Normalverteilung
Das lernst du
- Ich erkenne, wann eine Binomialverteilung durch die Normalverteilung genähert werden kann.
- Ich kenne die Gauß-Glockenkurve und ihre Parameter μ und σ.
- Ich wende die Sigma-Regeln an.
- Ich berechne Wahrscheinlichkeiten mit der Normalverteilung (Rechner).
- Ich löse Anwendungsaufgaben (Körpergrößen, Füllmengen).
- Ich bereite die Klausur vor.
Merksätze
Für σ > 3 (Laplace-Bedingung) ist die Binomialverteilung glockenförmig – die Normalverteilung nähert sie gut an.
Symmetrisch um μ; σ bestimmt die Breite. Die Gesamtfläche ist 1.
Im Intervall μ ± σ liegen 68,3 %, in μ ± 2σ 95,4 %, in μ ± 3σ 99,7 % aller Werte.
P(a ≤ X ≤ b) mit normalcdf(a, b, μ, σ).
Gegeben μ und σ: Intervall in Vielfache von σ übersetzen oder mit dem Rechner P(a ≤ X ≤ b) bestimmen.
Antwort als Prozent und im Sachzusammenhang.
Selbst abfragen
Tippen dreht um, Wischen blättert.Leertaste dreht um, Pfeiltasten blättern.
Eselsbrücken
- 68 – 95 – 99,7: eine, zwei, drei Sigma um den Mittelwert
So geht es – ein Beispiel je Aufgabenart
20 Würfe, Trefferwahrscheinlichkeit p = 0,02. Entscheide, ob die Anzahl X mit der Normalverteilung genähert werden darf.
- Laplace-Bedingung: σ = √n · p · (1 − p) > 3
- σ = √20 · 0,02 · 0,98 = √0,39 ≈ 0,63
- 0,63 ≤ 3 → nein, die Verteilung ist noch zu schief.
Ergebnis: nein (σ ≈ 0,63 ≤ 3)
X ist binomialverteilt mit n = 50 und p = 0,1. Berechne Erwartungswert.
- Erwartungswert heißt: So viele Treffer sind auf lange Sicht im Mittel zu erwarten.
- μ = n · p = 50 · 0,1 = 5
Ergebnis: μ = 5
Die Glockenkurve beschreibt die Körpergröße (cm) als normalverteilte Größe. Lies μ und σ ab. Wie viel Prozent der Werte liegen etwa im markierten Bereich?
- μ liegt unter dem Hochpunkt: μ = 160.
- Die Marken haben den Abstand σ, die Wendestellen liegen bei μ ± σ: σ = 10.
- Markiert ist μ ± 3σ, also von 130 bis 190: etwa 99,7 %.
Ergebnis: μ = 160, σ = 10, etwa 99,7 %
Eine Größe ist normalverteilt mit μ = 50 und σ = 2. Berechne die Wahrscheinlichkeit für einen Wert zwischen 46 und 54?
- 46 = μ − 2σ, 54 = μ + 2σ
- 2σ-Regel: ≈ 95,4 %
Ergebnis: ≈ 95,4 %
Typische Fehler – so sieht es falsch aus, so richtig
μ = 100, σ = 10: 95 % liegen zwischen 90 und 110
μ = 100, σ = 10: 68 % zwischen 90 und 110 (1σ), 95 % zwischen 80 und 120 (2σ)
1σ ≈ 68 %, 2σ ≈ 95 %, 3σ ≈ 99,7 %.
Wo brauchst du das?
Körpergrößen, Schuhgrößen, Messfehler. Beruf: Industrie (Toleranzen), Psychologie, Finanzen.
Weiter lesen und ausprobieren – auf fremden Seiten
- Serlo: Erklärungen und Aufgaben zu „Wahrscheinlichkeit“ (CC BY-SA 4.0 – nur verlinkt)
- PhET-Simulation (University of Colorado Boulder): Galtonbrett: Zufall und Verteilung (CC BY-NC 4.0 – nur verlinkt)
- Statistisches Bundesamt: Echte Zahlen für Diagramme und Mittelwerte (Datenlizenz Deutschland 2.0 – nur verlinkt)
- Deutscher Wetterdienst, offene Daten: Wetterdaten je Station – für Mittelwert, Spannweite, Diagramm (GeoNutzV / Datenlizenz Deutschland – nur verlinkt)
- Berliner Prüfungsaufgaben (ISQ, MSA und Abitur): Aufgaben vergangener Jahre – MSA, eBBR, Abitur (für Schulen freigegeben – nur verlinkt)
Zum Ausdrucken: Drucken-Befehl des Browsers – die Seite ist dafür gebaut. Üben geht am Handy über den Code deiner Klasse, nicht hier.