Vektoren im Raum
Das lernst du
- Ich zeichne Punkte im dreidimensionalen Koordinatensystem.
- Ich rechne mit Vektoren: Addition, Vielfache, Verbindungsvektoren.
- Ich berechne Beträge von Vektoren und Abstände von Punkten.
- Ich prüfe Vektoren auf Kollinearität und Punkte auf Lage (Dreieck, Parallelogramm).
- Ich berechne das Skalarprodukt und prüfe auf Orthogonalität.
- Ich berechne Winkel zwischen Vektoren.
- Ich löse geometrische Aufgaben mit Vektoren (Mittelpunkt, Schwerpunkt).
- Ich bereite die Klausur vor.
Merksätze
P(x₁ | x₂ | x₃): erst nach vorn (x₁, schräg), dann nach rechts (x₂), dann nach oben (x₃).
Komponentenweise: Vektor AB = B − A. Addition und Vielfache ebenfalls Komponente für Komponente.
|v| = √(v₁² + v₂² + v₃²) – Pythagoras in drei Dimensionen.
Abstand zweier Punkte = Betrag des Verbindungsvektors.
Zwei Vektoren sind kollinear, wenn einer ein Vielfaches des anderen ist.
a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃. Skalarprodukt 0 heißt: die Vektoren stehen senkrecht.
Der Winkel zwischen zwei Vektoren steckt im Skalarprodukt: cos φ = (a · b) : (|a| · |b|).
Ist das Skalarprodukt 0, stehen sie senkrecht.
Mittelpunkt von AB: ½ · (A + B) komponentenweise.
Schwerpunkt des Dreiecks: ⅓ · (A + B + C).
Selbst abfragen
Tippen dreht um, Wischen blättert.Leertaste dreht um, Pfeiltasten blättern.
Eselsbrücken
- Vektor von A nach B: „Spitze minus Fuß“ – AB = B − A – Zielpunkt minus Startpunkt, koordinatenweise.
- Skalarprodukt null = senkrecht – „Null heißt Neunzig“
So geht es – ein Beispiel je Aufgabenart
Der Punkt P hat die x₃-Koordinate 4. Lies am Bild die beiden anderen Koordinaten ab und gib P vollständig an.
- Entlang der x₁-Achse: 1 Einheiten.
- Dann parallel zur x₂-Achse: 1 Einheiten.
- Dann nach oben parallel zur x₃-Achse: 4 Einheiten.
Ergebnis: P(1 | 1 | 4)
a = (−4 | −4 | 4), b = (2 | 0 | −1). Berechne a + 3 · b.
- komponentenweise: −4 + 3 · (2), −4 + 3 · (0), 4 + 3 · (−1)
- = (2 | −4 | 1)
Ergebnis: (2 | −4 | 1)
Mia berechnet den Vektor von A(−3 | 5 | 3) nach B(1 | 0 | 1) und erhält (4 | −5 | −2). Stimmt das?
- Verbindungsvektor von A nach B: Spitze minus Fuß, also B − A = (4 | −5 | −2).
- Probe: A + (4 | −5 | −2) = (1 | 0 | 1) – das ist B.
Ergebnis: richtig
Berechne den Betrag von v = (−1 | 2 | 2).
- |v| = √(−1)² + 2² + 2²
- = √9 = 3
Ergebnis: 3
Typische Fehler – so sieht es falsch aus, so richtig
|(3; 4)| = 9 + 16 = 25
|(3; 4)| = √(9 + 16) = √25 = 5
Nach dem Quadrieren und Addieren die Wurzel nicht vergessen.
A(1; 2), B(4; 6): AB = A − B = (−3; −4)
A(1; 2), B(4; 6): AB = B − A = (4 − 1; 6 − 2) = (3; 4)
AB = B − A (Spitze minus Fuß).
(1; 2) · (3; 4) = (3; 8)
(1; 2) · (3; 4) = 1 · 3 + 2 · 4 = 11 (eine Zahl, kein Vektor)
Das Skalarprodukt ist eine Zahl, kein Vektor.
Wo brauchst du das?
Navigation, Drohnenflug, Computerspiele. Beruf: Robotik, Spieleentwicklung, Luftfahrt.
Weiter lesen und ausprobieren – auf fremden Seiten
- Serlo: Erklärungen und Aufgaben zu „Vektoren“ (CC BY-SA 4.0 – nur verlinkt)
- GeoGebra: Punkte, Geraden und Ebenen im Raum (GeoGebra-Lizenz (Fassung November 2025), kommerziell nur mit Sonderlizenz – nur verlinkt)
- Berliner Prüfungsaufgaben (ISQ, MSA und Abitur): Aufgaben vergangener Jahre – MSA, eBBR, Abitur (für Schulen freigegeben – nur verlinkt)
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