Mathematik · Klasse 11 · Kapitel

Einführung in die Differenzialrechnung

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Ein Auto fährt s(t) = 2t² Meter in t Sekunden. Wie schnell ist es genau bei t = 3? Du kennst nur Weg durch Zeit.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Weg durch Zeit gibt den Durchschnitt von 0 bis 3, nicht die Geschwindigkeit bei 3. Wer das Intervall verkleinert, bekommt immer andere Werte – und nie den genauen. Das Intervall gegen Null gehen lassen: Der Grenzwert ist die Momentangeschwindigkeit, 12 Meter je Sekunde. Das ist die Ableitung.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Die Steigung einer Geraden ist überall gleich – bei einer Kurve ändert sie sich von Punkt zu Punkt.

●44
Eine Gerade geht durch P(0|−4) und Q(2|2). Bestimme die Steigung.
Lösung zeigen
Ergebnis:
m = 3
●45
Gegeben ist f(x) = −x + 2. Berechne f(2).
Lösung zeigen
1. −1 · 2 = −2
2. −2 + 2 = 0
Ergebnis:
f(2) = 0

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenMomentane Änderungsrate

f'(x₀) sagt, wie schnell sich f an genau dieser Stelle ändert – die Steigung der Tangente. Der Grenzwert ist der Weg dorthin, nicht die Bedeutung.

WeiterdenkenDenk nach

Was bedeutet f'(3) = −2, wenn f den Wasserstand in einem Becken beschreibt?

1Ich berechne mittlere Änderungsraten als Differenzenquotient.

EntdeckenFrage

Woher weiß ein Blitzer, wie schnell du gerade bist – in diesem Augenblick?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er misst Weg über eine winzige Zeitspanne und nähert sich der Momentangeschwindigkeit – genau die Idee der Ableitung. Newton und Leibniz haben sie erfunden, um Planetenbahnen zu verstehen.

Ausprobieren: Von der Sekante zur Tangente

h wird kleiner und kleiner – die Sekante dreht sich in die Tangente, ihre Steigung läuft auf f'(x₀) zu.

MerkenÄnderungsrate

Mittlere Änderungsrate = Differenzenquotient (f(b) − f(a)) : (b − a) – die Steigung der Sekante.

Eselsbrücke: Potenzregel: „Exponent nach vorn, Exponent minus eins“ – (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹

BeispielMittlere Änderungsrate

f(x) = 2x² − 3x − 2. Berechne die mittlere Änderungsrate im Intervall [1; 2].

Schritt für Schritt

f(1) = −3, f(2) = 0
m = (f(b) − f(a)) / (b − a) = (0 − −3) / 1 = 3

f(1) = −3, f(2) = 0
m = (f(b) − f(a)) / (b − a) = (0 − −3) / 1 = 3

Ergebnis:

m = 3

Achtungf(x₀) statt f'(x₀)

So nicht

Steigung bei x = 2: f(2) einsetzen

So richtig

Steigung bei x = 2: f'(2) einsetzen

Die Steigung liefert die Ableitung an der Stelle, nicht der Funktionswert.

ÜbenJetzt du

○1
f(x) = 2x² + 2x + 1. Berechne die mittlere Änderungsrate im Intervall [−2; 1].
So fängst du an:
f(−2) = 5, f(1) = 5
Lösung zeigen
1. f(−2) = 5, f(1) = 5
2. m = (f(b) − f(a)) / (b − a) = (5 − 5) / 3 = 0
Ergebnis:
m = 0
●2
f(x) = x² − 3x − 2. Berechne die mittlere Änderungsrate im Intervall [−1; 1].
Lösung zeigen
1. f(−1) = 2, f(1) = −4
2. m = (f(b) − f(a)) / (b − a) = (−4 − 2) / 2 = −3
Ergebnis:
m = −3
★3
f(x) = x² + 4. Vergleiche die mittlere Änderungsrate auf [1; 4] mit der lokalen Änderungsrate an der Stelle x₀ = 1.
Lösung zeigen
1. Sekante: m = (20 − 5) / 3 = 5
2. f'(x) = 2x
3. Tangente: f'(1) = 2
4. Die Sekante mittelt über das Intervall, die Tangente gilt genau an der Stelle.
Ergebnis:
Sekante 5, Tangente 2

2Ich bestimme die lokale Änderungsrate als Grenzwert des Differenzenquotienten (Tangentensteigung).

EntdeckenFrage

Wie steil ist ein Hang an genau einer Stelle, wenn Steilheit doch zwei Punkte braucht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rückt die beiden Punkte immer näher zusammen und schaut, wogegen die Steilheit strebt. Dieser Grenzwert ist die Steigung in einem einzigen Punkt.

MerkenLokale Änderungsrate

Lässt man das Intervall gegen 0 gehen, wird aus der Sekante die Tangente: f'(x₀) ist ihre Steigung.

BeispielMittlere Änderungsrate

f(x) = x² + 2x + 4. Berechne die mittlere Änderungsrate im Intervall [−1; 1].

Schritt für Schritt

f(−1) = 3, f(1) = 7
m = (f(b) − f(a)) / (b − a) = (7 − 3) / 2 = 2

f(−1) = 3, f(1) = 7
m = (f(b) − f(a)) / (b − a) = (7 − 3) / 2 = 2

Ergebnis:

m = 2

AchtungFunktionswert statt Steigung

So nicht

f(x) = x², Steigung bei 3 → 9

So richtig

f(x) = x², f'(x) = 2x, Steigung bei 3 → 6

Bestimme zuerst f'(x). Setz dann die Stelle ein.

ÜbenJetzt du

○4
f(x) = 2x² − x − 4. Berechne die mittlere Änderungsrate im Intervall [−2; −1].
So fängst du an:
f(−2) = 6, f(−1) = −1
Lösung zeigen
1. f(−2) = 6, f(−1) = −1
2. m = (f(b) − f(a)) / (b − a) = (−1 − 6) / 1 = −7
Ergebnis:
m = −7
●5
f(x) = x² − x − 2. Berechne die mittlere Änderungsrate im Intervall [−2; −1].
Lösung zeigen
1. f(−2) = 4, f(−1) = 0
2. m = (f(b) − f(a)) / (b − a) = (0 − 4) / 1 = −4
Ergebnis:
m = −4
★6
f(x) = 2x² + 3x + 4. Vergleiche die mittlere Änderungsrate auf [−2; −1] mit der lokalen Änderungsrate an der Stelle x₀ = −2.
Lösung zeigen
1. Sekante: m = (3 − 6) / 1 = −3
2. f'(x) = 4x + 3
3. Tangente: f'(−2) = −5
4. Die Sekante mittelt über das Intervall, die Tangente gilt genau an der Stelle.
Ergebnis:
Sekante −3, Tangente −5

3Ich leite Potenzfunktionen mit der Potenzregel ab.

EntdeckenFrage

Warum wächst die Fläche eines Quadrats schneller als seine Seite – und um wie viel genau?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Um das Doppelte der Seite. Wächst die Seite von 5 auf 5,01, kommen rund 0,1 Flächeneinheiten dazu, also 2 mal 5 mal 0,01. Genau deshalb wird aus x² beim Ableiten 2x.

MerkenPotenzregel

(xⁿ)' = n · xⁿ⁻¹. Konstante Faktoren bleiben, Summen werden gliedweise abgeleitet, Konstanten fallen weg.

BeispielAbleitung eines Polynoms

Bestimme f'(x) für f(x) = 5x² + 5x + 3

Schritt für Schritt

Potenzregel: (xⁿ)' = n · xⁿ⁻¹, Konstante fällt weg
f'(x) = 10x + 5

Potenzregel: (xⁿ)' = n · xⁿ⁻¹, Konstante fällt weg
f'(x) = 10x + 5

Ergebnis:

f'(x) = 10x + 5

AchtungExponent nicht verringert

So nicht

f(x) = x³ → f'(x) = 3x³

So richtig

f(x) = x³ → f'(x) = 3x²

Der Exponent wird zum Faktor und dann um 1 kleiner: (x³)' = 3x².

ÜbenJetzt du

○7
Bestimme f'(x) für f(x) = 4x² − 2x + 3
So fängst du an:
Potenzregel: (xⁿ)' = n · xⁿ⁻¹, Konstante fällt weg
Lösung zeigen
1. Potenzregel: (xⁿ)' = n · xⁿ⁻¹, Konstante fällt weg
2. f'(x) = 8x − 2
Ergebnis:
f'(x) = 8x − 2
●8
Bestimme f'(x) für f(x) = 4x² − 4x − 6
Lösung zeigen
1. Potenzregel: (xⁿ)' = n · xⁿ⁻¹, Konstante fällt weg
2. f'(x) = 8x − 4
Ergebnis:
f'(x) = 8x − 4
★9
Bestimme f'(x) für f(x) = x³ + 3x² + 7x + 3
Lösung zeigen
1. Potenzregel: (xⁿ)' = n · xⁿ⁻¹, Konstante fällt weg
2. f'(x) = 3x² + 6x + 7
Ergebnis:
f'(x) = 3x² + 6x + 7

4Ich leite Summen und Vielfache ab (ganzrationale Funktionen).

EntdeckenFrage

Warum darf man einen langen Term Stück für Stück ableiten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil sich Änderungen addieren. Wächst das eine um 3 je Sekunde und das andere um 5, wächst die Summe um 8 – deshalb wird jeder Summand einzeln behandelt.

MerkenAbleitung eines Polynoms

Jeden Summanden einzeln mit der Potenzregel ableiten.

BeispielAbleitung eines Polynoms

Bestimme f'(x) für f(x) = 2x² + 5x − 3

Schritt für Schritt

Potenzregel: (xⁿ)' = n · xⁿ⁻¹, Konstante fällt weg
f'(x) = 4x + 5

Potenzregel: (xⁿ)' = n · xⁿ⁻¹, Konstante fällt weg
f'(x) = 4x + 5

Ergebnis:

f'(x) = 4x + 5

AchtungAbleitung: Exponent nicht als Faktor

So nicht

Bestimme f'(x) für f(x) = 2x^2 + 5x − 3 → +2*x+5

So richtig

Bestimme f'(x) für f(x) = 2x^2 + 5x − 3 → f'(x) = 4x + 5

Nimm den alten Exponenten als Faktor nach vorn. Mach ihn dann eins kleiner.

ÜbenJetzt du

○10
Bestimme f'(x) für f(x) = x² + 3x + 5
So fängst du an:
Potenzregel: (xⁿ)' = n · xⁿ⁻¹, Konstante fällt weg
Lösung zeigen
1. Potenzregel: (xⁿ)' = n · xⁿ⁻¹, Konstante fällt weg
2. f'(x) = 2x + 3
Ergebnis:
f'(x) = 2x + 3
●11
Bestimme f'(x) für f(x) = 5x² − 4x − 5
Lösung zeigen
1. Potenzregel: (xⁿ)' = n · xⁿ⁻¹, Konstante fällt weg
2. f'(x) = 10x − 4
Ergebnis:
f'(x) = 10x − 4
★12
Bestimme f'(x) für f(x) = 0,5x³ + 5x² + 7x
Lösung zeigen
1. Potenzregel: (xⁿ)' = n · xⁿ⁻¹, Konstante fällt weg
2. f'(x) = 1,5x² + 10x + 7
Ergebnis:
f'(x) = 1,5x² + 10x + 7

5Ich bestimme die Steigung an einer Stelle und stelle die Tangentengleichung auf.

EntdeckenFrage

Warum sieht jeder Funktionsgraph unter starker Vergrößerung aus wie eine Gerade?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil er sich an seine Tangente anschmiegt. Zoomt man weit genug hinein, ist der Unterschied nicht mehr zu sehen – darauf beruht jede lineare Näherung.

MerkenSteigung und Tangente

m = f'(x₀); Tangente: y = m · (x − x₀) + f(x₀).

BeispielSteigung und Tangente an einer Stelle

f(x) = x² + 4x − 4. Bestimme die Steigung des Graphen an der Stelle x₀ = 2.

Schritt für Schritt

f'(x) = 2x + 4
f'(2) = 8

f'(x) = 2x + 4
f'(2) = 8

Ergebnis:

m = 8

AchtungNoch einmal: f(x₀) statt f'(x₀)

So nicht

Steigung bei x = 2: f(2) einsetzen

So richtig

Steigung bei x = 2: f'(2) einsetzen

Die Steigung liefert die Ableitung an der Stelle, nicht der Funktionswert.

ÜbenJetzt du

○13
f(x) = 2x² − 4x + 2. Bestimme die Steigung des Graphen an der Stelle x₀ = −1.
So fängst du an:
f'(x) = 4x − 4
Lösung zeigen
1. f'(x) = 4x − 4
2. f'(−1) = −8
Ergebnis:
m = −8
●14
f(x) = −x² − 4x + 2. Bestimme die Steigung des Graphen an der Stelle x₀ = 1.
Lösung zeigen
1. f'(x) = −2x − 4
2. f'(1) = −6
Ergebnis:
m = −6
★15
f(x) = x² + x + 2. Bestimme die Tangente in x₀ = −2.
Lösung zeigen
1. f'(x) = 2x + 1 → m = f'(−2) = −3
2. f(−2) = 4 → Punkt (−2 | 4)
3. t(x) = −3x + b: 4 = −3 · (−2) + b → b = −2
Ergebnis:
t(x) = −3x − 2

6Ich lese Monotonie und Extremstellen aus f' ab.

EntdeckenFrage

Ein Ball fliegt senkrecht nach oben. Woran erkennt man am Term, wann er oben umkehrt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Mit 10 m/s Abwurftempo gilt gerundet h(t) = 10t − 5t². Dann ist h′(t) = 10 − 10t. Bis t = 1 ist h′ positiv, der Ball steigt, danach negativ, er fällt. Beim Vorzeichenwechsel liegt das Maximum: nach 1 Sekunde in 5 m Höhe.

MerkenMonotonie

f' > 0: streng monoton steigend; f' < 0: fallend. Vorzeichenwechsel von f' → Extremstelle.

BeispielMonotonie aus der Ableitung

f(x) = 2x² − 20x − 5. Wo ist f streng monoton fallend, wo steigend? Begründe mit dem Vorzeichen von f′.

Schritt für Schritt

f'(x) = 4x − 20
f'(x) = 0 → x = 5
f'(x) < 0 für x < 5, f'(x) > 0 für x > 5

f'(x) = 4x − 20
f'(x) = 0 → x = 5
f'(x) < 0 für x < 5, f'(x) > 0 für x > 5

Ergebnis:

fallend für x < 5, steigend für x > 5 (Tiefpunkt bei x = 5)

ÜbenJetzt du

○16
f(x) = 2x² − 4x. Wo ist f streng monoton fallend, wo steigend? Begründe mit dem Vorzeichen von f′.
So fängst du an:
f'(x) = 4x − 4
Lösung zeigen
1. f'(x) = 4x − 4
2. f'(x) = 0 → x = 1
3. f'(x) < 0 für x < 1, f'(x) > 0 für x > 1
Ergebnis:
fallend für x < 1, steigend für x > 1 (Tiefpunkt bei x = 1)
●17
f(x) = x³ − 27x − 1. Bestimme die Monotonieintervalle und begründe sie mit dem Vorzeichen von f′.
Lösung zeigen
1. f'(x) = 3x² − 27
2. f'(x) = 0: 3(x² − 9) = 0 → x = −3 und x = 3
3. Vorzeichen von f' in den drei Bereichen prüfen: außen +, dazwischen −
4. steigend auf ]−∞; −3] und [3; ∞[, fallend auf [−3; 3]
Ergebnis:
steigend für x < −3 und x > 3, fallend dazwischen
★18
f(x) = x³ − 48x. Bestimme die Monotonieintervalle und begründe sie mit dem Vorzeichen von f′.
Lösung zeigen
1. f'(x) = 3x² − 48
2. f'(x) = 0: 3(x² − 16) = 0 → x = −4 und x = 4
3. Vorzeichen von f' in den drei Bereichen prüfen: außen +, dazwischen −
4. steigend auf ]−∞; −4] und [4; ∞[, fallend auf [−4; 4]
Ergebnis:
steigend für x < −4 und x > 4, fallend dazwischen

7Ich wende die Kettenregel an.

EntdeckenFrage

Warum ist die Ableitung von (3x + 1)² nicht einfach 2 · (3x + 1)?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ausmultipliziert ist (3x + 1)² = 9x² + 6x + 1. Die Ableitung davon ist 18x + 6. Das ist 2 · (3x + 1) · 3. Der Faktor 3 ist die Ableitung der inneren Funktion 3x + 1.

MerkenKettenregel

Äußere Ableitung mal innere Ableitung: (u(v(x)))' = u'(v(x)) · v'(x).

Eselsbrücke: Kettenregel: „Äußere Ableitung mal innere Ableitung“ – von außen nach innen schälen

BeispielProdukt- und Kettenregel

Bestimme mit der Kettenregel f'(x) für f(x) = (2x + 4)²

Schritt für Schritt

äußere Funktion u², innere u = 2x + 4
f'(x) = 2 · (2x + 4) · 2 = 4 · (2x + 4)

äußere Funktion u², innere u = 2x + 4
f'(x) = 2 · (2x + 4) · 2 = 4 · (2x + 4)

Ergebnis:

f'(x) = 4(2x + 4)

AchtungInnere Ableitung vergessen

So nicht

f(x) = (3x + 1)² → f'(x) = 2(3x + 1)

So richtig

f'(x) = 2(3x + 1) · 3 = 6(3x + 1)

Bei (3x + 1)² kommt der Faktor 3 dazu.

ÜbenJetzt du

○19
Bestimme mit der Kettenregel f'(x) für f(x) = (5x + 4)⁴
So fängst du an:
äußere Funktion u⁴, innere u = 5x + 4
Lösung zeigen
1. äußere Funktion u⁴, innere u = 5x + 4
2. f'(x) = 4 · (5x + 4)³ · 5 = 20 · (5x + 4)³
Ergebnis:
f'(x) = 20(5x + 4)³
●20
Bestimme mit der Kettenregel f'(x) für f(x) = (2x + 3)²
Lösung zeigen
1. äußere Funktion u², innere u = 2x + 3
2. f'(x) = 2 · (2x + 3) · 2 = 4 · (2x + 3)
Ergebnis:
f'(x) = 4(2x + 3)
★21
Bestimme mit der Produktregel f'(x) für f(x) = x⁴ · e^5x
Lösung zeigen
1. u = x⁴, u' = 4x³; v = e^5x, v' = 5e^5x
2. f' = u'v + uv' = 4x³e^5x + 5x⁴e^5x
3. ausklammern: x³e^5x(4 + 5x)
Ergebnis:
f'(x) = x³ · e^5x · (5x + 4)

8Ich wende die Produktregel an.

EntdeckenFrage

Ein Rechteck wird zugleich länger und breiter. Wie schnell wächst dann seine Fläche?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Länge 2 m, sie wächst um 1 m pro Sekunde; Breite 3 m, sie wächst um 2 m pro Sekunde. Die Fläche wächst um 1 · 3 + 2 · 2 = 7 m² pro Sekunde. Ausmultipliziert ist A(t) = (2 + t)(3 + 2t) = 6 + 7t + 2t², und A′(0) = 7.

MerkenProduktregel

Ein Produkt leitest du nicht faktorweise ab: (u · v)' = u' · v + u · v'.

Erst den einen Faktor ableiten, dann den anderen, beides addieren.

Eselsbrücke: Produktregel: „u' v + u v'“ – erst den einen, dann den anderen ableiten

BeispielProdukt- und Kettenregel

Bestimme mit der Kettenregel f'(x) für f(x) = (3x + 1)²

Schritt für Schritt

äußere Funktion u², innere u = 3x + 1
f'(x) = 2 · (3x + 1) · 3 = 6 · (3x + 1)

äußere Funktion u², innere u = 3x + 1
f'(x) = 2 · (3x + 1) · 3 = 6 · (3x + 1)

Ergebnis:

f'(x) = 6(3x + 1)

AchtungNoch einmal: Innere Ableitung vergessen

So nicht

f(x) = (3x + 1)² → f'(x) = 2(3x + 1)

So richtig

f'(x) = 2(3x + 1) · 3 = 6(3x + 1)

Bei (3x + 1)² kommt der Faktor 3 dazu.

ÜbenJetzt du

○22
Bestimme mit der Kettenregel f'(x) für f(x) = (5x + 4)²
So fängst du an:
äußere Funktion u², innere u = 5x + 4
Lösung zeigen
1. äußere Funktion u², innere u = 5x + 4
2. f'(x) = 2 · (5x + 4) · 5 = 10 · (5x + 4)
Ergebnis:
f'(x) = 10(5x + 4)
●23
Bestimme mit der Kettenregel f'(x) für f(x) = (3x + 1)³
Lösung zeigen
1. äußere Funktion u³, innere u = 3x + 1
2. f'(x) = 3 · (3x + 1)² · 3 = 9 · (3x + 1)²
Ergebnis:
f'(x) = 9(3x + 1)²
★24
Bestimme mit der Produktregel f'(x) für f(x) = x⁴ · e^2x
Lösung zeigen
1. u = x⁴, u' = 4x³; v = e^2x, v' = 2e^2x
2. f' = u'v + uv' = 4x³e^2x + 2x⁴e^2x
3. ausklammern: x³e^2x(4 + 2x)
Ergebnis:
f'(x) = x³ · e^2x · (2x + 4)

9Ich deute Ableitungen in Sachzusammenhängen (Geschwindigkeit, Kosten).

EntdeckenFrage

Mit welchem Tempo taucht ein Springer vom 10-Meter-Turm ins Wasser ein?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Fallweg ist s(t) = 4,905t². Aus s(t) = 10 folgt t ≈ 1,43 s. Das Tempo ist die Ableitung v(t) = 9,81t. Das ergibt rund 14 m/s, also etwa 50 km/h.

MerkenAbleitung im Sachzusammenhang

f' ist die Änderungsrate: Weg → Geschwindigkeit, Kosten → Grenzkosten, Bestand → Zu- oder Abfluss.

Einheit von f' = Einheit von f pro Einheit von x.

BeispielAbleitung im Sachzusammenhang

Die Kosten (in €) bei x produzierten Stück: K(x) = 0,5x³ − 5x² + 30x + 102. Interpretiere K'(4) = 14 im Sachzusammenhang.

Schritt für Schritt

K'(x) = 1,5x² − 10x + 30
K'(4) = 14
K' ist die Grenzkosten-Funktion: Das 5. Stück kostet etwa 14 € zusätzlich.

K'(x) = 1,5x² − 10x + 30
K'(4) = 14
K' ist die Grenzkosten-Funktion: Das 5. Stück kostet etwa 14 € zusätzlich.

Ergebnis:

Grenzkosten ≈ 14 € je zusätzlichem Stück

ÜbenJetzt du

○25
Ein Körper legt s(t) = t³ − 9t² + 12t Meter in t Sekunden zurück. Bestimme, wie schnell er nach 5 s ist und in welche Richtung er sich bewegt.
So fängst du an:
v(t) = s'(t) = 3t² − 18t + 12
Lösung zeigen
1. v(t) = s'(t) = 3t² − 18t + 12
2. v(5) = −3 m/s
3. Negativ: Der Körper bewegt sich zurück.
Ergebnis:
v(5) = −3 m/s
●26
Ein Körper legt s(t) = t³ − 9t² + 12t Meter in t Sekunden zurück. Bestimme, wie schnell er nach 2 s ist und in welche Richtung er sich bewegt.
Lösung zeigen
1. v(t) = s'(t) = 3t² − 18t + 12
2. v(2) = −12 m/s
3. Negativ: Der Körper bewegt sich zurück.
Ergebnis:
v(2) = −12 m/s
★27
Die Kosten (in €) bei x produzierten Stück: K(x) = x³ − 2x² + 20x + 256. Interpretiere K'(4) = 52 im Sachzusammenhang.
Lösung zeigen
1. K'(x) = 3x² − 4x + 20
2. K'(4) = 52
3. K' ist die Grenzkosten-Funktion: Das 5. Stück kostet etwa 52 € zusätzlich.
Ergebnis:
Grenzkosten ≈ 52 € je zusätzlichem Stück

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●28
f(x) = 2x² + 2x + 2. Bestimme die Steigung des Graphen an der Stelle x₀ = 2.
Lösung zeigen
1. f'(x) = 4x + 2
2. f'(2) = 10
Ergebnis:
m = 10
●29
f(x) = x³ − 3x + 1. Bestimme die Monotonieintervalle und begründe sie mit dem Vorzeichen von f′.
Lösung zeigen
1. f'(x) = 3x² − 3
2. f'(x) = 0: 3(x² − 1) = 0 → x = −1 und x = 1
3. Vorzeichen von f' in den drei Bereichen prüfen: außen +, dazwischen −
4. steigend auf ]−∞; −1] und [1; ∞[, fallend auf [−1; 1]
Ergebnis:
steigend für x < −1 und x > 1, fallend dazwischen
●30
f(x) = x² − x + 1. Berechne die mittlere Änderungsrate im Intervall [−2; −1].
Lösung zeigen
1. f(−2) = 7, f(−1) = 3
2. m = (f(b) − f(a)) / (b − a) = (3 − 7) / 1 = −4
Ergebnis:
m = −4
●31
Die Kosten (in €) bei x produzierten Stück: K(x) = 0,5x³ − 3x² + 37x + 148. Interpretiere K'(5) = 44,5 im Sachzusammenhang.
Lösung zeigen
1. K'(x) = 1,5x² − 6x + 37
2. K'(5) = 44,5
3. K' ist die Grenzkosten-Funktion: Das 6. Stück kostet etwa 44,5 € zusätzlich.
Ergebnis:
Grenzkosten ≈ 44,5 € je zusätzlichem Stück
●32
Bestimme f'(x) für f(x) = x² + 3x + 4
Lösung zeigen
1. Potenzregel: (xⁿ)' = n · xⁿ⁻¹, Konstante fällt weg
2. f'(x) = 2x + 3
Ergebnis:
f'(x) = 2x + 3
●33
f(x) = x² + 3x + 1. Bestimme die Steigung des Graphen an der Stelle x₀ = −1.
Lösung zeigen
1. f'(x) = 2x + 3
2. f'(−1) = 1
Ergebnis:
m = 1

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Änderungsrate: Mittlere Änderungsrate = Differenzenquotient (f(b) − f(a)) : (b − a) – die Steigung der Sekante.
Lokale Änderungsrate: Lässt man das Intervall gegen 0 gehen, wird aus der Sekante die Tangente: f'(x₀) ist ihre Steigung.
Potenzregel: (xⁿ)' = n · xⁿ⁻¹. Konstante Faktoren bleiben, Summen werden gliedweise abgeleitet, Konstanten fallen weg.
Ableitung eines Polynoms: Jeden Summanden einzeln mit der Potenzregel ableiten.
Steigung und Tangente: m = f'(x₀); Tangente: y = m · (x − x₀) + f(x₀).
Monotonie: f' > 0: streng monoton steigend; f' < 0: fallend. Vorzeichenwechsel von f' → Extremstelle.
Kettenregel: Äußere Ableitung mal innere Ableitung: (u(v(x)))' = u'(v(x)) · v'(x).
Produktregel: Ein Produkt leitest du nicht faktorweise ab: (u · v)' = u' · v + u · v'.
Ableitung im Sachzusammenhang: f' ist die Änderungsrate: Weg → Geschwindigkeit, Kosten → Grenzkosten, Bestand → Zu- oder Abfluss.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich berechne mittlere Änderungsraten als Differenzenquotient.
34
f(x) = 2x² + 3x − 2. Berechne die mittlere Änderungsrate im Intervall [−1; 0].
Lösung zeigen
Ergebnis:
m = 1
Ich bestimme die lokale Änderungsrate als Grenzwert des Differenzenquotienten (Tangentensteigung).
35
f(x) = x² − 3x + 3. Berechne die mittlere Änderungsrate im Intervall [0; 3].
Lösung zeigen
Ergebnis:
m = 0
Ich leite Potenzfunktionen mit der Potenzregel ab.
36
Bestimme f'(x) für f(x) = 4x² + 3x − 3
Lösung zeigen
Ergebnis:
f'(x) = 8x + 3
Ich leite Summen und Vielfache ab (ganzrationale Funktionen).
37
Bestimme f'(x) für f(x) = x² − 2x + 1
Lösung zeigen
Ergebnis:
f'(x) = 2x − 2
Ich bestimme die Steigung an einer Stelle und stelle die Tangentengleichung auf.
38
f(x) = x² − x + 4. Bestimme die Steigung des Graphen an der Stelle x₀ = −2.
Lösung zeigen
Ergebnis:
m = −5
Ich lese Monotonie und Extremstellen aus f' ab.
39
f(x) = 2x² − 12x − 2. Wo ist f streng monoton fallend, wo steigend? Begründe mit dem Vorzeichen von f′.
Lösung zeigen
Ergebnis:
fallend für x < 3, steigend für x > 3 (Tiefpunkt bei x = 3)
Ich wende die Kettenregel an.
40
Bestimme mit der Kettenregel f'(x) für f(x) = (2x + 4)⁴
Lösung zeigen
Ergebnis:
f'(x) = 8(2x + 4)³
Ich wende die Produktregel an.
41
Bestimme mit der Kettenregel f'(x) für f(x) = (3x + 3)³
Lösung zeigen
Ergebnis:
f'(x) = 9(3x + 3)²
Ich deute Ableitungen in Sachzusammenhängen (Geschwindigkeit, Kosten).
42
Die Kosten (in €) bei x produzierten Stück: K(x) = 0,5x³ − 3x² + 33x + 231. Interpretiere K'(3) = 28,5 im Sachzusammenhang.
Lösung zeigen
Ergebnis:
Grenzkosten ≈ 28,5 € je zusätzlichem Stück
Ich bereite die Klausur vor.
43
Bestimme f'(x) für f(x) = 2x² + 3x − 2
Lösung zeigen
Ergebnis:
f'(x) = 4x + 3

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Ein Auto fährt s(t) = 2t² Meter in t Sekunden. Wie schnell ist es genau bei t = 3? Du kennst nur Weg durch Zeit.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Die Ableitung: Momentangeschwindigkeit als Grenzwert.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Tacho = Ableitung des Weges; Wachstumsrate. Beruf: Ingenieurwesen, Ökonomie (Grenzkosten), Medizin.

Wörter

Ableitung: wie schnell sich etwas an einer Stelle ändert
Differenz: was übrig bleibt, wenn man abzieht
Funktion: eine Regel, die aus einer Zahl eine andere macht
Monoton: durchgehend steigend oder durchgehend fallend
Produkt: was herauskommt, wenn man malnimmt
Steigung: wie stark es nach oben geht, pro Schritt nach rechts
Summe: was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Vielfaches: das Ergebnis, wenn man mit einer ganzen Zahl malnimmt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Lineare Funktionen, Funktionen

Darauf baut auf: Kurvendiskussion und Anwendungen, Integralrechnung

Lösungen

m = 0
m = −3
Sekante 5, Tangente 2
m = −7
m = −4
Sekante −3, Tangente −5
f'(x) = 8x − 2
f'(x) = 8x − 4
f'(x) = 3x² + 6x + 7
f'(x) = 2x + 3
f'(x) = 10x − 4
f'(x) = 1,5x² + 10x + 7
m = −8
m = −6
t(x) = −3x − 2
fallend für x < 1, steigend für x > 1 (Tiefpunkt bei x = 1)
steigend für x < −3 und x > 3, fallend dazwischen
steigend für x < −4 und x > 4, fallend dazwischen
f'(x) = 20(5x + 4)³
f'(x) = 4(2x + 3)
f'(x) = x³ · e^5x · (5x + 4)
f'(x) = 10(5x + 4)
f'(x) = 9(3x + 1)²
f'(x) = x³ · e^2x · (2x + 4)
v(5) = −3 m/s
v(2) = −12 m/s
Grenzkosten ≈ 52 € je zusätzlichem Stück
m = 10
steigend für x < −1 und x > 1, fallend dazwischen
m = −4
Grenzkosten ≈ 44,5 € je zusätzlichem Stück
f'(x) = 2x + 3
m = 1
m = 1
m = 0
f'(x) = 8x + 3
f'(x) = 2x − 2
m = −5
fallend für x < 3, steigend für x > 3 (Tiefpunkt bei x = 3)
f'(x) = 8(2x + 4)³
f'(x) = 9(3x + 3)²
Grenzkosten ≈ 28,5 € je zusätzlichem Stück
f'(x) = 4x + 3
m = 3
f(2) = 0