Ähnlichkeit und Strahlensätze
Das lernst du
- Ich erkenne ähnliche Figuren und bestimme den Vergrößerungsfaktor.
- Ich wende den ersten Strahlensatz an.
- Ich wende den zweiten Strahlensatz an.
- Ich bestimme Höhen über Schatten und Peilung.
- Ich rechne mit Maßstäben.
- Ich löse gemischte Sachaufgaben.
- Ich wiederhole.
Merksätze
Ähnliche Figuren haben gleiche Winkel und gleiche Seitenverhältnisse.
Der Vergrößerungsfaktor k = neue Länge : alte Länge.
Zwei Strahlen, zwei Parallelen: ZA : ZA' = ZB : ZB'.
Die Abschnitte auf den Strahlen verhalten sich gleich.
Die Parallelstrecken verhalten sich wie die Abschnitte vom Zentrum: AB : A'B' = ZA : ZA'.
Schatten: Stab und Baum bilden ähnliche Dreiecke. Höhe : Schatten ist bei beiden gleich.
1 : 25 000 heißt: 1 cm auf der Karte sind 25 000 cm = 250 m in Wirklichkeit.
Skizze mit Zentrum Z und markierten Parallelen.
Verhältnis vom Zentrum aus aufstellen, lösen, Einheit.
Selbst abfragen
Tippen dreht um, Wischen blättert.Leertaste dreht um, Pfeiltasten blättern.
Eselsbrücken
- Strahlensatz: „Kurz zu kurz wie lang zu lang“ – Verhältnisse auf beiden Strahlen gleich
So geht es – ein Beispiel je Aufgabenart
Zwei Dreiecke sind ähnlich. Die Seite 2 cm entspricht 4 cm. Wie lang ist die Seite, die 9 cm entspricht?
- Faktor k = 4 : 2 = 2
- 9 · 2 = 18
Ergebnis: 18 cm
Rechteck 1 ist 6 cm lang und 4 cm breit. Rechteck 2 ist 9 cm lang und 6 cm breit. Sind die Rechtecke ähnlich? Begründe.
- Längen: 9 : 6 = 1,5
- Breiten: 6 : 4 = 1,5
- Beide Seiten mit demselben Faktor 1,5: ähnlich.
Ergebnis: ähnlich, Faktor 1,5
Zwei Strahlen von Z werden von zwei parallelen Geraden geschnitten. Auf dem ersten Strahl: ZA = 2 cm, ZA' = 4 cm. Auf dem zweiten: ZB = 8 cm. Berechne die Länge von ZB'.
- Strahlensatz: ZA : ZA' = ZB : ZB'
- Faktor: 4 : 2 = 2
- ZB' = 8 · 2 = 16 cm
Ergebnis: 16 cm
AB und A'B' sind parallel. ZA = 2 cm, AA' misst 5 cm, ZB = 7 cm. Mia setzt ZB' : ZB wie AA' : ZA an und erhält für ZB' 17,5 cm. Finde den Fehler.
- Fehler: AA' beginnt nicht in Z.
- Im Strahlensatz stehen Strecken, die alle in Z beginnen.
- ZA' = 2 + 5 = 7, also ZA' = 7 cm.
- Richtiger Ansatz: ZB' : ZB wie ZA' : ZA.
- 7 · 7 : 2 = 24,5, also ZB' = 24,5 cm.
Ergebnis: ZB' = 24,5 cm
Wörter
- Ähnlich
- gleiche Form, andere Größe
Typische Fehler – so sieht es falsch aus, so richtig
ZA : AB = ZC : CD
ZA : ZB = ZC : ZD (immer von Z aus messen)
Immer vom Zentrum Z aus messen: kurz zu lang auf beiden Strahlen.
Maßstab 1 : 25 000, 4 cm → 100 000 cm = 1000 km
100 000 cm = 1000 m = 1 km
Erst in cm rechnen, dann in m oder km umwandeln.
Wo brauchst du das?
Höhe eines Baums mit dem Schatten messen. Beruf: Vermessung, Fotografie, Modellbau, Architektur.
Weiter lesen und ausprobieren – auf fremden Seiten
- Serlo: Erklärungen und Aufgaben zu „Geometrie“ (CC BY-SA 4.0 – nur verlinkt)
- GeoGebra: Konstruieren mit Zirkel und Lineal (GeoGebra-Lizenz (Fassung November 2025), kommerziell nur mit Sonderlizenz – nur verlinkt)
- Berliner Prüfungsaufgaben (ISQ, MSA und Abitur): Aufgaben vergangener Jahre – MSA, eBBR, Abitur (für Schulen freigegeben – nur verlinkt)
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