Terme mit Klammern und binomische Formeln
Das lernst du
- Ich multipliziere Summen miteinander und zeige es am Rechteck.
- Ich löse Klammern mit einem Minus davor sicher auf.
- Ich leite die erste und zweite binomische Formel am Quadrat her und wende sie an.
- Ich nutze die dritte binomische Formel, auch zum Kopfrechnen.
- Ich faktorisiere mit Ausklammern und binomischen Formeln.
- Ich löse Gleichungen, in denen Produkte von Summen stehen.
- Ich beschreibe Flächenänderungen mit Termen.
- Ich finde Fehler in Umformungen und begründe sie.
Merksätze
Jedes Glied der ersten Klammer wird mit jedem Glied der zweiten multipliziert.
So wird (x + 3) · (x + 5) = x² + 5x + 3x + 15 = x² + 8x + 15. Am Rechteck sind das vier Teilflächen.
Ein Minus vor der Klammer dreht jedes Vorzeichen in der Klammer.
So wird 10 − (x − 4) = 10 − x + 4 = 14 − x.
(a + b)² = a² + 2ab + b² und (a − b)² = a² − 2ab + b².
Das Mittelglied 2ab sind die zwei Rechtecke im Quadrat.
(a + b) · (a − b) = a² − b². Damit rechnet man geschickt: 49 · 51 = 50² − 1² = 2499.
Faktorisieren heißt: eine Summe als Produkt schreiben.
Erst ausklammern, dann eine binomische Formel suchen: x² − 9 = (x + 3) · (x − 3).
Erst beide Seiten ausmultiplizieren.
Fällt x² auf beiden Seiten weg, bleibt eine einfache Gleichung, die man wie gewohnt löst.
Wächst ein Quadrat, wachsen zwei Streifen und eine kleine Ecke mit.
Bei Seite x und 2 mehr ist die Fläche um (x + 2)² − x² = 4x + 4 größer.
Falsch ist, (a + b)² als a² + b² zu schreiben – das Mittelglied fehlt.
Falsch ist, bei −(a − b) nur ein Vorzeichen zu drehen. Richtig sind a² + 2ab + b² und −a + b.
Selbst abfragen
Tippen dreht um, Wischen blättert.Leertaste dreht um, Pfeiltasten blättern.
So geht es – ein Beispiel je Aufgabenart
Ein Rechteck hat die Seiten (x + 1) cm und (x + 9) cm. Schreibe seinen Flächeninhalt als Summe ohne Klammern.
- A = (x + 1) · (x + 9)
- Jedes Glied mit jedem, zuerst x: x · x → x² und x · 9 → 9x
- Dann 1: 1 · x → x und 1 · 9 → 9
- Zusammenfassen: x² + 10x + 9
Ergebnis: x² + 10x + 9
Multipliziere aus: 2(2x − 12)
- 2 · 2x = 4x
- 2 · (−12) = −24
Ergebnis: 4x − 24
Löse die Klammer auf: −(9x − 9)
- Minus vor der Klammer: jedes Vorzeichen in der Klammer dreht sich.
- 9x wird zu −9x, −9 wird zu +9.
- −9x + 9
Ergebnis: −9x + 9
Ergänze die Lücke: (x − 1)² = x² − ___ + 1
- Zweite binomische Formel: (p − q)² = p² − 2pq + q²
- Das Mittelglied ist 2 · x · 1 = 2x
- x² − 2x + 1
Ergebnis: 2x
Wörter
- Summe
- was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Typische Fehler – so sieht es falsch aus, so richtig
(x + 3) · (x + 5) = x² + 15
(x + 3) · (x + 5) = x² + 5x + 3x + 15 = x² + 8x + 15
Vier Teilflächen im Rechteck: Jedes Glied der einen Klammer mal jedes der anderen.
10 − (x − 4) = 10 − x − 4 = 6 − x
10 − (x − 4) = 10 − x + 4 = 14 − x
Minus vor der Klammer dreht jedes Vorzeichen in der Klammer.
(x + 4)² = x² + 16
(x + 4)² = x² + 8x + 16
(a + b)² hat drei Glieder: a² + 2ab + b². Die zwei Rechtecke im Quadrat nicht vergessen.
(3x)² = 3x²
(3x)² = 3² · x² = 9x²
(3x)² = 9x², und Summe mal Differenz hat kein Mittelglied: (a + b) · (a − b) = a² − b².
Wo brauchst du das?
Kopfrechentricks, Beete und Zimmer vergrößern. Beruf: Zuschnitt im Handwerk, Formeln in der Tabellenkalkulation.
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- Serlo: Erklärungen und Aufgaben zu „Terme und Gleichungen“ (CC BY-SA 4.0 – nur verlinkt)
- PhET-Simulation (University of Colorado Boulder): Gleichungen als Waage (CC BY-NC 4.0 – nur verlinkt)
- IQB-Beispielaufgaben: Freigegebene VERA-Aufgaben mit Lösungen und Kompetenzstufen (für den Unterricht freigegeben – nur verlinkt)
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