Wahrscheinlichkeit
Das lernst du
- Ich unterscheide sicher, möglich, unmöglich und schätze Wahrscheinlichkeiten ein.
- Ich bestimme relative Häufigkeiten und nutze sie als Schätzung.
- Ich berechne Laplace-Wahrscheinlichkeiten (günstig durch möglich).
- Ich zeichne Baumdiagramme für zweistufige Zufallsexperimente.
- Ich wende die Pfadregel an (mit Zurücklegen).
- Ich wende die Pfadregel an (ohne Zurücklegen).
- Ich nutze das Gegenereignis („mindestens ein …“).
Merksätze
Eine Zahl zwischen 0 (unmöglich) und 1 (sicher).
Viele Versuche → relative Häufigkeit nähert sich der Wahrscheinlichkeit (Gesetz der großen Zahlen).
Wie oft es passiert ist, geteilt durch die Anzahl der Versuche.
Alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich? Dann P = günstige : mögliche Ergebnisse.
Jede Stufe ein Verzweigungspunkt.
Entlang eines Pfades multiplizieren, mehrere Pfade addieren.
Entlang eines Pfades multiplizieren, mehrere Pfade addieren.
Nach jedem Zug ändert sich die Urne.
Die Brüche auf der zweiten Stufe haben einen kleineren Nenner.
„Mindestens eins“ rechnet man am einfachsten über „keins“: 1 − P(keins).
Selbst abfragen
Tippen dreht um, Wischen blättert.Leertaste dreht um, Pfeiltasten blättern.
Eselsbrücken
- Pfadregeln: „Längs mal, quer plus“ – entlang eines Pfads multiplizieren, mehrere Pfade addieren – Erste Pfadregel (Produkt), zweite Pfadregel (Summe).
- Gegenereignis: „mindestens einmal“ = 1 − „keinmal“
So geht es – ein Beispiel je Aufgabenart
In der Dose sind eine rote Kugel und eine blaue Kugel. Du ziehst eine. Ist „rot“ sicher, möglich oder unmöglich? Und „grün“?
- rot: möglich (es gibt rote)
- grün: unmöglich (keine grüne)
Ergebnis: rot möglich · grün unmöglich
Beim Würfeln kommt eine Zahl kleiner als 7.
Sicher, möglich oder unmöglich? Begründe. Gib die Wahrscheinlichkeit an, wenn es geht.
- Skala: 0 = unmöglich, 1 = sicher
- Antwort: sicher
- Begründung: alle sechs Augenzahlen sind kleiner als 7
- P = 1
Ergebnis: sicher (P = 1)
Ein Reißnagel wurde 50-mal geworfen, er landete 6-mal auf der Spitze. Berechne die relative Häufigkeit.
- h = 6 : 50 = 0,12
Ergebnis: 0,12 = 12 %
Ein Würfel wird einmal geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, eine 6 zu würfeln.
- günstige : mögliche Ergebnisse
- 1 : 6 = 0,167
Ergebnis: 16 ≈ 16,7 %
Wörter
- Häufigkeit
- wie oft etwas vorkommt
- Wahrscheinlichkeit
- wie sicher etwas passiert
Typische Fehler – so sieht es falsch aus, so richtig
3 rote von 8 Kugeln: P = 8/3
P = 3/8 (günstig durch möglich)
Der Nenner ist immer die Anzahl aller möglichen Ergebnisse.
P(rot, dann blau) = 0,4 + 0,25
P(rot, dann blau) = 0,4 · 0,25 = 0,1
Entlang eines Pfades wird multipliziert.
mindestens einmal Sechs bei 3 Würfen: 3 · 1/6
1 − (5/6)³ ≈ 0,42
„mindestens eins“ = 1 − P(keins).
Wo brauchst du das?
Lotto, Würfelspiele, Regenwahrscheinlichkeit. Beruf: Versicherung, Medizin (Tests), Qualitätskontrolle.
Weiter lesen und ausprobieren – auf fremden Seiten
- Serlo: Erklärungen und Aufgaben zu „Wahrscheinlichkeit“ (CC BY-SA 4.0 – nur verlinkt)
- PhET-Simulation (University of Colorado Boulder): Galtonbrett: Zufall und Verteilung (CC BY-NC 4.0 – nur verlinkt)
- Statistisches Bundesamt: Echte Zahlen für Diagramme und Mittelwerte (Datenlizenz Deutschland 2.0 – nur verlinkt)
- Deutscher Wetterdienst, offene Daten: Wetterdaten je Station – für Mittelwert, Spannweite, Diagramm (GeoNutzV / Datenlizenz Deutschland – nur verlinkt)
- IQB-Beispielaufgaben: Freigegebene VERA-Aufgaben mit Lösungen und Kompetenzstufen (für den Unterricht freigegeben – nur verlinkt)
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