
- Gleichsetzen: −2 = −3 + t · (−1), −1 = −3 + t · (−2), 4 = 3 + t · (−1)
- Alle drei Gleichungen liefern t = −1 → P liegt auf g
Ergebnis: ja, t = −1
Ein Flugzeug fliegt geradlinig, nach t Minuten ist es bei (−5 | −5 | 6) + t · (−1 | −1 | 0) (in km). Fliegt es durch T(−9 | −9 | 6)?
- Punktprobe: drei Gleichungen, ein gemeinsames t.
- x₁: −5 − 1t = −9, also t = 4.
- x₂: −5 − 1t = −9, also t = 4.
- x₃: 6 = 6, passt für jedes t.
- Alle Gleichungen liefern t = 4: T liegt auf der Bahn.
Ergebnis: ja, nach 4 Minuten
Typische Fehler – so sieht es falsch aus, so richtig
P(1; 2; 3) auf g: x = 1 + t stimmt für t = 0, also liegt P auf g
P(1; 2; 3): t = 0 aus Zeile 1; Zeile 2: 2 = 0 + 2t stimmt nicht → P liegt nicht auf g
t aus einer Zeile, dann in allen anderen prüfen.
E: 2x + y − z = 0 (d weggelassen)
P(1; 1; 1) einsetzen: 2 + 1 − 1 = 2, also E: 2x + y − z = 2
Punkt der Ebene einsetzen, um d zu bestimmen.
t = 2 → Schnittpunkt S(2; 2; 2)
t = 2 in g: S = (1 + 2 · 2; 3 − 2; 2 · 2) = (5; 1; 4)
t ist nur der Parameter – der Schnittpunkt kommt aus der Geradengleichung.
Wo brauchst du das?
Schatten, Sichtlinien, Flugrouten. Beruf: 3D-Design, Architektur, Vermessung.
Weiter lesen und ausprobieren – auf fremden Seiten
- Serlo: Erklärungen und Aufgaben zu „Vektoren“ (CC BY-SA 4.0 – nur verlinkt)
- GeoGebra: Punkte, Geraden und Ebenen im Raum (GeoGebra-Lizenz (Fassung November 2025), kommerziell nur mit Sonderlizenz – nur verlinkt)
- Berliner Prüfungsaufgaben (ISQ, MSA und Abitur): Aufgaben vergangener Jahre – MSA, eBBR, Abitur (für Schulen freigegeben – nur verlinkt)
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