Kurvendiskussion und Anwendungen
Das lernst du
- Ich bestimme Nullstellen und Symmetrie ganzrationaler Funktionen.
- Ich untersuche Monotonie mit der ersten Ableitung.
- Ich bestimme Extrempunkte mit f' = 0 und f'' (oder Vorzeichenwechsel).
- Ich bestimme Wendepunkte mit f'' = 0 und f'''.
- Ich zeichne Graphen aus den Ergebnissen.
- Ich löse Extremwertaufgaben mit Nebenbedingung.
- Ich bestimme Funktionen aus Bedingungen (Steckbriefaufgaben).
- Ich deute Ergebnisse im Sachzusammenhang.
- Ich bereite die Klausur vor.
Merksätze
f(x) = 0 lösen: ausklammern, pq-Formel, Substitution bei x⁴.
Vorzeichen von f' in den Abschnitten zwischen den Nullstellen von f' prüfen.
Notwendig: f'(x₀) = 0. Hinreichend: f''(x₀) < 0 Hochpunkt, f''(x₀) > 0 Tiefpunkt. y-Wert nicht vergessen!
Notwendig: f''(x₀) = 0. Hinreichend: f'''(x₀) ≠ 0. Dort ändert sich das Krümmungsverhalten.
Nullstellen, Extrem- und Wendepunkte eintragen, Globalverhalten vom Leitterm, dann verbinden.
Zielfunktion aufstellen, Nebenbedingung einsetzen, ableiten, Nullstelle, Randwerte prüfen.
Jede Bedingung eine Gleichung: Punkt → f(x) = y, Extremum → f'(x) = 0, Wendepunkt → f''(x) = 0. Dann LGS lösen.
Hochpunkt = größter Wert (wann, wie viel), Wendepunkt = stärkste Änderung, Nullstelle = Beginn oder Ende.
Immer mit Einheit und im Definitionsbereich der Aufgabe antworten.
Selbst abfragen
Tippen dreht um, Wischen blättert.Leertaste dreht um, Pfeiltasten blättern.
So geht es – ein Beispiel je Aufgabenart
Bestimme alle Nullstellen von f(x) = x3 + 2x2 − 3x.
- x ausklammern: x · (x² + 2x − 3)
- x = 0 oder x² + 2x − 3 = 0
- pq-Formel oder Satz von Vieta: x = 1 oder x = −3
Ergebnis: x = 0, x = −3, x = 1
Untersuche auf Symmetrie: f(x) = x4 + 5x2 + 2
- Nur gerade Exponenten → achsensymmetrisch; nur ungerade → punktsymmetrisch.
- Vorkommende Exponenten prüfen.
- Ergebnis: achsensymmetrisch zur y-Achse
Ergebnis: achsensymmetrisch zur y-Achse
f(x) = 2x3 − 6x + 2. Bestimme die Monotonieintervalle und begründe sie mit dem Vorzeichen von f′.
- f'(x) = 6x2 − 6
- f'(x) = 0: 6(x² − 1) = 0 → x = −1 und x = 1
- Vorzeichen von f' in den drei Bereichen prüfen: außen +, dazwischen −
- steigend auf ]−∞; −1] und [1; ∞[, fallend auf [−1; 1]
Ergebnis: steigend für x < −1 und x > 1, fallend dazwischen
Der Graph zeigt die Ableitung f' einer Funktion f. Wo steigt f, wo fällt f? Wo hat f Hoch- und Tiefpunkte? Begründe.
- Nullstellen von f': x = 0 und x = 3.
- f' ist negativ links von 0, positiv zwischen 0 und 3, negativ rechts von 3.
- Positive Ableitung: f steigt. Negative Ableitung: f fällt.
- Bei x = 0 wechselt f' von minus nach plus: Tiefpunkt, bei x = 3 umgekehrt.
Ergebnis: f fällt für x < 0 und x > 3, steigt dazwischen; Tiefpunkt bei x = 0, Hochpunkt bei x = 3
Wörter
- Ausklammern
- den gemeinsamen Faktor vor die Klammer holen
- Nullstelle
- wo der Graph die x-Achse trifft
- Funktion
- eine Regel, die aus einer Zahl eine andere macht
Typische Fehler – so sieht es falsch aus, so richtig
f'(x) = 0 → x = 2, Extrempunkt E(2 | 0)
x = 2 in f einsetzen: f(2) = −1 → E(2 | −1)
x in f einsetzen, nicht in f'.
f''(x₀) = 0, also Wendepunkt
f''(x₀) = 0 und f'''(x₀) ≠ 0 → Wendepunkt
f'' = 0 allein reicht nicht – f''' ≠ 0 oder Vorzeichenwechsel zeigen.
Wo brauchst du das?
Höchster Punkt, steilste Stelle – bei jeder Kurve. Beruf: Optimierung in Technik und Wirtschaft.
Weiter lesen und ausprobieren – auf fremden Seiten
- Serlo: Erklärungen und Aufgaben zu „Funktionen“ (CC BY-SA 4.0 – nur verlinkt)
- GeoGebra: Graph mit Reglern zeichnen (GeoGebra-Lizenz (Fassung November 2025), kommerziell nur mit Sonderlizenz – nur verlinkt)
- Berliner Prüfungsaufgaben (ISQ, MSA und Abitur): Aufgaben vergangener Jahre – MSA, eBBR, Abitur (für Schulen freigegeben – nur verlinkt)
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