Terme und Gleichungen
Das lernst du
- Ich stelle Terme zu Sachsituationen auf.
- Ich berechne Termwerte durch Einsetzen.
- Ich fasse Terme zusammen.
- Ich löse Klammern auf (Multiplizieren mit einer Zahl).
- Ich klammere aus.
- Ich löse Gleichungen durch Probieren und Rückwärtsrechnen.
- Ich löse Gleichungen mit Äquivalenzumformungen.
- Ich löse Gleichungen mit Variablen auf beiden Seiten.
- Ich löse Gleichungen mit Klammern.
- Ich löse Sachaufgaben mit Gleichungen.
- Ich erkenne Fehler in Umformungen und begründe.
Merksätze
Ein Term ist eine Rechnung mit einer Variablen.
Dreimal eine Zahl plus 5 heißt 3x + 5. Die Variable steht für die unbekannte Zahl.
Für die Variable eine Zahl einsetzen und ausrechnen.
Bei negativen Zahlen Klammern setzen: 3 · (−2) + 5.
Nur Gleiches wird zusammengefasst: 3x + 5x = 8x. Aber 3x + 5 bleibt, und x² ist nicht x.
Die Zahl vor der Klammer wird mit jedem Summanden multipliziert: 3 · (x + 4) = 3x + 12.
Gemeinsamen Faktor vor die Klammer ziehen: 6x + 9 = 3 · (2x + 3).
Probe durch Ausmultiplizieren.
Eine Gleichung ist eine Waage.
Lösung: die Zahl, die eingesetzt beide Seiten gleich macht. Rückwärtsrechnen: Umkehroperationen in umgekehrter Reihenfolge.
Auf beiden Seiten dasselbe tun, dann bleibt die Waage im Gleichgewicht.
Ziel: x allein auf einer Seite.
Alle x auf eine Seite, alle Zahlen auf die andere.
Das kleinere x-Glied abziehen, dann lösen.
Zuerst alle Klammern auflösen und jede Seite zusammenfassen. Dann wie gewohnt umformen.
Gesuchte Zahl = x. Aus dem Text eine Gleichung machen, lösen, Probe am Text, Antwortsatz.
Drei Fallen beim Umformen von Termen.
Nur einen Summanden multipliziert, Minus vor der Klammer vergessen, x und x² addiert.
Selbst abfragen
Tippen dreht um, Wischen blättert.Leertaste dreht um, Pfeiltasten blättern.
Eselsbrücken
- Was du links tust, tu auch rechts – die Waage bleibt im Gleichgewicht
- Ziel: x allein auf einer Seite – „x will allein sein“ – Erst Strichrechnung wegbringen (+/−), dann Punktrechnung (·/:).
- KlaPoPuS – Klammer, Potenz, Punkt, Strich – Reihenfolge beim Rechnen: Klammern zuerst, dann Potenzen, dann Punktrechnung, dann Strichrechnung.
- Minus mal Minus gibt Plus – der Feind meines Feindes ist mein Freund – (−3)·(−4) = +12. Ein Minus dreht das Vorzeichen um, zwei drehen zurück.
- Quadrat, doppeltes Produkt, Quadrat – (a ± b)² = a² ± 2ab + b²; (a+b)(a−b) = a² − b²
- Klammer auflösen: Jeder mit jedem – wie beim Händeschütteln – (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd. Jeder Summand der ersten Klammer schüttelt jedem der zweiten die Hand.
So geht es – ein Beispiel je Aufgabenart
Ein Streamingdienst kostet 7 € im Monat, dazu einmalig 20 € Anmeldegebühr.
a) Stelle einen Term für die Gesamtkosten auf.
b) Berechne den Wert für x = 6.
- a) x = Anzahl der Monate
- Term: 7x + 20
- b) einsetzen: x = 6
- 7 · 6 + 20 = 42 + 20
- = 62
Ergebnis: a) 7x + 20 b) 62
Das 2-Fache einer Zahl, vermehrt um 15, ergibt 21. Stelle eine Gleichung auf und löse sie.
- Gleichung: 2x + 15 = 21
- 2x = 6
- x = 3
Ergebnis: x = 3
Berechne den Wert des Terms 2x² + 1 für x = 6.
- x² = 6² = 6 · 6 = 36
- 2 · 36 + 1 = 73
Ergebnis: 73
Die Tabelle gehört zu einem der drei Terme. Welcher ist es? Begründe.
A: 7x + 6
B: 6x + 7
C: 5x + 8
- x = 1 einsetzen: Alle drei Terme ergeben 13. Ein Wert reicht nicht.
- x = 2 einsetzen: A ergibt 20, B ergibt 19, C ergibt 18.
- In der Tabelle steht bei x = 2 der Wert 19. Nur B passt.
- Probe mit x = 4: 6 · 4 + 7 = 31.
Ergebnis: B: 6x + 7
Wörter
- Term
- eine Rechnung ohne Gleichheitszeichen
- Variable
- ein Buchstabe, der für eine Zahl steht
Typische Fehler – so sieht es falsch aus, so richtig
3(x + 4) = 3x + 4
3(x + 4) = 3x + 12
3(x + 4) = 3x + 12, nicht 3x + 4.
2x + 5 = 13 | −5 2x = 13
2x + 5 = 13 | −5 2x = 8
Beide Seiten gleich behandeln.
3x + 2 = 5x
3x + 2 = 3x + 2 (x und Zahlen lassen sich nicht zusammenfassen)
3x + 2 ist nicht 5x.
(−3)² = −9
(−3)² = (−3) · (−3) = 9
(−3)² = 9, nicht −9. Klammern setzen.
Wo brauchst du das?
Handytarif als Formel, Taschengeldregel, Rezept-Formel. Beruf: Programmieren, Tabellenkalkulation, Ingenieurwesen.
Weiter lesen und ausprobieren – auf fremden Seiten
- Serlo: Erklärungen und Aufgaben zu „Terme und Gleichungen“ (CC BY-SA 4.0 – nur verlinkt)
- PhET-Simulation (University of Colorado Boulder): Gleichungen als Waage (CC BY-NC 4.0 – nur verlinkt)
- IQB-Beispielaufgaben: Freigegebene VERA-Aufgaben mit Lösungen und Kompetenzstufen (für den Unterricht freigegeben – nur verlinkt)
Zum Ausdrucken: Drucken-Befehl des Browsers – die Seite ist dafür gebaut. Üben geht am Handy über den Code deiner Klasse, nicht hier.