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Mathematik · Jahrgang 8, 9 · Basiswissen

Lineare Funktionen

Alle ThemenRätsel dazuAls Kapitel

Das lernst du

  1. Ich erkenne Funktionen als eindeutige Zuordnungen.
  2. Ich lese Funktionswerte aus Graphen und Tabellen.
  3. Ich zeichne Graphen linearer Funktionen.
  4. Ich bestimme Steigung und y-Achsenabschnitt.
  5. Ich stelle Funktionsgleichungen aus Graphen auf.
  6. Ich bestimme die Gleichung aus zwei Punkten.
  7. Ich berechne Nullstellen.
  8. Ich prüfe, ob ein Punkt auf der Geraden liegt.
  9. Ich bestimme Schnittpunkte zweier Geraden.
  10. Ich modelliere Sachsituationen (Tarife, Wege) linear.
  11. Ich vergleiche Tarife und begründe.
  12. Ich erkenne Fehler in Graphen und Gleichungen.
  13. Ich wiederhole vertiefend.

Merksätze

Funktion

Jedem x genau ein y – das ist eine Funktion.

Schreibweise f(x) = 2x + 1. Graph, Tabelle, Gleichung: drei Darstellungen.

Funktionswerte ablesen

Von x senkrecht zum Graphen, dann waagerecht zur y-Achse. f(3) heißt: Wert bei x = 3.

Lineare Funktion

f(x) = m · x + n ist eine Gerade: n ist der Schnitt mit der y-Achse, m die Steigung.

Ein Schritt nach rechts, m Schritte nach oben.

Steigung und y-Achsenabschnitt

Steigungsdreieck: m = Höhe : Breite. Negatives m: Gerade fällt. n ablesen bei x = 0.

Gleichung aus dem Graphen

n an der y-Achse ablesen, m mit dem Steigungsdreieck zwischen zwei gut lesbaren Punkten.

Steigung aus zwei Punkten

m = (y₂ − y₁) : (x₂ − x₁). Dann einen Punkt einsetzen, um n zu bestimmen.

Nullstelle

f(x) = 0 setzen und nach x auflösen. Dort schneidet die Gerade die x-Achse.

Punktprobe

x einsetzen, y ausrechnen. Kommt der y-Wert des Punktes heraus, liegt er auf der Geraden.

Schnittpunkt zweier Geraden

Funktionsterme gleichsetzen, x ausrechnen, in eine Gleichung einsetzen für y.

Modellieren

Grundgebühr = n, Preis pro Einheit = m. Aus dem Text die Gleichung, dann Fragen rechnen.

Tarife vergleichen

Schnittpunkt = ab hier ist der andere Tarif günstiger.

Antwort immer mit Bedingung: „ab 40 Minuten“.

Fehler finden

Drei Fallen beim Ablesen einer Geraden.

Steigung falsch herum, n falsch abgelesen, Minus bei fallender Gerade vergessen. Steigung ist Höhe : Breite.

Selbst abfragen

Karte 1 von 12 · Vorderseite
Lineare FunktionenFunktionWas weißt du dazu? Erst selbst sagen, dann umdrehen.

Tippen dreht um, Wischen blättert.Leertaste dreht um, Pfeiltasten blättern.

Eselsbrücken

  • y = m·x + n: m wie „Maß der Steigung“, n wie „Nullstart“ (Schnitt mit der y-Achse) – m: eins nach rechts, m nach oben. n: wo die Gerade die y-Achse trifft.
    1mn
  • Steigung: „Erst nach rechts, dann nach oben“ – Δy durch Δx – Steigungsdreieck: waagerecht 1 (oder Δx), senkrecht m (oder Δy). Bergab: negativ.

So geht es – ein Beispiel je Aufgabenart

Ist die Zuordnung eine Funktion?

Zuordnung „Ticketanzahl → Preis“ mit den Paaren (1 | 2), (2 | 8), (3 | 7), (4 | 5). Ist das eine Funktion? Begründe.

  1. Funktion heißt: Zu jedem x gehört GENAU ein y
  2. Jedes x kommt nur einmal vor → eindeutig

Ergebnis: Ja, eine Funktion – jedes x hat genau ein y.

Lineare Funktion: Wert und Nullstelle

Gegeben ist f(x) = x − 6. Berechne f(6).

  1. 1 · 6 = 6
  2. 6 − 6 = 0

Ergebnis: f(6) = 0

Graph einer linearen Funktion zeichnen

Zeichne den Graphen von f(x) = x − 3 im Koordinatensystem von −4 bis 4.

  1. Wertetabelle: (−2 | −5), (0 | −3), (2 | −1)
  2. Start bei (0 | −3) auf der y-Achse
  3. Steigungsdreieck: 1 nach rechts, 1 nach oben
  4. Punkte mit dem Lineal verbinden

Ergebnis: Gerade durch (0 | −3) und (2 | −1)

Graph einer linearen Funktion zeichnen: zwei Punkte setzen

Zeichne den Graphen von f(x) = x − 3: Setze zwei Punkte der Geraden.

−6−4−2246−6−4−22460xy
  1. y-Achsenabschnitt −3: der Punkt (0 | −3).
  2. Steigung 1: 1 nach rechts, 1 nach oben – der Punkt (1 | −2).
  3. Die Gerade geht durch (0 | −3) und (1 | −2).

Ergebnis: Gerade durch (0 | −3) und (1 | −2)

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Zuordnung
zu jedem Wert gehört genau ein anderer
Funktion
eine Regel, die aus einer Zahl eine andere macht

Typische Fehler – so sieht es falsch aus, so richtig

m und b vertauscht
y = 2x + 3: Steigung 3, Achsenabschnitt 2
y = 2x + 3: Steigung m = 2, Achsenabschnitt b = 3

b ist der Wert bei x = 0, m die Änderung pro Schritt.

Steigungsdreieck falsch gelesen
Steigungsdreieck 2 nach rechts, 3 hoch → m = 2/3
m = hoch/rechts = 3/2 = 1,5

Erst nach rechts, dann nach oben/unten.

Wo brauchst du das?

Taxi-Preis, Handy-Tarif vergleichen, Ladekurve. Beruf: Controlling (Kosten), Physik, Datenanalyse.

Weiter lesen und ausprobieren – auf fremden Seiten

  • Serlo: Erklärungen und Aufgaben zu „Lineare Funktionen“ (CC BY-SA 4.0 – nur verlinkt)
  • PhET-Simulation (University of Colorado Boulder): Geraden mit Steigung und Achsenabschnitt (CC BY-NC 4.0 – nur verlinkt)
  • GeoGebra: Funktionen mit Reglern (GeoGebra-Lizenz (Fassung November 2025), kommerziell nur mit Sonderlizenz – nur verlinkt)
  • IQB-Beispielaufgaben: Freigegebene VERA-Aufgaben mit Lösungen und Kompetenzstufen (für den Unterricht freigegeben – nur verlinkt)

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