Zählen und Wahrscheinlichkeit
Das lernst du
- Ich zähle Möglichkeiten systematisch mit Liste und Baumdiagramm.
- Ich nutze die Produktregel für mehrstufige Auswahlen.
- Ich zähle Anordnungen von Personen oder Buchstaben.
- Ich unterscheide beim Zählen mit und ohne Wiederholung.
- Ich zähle Auswahlen, bei denen die Reihenfolge keine Rolle spielt.
- Ich gebe Ergebnismenge und Ereignisse an und nutze die Summenregel.
- Ich berechne Wahrscheinlichkeiten mit gezählten Möglichkeiten.
- Ich sage Häufigkeiten aus Wahrscheinlichkeiten voraus und beurteile Abweichungen.
Merksätze
Wer sicher sein will, dass keine Möglichkeit fehlt, ordnet.
Erst die erste Stelle festhalten und alle Fortsetzungen aufschreiben, dann die nächste. Aus den Karten 1, 4 und 7 entstehen so 14, 17, 41, 47, 71 und 74.
Hat jede Stufe gleich viele Möglichkeiten, multipliziert man.
Bei 3 Shirts, 2 Hosen und 2 Paar Schuhen gibt es 3 · 2 · 2 = 12 Outfits. Im Baumdiagramm ist das die Zahl der Pfade.
Der erste Platz hat so viele Möglichkeiten wie Personen.
Jeder weitere Platz hat eine weniger. Vier Kinder stellen sich auf 4 · 3 · 2 · 1 = 24 Arten auf.
Mit Wiederholung bleibt die Zahl je Stelle gleich: 10 · 10 · 10 = 1000 Codes.
Ohne Wiederholung wird sie kleiner: 10 · 9 · 8 = 720.
Ist die Reihenfolge egal, zählt man erst mit Reihenfolge.
Dann teilt man durch die doppelt gezählten. Bei 5 Kindern gibt es 5 · 4 : 2 = 10 Handschläge.
Die Ergebnismenge enthält alle möglichen Ergebnisse.
Ein Ereignis ist ein Teil davon, zum Beispiel A = {2, 4, 6} beim Würfel. Seine Wahrscheinlichkeit ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten seiner Ergebnisse.
Sind alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich, gilt: günstige durch mögliche.
Beide Zahlen werden gezählt. Bei zwei Würfeln gibt es 36 Paare, die Summe 7 kommt 6-mal vor, also 6/36 = 1/6.
Erwartet wird Anzahl der Versuche mal Wahrscheinlichkeit: Bei 600 Würfen etwa 100 Sechsen.
Das Ergebnis schwankt darum. Bei wenigen Versuchen sind große Abweichungen normal, bei vielen selten.
Selbst abfragen
Tippen dreht um, Wischen blättert.Leertaste dreht um, Pfeiltasten blättern.
So geht es – ein Beispiel je Aufgabenart
Du hast die Ziffernkarten 1, 7, 9. Lege alle zweistelligen Zahlen, bei denen jede Karte höchstens einmal vorkommt. Schreibe sie geordnet auf. Wie viele sind es?
- Mit 1 vorne: 17, 19
- Mit 7 vorne: 71, 79
- Mit 9 vorne: 91, 97
- Zusammen: 3 · 2 = 6 Zahlen
Ergebnis: 17, 19, 71, 79, 91, 97 (6 Zahlen)
Eis: erst Waffel oder Becher, dann eine Sorte. Zur Wahl stehen Waffel, Becher und danach Vanille, Schoko, Erdbeere, Zitrone. Wie viele Pfade hat das Baumdiagramm? Der erste Ast ist gezeichnet.
- Stufe 1: 2 Äste
- An jedem Ast 4 Zweige
- Pfade: 2 · 4 = 8
Ergebnis: 8 Möglichkeiten
Die Mensa bietet 2 Vorspeisen, 6 Hauptgerichte und 4 Nachspeisen. Wie viele verschiedene Menüs aus je einem Gang gibt es?
- Drei Stufen: 2, 6 und 4 Möglichkeiten
- Jede Vorspeise passt zu jedem Hauptgericht und jeder Nachspeise
- 2 · 6 · 4 = 48
Ergebnis: 48 Menüs
3 Freundinnen und Freunde stellen sich für ein Foto in eine Reihe. Auf wie viele Arten geht das?
- Platz 1: 3 Möglichkeiten, Platz 2: noch 2
- Dann immer eine weniger bis zum letzten Platz
- 3 · 2 · 1 = 6
Ergebnis: 6 Anordnungen
Wörter
- Zähler
- die Zahl oben – wie viele Teile
Typische Fehler – so sieht es falsch aus, so richtig
Karten 1, 4, 7, zweistellige Zahlen: 14, 41, 17, 71, 47 → 5 Zahlen
Mit 1 vorne: 14, 17; mit 4: 41, 47; mit 7: 71, 74 → 6 Zahlen
Ordnen: erste Stelle festhalten, alle Fortsetzungen aufschreiben, dann die nächste erste Stelle.
3 Shirts und 4 Hosen: 3 + 4 = 7 Outfits
Zu jedem Shirt 4 Hosen: 3 · 4 = 12 Outfits
Jede Wahl der ersten Stufe passt zu jeder der zweiten: multiplizieren. Addiert wird nur, wenn die Äste verschieden sind.
Code aus 3 verschiedenen Ziffern von 1 bis 5: 5 · 5 · 5 = 125
Jede Ziffer nur einmal: 5 · 4 · 3 = 60
Darf ein Zeichen nur einmal vorkommen, hat jede weitere Stelle eine Möglichkeit weniger: 5 · 4 · 3 statt 5 · 5 · 5.
6 Kinder, jedes gibt jedem die Hand: 6 · 5 = 30 Handschläge
Jeder Handschlag doppelt gezählt: 6 · 5 : 2 = 15 Handschläge
A mit B ist dasselbe Paar wie B mit A. Mit Reihenfolge zählen und dann durch 2 teilen.
Zwei Würfel, Summe 7: Summen 2 bis 12 sind 11 Ergebnisse, also P = 1/11
Zwei Würfel, Summe 7: 6 von 36 Paaren, Summen 2 bis 12 verschieden oft, also P = 1/6
Günstig durch möglich gilt nur bei gleich wahrscheinlichen Ergebnissen. Und die Wahrscheinlichkeit sagt die Häufigkeit nur ungefähr voraus.
Wo brauchst du das?
Zahlenschloss, Outfits, Turnierpläne und Würfelspiele. Beruf: Sicherheit von Passwörtern in der IT, Varianten in der Produktion, Schichtpläne.
Weiter lesen und ausprobieren – auf fremden Seiten
- IQB-Beispielaufgaben: Freigegebene VERA-Aufgaben mit Lösungen und Kompetenzstufen (für den Unterricht freigegeben – nur verlinkt)
Zum Ausdrucken: Drucken-Befehl des Browsers – die Seite ist dafür gebaut. Üben geht am Handy über den Code deiner Klasse, nicht hier.