Quadratische Gleichungen
Das lernst du
- Ich löse reinquadratische Gleichungen x² = a durch Wurzelziehen (zwei Lösungen!).
- Ich löse Gleichungen ohne Absolutglied durch Ausklammern.
- Ich löse Gleichungen mit der pq-Formel.
- Ich prüfe mit dem Satz von Vieta und der Probe.
- Ich erkenne an der Diskriminante, wie viele Lösungen es gibt.
- Ich übersetze Sachaufgaben in quadratische Gleichungen.
- Ich löse Sachaufgaben (Rechteck, Wurfbahn) und deute die Lösungen.
Merksätze
x² = a hat zwei Lösungen: plus und minus Wurzel a. Ohne Absolutglied x ausklammern.
Ein Produkt ist 0, wenn ein Faktor 0 ist.
Fehlt das Absolutglied, klammere x aus: x² − 5x = 0 → x(x − 5) = 0 → x = 0 oder x = 5. Nie durch x teilen, sonst geht die Lösung x = 0 verloren.
x² + px + q = 0 hat die Lösungen x = −p/2 ± √((p/2)² − q).
Vorher auf die Form mit 1·x² bringen.
x₁ + x₂ = −p und x₁ · x₂ = q – schnelle Probe und oft Kopfrechnung.
Ist (p/2)² − q negativ, gibt es keine Lösung; ist es 0, genau eine; sonst zwei.
Größe benennen, Gleichung aufstellen, lösen.
Negative Lösung verwerfen, Antwortsatz schreiben. Beispiel: x = Breite.
Rechnung fertig, Aufgabe nicht: Welche Lösung passt zur Situation?
Länge, Zeit und Anzahl sind nicht negativ – verwerfen mit Begründung, dann Antwortsatz.
Selbst abfragen
Tippen dreht um, Wischen blättert.Leertaste dreht um, Pfeiltasten blättern.
Eselsbrücken
- Mitternachtsformel – x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a – „Minus b plus minus Wurzel aus b Quadrat minus vier a c, durch zwei a“ – Auf die Melodie sprechen, bis sie um Mitternacht abrufbar ist. p-q-Formel: x = −p/2 ± √((p/2)² − q).
So geht es – ein Beispiel je Aufgabenart
Löse: x² = 4
- Wurzel ziehen – zwei Lösungen!
- x = 2 oder x = −2
Ergebnis: x₁ = 2, x₂ = −2
Mia löst x² = 4 und schreibt: x = 2 oder x = −2. Ist das vollständig und richtig? Begründe.
- 2² = 4 und (−2)² = 4.
- Beide Zahlen lösen die Gleichung.
- Mia hat beide gefunden.
Ergebnis: Ja, x = 2 oder x = −2
Löse: x² + 11x + 30 = 0
- Satz von Vieta: x₁ + x₂ = −11, x₁ · x₂ = 30
- Passt: −6 und −5
Ergebnis: x₁ = −6, x₂ = −5
Löse (x + 9) · (x + 8) = 0, ohne auszumultiplizieren.
- Ein Produkt ist 0, wenn einer der Faktoren 0 ist.
- x + 9 = 0 ergibt x = −9.
- x + 8 = 0 ergibt x = −8.
Ergebnis: x₁ = −9, x₂ = −8
Wörter
- Produkt
- was herauskommt, wenn man malnimmt
- Gleichung
- zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
- Ausklammern
- den gemeinsamen Faktor vor die Klammer holen
Typische Fehler – so sieht es falsch aus, so richtig
x² = 16 → x = 4
x² = 16 → x₁ = 4, x₂ = −4
x² = 16 hat zwei Lösungen: 4 und −4. Durch x teilen verliert die Lösung x = 0.
x² − 6x + 8: p = 6
x² − 6x + 8: p = −6, q = 8 (mit Vorzeichen)
p und q mit Vorzeichen einsetzen: bei x² − 6x + 8 ist p = −6, also −p/2 = +3.
Seitenlänge x₁ = 5 cm, x₂ = −8 cm
x₂ = −8 entfällt: eine Länge ist nicht negativ. x = 5 cm
Längen und Zeiten sind nicht negativ – die zweite Lösung verwerfen und begründen.
Wo brauchst du das?
Wann landet der Ball? Welche Maße bei fester Fläche? Beruf: Technik, Architektur, Wirtschaft.
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- Serlo: Erklärungen und Aufgaben zu „Funktionen“ (CC BY-SA 4.0 – nur verlinkt)
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- PhET-Simulation (University of Colorado Boulder): Gleichungen als Waage (CC BY-NC 4.0 – nur verlinkt)
- Berliner Prüfungsaufgaben (ISQ, MSA und Abitur): Aufgaben vergangener Jahre – MSA, eBBR, Abitur (für Schulen freigegeben – nur verlinkt)
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