Volumen und Oberfläche zusammengesetzter Körper
Das lernst du
- Ich zerlege zusammengesetzte Körper in Quader und Prismen und berechne das Volumen.
- Ich berechne das Volumen von Körpern mit Aussparungen.
- Ich berechne die Oberfläche zusammengesetzter Körper.
- Ich berechne Prismen mit Trapez- und Dreiecksgrundfläche aus dem Alltag.
- Ich berechne Füllmengen und Füllzeiten.
- Ich berechne die Masse eines Körpers mit der Dichte.
- Ich untersuche, wie sich Volumen und Oberfläche ändern, wenn die Kanten wachsen.
- Ich vergleiche Verpackungen nach Volumen und Materialverbrauch.
Merksätze
Einen zusammengesetzten Körper zerlegt man in Quader und Prismen und addiert ihre Volumen.
Beispiel: 6 · 4 · 2 + 3 · 4 · 3 = 48 + 36 = 84 cm³.
Fehlt ein Stück, rechnet man den vollen Quader und zieht das Stück ab.
Beispiel: 10 · 6 · 4 − 2 · 2 · 4 = 240 − 16 = 224 cm³.
Addiere die Oberflächen der Teilkörper und ziehe die Berührfläche zweimal ab.
Sie ist bei beiden Teilen verschwunden. Beispiel: 184 + 24 − 2 · 4 = 200 cm².
Bei jedem Prisma gilt: Grundfläche mal Höhe.
Die Grundfläche ist der Querschnitt, sie steht oft vorne und nicht unten. Graben: (2 + 4) : 2 · 1 = 3 m², mal 10 m Länge ergibt 30 m³.
Die Füllzeit ist das Volumen geteilt durch den Zufluss je Minute.
Vorher umrechnen: 1 m³ = 1000 l und 1 dm³ = 1 l. Beispiel: 2000 l bei 40 l je Minute dauern 50 Minuten.
Die Masse ist Dichte mal Volumen.
Beton hat etwa 2,4 g/cm³, ein Stein mit 1000 cm³ wiegt also 2400 g. In g/cm³ und t/m³ steht dieselbe Zahl.
Doppelte Kante heißt vierfache Oberfläche und achtfaches Volumen.
Die Fläche wächst in zwei Richtungen, das Volumen in drei. Dreifache Kante ergibt 9 und 27.
Gleiches Volumen heißt nicht gleiche Oberfläche.
Je würfelähnlicher ein Quader ist, desto weniger Material braucht er. Bei 1000 cm³ braucht der Würfel 600 cm², der Quader 20 · 10 · 5 braucht 700 cm².
Selbst abfragen
Tippen dreht um, Wischen blättert.Leertaste dreht um, Pfeiltasten blättern.
So geht es – ein Beispiel je Aufgabenart
Der Winkelstein besteht aus zwei Quadern: unten 12 cm · 7 cm · 3 cm, oben 5 cm · 7 cm · 4 cm. Berechne sein Volumen.
- Unterer Quader: 12 · 7 · 3 = 252
- Oberer Quader: 5 · 7 · 4 = 140
- V = 252 + 140 = 392, also 392 cm³.
Ergebnis: 392 cm³
Wie viel Luft ist in dem Gartenhaus im Bild? Zerlege in einen Quader und ein Prisma mit dreieckiger Grundfläche.
- Quader: 2 · 8 · 4 = 64
- Dach: Grundfläche 2 · 2 : 2 = 2, Volumen 2 · 8 = 16
- V = 64 + 16 = 80, also 80 m³.
Ergebnis: 80 m³
Aus einem Quader (12 cm · 7 cm · 6 cm) wird an einer Ecke ein Stück herausgeschnitten, 5 cm breit und 3 cm hoch, durch die ganze Tiefe. Berechne das Volumen des Reststücks.
- Ergänzen zum großen Quader: 12 · 7 · 6 = 504
- Das fehlende Stück: 5 · 7 · 3 = 105
- V = 504 − 105 = 399
Ergebnis: 399 cm³
Ein Blumenkasten ist außen 40 cm lang, 40 cm breit und 30 cm hoch, oben offen. Wände und Boden sind 4 cm dick. Wie viele Liter Erde passen hinein?
- Innen: 40 − 2 · 4 = 32, 40 − 2 · 4 = 32, 30 − 4 = 26
- Innenvolumen: 32 · 32 · 26 = 26.624, also 26.624 cm³.
- 26.624 cm³ = 26,62 l
Ergebnis: 26,62 l
Wörter
- Volumen
- wie viel hineinpasst
Typische Fehler – so sieht es falsch aus, so richtig
Haus 4 m breit, 6 m lang, Wände 3 m, Dach 2 m hoch: V = 4 · 6 · 3 + 4 · 2 · 6 = 120 m³
Dach halbieren: 4 · 6 · 3 + 4 · 2 : 2 · 6 = 72 + 24 = 96 m³
Zeichne die Trennlinie ins Bild und schreibe zu jedem Teilkörper seine drei Maße. Beim Dreieck als Grundfläche durch 2 teilen.
Kasten außen 50 · 30 · 20 cm, Wand 2 cm, oben offen: innen 48 · 28 · 18 = 24.192 cm³
Kasten außen 50 · 30 · 20 cm, Wand 2 cm, oben offen: innen 46 · 26 · 18 = 21.528 cm³
Voller Körper minus Loch. Bei Länge und Breite sind es zwei Wände, in der Höhe beim offenen Kasten nur der Boden.
Würfel (Kante 2 cm) auf Quader 8 · 6 · 2 cm: O = 152 + 24 − 4 = 172 cm²
Berührfläche zweimal weg: O = 152 + 24 − 2 · 4 = 168 cm²
Zähle jede Fläche einzeln auf. Die Berührfläche fällt bei beiden Teilkörpern weg, beim offenen Kasten fehlt der Deckel.
Becken 4 m · 2 m · 1 m, 20 l je Minute: 8 : 20 = 0,4 min
8 m³ = 8000 l, also 8000 : 20 = 400 min
1 dm³ = 1 l und 1 m³ = 1000 l. Bei der Dichte müssen Volumen und Dichte dieselbe Einheit haben, cm³ zu g/cm³.
Würfel mit Kante 3 cm, Kante verdoppelt: 27 cm³ · 2 = 54 cm³
Würfel mit Kante 3 cm, Kante verdoppelt: 6 · 6 · 6 = 216 cm³ = 27 cm³ · 8
Kante mal 2: Die Fläche wächst in zwei Richtungen, also mal 4. Das Volumen in drei, also mal 8.
Wo brauchst du das?
Planschbecken füllen, Umzugskartons packen und das Hochbeet mit Erde füllen. Beruf: Beton bestellen auf dem Bau, Verpackungen entwerfen, Ladung im Lager und in der Spedition berechnen.
Weiter lesen und ausprobieren – auf fremden Seiten
- Serlo: Erklärungen und Aufgaben zu „Flächeninhalt“ (CC BY-SA 4.0 – nur verlinkt)
- PhET-Simulation (University of Colorado Boulder): Flächen aus Quadraten bauen (CC BY-NC 4.0 – nur verlinkt)
- GeoGebra: Körper drehen und schneiden (GeoGebra-Lizenz (Fassung November 2025), kommerziell nur mit Sonderlizenz – nur verlinkt)
- IQB-Beispielaufgaben: Freigegebene VERA-Aufgaben mit Lösungen und Kompetenzstufen (für den Unterricht freigegeben – nur verlinkt)
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