Trigonometrie
Das lernst du
- Ich benenne Gegenkathete, Ankathete, Hypotenuse zum Winkel.
- Ich bestimme den Sinus als Verhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse.
- Ich berechne Seiten mit Sinus.
- Ich nutze Kosinus und Tangens.
- Ich berechne Winkel mit den Umkehrfunktionen.
- Ich löse Sachaufgaben (Steigung, Höhe, Schatten).
- Ich berechne in allgemeinen Dreiecken über Höhen.
- Ich verbinde Trigonometrie und Pythagoras.
- Ich bereite die Abschlussprüfung vor.
Merksätze
Vom Winkel aus gesehen: Gegenkathete gegenüber, Ankathete daneben.
Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber.
sin α = Gegenkathete : Hypotenuse.
Ein Seitenverhältnis – hängt nur vom Winkel ab, nicht von der Größe des Dreiecks.
Gegenkathete = sin α · Hypotenuse.
Hypotenuse = Gegenkathete : sin α. Taschenrechner auf DEG.
sin = Gegenkathete/Hypotenuse, cos = Ankathete/Hypotenuse, tan = Gegenkathete/Ankathete.
Erst das Verhältnis, dann die Umkehrfunktion: α = sin⁻¹(…).
Am Rechner SHIFT + sin, cos oder tan.
Skizze, rechten Winkel markieren, Winkel eintragen, Seiten benennen.
Dann die passende Funktion wählen.
Höhe einzeichnen → zwei rechtwinklige Dreiecke. In jedem mit sin, cos, tan rechnen.
Selbst abfragen
Tippen dreht um, Wischen blättert.Leertaste dreht um, Pfeiltasten blättern.
Eselsbrücken
- GAGA HühnerHof AG: Gegenkathete/Ankathete – sin = G/H, cos = A/H, tan = G/A – G-A-G-A über H-H-A-G lesen: sin, cos, tan.
So geht es – ein Beispiel je Aufgabenart
Das Dreieck ABC ist rechtwinklig, der rechte Winkel liegt bei C. Welche Seite ist die Gegenkathete von α?
- Hypotenuse: gegenüber dem rechten Winkel, also c.
- Gegenkathete: gegenüber vom Winkel α, also a.
- Ankathete: liegt am Winkel α an und ist nicht die Hypotenuse, also b.
Ergebnis: Gegenkathete a
Eine Leiter lehnt an einer Wand, der Boden ist waagerecht. Die Leiter ist 2,4 m lang, der Winkel α liegt zwischen Leiter und Boden. Welche Strecke ist Hypotenuse, Gegenkathete und Ankathete von α?
- Hypotenuse: gegenüber dem rechten Winkel – Leiter.
- Gegenkathete: liegt α gegenüber – Höhe an der Wand.
- Ankathete: liegt an α an und ist nicht die Hypotenuse – Abstand am Boden.
Ergebnis: Hypotenuse Leiter, Gegenkathete Höhe an der Wand, Ankathete Abstand am Boden
Zwei rechtwinklige Dreiecke haben denselben Winkel α. Im ersten ist die Gegenkathete von α 9 cm und die Hypotenuse 15 cm lang, im zweiten 4,5 cm und 7,5 cm. Berechne in beiden Gegenkathete : Hypotenuse. Was fällt auf?
- Erstes Dreieck: 9 : 15 = 0,6.
- Zweites Dreieck: 4,5 : 7,5 = 0,6.
- Beide Verhältnisse sind gleich. Die Dreiecke sind ähnlich.
- Das Verhältnis hängt nur vom Winkel α ab. Es heißt Sinus von α.
Ergebnis: beide 0,6; gleicher Winkel, gleiches Verhältnis (sin α)
Rechtwinkliges Dreieck: Hypotenuse c = 4 cm, Winkel α = 30°. Berechne die Gegenkathete a.
- sin(α) = a/c → a = c · sin(30°)
- a = 4 · 0,5 ≈ 2 cm
Ergebnis: ≈ 2 cm
Wörter
- Hypotenuse
- die längste Seite, gegenüber vom rechten Winkel
Typische Fehler – so sieht es falsch aus, so richtig
sin α = Ankathete / Hypotenuse
sin α = Gegenkathete / Hypotenuse
Die Gegenkathete liegt dem Winkel gegenüber.
Wo brauchst du das?
Steigung am Berg, Höhe eines Turms aus der Entfernung. Beruf: Vermessung, Luftfahrt, Musik (Schwingungen), Bau.
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- Serlo: Erklärungen und Aufgaben zu „Geometrie“ (CC BY-SA 4.0 – nur verlinkt)
- GeoGebra: Konstruieren mit Zirkel und Lineal (GeoGebra-Lizenz (Fassung November 2025), kommerziell nur mit Sonderlizenz – nur verlinkt)
- Berliner Prüfungsaufgaben (ISQ, MSA und Abitur): Aufgaben vergangener Jahre – MSA, eBBR, Abitur (für Schulen freigegeben – nur verlinkt)
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