Physik Oberstufe: Gravitationsfeld
Das lernst du
- Ich kann die Gravitationskraft zwischen zwei Körpern mit dem Gravitationsgesetz berechnen.
- Ich kann die Gravitationsfeldstärke aus Kraft und Masse bestimmen und in der Höhe berechnen.
- Ich kann Feldlinienbilder des Gravitationsfelds deuten und Radialfeld und homogenes Feld unterscheiden.
- Ich kann die Radialkraft bei Kreisbewegungen aus Masse, Geschwindigkeit und Radius berechnen.
- Ich kann Bahngeschwindigkeit, Umlaufzeit und Bahnradius von Satelliten mit dem Kraftansatz berechnen.
- Ich kann mit den Keplerschen Gesetzen Umlaufzeiten, Bahnradien und Geschwindigkeiten bestimmen.
Merksätze
Zwei Massen ziehen sich an: F = G · m₁ · m₂ : r².
Dabei ist r der Abstand der Mittelpunkte, nicht die Höhe über dem Boden. Doppelter Abstand heißt ein Viertel der Kraft.
Die Feldstärke ist die Kraft auf jedes Kilogramm einer Probemasse an diesem Ort.
Es gilt g = F : m, für einen Himmelskörper g = G · M : r². In 400 km Höhe ist g noch fast 9 N/kg.
Die Feldlinien zeigen zum Mittelpunkt, ihre Dichte zeigt die Feldstärke.
Weit draußen wird das Feld schwächer, verschwindet aber nie. In einem kleinen Raum ist es nahezu homogen.
Auf einer Kreisbahn ändert sich ständig die Richtung.
Dafür braucht es eine Kraft zum Mittelpunkt: F_r = m · v² : r. Mit der Umlaufzeit gilt v = 2π · r : T.
Bei Satelliten ist die Gravitationskraft genau die nötige Radialkraft.
Aus G · M · m : r² = m · v² : r folgt v, die Satellitenmasse kürzt sich. Schwerelos heißt: alles fällt gemeinsam, die Gravitation wirkt weiter.
Planeten laufen auf Ellipsen, die Sonne im Brennpunkt.
Der Fahrstrahl überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen. Um denselben Zentralkörper ist T² : a³ gleich, die Kepler-Konstante.
Selbst abfragen
Tippen dreht um, Wischen blättert.Leertaste dreht um, Pfeiltasten blättern.
So geht es – ein Beispiel je Aufgabenart
Eine Sonde mit 420 kg kreist 400 km über der Oberfläche der Erde. Berechne die Gravitationskraft auf sie. (Erde: M = 5,97 · 10²⁴ kg, R = 6371 km)
- Abstand der Mittelpunkte: r = R + h = 6771 km = 6,77 · 10⁶ m
- F = G · M · m : r²
- F = 6,674 · 10⁻¹¹ N·m²/kg² · 5,97 · 10²⁴ kg · 420 kg : (6,77 · 10⁶ m)²
- F ≈ 3650 N
Ergebnis: 3650 N
Ein Satellit wird im Abstand r vom Erdmittelpunkt mit 360 N angezogen. Bestimme die Kraft im 2-fachen Abstand.
- Gravitationsgesetz: F ~ 1 : r²
- 2-facher Abstand: Die Kraft sinkt auf 1/4.
- F = 360 N : 4 = 90 N
Ergebnis: 90 N
Auf dem Mond zeigt ein Kraftmesser an einem Wägestück mit 0,1 kg die Kraft 0,162 N. Bestimme die Gravitationsfeldstärke.
- g = F : m, die Kraft je Kilogramm Probemasse.
- 0,162 : 0,1 = 1,62
- g = 1,62 N/kg
Ergebnis: 1,62 N/kg
Am Erdboden ist g = 9,81 N/kg. Bestimme die Gravitationsfeldstärke in 300 km Höhe über dem Boden. (R = 6371 km)
- g ~ 1 : r², r ist der Abstand vom Erdmittelpunkt.
- r = 6371 km + 300 km = 6671 km
- g = 9,81 N/kg · (6371 : 6671)² ≈ 8,95 N/kg
Ergebnis: 8,95 N/kg
Typische Fehler – so sieht es falsch aus, so richtig
In der Raumstation gibt es keine Schwerkraft.
in 400 km Höhe: g ≈ 8,7 N/kg; schwerelos, weil alles gemeinsam fällt
Die Gravitation reicht unbegrenzt weit und wird nur schwächer. Schwerelos heißt: Alles fällt gemeinsam.
Satellit in 400 km Höhe: r = 400 km
r = R + h = 6371 km + 400 km = 6771 km
Im Gravitationsgesetz steht der Abstand der Mittelpunkte. Zähl den Radius des Planeten zur Höhe dazu.
doppelter Abstand → halbe Kraft
doppelter Abstand → F : 2² = ein Viertel der Kraft
Im Gravitationsgesetz steht r². Doppelter Abstand heißt ein Viertel, dreifacher ein Neuntel der Kraft.
Auf dem Mars und in 1000 km Höhe gilt g = 9,81 N/kg.
g = G · M : r² → hängt vom Himmelskörper und vom Abstand ab
9,81 N/kg gilt nur an der Erdoberfläche. g hängt von der Masse des Körpers und vom Abstand zu seinem Mittelpunkt ab.
Die Feldlinien der Erde zeigen nach außen.
Feldlinien zeigen die Kraft auf eine Probemasse → zur Erdmitte
Feldlinien zeigen, wohin eine Probemasse gezogen wird. Beim Gravitationsfeld ist das der Mittelpunkt des Körpers.
doppelte Probemasse → doppelte Feldstärke
doppelte Probemasse → doppelte Kraft, g = F : m bleibt gleich
Die Feldstärke beschreibt den Ort, nicht die Probe. Mit der doppelten Masse verdoppelt sich die Kraft, F : m bleibt gleich.
Im Klassenraum ist das Feld wirklich überall parallel.
Radialfeld; auf wenigen Metern ändern sich Betrag und Richtung kaum → Näherung homogen
Das Feld der Erde ist ein Radialfeld. Auf kleinem Raum ändern sich Richtung und Betrag so wenig, dass man parallel zeichnen darf.
r = 2 m, T = 0,5 s: v = 2 m : 0,5 s = 4 m/s
v = 2π · 2 m : 0,5 s ≈ 25 m/s
In einer Umlaufzeit legt der Körper den ganzen Kreisumfang zurück: v = 2π · r : T.
Ein schwerer Satellit muss schneller fliegen.
G · M · m : r² = m · v² : r → m kürzt sich, v hängt nicht von m ab
Die Masse des Satelliten steht auf beiden Seiten des Kraftansatzes und kürzt sich. Alle Satelliten auf derselben Bahn sind gleich schnell.
a = 4 AE → T = 4 Jahre
T² = a³ = 64 → T = 8 Jahre
Im dritten Keplerschen Gesetz stehen T² und a³. Doppelte Halbachse heißt nicht doppelte Umlaufzeit.
Der Planet ist überall auf der Bahn gleich schnell.
gleiche Zeiten, gleiche Flächen → nah an der Sonne schneller
Der Fahrstrahl überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen. Nah an der Sonne muss der Bogen deshalb länger sein: Der Körper ist schneller.
Zwischen den Feldlinien ist kein Magnetfeld.
zwischen zwei Linien → der Kompass zeigt trotzdem eine Richtung, das Feld ist überall
Feldlinien sind ein Modell. Das Feld gibt es überall, auch zwischen den Linien. Dichte Linien heißen starkes Feld.
Der Puck gleitet gleich schnell weiter, also wirkt eine Kraft in Bewegungsrichtung.
gleich schnell geradeaus → Gesamtkraft = 0 N; eine Kraft ändert die Bewegung
Eine Kraft braucht man, um die Bewegung zu ändern – schneller, langsamer, andere Richtung. Gleich schnell geradeaus geht es ohne Kraft, wenn nichts bremst.
m = 2 kg, v = 3 m/s: E = ½ · 2 kg · 3 m/s = 3 J
E = ½ · 2 kg · (3 m/s)² = ½ · 2 kg · 9 m²/s² = 9 J
Die Geschwindigkeit steht im Quadrat: v² heißt v mal v. Rechne v² zuerst aus, dann hast du den Rest schnell.
v² = 2 · 10 N/kg · 5 m = 100, also v = 100 m/s
v² = 100 m²/s², also v = √(100 m²/s²) = 10 m/s
Du hast v² ausgerechnet, nicht v. Zieh am Ende noch die Wurzel.
N₁ = 1000, N₂ = 50, U₁ = 230 V: U₂ = 230 V · 1000 : 50
U₂ = 230 V · 50 : 1000 = 11,5 V
Prüf die Richtung: Mehr Windungen heißt mehr Spannung, mehr Strom heißt mehr Feld. Schätz zuerst, ob das Ergebnis größer oder kleiner wird.
Gesamtwiderstand gesucht, Antwort: I = 0,5 A
erst I = 0,5 A, dann weiter bis zur gesuchten Größe
Das ist ein richtiger Zwischenschritt. Lies noch einmal, was gesucht ist, und rechne weiter.
Masse = 50 N
Masse m = 5 kg, Gewichtskraft F = 50 N
Hier sind zwei Größen vertauscht. Schreib zuerst auf: Gegeben ist …, gesucht ist … – mit Formelzeichen.
2,5 km = 250 m
2,5 km = 2,5 · 1000 m = 2500 m
Die Umrechnungszahl stimmt nicht. k heißt 1000, m (milli) heißt ein Tausendstel. Bei cm² sind es 10 000 für einen m².
V = ρ · m
ρ = m : V | · V | : ρ → V = m : ρ
Stell die Formel wie eine Gleichung um: Auf beiden Seiten dasselbe tun, bis die gesuchte Größe allein steht.
p = 200 N : 50 cm² = 4 Pa
50 cm² = 0,005 m², p = 200 N : 0,005 m² = 40 000 Pa
Die Angaben passen noch nicht zusammen. Rechne zuerst in die Einheiten der Formel um, dann setz ein.
ρ = 54 : 20 = 2,7
ρ = 54 g : 20 cm³ = 2,7 g/cm³
Deine Zahl stimmt – aber eine Größe ist Zahl und Einheit. Schreib die Einheit dazu.
Weiter lesen und ausprobieren – auf fremden Seiten
- PhET-Simulation (University of Colorado Boulder): Wellen auf einer Schnur (CC BY-NC 4.0 – nur verlinkt)
Zum Ausdrucken: Drucken-Befehl des Browsers – die Seite ist dafür gebaut. Üben geht am Handy über den Code deiner Klasse, nicht hier.