Lineare Gleichungssysteme
Das lernst du
- Ich lese die Lösung eines Gleichungssystems als Schnittpunkt zweier Geraden ab.
- Ich löse grafisch.
- Ich löse mit dem Gleichsetzungsverfahren.
- Ich löse mit dem Einsetzungsverfahren.
- Ich löse mit dem Additionsverfahren.
- Ich wähle das passende Verfahren.
- Ich erkenne Systeme ohne oder mit unendlich vielen Lösungen.
- Ich löse Sachaufgaben (Zahlenrätsel, Preise, Mischungen).
- Ich wiederhole vertiefend.
Merksätze
Zwei Gleichungen, zwei Unbekannte.
Die Lösung (x | y) erfüllt beide – grafisch: der Schnittpunkt zweier Geraden.
Beide Gleichungen nach y auflösen, Geraden zeichnen, Schnittpunkt ablesen.
Ungenau bei krummen Zahlen – deshalb rechnen.
Beide Gleichungen nach derselben Variablen auflösen und gleichsetzen.
Lösen, dann zurück einsetzen.
Eine Gleichung nach einer Variablen auflösen und diesen Term in die andere einsetzen.
Gleichungen so multiplizieren, dass eine Variable beim Addieren wegfällt.
Dann lösen, zurück einsetzen.
Beide nach y aufgelöst → gleichsetzen.
Eine aufgelöst → einsetzen. Gleiche Koeffizienten → addieren.
Falsche Aussage (0 = 5): parallele Geraden, keine Lösung.
Wahre Aussage (0 = 0): gleiche Gerade, unendlich viele.
Zwei Unbekannte benennen, zwei Bedingungen aus dem Text → zwei Gleichungen.
Lösen, Probe am Text, Antwortsatz.
Selbst abfragen
Tippen dreht um, Wischen blättert.Leertaste dreht um, Pfeiltasten blättern.
Eselsbrücken
- Was du links tust, tu auch rechts – die Waage bleibt im Gleichgewicht
- Ziel: x allein – erst Plus/Minus weg, dann Mal/Geteilt
So geht es – ein Beispiel je Aufgabenart
Das Bild zeigt die Geraden zu I: y = 3x − 3 und II: y = 2x − 2. Lies den Schnittpunkt ab und prüfe ihn durch Einsetzen in beide Gleichungen.
- Ablesen: Beide Geraden gehen durch (1 | 0).
- Probe in I: 3 · 1 − 3 = 0
- Probe in II: 2 · 1 − 2 = 0
- Lösung: x = 1, y = 0
Ergebnis: S(1 | 0)
Löse grafisch: I: y = −x − 4 und II: y = x. Zeichne beide Geraden und lies den Schnittpunkt ab.
- I: Start (0 | −4), Steigung −1
- II: Start (0 | 0), Steigung 1
- Schnittpunkt ablesen: S(−2 | −2)
- Probe in II: · (−2) = −2 ✓
Ergebnis: S(−2 | −2), also x = −2 und y = −2
Löse grafisch: I: y = 3x − 4 und II: y = 2x − 3. Zeichne beide Geraden und setze ihren Schnittpunkt S.
- I: Start bei (0 | −4) auf der y-Achse, dann 1 nach rechts, 3 nach oben: (1 | −1).
- II: Start bei (0 | −3), dann 1 nach rechts, 2 nach oben: (1 | −1).
- Die Geraden kreuzen sich in S(1 | −1).
- Probe in I: 3 · 1 − 4 = −1, in II: 2 · 1 − 3 = −1.
Ergebnis: S(1 | −1)
Löse mit dem Gleichsetzungsverfahren: I: y = 3x + 5, II: y = 4x + 8
- Beide Gleichungen sind nach y aufgelöst → gleichsetzen: 3x + 5 = 4x + 8
- −x = 3
- x = −3
- x in I: y = 3· (−3) + 5 = −4
Ergebnis: x = −3, y = −4
Wörter
- Gleichung
- zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Typische Fehler – so sieht es falsch aus, so richtig
x = 4 → fertig
x = 4, eingesetzt: y = 2 · 4 − 1 = 7. L = {(4 | 7)}Nach x immer y berechnen und Probe machen.
Wo brauchst du das?
Zwei Tarife – ab wann lohnt der andere? Beruf: Logistik (Mischungen), Elektrotechnik, Wirtschaft.
Weiter lesen und ausprobieren – auf fremden Seiten
- Serlo: Erklärungen und Aufgaben zu „Lineare Funktionen“ (CC BY-SA 4.0 – nur verlinkt)
- PhET-Simulation (University of Colorado Boulder): Geraden mit Steigung und Achsenabschnitt (CC BY-NC 4.0 – nur verlinkt)
- GeoGebra: Funktionen mit Reglern (GeoGebra-Lizenz (Fassung November 2025), kommerziell nur mit Sonderlizenz – nur verlinkt)
- Serlo: Erklärungen und Aufgaben zu „Terme und Gleichungen“ (CC BY-SA 4.0 – nur verlinkt)
- IQB-Beispielaufgaben: Freigegebene VERA-Aufgaben mit Lösungen und Kompetenzstufen (für den Unterricht freigegeben – nur verlinkt)
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