Integralrechnung
Das lernst du
- Ich rekonstruiere Bestände aus Änderungsraten (Flächen unter Graphen).
- Ich nähere Flächen mit Ober- und Untersummen an.
- Ich bilde Stammfunktionen ganzrationaler Funktionen.
- Ich berechne bestimmte Integrale mit dem Hauptsatz.
- Ich berechne Flächen zwischen Graph und x-Achse (Nullstellen beachten).
- Ich berechne Flächen zwischen zwei Graphen.
- Ich deute Integrale in Sachzusammenhängen (Gesamtmenge, Weg).
- Ich berechne Mittelwerte und Rotationsvolumen (Vertiefung).
- Ich bereite die Klausur vor.
Merksätze
Aus der Änderungsrate zurück zum Bestand: Fläche unter dem Graphen der Rate = Zunahme des Bestands.
Rechtecke unter und über dem Graphen – je feiner, desto näher am Integral.
F' = f. Umkehrung der Potenzregel: xⁿ → xⁿ⁺¹/(n + 1). Die Konstante C ist frei.
Das bestimmte Integral ist eine Differenz zweier Stammfunktionswerte: ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a).
Obere Grenze einsetzen, untere abziehen.
Integrale sind orientiert: Flächen unter der x-Achse zählen negativ.
Deshalb an Nullstellen aufteilen und Beträge addieren.
Schnittstellen bestimmen, dann ∫ (oben − unten) dx.
Rate mal Zeit = Menge: ∫ v(t) dt ist der zurückgelegte Weg.
Mittelwert von f auf [a; b]: 1/(b − a) · ∫ f(x) dx.
Rotationsvolumen um die x-Achse: V = π · ∫ (f(x))² dx.
Selbst abfragen
Tippen dreht um, Wischen blättert.Leertaste dreht um, Pfeiltasten blättern.
Eselsbrücken
- Umkehrung der Potenzregel: „Exponent plus eins, dann dadurch teilen“ – ∫xⁿ = xⁿ⁺¹/(n+1) – Und + C nicht vergessen bei unbestimmten Integralen.
So geht es – ein Beispiel je Aufgabenart
In ein Becken fließt Wasser mit der Rate r(t) = 3t − t² (in Litern je Minute), 3 Minuten lang. Berechne, wie viel insgesamt zusammengekommen ist.
- Gesamtmenge = Fläche unter der Ratenkurve = ∫₀3(3t − t²) dt
- Stammfunktion: 1,5t² − t³/3
- = 13,5 − 9 = 4,5
- Die Einheiten kürzen sich zur Menge: Rate mal Zeit.
Ergebnis: 4,5 Liter
Der Zufluss in ein Becken steigt eine Minute lang gleichmäßig auf 2 Liter pro Minute. Er bleibt bis Minute 5 so und fällt bis Minute 8 auf 0 (Graph). Wie viel Wasser fließt hinein?
- Menge = Fläche unter dem Graphen.
- Dreieck: 1 · 2 : 2 = 1
- Rechteck: 4 · 2 = 8
- Dreieck: 3 · 2 : 2 = 3
- Zusammen: 1 + 8 + 3 = 12, also 12 Liter.
Ergebnis: 12 Liter
Nähere die Fläche unter f(x) = x² auf [0; 2] mit 4 gleich breiten Streifen an. Berechne Unter- und Obersumme.
- Streifenbreite: 2 : 4 = 0,5.
- Untersumme: Höhe am linken Rand, Summe der Höhen 3,5, mal 0,5 ergibt 1,75.
- Obersumme: Höhe am rechten Rand, Summe der Höhen 7,5, mal 0,5 ergibt 3,75.
- Der Flächeninhalt liegt zwischen 1,75 und 3,75.
Ergebnis: U = 1,75, O = 3,75
Berechne ∫03 (3x2 + 4) dx
- F(x) = x3 + 4x
- F(3) − F(0) = 39 − (0) = 39
Ergebnis: 39
Typische Fehler – so sieht es falsch aus, so richtig
∫ x^3 dx = 3x^2
∫ x^3 dx = x^4 / 4 + C (Exponent hoch, durch den neuen Exponenten)
Exponent um 1 erhöhen und durch den neuen Exponenten teilen.
∫ von 1 bis 3: 2x dx = F(3) = 9
∫ von 1 bis 3: 2x dx = F(3) − F(1) = 9 − 1 = 8
Immer obere Grenze minus untere Grenze.
Fläche von x^3 zwischen −1 und 1: ∫ = 0, also Fläche 0
Fläche von x^3 zwischen −1 und 1 = 2 · ∫ von 0 bis 1 = 2 · 1/4 = 0,5
An Nullstellen aufteilen; unterhalb der x-Achse Betrag nehmen.
Wo brauchst du das?
Aus Geschwindigkeit die Strecke, Fläche unter der Kurve. Beruf: Physik, Bauwesen (Volumen), Wirtschaft.
Weiter lesen und ausprobieren – auf fremden Seiten
- Serlo: Erklärungen und Aufgaben zu „Funktionen“ (CC BY-SA 4.0 – nur verlinkt)
- GeoGebra: Graph mit Reglern zeichnen (GeoGebra-Lizenz (Fassung November 2025), kommerziell nur mit Sonderlizenz – nur verlinkt)
- Berliner Prüfungsaufgaben (ISQ, MSA und Abitur): Aufgaben vergangener Jahre – MSA, eBBR, Abitur (für Schulen freigegeben – nur verlinkt)
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