Physik Einführungsphase: Messen, Messunsicherheit und Auswertung
Das lernst du
- Ich kann systematische und zufällige Messabweichungen unterscheiden.
- Ich kann absolute und relative Abweichungen berechnen.
- Ich kann aus einer Messreihe Mittelwert und Standardabweichung bestimmen.
- Ich kann ein Ergebnis mit Unsicherheit angeben und mit einem Vergleichswert vergleichen.
- Ich kann Messreihen mit einer Ausgleichsgeraden auswerten und daraus Vorhersagen ableiten.
- Ich kann Messreihen linearisieren und Größen aus der Steigung bestimmen.
- Ich kann Messwerte mit Sensoren erfassen und ihre Grenzen prüfen.
Merksätze
Jede Messung weicht ab, auch eine sorgfältige.
Systematisch heißt: jeder Wert in dieselbe Richtung verschoben, Mitteln hilft nicht. Zufällig heißt: Streuung nach beiden Seiten, Mitteln hilft.
Die absolute Abweichung ist der Unterschied zum Vergleichswert, mit Einheit.
Die relative Abweichung ist dieser Unterschied geteilt durch den Vergleichswert, meist in Prozent.
Der Mittelwert ist die Summe durch die Anzahl.
Die Standardabweichung misst die Streuung: Abweichungen quadrieren, addieren, durch n − 1 teilen, Wurzel ziehen.
Ein Ergebnis hat Wert und Unsicherheit: (9,7 ± 0,3) m/s².
Der Wert endet an derselben Stelle wie die Unsicherheit. Verträglich ist es, wenn der Vergleichswert im Bereich liegt.
Die Ausgleichsgerade fasst alle Messpunkte zusammen.
Ihre Steigung ist eine Messgröße, etwa der Widerstand im U-I-Diagramm. Vorhersagen kommen von der Geraden, nicht von einem einzelnen Punkt.
Mit den richtigen Achsen wird aus einer Kurve eine Gerade.
Beim freien Fall trägt man s über t² auf, beim Pendel T² über l. Aus der Steigung folgt die gesuchte Größe.
Ein Sensor misst in festen Abständen: Δt = 1 : f. Er hat Abweichungen wie jedes Messgerät.
Deshalb erst abgleichen und mit einer einfachen Messung vergleichen, dann der Anzeige trauen.
Selbst abfragen
Tippen dreht um, Wischen blättert.Leertaste dreht um, Pfeiltasten blättern.
So geht es – ein Beispiel je Aufgabenart
Messreihe 3: Die Waage zeigt ohne Last schon 2 g an. Welche Art von Abweichung entsteht?
- Systematisch: alle verschoben. Zufällig: beidseitig gestreut.
- Hier wirkt jedes Mal dieselbe Ursache in dieselbe Richtung.
- Also: eine systematische Messabweichung
Ergebnis: eine systematische Messabweichung
Gemessen wurde die Fallzeit aus 1,20 m Höhe in s: 0,43; 0,40; 0,39; 0,41; 0,37. Vergleichswert: 0,49 s. Was zeigt die Messreihe vor allem?
- Vergleiche jeden Wert mit 0,49 s: größer oder kleiner?
- Alle Werte liegen auf derselben Seite.
- Also: eine systematische Abweichung: Alle Werte liegen auf einer Seite.
Ergebnis: eine systematische Abweichung: Alle Werte liegen auf einer Seite.
Eine Gruppe misst für die Fallzeit aus 1,20 m Höhe 0,46 s. Der Vergleichswert ist 0,49 s. Bestimme die absolute Abweichung.
- absolute Abweichung = größerer Wert minus kleinerer Wert
- 0,49 − 0,46 = 0,03
- Die absolute Abweichung beträgt 0,03 s.
Ergebnis: 0,03 s
Gemessen: die Schallgeschwindigkeit in Luft bei 20 °C mit 322 m/s. Vergleichswert 343 m/s. Bestimme die relative Abweichung in Prozent.
- absolute Abweichung: |322 − 343| m/s = 21 m/s
- relative Abweichung = absolute Abweichung : Vergleichswert
- 21 : 343 ≈ 0,061 = 6,1 %
Ergebnis: 6,1 %
Typische Fehler – so sieht es falsch aus, so richtig
Bei sorgfältiger Messung gibt es keine Abweichung.
sorgfältige Messung → kleinere Abweichung, nie keine; Ergebnis mit Unsicherheit angeben
Jede Messung weicht ab, auch eine sehr sorgfältige. Man gibt die Abweichung an, statt sie zu verstecken.
Waage zeigt ohne Last 2 g: zufällige Abweichung
jedes Mal 2 g zu viel → systematisch; mal mehr, mal weniger → zufällig
Systematisch heißt: jeder Wert in dieselbe Richtung verschoben. Zufällig heißt: mal darüber, mal darunter.
Die Waage zeigt immer 2 g zu viel – zwanzigmal messen und mitteln.
jeder Wert 2 g zu viel → Mittelwert auch 2 g zu viel → Nullpunkt korrigieren
Mitteln gleicht nur zufällige Abweichungen aus. Eine systematische Abweichung steckt in jedem Wert und bleibt im Mittelwert.
Tisch 2 m ± 1 cm, Münze 2 cm ± 1 mm: Die Münze ist genauer gemessen.
Tisch: 1 cm : 200 cm = 0,5 %, Münze: 1 mm : 20 mm = 5 % → der Tisch ist genauer
Die relative Abweichung ist die absolute Abweichung geteilt durch den Vergleichswert. Erst sie sagt, wie genau gemessen wurde.
4 Werte: s = √(Summe : 4)
4 Werte: s = √(Summe : 3), durch n − 1
Beim Mittelwert teilst du durch die Zahl der Werte. Bei der Standardabweichung einer Messreihe teilst du durch n − 1.
Werte 2,0; 2,2; 2,4: Standardabweichung = 2,4 − 2,0 = 0,4
Werte 2,0; 2,2; 2,4: Spannweite 0,4, Standardabweichung = √(0,08 : 2) = 0,2
Größter und kleinster Wert allein reichen nicht. Mittelwert und Standardabweichung nehmen alle Messwerte mit.
Protokoll: 3. Wert falsch abgelesen – trotzdem mitgemittelt
begründeter Ablesefehler → Wert streichen und vermerken, dann mitteln
Ein Wert mit belegtem Ablesefehler gehört nicht in den Mittelwert. Nimm ihn aus der Rechnung und schreib den Grund dazu – ohne Grund bleibt er.
g = (9,8137 ± 0,3) m/s²
g = (9,8 ± 0,3) m/s²
Der Wert endet an derselben Stelle wie die Unsicherheit. Ziffern dahinter täuschen eine Genauigkeit vor, die es nicht gibt.
(9,62 ± 0,05) m/s² und (9,79 ± 0,20) m/s², Vergleichswert 9,81: Das erste ist besser, die Unsicherheit ist kleiner.
9,62 ± 0,05 → 9,57 bis 9,67, ohne 9,81; 9,79 ± 0,20 → 9,59 bis 9,99, mit 9,81 → nur das zweite ist verträglich
Verträglich ist ein Ergebnis, wenn der Vergleichswert im Bereich Mittelwert plus minus Unsicherheit liegt. Klein heißt genau, nicht richtig.
Gerade durch (0,40 A | 9,2 V), Messpunkt (0,25 A | 6,1 V): R = 6,1 V : 0,25 A = 24,4 Ω
Gerade durch (0,40 A | 9,2 V), Messpunkt (0,25 A | 6,1 V): R = 9,2 V : 0,40 A = 23 Ω
Ein einzelner Messwert streut. Die Ausgleichsgerade oder der Mittelwert fassen alle Werte zusammen – nimm sie.
freier Fall: s über t auftragen, Gerade erwartet
s = ½ · g · t² → s über t² ergibt eine Ursprungsgerade
Trag die Größe auf, zu der die andere proportional ist – mit Quadrat, Wurzel oder Kehrwert, wie es im Gesetz steht.
Sensor in Eiswasser zeigt 1,4 °C – also hat das Wasser 1,4 °C.
Sensor in Eiswasser zeigt 1,4 °C, Eiswasser hat 0 °C → Abweichung 1,4 K, Nullpunkt abgleichen
Ein Sensor ist ein Messgerät wie jedes andere. Prüfe ihn am Nullpunkt und vergleiche mit einer einfachen Messung, bevor du seinen Werten glaubst.
T = 0,02 s, also f = 0,02 Hz
f = 1 : 0,02 s = 50 Hz
Frequenz und Periodendauer sind Kehrwerte: f = 1 : T. Eine kurze Schwingung heißt viele Schwingungen in jeder Sekunde.
v = 60 m : 8 s (ab null gerechnet)
v = (60 m − 20 m) : (8 s − 4 s) = 10 m/s
Für die Steigung zählen die Änderungen: um wie viel der Weg in der Zeitspanne zunimmt. Rechne Endwert minus Anfangswert.
v² = 2 · 10 N/kg · 5 m = 100, also v = 100 m/s
v² = 100 m²/s², also v = √(100 m²/s²) = 10 m/s
Du hast v² ausgerechnet, nicht v. Zieh am Ende noch die Wurzel.
m = 2 kg, v = 3 m/s: E = 2 kg · (3 m/s)² = 18 J
E = ½ · 2 kg · (3 m/s)² = 9 J
In der Formel für die Bewegungsenergie steht ein halb: E = ½ · m · v². Du musst am Ende die Hälfte nehmen.
η = 30 J : 120 J = 0,25 %
η = 30 J : 120 J = 0,25 = 25 %
0,25 ist ein Viertel, also 25 Prozent. Zum Umrechnen in Prozent mal 100 nehmen.
Gesamtwiderstand gesucht, Antwort: I = 0,5 A
erst I = 0,5 A, dann weiter bis zur gesuchten Größe
Das ist ein richtiger Zwischenschritt. Lies noch einmal, was gesucht ist, und rechne weiter.
Masse = 50 N
Masse m = 5 kg, Gewichtskraft F = 50 N
Hier sind zwei Größen vertauscht. Schreib zuerst auf: Gegeben ist …, gesucht ist … – mit Formelzeichen.
V = ρ · m
ρ = m : V | · V | : ρ → V = m : ρ
Stell die Formel wie eine Gleichung um: Auf beiden Seiten dasselbe tun, bis die gesuchte Größe allein steht.
p = 200 N : 50 cm² = 4 Pa
50 cm² = 0,005 m², p = 200 N : 0,005 m² = 40 000 Pa
Die Angaben passen noch nicht zusammen. Rechne zuerst in die Einheiten der Formel um, dann setz ein.
2,5 km = 250 m
2,5 km = 2,5 · 1000 m = 2500 m
Die Umrechnungszahl stimmt nicht. k heißt 1000, m (milli) heißt ein Tausendstel. Bei cm² sind es 10 000 für einen m².
ρ = 54 : 20 = 2,7
ρ = 54 g : 20 cm³ = 2,7 g/cm³
Deine Zahl stimmt – aber eine Größe ist Zahl und Einheit. Schreib die Einheit dazu.
Weiter lesen und ausprobieren – auf fremden Seiten
- PhET-Simulation (University of Colorado Boulder): Wellen auf einer Schnur (CC BY-NC 4.0 – nur verlinkt)
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