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Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

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Kongruenzabbildungen im Koordinatensystem

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Ein Muster mit zwölf Ecken im Koordinatensystem soll um 3 Kästchen nach rechts und 5 Kästchen nach unten rücken. Gib die neuen Koordinaten aller Ecken an.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Wer jede Ecke einzeln im Gitter abzählt, verzählt sich beim Übergang zu negativen Koordinaten. Einzelne Ecken landen an der falschen Stelle, und das Muster ist danach schief. Ein Pfeil beschreibt die ganze Verschiebung auf einmal: 3 nach rechts heißt x plus 3, 5 nach unten heißt y minus 5. Das gilt für jede Ecke gleich – eine Regel statt zwölf Abzählungen.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Ein Punkt hat erst den Weg nach rechts, dann nach oben.

  1. ●26
    Zeichne den Punkt P(7 | 1) ins Koordinatensystem. Welcher Wert steht für rechts/links, welcher für oben/unten?
    Lösung zeigen
    1. Erste Zahl = x (waagerecht rechts), zweite = y (senkrecht oben)
    2. 7 nach rechts, 1 nach oben
    Ergebnis:
    x = 7 nach rechts, y = 1 nach oben
  2. ●27
    Spiegle P(4 | 4) an der y-Achse. Wo liegt der Bildpunkt P'?
    Lösung zeigen
    1. Spiegeln an der y-Achse: x wechselt das Vorzeichen, y bleibt
    2. P'(−4 | 4)
    Ergebnis:
    P'(−4 | 4)

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenAbbildungen bewegen die ganze Figur

Verschieben, Spiegeln und Drehen bewegen jede Ecke nach derselben Regel. Die Figur wird nur verlegt, nicht verformt: Längen und Winkel bleiben gleich. Nur beim Spiegeln an einer Achse läuft das Bild andersherum.

WeiterdenkenDenk nach

Ein Dreieck wird verschoben, dann gespiegelt und dann gedreht. Warum hat das Bild trotzdem denselben Umfang wie das Dreieck?

1Ich verschiebe Figuren mit einem Verschiebungspfeil und gebe die Bildpunkte an.

EntdeckenFrage

Warum steht auf der Motorhaube mancher Rettungswagen die Schrift spiegelverkehrt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer vorne fährt, sieht den Rettungswagen im Rückspiegel. Der Spiegel spiegelt die Schrift an einer senkrechten Achse noch einmal. Zweimal gespiegelt ist die Schrift wieder richtig herum lesbar.

MerkenVerschiebungspfeil

Bei einer Verschiebung geht jeder Punkt denselben Weg.

Der Pfeil nennt ihn nach rechts oder links und nach oben oder unten. So wird A(1 | 4) zu A'(4 | 2).

BeispielFiguren verschieben

Der grüne Pfeil gibt die Verschiebung an. Bestimme die Bildpunkte A', B' und C' des Dreiecks mit A(4 | −2), B(1 | 1), C(−2 | −3).
−6−4−2246−6−4−2246ABC
Schritt für Schritt
  1. Jeder Punkt geht denselben Weg: 2 nach rechts und 1 nach unten.
  2. A(4 | −2) → A'(6 | −3)
  3. B(1 | 1) → B'(3 | 0)
  4. C(−2 | −3) → C'(0 | −4)
  1. Jeder Punkt geht denselben Weg: 2 nach rechts und 1 nach unten.
  2. A(4 | −2) → A'(6 | −3)
  3. B(1 | 1) → B'(3 | 0)
  4. C(−2 | −3) → C'(0 | −4)
Ergebnis:
A'(6 | −3), B'(3 | 0), C'(0 | −4)

AchtungVerschiebung falsch abgezählt

So nicht
A(1 | 2) um 3 nach rechts und 2 nach unten → A'(3 | 5)
So richtig
x: 1 + 3 = 4, y: 2 − 2 = 0 → A'(4 | 0)

Zähle den Pfeil in Kästchen: erst rechts oder links, dann oben oder unten. Jeder Punkt geht genau diesen Weg.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Verschiebe das Dreieck mit A(1 | 3), B(0 | −1), C(−3 | −2) um 1 nach rechts und 3 nach unten. Wo liegen die Bildpunkte A', B' und C'?
    −6−4−2246−6−4−2246ABC
    So fängst du an:
    Jeder Punkt geht denselben Weg: 1 nach rechts und 3 nach unten.
    Lösung zeigen
    1. Jeder Punkt geht denselben Weg: 1 nach rechts und 3 nach unten.
    2. A(1 | 3) → A'(2 | 0)
    3. B(0 | −1) → B'(1 | −4)
    4. C(−3 | −2) → C'(−2 | −5)
    Ergebnis:
    A'(2 | 0), B'(1 | −4), C'(−2 | −5)
  2. ●2
    Verschiebe das Dreieck mit A(2 | 2), B(4 | 2), C(−3 | −3) um 1 nach rechts und 4 nach oben. Wo liegen die Bildpunkte A', B' und C'?
    −6−4−2246−6−4−2246ABC
    Lösung zeigen
    1. Jeder Punkt geht denselben Weg: 1 nach rechts und 4 nach oben.
    2. A(2 | 2) → A'(3 | 6)
    3. B(4 | 2) → B'(5 | 6)
    4. C(−3 | −3) → C'(−2 | 1)
    Ergebnis:
    A'(3 | 6), B'(5 | 6), C'(−2 | 1)
  3. ★3
    Der grüne Pfeil gibt die Verschiebung an. Bestimme die Bildpunkte A', B' und C' des Dreiecks mit A(1 | −3), B(4 | −2), C(−2 | 0).
    −6−4−2246−6−4−2246ABC
    Lösung zeigen
    1. Jeder Punkt geht denselben Weg: 3 nach links und 4 nach oben.
    2. A(1 | −3) → A'(−2 | 1)
    3. B(4 | −2) → B'(1 | 2)
    4. C(−2 | 0) → C'(−5 | 4)
    Ergebnis:
    A'(−2 | 1), B'(1 | 2), C'(−5 | 4)

2Ich spiegle Figuren an Achsen, die nicht die Koordinatenachsen sind.

EntdeckenFrage

Warum kann man im Spiel Tetris das S-Teil nicht so drehen, dass es wie das Z-Teil aussieht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

S und Z sind Spiegelbilder voneinander. Im Spiel darf man Steine nur verschieben und drehen. Dabei bleibt der Umlaufsinn gleich, und nur eine Achsenspiegelung könnte ihn umkehren.

MerkenSpiegeln an einer Geraden

Der Bildpunkt liegt gleich weit hinter der Achse.

An der Geraden x = 2 wird P(5 | 1) zu P'(−1 | 1). P liegt 3 rechts von der Achse, P' liegt 3 links davon.

BeispielAn einer Geraden spiegeln

Spiegle das Dreieck mit A(1 | −2), B(−3 | −5), C(1 | −5) an der waagerechten Geraden y = −3.
−6−4−2246−6−4−2246ABC
Schritt für Schritt
  1. Jeder Bildpunkt liegt gleich weit von der Achse entfernt, auf der anderen Seite.
  2. A: 1 über oder unter y = −3 → (1 | −4)
  3. B: 2 über oder unter y = −3 → (−3 | −1)
  4. C: 2 über oder unter y = −3 → (1 | −1)
  1. Jeder Bildpunkt liegt gleich weit von der Achse entfernt, auf der anderen Seite.
  2. A: 1 über oder unter y = −3 → (1 | −4)
  3. B: 2 über oder unter y = −3 → (−3 | −1)
  4. C: 2 über oder unter y = −3 → (1 | −1)
Ergebnis:
A'(1 | −4), B'(−3 | −1), C'(1 | −1)

AchtungNur das Vorzeichen gewechselt

So nicht
P(5 | 1) an der Geraden x = 2 spiegeln → P'(−5 | 1)
So richtig
P(5 | 1) liegt 3 rechts von x = 2: 2 − 3 = −1 → P'(−1 | 1)

Das klappt nur an den Koordinatenachsen. Zähle den Abstand zur Achse und trage ihn auf der anderen Seite ab.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Die rote Gerade ist die Spiegelachse. Bestimme die Bildpunkte von A(−2 | −2), B(3 | −5), C(2 | 4).
    −6−4−2246−6−4−2246ABC
    So fängst du an:
    Jeder Bildpunkt liegt gleich weit von der Achse entfernt, auf der anderen Seite.
    Lösung zeigen
    1. Jeder Bildpunkt liegt gleich weit von der Achse entfernt, auf der anderen Seite.
    2. A: 3 links oder rechts von x = 1 → (4 | −2)
    3. B: 2 links oder rechts von x = 1 → (−1 | −5)
    4. C: 1 links oder rechts von x = 1 → (0 | 4)
    Ergebnis:
    A'(4 | −2), B'(−1 | −5), C'(0 | 4)
  2. ●5
    Die rote Gerade ist die Spiegelachse. Bestimme die Bildpunkte von A(−2 | −5), B(4 | 3), C(2 | −1).
    −6−4−2246−6−4−2246ABC
    Lösung zeigen
    1. Jeder Bildpunkt liegt gleich weit von der Achse entfernt, auf der anderen Seite.
    2. A: 1 links oder rechts von x = −1 → (0 | −5)
    3. B: 5 links oder rechts von x = −1 → (−6 | 3)
    4. C: 3 links oder rechts von x = −1 → (−4 | −1)
    Ergebnis:
    A'(0 | −5), B'(−6 | 3), C'(−4 | −1)
  3. ★6
    Die rote Gerade ist die Spiegelachse. Bestimme die Bildpunkte von A(3 | −3), B(3 | 1), C(0 | −3).
    −6−4−2246−6−4−2246ABC
    Lösung zeigen
    1. An y = x gespiegelt tauschen x und y die Plätze.
    2. A: x und y tauschen → (−3 | 3)
    3. B: x und y tauschen → (1 | 3)
    4. C: x und y tauschen → (−3 | 0)
    Ergebnis:
    A'(−3 | 3), B'(1 | 3), C'(−3 | 0)

3Ich spiegle Figuren an einem Punkt.

EntdeckenFrage

Warum passt der linke Schuh nie rechts?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der linke Schuh ist das Spiegelbild des rechten. Drehen und Verschieben erhalten den Umlaufsinn, Spiegeln kehrt ihn um. Deshalb lässt sich ein Spiegelbild durch keine Drehung auf das Original legen.

MerkenPunktspiegelung

Der Spiegelpunkt Z ist die Mitte zwischen Punkt und Bildpunkt.

Geh von P bis Z und denselben Weg noch einmal. So wird P(3 | 1) an Z(0 | 0) zu P'(−3 | −1).

BeispielAm Punkt spiegeln

Spiegle das Dreieck mit A(3 | 4), B(−5 | 2), C(4 | 3) am Punkt Z(0 | 0).
−6−4−2246−6−4−2246ABCZ
Schritt für Schritt
  1. Von jedem Punkt zu Z gehen und denselben Weg noch einmal.
  2. A bis Z: 3 nach links und 4 nach unten → A'(−3 | −4)
  3. B bis Z: 5 nach rechts und 2 nach unten → B'(5 | −2)
  4. C bis Z: 4 nach links und 3 nach unten → C'(−4 | −3)
  1. Von jedem Punkt zu Z gehen und denselben Weg noch einmal.
  2. A bis Z: 3 nach links und 4 nach unten → A'(−3 | −4)
  3. B bis Z: 5 nach rechts und 2 nach unten → B'(5 | −2)
  4. C bis Z: 4 nach links und 3 nach unten → C'(−4 | −3)
Ergebnis:
A'(−3 | −4), B'(5 | −2), C'(−4 | −3)

AchtungBeim Punktspiegeln nur bis zum Spiegelpunkt gegangen

So nicht
P(4 | 2) an Z(1 | 1) spiegeln: 3 nach links und 1 nach unten → P'(1 | 1)
So richtig
Bis Z und denselben Weg noch einmal → P'(−2 | 0)

Z ist die Mitte. Geh von P bis Z und dann denselben Weg noch einmal weiter.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Spiegle das Dreieck mit A(0 | −4), B(4 | −4), C(2 | −1) am Punkt Z(0 | 0).
    −6−4−2246−6−4−2246ABCZ
    So fängst du an:
    Von jedem Punkt zu Z gehen und denselben Weg noch einmal.
    Lösung zeigen
    1. Von jedem Punkt zu Z gehen und denselben Weg noch einmal.
    2. A bis Z: 4 nach oben → A'(0 | 4)
    3. B bis Z: 4 nach links und 4 nach oben → B'(−4 | 4)
    4. C bis Z: 2 nach links und 1 nach oben → C'(−2 | 1)
    Ergebnis:
    A'(0 | 4), B'(−4 | 4), C'(−2 | 1)
  2. ●8
    Bestimme das Bild des Dreiecks A(−2 | 4), B(1 | 1), C(0 | 0) bei der Punktspiegelung an Z(0 | 0).
    −6−4−2246−6−4−2246ABCZ
    Lösung zeigen
    1. Von jedem Punkt zu Z gehen und denselben Weg noch einmal.
    2. A bis Z: 2 nach rechts und 4 nach unten → A'(2 | −4)
    3. B bis Z: 1 nach links und 1 nach unten → B'(−1 | −1)
    4. C bis Z: gar nicht → C'(0 | 0)
    Ergebnis:
    A'(2 | −4), B'(−1 | −1), C'(0 | 0)
  3. ★9
    Ein Muster soll punktgespiegelt werden, Spiegelpunkt ist Z(−1 | 0). Wohin kommen die Ecken A(−3 | 4), B(1 | 3), C(3 | 1)?
    −6−4−2246−6−4−2246ABCZ
    Lösung zeigen
    1. Von jedem Punkt zu Z gehen und denselben Weg noch einmal.
    2. A bis Z: 2 nach rechts und 4 nach unten → A'(1 | −4)
    3. B bis Z: 2 nach links und 3 nach unten → B'(−3 | −3)
    4. C bis Z: 4 nach links und 1 nach unten → C'(−5 | −1)
    Ergebnis:
    A'(1 | −4), B'(−3 | −3), C'(−5 | −1)

4Ich drehe Figuren um 90° und 180° um einen Punkt.

EntdeckenFrage

Warum sehen die Bildkarten beim Kartenspiel richtig herum aus, egal wie man sie auf der Hand hält?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

König, Dame und Bube sind doppelköpfig gedruckt. Das Bild ist punktsymmetrisch zur Kartenmitte: Nach einer halben Drehung um 180° sieht die Karte genauso aus wie vorher.

MerkenDrehung um ein Zentrum

Beim Drehen wird der Weg vom Zentrum mitgedreht.

Um 90° gegen den Uhrzeigersinn wird aus 2 nach rechts 2 nach oben. Bei 180° kehrt sich der Weg um.

BeispielUm 90° und 180° drehen

Drehe das Dreieck mit A(2 | 5), B(−1 | −1), C(5 | 2) um 180° um Z(0 | 0).
−6−4−2246−6−4−2246ABCZ
Schritt für Schritt
  1. Bei 180° wird der Weg vom Zentrum umgekehrt.
  2. A: 2 nach rechts und 5 nach oben → 2 nach links und 5 nach unten
  3. B: 1 nach links und 1 nach unten → 1 nach rechts und 1 nach oben
  4. C: 5 nach rechts und 2 nach oben → 5 nach links und 2 nach unten
  5. Bildpunkte: A'(−2 | −5), B'(1 | 1), C'(−5 | −2)
  1. Bei 180° wird der Weg vom Zentrum umgekehrt.
  2. A: 2 nach rechts und 5 nach oben → 2 nach links und 5 nach unten
  3. B: 1 nach links und 1 nach unten → 1 nach rechts und 1 nach oben
  4. C: 5 nach rechts und 2 nach oben → 5 nach links und 2 nach unten
  5. Bildpunkte: A'(−2 | −5), B'(1 | 1), C'(−5 | −2)
Ergebnis:
A'(−2 | −5), B'(1 | 1), C'(−5 | −2)

AchtungDrehrichtung oder Drehwinkel vertauscht

So nicht
P(3 | 0) um 90° gegen den Uhrzeigersinn um Z(0 | 0) drehen → P'(0 | −3)
So richtig
Aus 3 nach rechts wird 3 nach oben → P'(0 | 3)

Gegen den Uhrzeigersinn wird aus rechts oben, im Uhrzeigersinn wird aus rechts unten. Prüfe mit einem Blatt Transparentpapier.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Ein Windrad-Flügel hat die Ecken A(2 | −2), B(4 | 4), C(−1 | 4). Er dreht sich um 180° um die Nabe Z(0 | 0). Wo liegen die Ecken danach?
    −6−4−2246−6−4−2246ABCZ
    So fängst du an:
    Bei 180° wird der Weg vom Zentrum umgekehrt.
    Lösung zeigen
    1. Bei 180° wird der Weg vom Zentrum umgekehrt.
    2. A: 2 nach rechts und 2 nach unten → 2 nach links und 2 nach oben
    3. B: 4 nach rechts und 4 nach oben → 4 nach links und 4 nach unten
    4. C: 1 nach links und 4 nach oben → 1 nach rechts und 4 nach unten
    5. Bildpunkte: A'(−2 | 2), B'(−4 | −4), C'(1 | −4)
    Ergebnis:
    A'(−2 | 2), B'(−4 | −4), C'(1 | −4)
  2. ●11
    Drehe das Dreieck mit A(2 | −2), B(−3 | 4), C(2 | 1) um 90° gegen den Uhrzeigersinn um Z(0 | 0).
    −6−4−2246−6−4−2246ABCZ
    Lösung zeigen
    1. Weg vom Zentrum mitdrehen: aus rechts wird oben, aus oben wird links.
    2. A: 2 nach rechts und 2 nach unten → 2 nach rechts und 2 nach oben
    3. B: 3 nach links und 4 nach oben → 4 nach links und 3 nach unten
    4. C: 2 nach rechts und 1 nach oben → 1 nach links und 2 nach oben
    5. Bildpunkte: A'(2 | 2), B'(−4 | −3), C'(−1 | 2)
    Ergebnis:
    A'(2 | 2), B'(−4 | −3), C'(−1 | 2)
  3. ★12
    Bestimme die Bildpunkte bei der Drehung um 90° im Uhrzeigersinn mit dem Drehzentrum Z(−2 | 1): A(−2 | 1), B(3 | 5), C(0 | 5).
    −6−4−2246−6−4−2246ABCZ
    Lösung zeigen
    1. Weg vom Zentrum mitdrehen: aus rechts wird unten, aus oben wird rechts.
    2. A: gar nicht → gar nicht
    3. B: 5 nach rechts und 4 nach oben → 4 nach rechts und 5 nach unten
    4. C: 2 nach rechts und 4 nach oben → 4 nach rechts und 2 nach unten
    5. Bildpunkte: A'(−2 | 1), B'(2 | −4), C'(2 | −1)
    Ergebnis:
    A'(−2 | 1), B'(2 | −4), C'(2 | −1)

5Ich erkenne, durch welche Abbildung eine Figur auf ihr Bild abgebildet wird.

EntdeckenFrage

Nach der Halbzeit wechseln die Mannschaften die Seiten. Warum sieht das Spielfeld für beide trotzdem gleich aus?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das Spielfeld ist punktsymmetrisch zum Anstoßpunkt und achsensymmetrisch zur Mittellinie. Tore, Strafräume und Elfmeterpunkte liegen sich genau gegenüber. Der Seitenwechsel ist eine halbe Drehung um den Anstoßpunkt.

MerkenUmlaufsinn

Nur die Achsenspiegelung kehrt den Umlaufsinn um.

Läuft ABC gegen den Uhrzeigersinn und A'B'C' im Uhrzeigersinn, wurde an einer Achse gespiegelt.

BeispielWelche Abbildung ist es?

Im Bild sind das Dreieck ABC und sein Bild A'B'C'. Welche Abbildung war es?
−6−4−2246−6−4−2246ABCA'B'C'
Schritt für Schritt
  1. Umlaufsinn: ABC gegen den Uhrzeigersinn, A'B'C' gegen den Uhrzeigersinn
  2. Von A nach B: 3 nach rechts und 1 nach oben
  3. Von A' nach B': 3 nach links und 1 nach unten
  4. Also: Punktspiegelung an Z(−1 | −1)
  1. Umlaufsinn: ABC gegen den Uhrzeigersinn, A'B'C' gegen den Uhrzeigersinn
  2. Von A nach B: 3 nach rechts und 1 nach oben
  3. Von A' nach B': 3 nach links und 1 nach unten
  4. Also: Punktspiegelung an Z(−1 | −1)
Ergebnis:
Punktspiegelung

AchtungAbbildung nach dem Aussehen geraten

So nicht
ABC läuft gegen den Uhrzeigersinn, A'B'C' im Uhrzeigersinn → Drehung um 90°
So richtig
Umlaufsinn umgekehrt → Achsenspiegelung

Prüfe zuerst den Umlaufsinn, dann die Richtung einer Seite: gleich, umgekehrt oder um 90° gedreht.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Aus A(2 | 2), B(−2 | 1), C(−4 | 2) wurde A'(−3 | 3), B'(−2 | −1), C'(−3 | −3). Verschiebung, Achsenspiegelung, Punktspiegelung oder Drehung? Begründe.
    −6−4−2246−6−4−2246ABCA'B'C'
    So fängst du an:
    Umlaufsinn: ABC im Uhrzeigersinn, A'B'C' im Uhrzeigersinn
    Lösung zeigen
    1. Umlaufsinn: ABC im Uhrzeigersinn, A'B'C' im Uhrzeigersinn
    2. Von A nach B: 4 nach links und 1 nach unten
    3. Von A' nach B': 1 nach rechts und 4 nach unten
    4. Also: Drehung um 90° gegen den Uhrzeigersinn um Z(−1 | 0)
    Ergebnis:
    Drehung
  2. ●14
    Aus A(−5 | −2), B(−5 | −5), C(−2 | −5) wurde A'(1 | −4), B'(4 | −4), C'(4 | −1). Verschiebung, Achsenspiegelung, Punktspiegelung oder Drehung? Begründe.
    −6−4−2246−6−4−2246ABCA'B'C'
    Lösung zeigen
    1. Umlaufsinn: ABC gegen den Uhrzeigersinn, A'B'C' gegen den Uhrzeigersinn
    2. Von A nach B: 3 nach unten
    3. Von A' nach B': 3 nach rechts
    4. Also: Drehung um 90° gegen den Uhrzeigersinn um Z(−1 | 0)
    Ergebnis:
    Drehung
  3. ★15
    Aus A(−5 | 1), B(−2 | −4), C(3 | −4) wurde A'(−5 | −5), B'(−2 | 0), C'(3 | 0). Verschiebung, Achsenspiegelung, Punktspiegelung oder Drehung? Begründe.
    −6−4−2246−6−4−2246ABCA'B'C'
    Lösung zeigen
    1. Umlaufsinn: ABC gegen den Uhrzeigersinn, A'B'C' im Uhrzeigersinn
    2. Von A nach B: 3 nach rechts und 5 nach unten
    3. Von A' nach B': 3 nach rechts und 5 nach oben
    4. Also: Achsenspiegelung an y = −2
    Ergebnis:
    Achsenspiegelung an y = −2

6Ich erkenne achsensymmetrische, punktsymmetrische und drehsymmetrische Figuren.

EntdeckenFrage

Um wie viel Grad dreht sich der Minutenzeiger zwischen 14:00 Uhr und 14:15 Uhr – und in welche Richtung?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 60 Minuten dreht er sich einmal ganz herum, also um 360°. Eine Viertelstunde ist ein Viertel davon: 90°, im Uhrzeigersinn. In der Mathematik heißt diese Richtung die negative Drehrichtung.

MerkenSymmetrische Figuren

Eine Figur ist symmetrisch, wenn eine Abbildung sie genau auf sich legt.

Das Quadrat hat 4 Achsen, ist punktsymmetrisch und drehsymmetrisch mit 90°.

BeispielAchsen-, Punkt- und Drehsymmetrie

Ist ein regelmäßiges Achteck punktsymmetrisch? Begründe mit einer halben Drehung.
Schritt für Schritt
  1. Halbe Drehung um die Mitte: Die Figur fällt auf sich selbst.
  2. Also punktsymmetrisch.
  1. Halbe Drehung um die Mitte: Die Figur fällt auf sich selbst.
  2. Also punktsymmetrisch.
Ergebnis:
ja

AchtungSymmetriearten verwechselt

So nicht
Der Buchstabe S ist achsensymmetrisch.
So richtig
Beim Falten passt das S nicht, nach einer halben Drehung schon → punktsymmetrisch, nicht achsensymmetrisch

Achsensymmetrisch heißt falten, punktsymmetrisch heißt halbe Drehung. Das S passt nach einer halben Drehung, aber nicht beim Falten.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Der Buchstabe N wird um die Mitte gedreht. Nach welchem kleinsten Winkel passt die Figur zum ersten Mal wieder genau auf sich?
    N
    So fängst du an:
    Die Figur wiederholt sich 2-mal bei einer ganzen Drehung.
    Lösung zeigen
    1. Die Figur wiederholt sich 2-mal bei einer ganzen Drehung.
    2. 360° : 2 = 180°
    Ergebnis:
    180°
  2. ●17
    Wie viele Symmetrieachsen hat ein Drachenviereck, das keine Raute ist?
    Lösung zeigen
    1. Jede Achse teilt die Figur in zwei Hälften, die beim Falten aufeinanderpassen.
    2. Gezählt: 1
    Ergebnis:
    1
  3. ★18
    Ist der Buchstabe S punktsymmetrisch? Begründe mit einer halben Drehung.
    S
    Lösung zeigen
    1. Halbe Drehung um die Mitte: Die Figur fällt auf sich selbst.
    2. Also punktsymmetrisch.
    Ergebnis:
    ja

7Ich begründe mit Abbildungen, dass Figuren kongruent sind.

EntdeckenFrage

Warum sind beim Scherenschnitt aus gefaltetem Papier beide Hälften immer genau gleich, ohne dass man misst?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Faltlinie ist eine Spiegelachse: Jeder Schnitt trifft beide Lagen, und die eine Hälfte ist das Spiegelbild der anderen. Eine Achsenspiegelung ändert keine Länge und keinen Winkel. Also sind die beiden Hälften kongruent.

MerkenKongruente Figuren

Kongruente Figuren lassen sich durch eine Abbildung genau aufeinanderlegen.

Längen und Winkel bleiben dabei gleich. Ist AB 4 Kästchen und DE 5 Kästchen lang, sind sie nicht kongruent.

BeispielWas bleibt beim Abbilden gleich?

Stimmt das? „Bei einer Punktspiegelung wird der Flächeninhalt doppelt so groß.“
Schritt für Schritt
  1. Längen und Winkel bleiben, also auch der Flächeninhalt.
  2. Die Aussage ist falsch.
  1. Längen und Winkel bleiben, also auch der Flächeninhalt.
  2. Die Aussage ist falsch.
Ergebnis:
falsch

AchtungKongruenz nach dem Aussehen entschieden

So nicht
ABC und DEF sehen fast gleich aus, AB ist 4 und DE 5 Kästchen lang → kongruent
So richtig
AB = 4 Kästchen, DE = 5 Kästchen → Längen verschieden → nicht kongruent

Kongruente Figuren haben gleich lange Seiten und gleich große Winkel. Vergleiche die Längen in Kästchen, bevor du entscheidest.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wahr oder falsch? „Figur und Bild sind bei jeder Verschiebung, Spiegelung und Drehung kongruent.“ Begründe.
    So fängst du an:
    Keine dieser Abbildungen ändert Längen oder Winkel.
    Lösung zeigen
    1. Keine dieser Abbildungen ändert Längen oder Winkel.
    2. Die Aussage ist wahr.
    Ergebnis:
    wahr
  2. ●20
    Stimmt das? „Bei einer Achsenspiegelung bleibt der Umlaufsinn erhalten.“
    Lösung zeigen
    1. Das Spiegelbild läuft andersherum: der Umlaufsinn kehrt sich um.
    2. Die Aussage ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch
  3. ★21
    Stimmt das? „Ein Dreieck und seine Vergrößerung sind kongruent.“
    Lösung zeigen
    1. Beim Vergrößern ändern sich die Längen, die Dreiecke sind nicht deckungsgleich.
    2. Die Aussage ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch

8Ich führe zwei Abbildungen nacheinander aus und beschreibe das Ergebnis.

EntdeckenFrage

Warum siehst du dich in zwei Spiegeln, die im rechten Winkel zueinander stehen, seitenrichtig – so wie andere dich sehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das Licht wird erst an dem einen und dann an dem anderen Spiegel gespiegelt. Zwei Spiegelungen an Achsen, die sich schneiden, ergeben zusammen eine Drehung um den doppelten Winkel. Bei 90° ist das eine Drehung um 180°, und die ist nicht mehr seitenverkehrt.

MerkenVerkettung

Zwei Abbildungen hintereinander ergeben wieder eine Abbildung.

Spiegeln an x = 1 und danach an x = 3 ist eine Verschiebung um 4 nach rechts.

BeispielZwei Abbildungen nacheinander

Spiegle P(3 | −2) erst an der Geraden x = 1, dann das Bild an der Geraden x = −2. Wo landet P? Welche einzelne Abbildung leistet dasselbe?
−6−4−2246−6−4−2246P
Schritt für Schritt
  1. Erste Spiegelung: P'(−1 | −2)
  2. Zweite Spiegelung: P''(−3 | −2)
  3. Insgesamt 6 nach links: doppelter Abstand der Achsen
  1. Erste Spiegelung: P'(−1 | −2)
  2. Zweite Spiegelung: P''(−3 | −2)
  3. Insgesamt 6 nach links: doppelter Abstand der Achsen
Ergebnis:
P''(−3 | −2); Verschiebung um 6 nach links

AchtungZwei Abbildungen falsch zusammengefasst

So nicht
Erst an x = 1, dann an x = 3 spiegeln → Verschiebung um 2 nach rechts
So richtig
Doppelter Abstand der Achsen: 2 · 2 = 4 → Verschiebung um 4 nach rechts

Führe beide Abbildungen einzeln aus und vergleiche Start und Ziel. Bei Spiegelungen an parallelen Achsen zählt der doppelte Abstand.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Spiegle P(−1 | −4) an der senkrechten Geraden x = 2 und danach an der waagerechten Geraden y = 0. Wo landet P? Welche einzelne Abbildung ist das?
    −6−4−2246−6−4−2246P
    So fängst du an:
    Erste Spiegelung: P'(5 | −4)
    Lösung zeigen
    1. Erste Spiegelung: P'(5 | −4)
    2. Zweite Spiegelung: P''(5 | 4)
    3. Zusammen: Punktspiegelung am Schnittpunkt der Achsen Z(2 | 0)
    Ergebnis:
    P''(5 | 4); Punktspiegelung an Z(2 | 0)
  2. ●23
    Verschiebe P(1 | −3) erst um 2 nach links und 1 nach unten, dann um 1 nach rechts und 2 nach oben. Wo landet P, und welche eine Verschiebung leistet dasselbe?
    −6−4−2246−6−4−2246P
    Lösung zeigen
    1. Nach der ersten: P'(−1 | −4)
    2. Nach der zweiten: P''(0 | −2)
    3. Zusammen: 1 nach links und 1 nach oben
    Ergebnis:
    P''(0 | −2); Verschiebung um 1 nach links und 1 nach oben

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ★24
    Ein Dreieck wird nacheinander um 90° gedreht, dann an einer Achse gespiegelt, dann an einer Achse gespiegelt. Hat das Bild denselben Umlaufsinn wie das Dreieck? Begründe.
    Lösung zeigen
    1. Um 90° gedreht: Der Umlaufsinn bleibt.
    2. An einer Achse gespiegelt: Der Umlaufsinn kehrt sich um.
    3. An einer Achse gespiegelt: Der Umlaufsinn kehrt sich um.
    4. 2-mal umgekehrt: wieder wie am Anfang
    Ergebnis:
    ja, derselbe Umlaufsinn

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Verschiebungspfeil
Bei einer Verschiebung geht jeder Punkt denselben Weg.
Spiegeln an einer Geraden
Der Bildpunkt liegt gleich weit hinter der Achse.
Punktspiegelung
Der Spiegelpunkt Z ist die Mitte zwischen Punkt und Bildpunkt.
Drehung um ein Zentrum
Beim Drehen wird der Weg vom Zentrum mitgedreht.
Umlaufsinn
Nur die Achsenspiegelung kehrt den Umlaufsinn um.
Symmetrische Figuren
Eine Figur ist symmetrisch, wenn eine Abbildung sie genau auf sich legt.
Kongruente Figuren
Kongruente Figuren lassen sich durch eine Abbildung genau aufeinanderlegen.
Verkettung
Zwei Abbildungen hintereinander ergeben wieder eine Abbildung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich begründe mit Abbildungen, dass Figuren kongruent sind.

    25
    Wahr oder falsch? „Bei einer Drehung bleibt der Umlaufsinn erhalten.“ Begründe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    wahr

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Ein Muster mit zwölf Ecken im Koordinatensystem soll um 3 Kästchen nach rechts und 5 Kästchen nach unten rücken. Gib die neuen Koordinaten aller Ecken an.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Verschiebungspfeil: eine Regel für alle Punkte, x plus 3 und y minus 5.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Fliesenmuster, Spielkarten, Tetris-Steine und Spiegelschrift. Beruf: Technisches Zeichnen, Mediengestaltung, Textil- und Fliesendesign.

Wörter

Achsensymmetrisch
links und rechts gleich, wie gespiegelt
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Kongruent
gleich groß und gleiche Form
Punktsymmetrisch
um den Punkt gedreht sieht es gleich aus

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Koordinatensystem und Symmetrie, Symmetrie und Abbildungen, Rationale Zahlen

Darauf baut auf: Ähnlichkeit und Strahlensätze

Lösungen

  1. A'(2 | 0), B'(1 | −4), C'(−2 | −5)
  2. A'(3 | 6), B'(5 | 6), C'(−2 | 1)
  3. A'(−2 | 1), B'(1 | 2), C'(−5 | 4)
  4. A'(4 | −2), B'(−1 | −5), C'(0 | 4)
  5. A'(0 | −5), B'(−6 | 3), C'(−4 | −1)
  6. A'(−3 | 3), B'(1 | 3), C'(−3 | 0)
  7. A'(0 | 4), B'(−4 | 4), C'(−2 | 1)
  8. A'(2 | −4), B'(−1 | −1), C'(0 | 0)
  9. A'(1 | −4), B'(−3 | −3), C'(−5 | −1)
  10. A'(−2 | 2), B'(−4 | −4), C'(1 | −4)
  11. A'(2 | 2), B'(−4 | −3), C'(−1 | 2)
  12. A'(−2 | 1), B'(2 | −4), C'(2 | −1)
  13. Drehung
  14. Drehung
  15. Achsenspiegelung an y = −2
  16. 180°
  17. 1
  18. ja
  19. wahr
  20. falsch
  21. falsch
  22. P''(5 | 4); Punktspiegelung an Z(2 | 0)
  23. P''(0 | −2); Verschiebung um 1 nach links und 1 nach oben
  24. ja, derselbe Umlaufsinn
  25. wahr
  26. x = 7 nach rechts, y = 1 nach oben
  27. P'(−4 | 4)