Trigonometrische Funktionen
Das lernst du
- Ich rechne Winkel zwischen Gradmaß und Bogenmaß um.
- Ich lese Sinus und Kosinus am Einheitskreis ab und kenne die Werte besonderer Winkel.
- Ich zeichne die Sinusfunktion und beschreibe Periode, Amplitude und Nullstellen.
- Ich bestimme Amplitude und Periode aus f(x) = a · sin(b · x).
- Ich verschiebe die Sinusfunktion und stelle f(x) = a · sin(b · (x − c)) + d aus Kennwerten auf.
- Ich beschreibe einen periodischen Vorgang mit einer Sinusfunktion (Tageslänge, Gezeiten).
- Ich löse Gleichungen mit Sinus im Bogenmaß und nenne alle Lösungen einer Periode.
- Ich leite Sinus und Kosinus ab und deute die Ableitung als Änderungsrate.
Merksätze
360° entsprechen 2π – das Bogenmaß ist die Bogenlänge am Einheitskreis.
Bogenmaß = Grad · π : 180.
sin(α) ist die Höhe des Zeigerpunkts am Einheitskreis, cos(α) sein waagerechter Anteil.
Die Sinuskurve schwingt zwischen −1 und 1 und wiederholt sich nach 2π. Hochpunkt bei π/2.
Bei f(x) = a · sin(b · x) ist a die Amplitude und 2π : b die Periode.
In a · sin(b · (x − c)) + d schiebt c nach rechts und d nach oben; Mittellinie y = d.
Amplitude = halbe Spanne, Mittelwert = halbe Summe von Maximum und Minimum; Periode aus dem Vorgang.
sin(x) = k hat je Periode meist zwei Lösungen: x₁ vom Rechner, x₂ = π − x₁.
(sin x)' = cos x, (cos x)' = −sin x; mit innerer Funktion: (sin(bx))' = b · cos(bx).
Selbst abfragen
Tippen dreht um, Wischen blättert.Leertaste dreht um, Pfeiltasten blättern.
So geht es – ein Beispiel je Aufgabenart
Wandle um: 30° ins Bogenmaß, als Vielfaches von π.
- Bogenmaß = 30 · π : 180
- = π/6 ≈ 0,52
Ergebnis: π/6 ≈ 0,52
Bestimme am Einheitskreis: sin(0°)
- Zeiger bei 0°: Höhe des Punktes
- sin(0°) = 0
Ergebnis: 0
f(x) = sin(x). Bestimme alle Nullstellen im Intervall [0; 2π].
- sin(x) = 0 → x = 0, π, 2π
- x = 0; π; 2π
Ergebnis: 0; π; 2π
f(x) = 0,5 · sin(x). Bestimme Amplitude und Periode.
- Amplitude = 0,5 (der Faktor vor dem Sinus)
- Periode = 2π : 1 = 2π
Ergebnis: Amplitude 0,5; Periode 2π
Typische Fehler – so sieht es falsch aus, so richtig
sin(90) ≈ 0,894 (Rechner im Gradmaß, x als Bogenmaß gemeint)
90° = π/2 → sin(π/2) = 1
Bei Funktionen rechnet man im Bogenmaß – den Taschenrechner auf RAD stellen; 90° sind π/2.
f(x) = sin(2x): Periode = 2
Periode = 2π : 2 = π
b ist nicht die Periode: Periode = 2π : b. Bei sin(2x) ist die Periode π, nicht 2.
um π/2 nach rechts: f(x) = sin(x + π/2)
nach rechts: f(x) = sin(x − π/2)
(x − c) schiebt nach RECHTS. Wer nach rechts will, schreibt minus in die Klammer.
sin(x) = 0,5 → x = π/6
sin(x) = 0,5 → x = π/6 oder x = π − π/6 = 5π/6
sin(x) = k hat in [0; 2π] meist zwei Lösungen – die zweite ist π − x₁. Am Einheitskreis nachsehen.
(cos x)' = sin x
(cos x)' = −sin x; (sin x)' = cos x
(cos x)' = −sin x. Das Minus kommt, weil der Kosinus zwischen 0 und π fällt.
Wo brauchst du das?
Ebbe und Flut, Tageslänge im Jahr, Töne und Lautstärke. Beruf: Tontechnik, Elektrotechnik, Meteorologie.
Weiter lesen und ausprobieren – auf fremden Seiten
- Serlo: Erklärungen und Aufgaben zu „Funktionen“ (CC BY-SA 4.0 – nur verlinkt)
- GeoGebra: Graph mit Reglern zeichnen (GeoGebra-Lizenz (Fassung November 2025), kommerziell nur mit Sonderlizenz – nur verlinkt)
- Berliner Prüfungsaufgaben (ISQ, MSA und Abitur): Aufgaben vergangener Jahre – MSA, eBBR, Abitur (für Schulen freigegeben – nur verlinkt)
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