Winkel an Geraden und in Figuren
Das lernst du
- Ich bestimme Nebenwinkel und Scheitelwinkel an zwei sich schneidenden Geraden.
- Ich erkenne Stufenwinkel und Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen.
- Ich berechne alle acht Winkel an einer Parallelenkreuzung aus einem Winkel.
- Ich begründe die Winkelsumme im Dreieck mit Wechselwinkeln.
- Ich berechne fehlende Winkel im Dreieck und ordne Dreiecke nach ihren Winkeln.
- Ich nutze gleiche Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck.
- Ich berechne Winkelsummen in Vierecken und Vielecken.
- Ich berechne Winkel in zusammengesetzten Figuren und begründe jeden Schritt.
Merksätze
Zwei Geraden schneiden sich und bilden vier Winkel.
Nebenwinkel liegen nebeneinander und ergänzen sich zu 180°. Scheitelwinkel liegen sich gegenüber und sind gleich groß.
Wenn eine Gerade zwei Parallelen schneidet, entstehen Stufenwinkel und Wechselwinkel.
Stufenwinkel liegen an derselben Stelle, Wechselwinkel über Kreuz. An Parallelen sind beide gleich groß.
An zwei geschnittenen Parallelen gibt es acht Winkel, aber nur zwei Größen.
Ist ein Winkel bekannt, sind es alle: gleich groß oder zusammen 180°.
In jedem Dreieck ergeben die drei Winkel zusammen 180°.
Die Parallele durch C zeigt es: α und β tauchen dort als Wechselwinkel wieder auf, und mit γ bilden sie einen gestreckten Winkel.
Der größte Winkel entscheidet über die Art des Dreiecks.
Unter 90° heißt spitzwinklig, genau 90° rechtwinklig, darüber stumpfwinklig. Zwei stumpfe Winkel passen nie in ein Dreieck.
Im gleichschenkligen Dreieck sind zwei Seiten gleich lang, die Schenkel.
Die Winkel an der Basis sind gleich groß. Kennt man die Spitze, ist jeder Basiswinkel (180° − Spitze) : 2.
Eine Diagonale zerlegt jedes Viereck in zwei Dreiecke: 360°.
Ein Vieleck zerfällt von einer Ecke aus in so viele Dreiecke, wie es Ecken hat, weniger zwei. Das Sechseck hat 4 · 180° = 720°.
In zusammengesetzten Figuren führt eine Kette zum Ziel.
Jeder Schritt nennt seinen Grund: Nebenwinkel, Scheitelwinkel, Stufenwinkel, Wechselwinkel, Winkelsumme oder Basiswinkel. Ohne Grund ist ein Schritt nur geraten.
Selbst abfragen
Tippen dreht um, Wischen blättert.Leertaste dreht um, Pfeiltasten blättern.
So geht es – ein Beispiel je Aufgabenart
Lies im Bild ab, welcher Winkel an den zwei Geraden gegeben ist. Bestimme den Winkel mit dem Fragezeichen.
- γ liegt α gegenüber: γ und α sind Scheitelwinkel.
- Scheitelwinkel sind gleich groß.
- γ = 35°
Ergebnis: 35°
An zwei sich schneidenden Geraden sind α und γ zusammen 70°. Wie groß ist β?
- α und γ sind Scheitelwinkel, also gleich groß.
- α = 70° : 2 = 35°
- β ist Nebenwinkel von α: 180° − 35° = 145°
Ergebnis: 145°
Die Parallelen g und h werden von der Geraden s geschnitten. Wie liegen δ und ζ zueinander: Stufenwinkel oder Wechselwinkel?
- δ liegt an g, ζ liegt an h.
- Beide liegen zwischen g und h, auf verschiedenen Seiten von s.
- δ und ζ sind Wechselwinkel.
Ergebnis: Wechselwinkel
Anna zeichnet zwei Linien g und h und eine dritte Linie s quer darüber. Sie misst γ = 40° und η = 40°. Hat sie parallele Linien gezeichnet?
- γ und η sind Stufenwinkel.
- Nur an Parallelen sind Stufenwinkel gleich groß.
- 40° und 40° sind gleich: g und h sind parallel.
Ergebnis: ja
Wörter
- Gleichung
- zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Typische Fehler – so sieht es falsch aus, so richtig
α = 70°, β ist Nebenwinkel von α → β = 70°
α = 70°, β ist Nebenwinkel von α → β = 180° − 70° = 110°
Nebenwinkel liegen nebeneinander und ergeben zusammen 180°. Scheitelwinkel liegen sich gegenüber und sind gleich groß.
Stufenwinkel 64° und 61° → g und h sind parallel
Stufenwinkel 64° und 61° → 64° ≠ 61° → g und h sind nicht parallel
Gleich groß sind sie nur an Parallelen. Erst prüfen, dann übertragen.
Dreieck mit 50° und 60° → dritter Winkel 360° − 110° = 250°
Dreieck mit 50° und 60° → dritter Winkel 180° − 110° = 70°
Die drei Winkel ergeben zusammen 180°, nicht 360°. Von 180° die beiden bekannten abziehen.
Dreieck mit 30° und 25° → sieht flach aus → spitzwinklig
Dreieck mit 30° und 25° → dritter Winkel 180° − 55° = 125° → stumpfwinklig
Den dritten Winkel ausrechnen und den größten nehmen: Er entscheidet.
Gleichschenklig, Spitze 40° → Basiswinkel 40°
Gleichschenklig, Spitze 40° → Basiswinkel (180° − 40°) : 2 = 70°
Die zwei gleichen Winkel liegen an der Basis. Die Spitze ist 180° minus beide Basiswinkel.
Sechseck mit 6 Ecken → 6 Dreiecke → 6 · 180° = 1080°
Sechseck mit 6 Ecken → 4 Dreiecke → 4 · 180° = 720°
Von einer Ecke aus zählen: Ecken minus zwei Dreiecke, jedes mit 180°. Das Viereck hat 360°.
Wo brauchst du das?
Straßenkreuzungen, Dachgiebel, Fliesen und Bienenwaben. Beruf: Zimmerei und Dachdeckerei, Fliesenlegen, Vermessung.
Weiter lesen und ausprobieren – auf fremden Seiten
- Serlo: Erklärungen und Aufgaben zu „Geometrie“ (CC BY-SA 4.0 – nur verlinkt)
- GeoGebra: Konstruieren mit Zirkel und Lineal (GeoGebra-Lizenz (Fassung November 2025), kommerziell nur mit Sonderlizenz – nur verlinkt)
- IQB-Beispielaufgaben: Freigegebene VERA-Aufgaben mit Lösungen und Kompetenzstufen (für den Unterricht freigegeben – nur verlinkt)
Zum Ausdrucken: Drucken-Befehl des Browsers – die Seite ist dafür gebaut. Üben geht am Handy über den Code deiner Klasse, nicht hier.