Mathematik · Klasse 9 · Kapitel

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Basisrechnen für die vergleichende Arbeit

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Drei Aufgaben ohne Namen. A: Eine Jacke kostet im Sale 63 Euro statt 90 Euro. B: 4 Bleistifte kosten 3,20 Euro. Wie viel kosten 10? C: Ein Test ergab die Punkte 4, 6, 6 und 8. Wie gut war der Test im Schnitt? Sag zu jeder Aufgabe, welche Art von Aufgabe es ist. Du hast 4 Minuten.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort los und merken erst beim Ergebnis, dass sie nicht wussten, wonach gefragt war. Die Klasse merkt, dass nicht das Rechnen das Problem ist, sondern das Erkennen. Erst fragen: Was ist das Ganze? Rabatt heißt Prozent, drei gleiche Dinge mehr heißt Dreisatz, mehrere Werte und ein Durchschnitt heißt Mittelwert. Dann den Weg gehen, den die Klasse schon kennt.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst fragen: Was ist das Ganze?

Bei Prozent, Zufall und Mittelwert gibt es ein Ganzes und einen Teil. Prozent: Der alte Preis ist das Ganze, also 100 Prozent. Zufall: Alle möglichen Ergebnisse sind das Ganze. Mittelwert: Alle Werte zusammen. Erst das Ganze finden, dann rechnen.

WeiterdenkenDenk nach

Ein Pullover kostet nach 20 Prozent Rabatt 48 Euro. War der alte Preis mehr oder weniger als 48 Euro? Woran siehst du das, ohne zu rechnen?

1Ich rechne Prozentwerte und Rabatte aus.

EntdeckenFrage

Warum sind 20 Prozent Rabatt und danach 20 Prozent Aufschlag nicht wieder der alte Preis?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil sich beide Prozentsätze auf verschiedene Grundwerte beziehen. 100 Euro mit 20 Prozent Rabatt sind 80 Euro, und 20 Prozent mehr davon sind 96 Euro.

MerkenProzentwert und Rabatt

Prozentwert gleich Grundwert mal Prozentsatz.

15 Prozent von 80 Euro sind 0,15 · 80 = 12 Euro. Bei 20 Prozent Rabatt bezahlt man noch 80 Prozent des alten Preises.

BeispielProzentwert berechnen

Ein Handy kostet 200,00 €. Berechne 50 % des Preises.

Schritt für Schritt

100 % → 200,00 €
1 % → 2,00 €
50 % → 2,00 € · 50 = 100,00 €

100 % → 200,00 €
1 % → 2,00 €
50 % → 2,00 € · 50 = 100,00 €

Ergebnis:

100,00 €

AchtungGrundwert verwechselt

So nicht

20 % Rabatt auf 80 € Endpreis → 80 € sind 100 %

So richtig

80 € sind 80 %, denn 100 % ist der Preis vorher: 80 : 80 · 100 = 100 €

Was ist das Ganze (100 %)? Immer zuerst den Grundwert markieren.

ÜbenJetzt du

○1
Ein Kopfhörer kostet 80,00 €. Berechne 30 % des Preises.
So fängst du an:
100 % → 80,00 €
Lösung zeigen
1. 100 % → 80,00 €
2. 1 % → 0,80 €
3. 30 % → 0,80 € · 30 = 24,00 €
Ergebnis:
24,00 €
●2
Ein Trikot kostet 80,00 €. Berechne 10 % des Preises.
Lösung zeigen
1. 100 % → 80,00 €
2. 1 % → 0,80 €
3. 10 % → 0,80 € · 10 = 8,00 €
Ergebnis:
8,00 €
★3
Ein Skateboard kostet 64,00 €. Berechne 12 % des Preises.
Lösung zeigen
1. 100 % → 64,00 €
2. 1 % → 0,64 €
3. 12 % → 0,64 € · 12 = 7,68 €
Ergebnis:
7,68 €

2Ich löse Dreisatzaufgaben aus dem Alltag.

EntdeckenFrage

Warum darf man bei einem Handytarif mit Grundgebühr nicht einfach mit dem Dreisatz rechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil der Dreisatz nur gilt, wenn die doppelte Menge auch das Doppelte kostet. Bei 10 Euro Grundgebühr und 5 Euro für 100 Minuten kosten 200 Minuten 20 Euro und nicht 30 Euro.

MerkenDreisatz

Erst auf eins herunterrechnen, dann auf die gesuchte Menge hochrechnen.

2 kg kosten 4,80 Euro, also kostet 1 kg 2,40 Euro und 6 kg kosten 14,40 Euro.

BeispielProportionaler Dreisatz

Beim Laufen zur Schule zählt das Handy in 4 Minuten 400 Schritte. Wie lange dauern 800 Schritte?

Schritt für Schritt

Minuten Schritte
4 Minuten → 400 Schritte
↓ : 4 ↓ : 4
1 Minute → 400 Schritte : 4 = 100 Schritte
↓ · 8 ↓ · 8800 Schritte : 100 Schritte = 8
8 Minuten → 800 Schritte

Minuten Schritte
4 Minuten → 400 Schritte
↓ : 4 ↓ : 4
1 Minute → 400 Schritte : 4 = 100 Schritte
↓ · 8 ↓ · 8800 Schritte : 100 Schritte = 8
8 Minuten → 800 Schritte

Ergebnis:

8 Minuten

AchtungDreisatz-Richtung vertauscht

So nicht

antiproportional: 24 : 6 = 4, dann 4 · 12

So richtig

antiproportional: erst 6 · 4 = 24 (Gesamt), dann 24 : 12 = 2

Erst auf die 1 herunter (geteilt), dann auf die gesuchte Zahl hoch (mal) – und vorher fragen: mehr gibt mehr oder mehr gibt weniger?

ÜbenJetzt du

○4
In 3 Sekunden sind 36 MB eines Updates geladen. Wie lange dauern 72 MB?
So fängst du an:
Sekunden MB
Lösung zeigen
1. Sekunden MB
2. 3 Sekunden → 36 MB
3. ↓ : 3 ↓ : 3
4. 1 Sekunde → 36 MB : 3 = 12 MB
5. ↓ · 6 ↓ · 672 MB : 12 MB = 6
6. 6 Sekunden → 72 MB
Ergebnis:
6 Sekunden
●5
Ein Zug fährt in 2 Stunden gleichmäßig 220 km. Wie weit kommt er in 6 Stunden?
Lösung zeigen
1. Stunden km
2. 2 Stunden → 220 km
3. ↓ : 2 ↓ : 2
4. 1 Stunde → 220 km : 2 = 110 km
5. ↓ · 6 ↓ · 6
6. 6 Stunden → 110 km · 6 = 660 km
Ergebnis:
660 km
★6
Am Pausenkiosk kosten 7 belegte Brötchen zusammen 14,00 €. Was kosten 14 belegte Brötchen?
Lösung zeigen
1. Brötchen €
2. 7 belegte Brötchen → 14,00 €
3. ↓ : 7 ↓ : 7
4. 1 belegtes Brötchen → 14,00 € : 7 = 2,00 €
5. ↓ · 14 ↓ · 14
6. 14 belegte Brötchen → 2,00 € · 14 = 28,00 €
Ergebnis:
28,00 €

3Ich rechne Größen um und berechne Fläche und Volumen.

EntdeckenFrage

Warum ist ein Quadratmeter nicht 100, sondern 10.000 Quadratzentimeter?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil bei der Fläche beide Seiten umgerechnet werden: 1 Meter mal 1 Meter sind 100 Zentimeter mal 100 Zentimeter, also 10.000 Quadratzentimeter.

MerkenGrößen, Fläche und Volumen

1 km sind 1.000 m, 1 m sind 100 cm, 1 h sind 60 min.

Rechteck: Umfang u = 2 · (a + b), Fläche A = a · b. Quader: Volumen V = a · b · c.

BeispielGrößen umrechnen

Rechne um: 12 km in m.

Schritt für Schritt

1 km = 1.000 m
12 · 1.000 = 12.000 m

1 km = 1.000 m
12 · 1.000 = 12.000 m

Ergebnis:

12.000 m

AchtungUmrechnungszahl falsch

So nicht

2,5 km = 250 m

So richtig

2,5 km = 2500 m  (· 1000)

km zu m 1.000, m zu cm 100, h zu min 60.

ÜbenJetzt du

○7
Rechne um: 4 € in ct.
So fängst du an:
1 € = 100 ct
Lösung zeigen
1. 1 € = 100 ct
2. 4 · 100 = 400 ct
Ergebnis:
400 ct
●8
Rechne um: 2 km in m.
Lösung zeigen
1. 1 km = 1.000 m
2. 2 · 1.000 = 2.000 m
Ergebnis:
2.000 m
★9
Rechne um: 0,25 km in cm.
Lösung zeigen
1. 1 km = 100.000 cm
2. 0,25 · 100.000 = 25.000 cm
Ergebnis:
25.000 cm

4Ich berechne Mittelwerte aus Daten.

EntdeckenFrage

Warum sagt ein Mittelwert allein oft zu wenig?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil ein einzelner großer Wert ihn verschiebt. Die Werte 2, 3, 3, 4 und 48 haben den Mittelwert 12, obwohl vier der fünf Werte unter 5 liegen. Deshalb gehört zu jedem Mittelwert ein Blick auf die Werte.

MerkenMittelwert

Alle Werte addieren und durch die Anzahl der Werte teilen.

Die Werte 4, 6 und 8 haben die Summe 18. 18 geteilt durch 3 ergibt den Mittelwert 6.

BeispielMittelwert und Median

Punkte im Test: 12, 5, 7, 4, 15. Berechne Mittelwert.

Schritt für Schritt

Summe 43 : 5 = 8,6

Summe 43 : 5 = 8,6

Ergebnis:

x̄ = 8,6

AchtungDurch die falsche Anzahl geteilt

So nicht

7, 3, 9, 4, 5 → Median 9

So richtig

sortiert 3, 4, 5, 7, 9 → Median 5

Geteilt wird durch die Anzahl der Werte, nicht durch ihre Summe oder eine feste Zahl.

ÜbenJetzt du

○10
Punkte im Test: 10, 11, 2, 6, 1. Berechne Mittelwert.
Lösung zeigen
Ergebnis:
x̄ = 6
●11
Punkte im Test: 12, 2, 13, 15, 1. Berechne Mittelwert.
Lösung zeigen
Ergebnis:
x̄ = 8,6
★12
Punkte im Test: 7, 10, 13, 15, 1, 10. Berechne Mittelwert und Median.
Lösung zeigen
1. Summe 56 : 6 = 9,33
2. Sortiert: 1, 7, 10, 10, 13, 15 → Median 10
Ergebnis:
x̄ = 9,33; Median = 10

5Ich bestimme Wahrscheinlichkeiten nach Laplace.

EntdeckenFrage

Warum wird eine Sechs nicht wahrscheinlicher, wenn fünfmal keine kam?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil der Würfel kein Gedächtnis hat. Jeder Wurf hat dieselbe Wahrscheinlichkeit von 1/6, egal was vorher kam. Wer das Gegenteil glaubt, erliegt dem Spielerfehlschluss.

MerkenWahrscheinlichkeit nach Laplace

Günstige Ergebnisse geteilt durch alle möglichen Ergebnisse.

Beim Würfel sind 3 von 6 Zahlen gerade, also ist die Wahrscheinlichkeit 3/6 = 1/2 oder 50 Prozent.

BeispielLaplace-Wahrscheinlichkeit

Ein Würfel wird einmal geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, mehr als 4 zu würfeln.

Schritt für Schritt

günstige : mögliche Ergebnisse
2 : 6 = 0,333

günstige : mögliche Ergebnisse
2 : 6 = 0,333

Ergebnis:

26 ≈ 33,3 %

AchtungGünstig und möglich vertauscht

So nicht

3 rote von 8 Kugeln: P = 8/3

So richtig

P = 3/8  (günstig durch möglich)

Der Nenner ist immer die Anzahl aller möglichen Ergebnisse.

ÜbenJetzt du

○13
In einer Urne sind 4 rote, 2 blaue Kugeln. Berechne die Wahrscheinlichkeit, keine rote zu ziehen.
So fängst du an:
Insgesamt 6 Kugeln, davon 2 nicht rot
Lösung zeigen
1. Insgesamt 6 Kugeln, davon 2 nicht rot
2. 26 = 0,333
Ergebnis:
26 ≈ 33,3 %
●14
In einer Urne sind 2 rote, 2 blaue Kugeln. Berechne die Wahrscheinlichkeit, keine rote zu ziehen.
Lösung zeigen
1. Insgesamt 4 Kugeln, davon 2 nicht rot
2. 24 = 0,5
Ergebnis:
24 ≈ 50 %
★15
In einer Urne sind 5 rote, 3 blaue und 3 grüne Kugeln. Berechne die Wahrscheinlichkeit, keine rote zu ziehen.
Lösung zeigen
1. Insgesamt 11 Kugeln, davon 6 nicht rot
2. 611 = 0,545
Ergebnis:
611 ≈ 54,5 %

6Ich rechne schriftlich, mit Brüchen und mit Gleichungen.

EntdeckenFrage

Warum darf man bei Brüchen die Nenner nicht addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil der Nenner die Größe der Teile angibt und beim Addieren gleich bleibt. Ein halber Kuchen und noch ein halber sind ein ganzer Kuchen, nicht zwei Viertel.

MerkenSchriftlich, Brüche, Gleichung

Beim schriftlichen Rechnen steht Stelle unter Stelle.

Bei Brüchen mit gleichem Nenner zählen nur die Zähler. Bei Gleichungen tut man auf beiden Seiten dasselbe.

BeispielSchriftlich rechnen

Rechne schriftlich: 339 · 77

Schritt für Schritt

Zeilenweise multiplizieren, versetzt addieren

Zeilenweise multiplizieren, versetzt addieren

Ergebnis:

26.103

AchtungÜbertrag vergessen

So nicht

  47
+ 38
= 715

So richtig

  47
+ 38
= 85  (Übertrag 1 notieren)

Übertrag klein notieren, nicht im Kopf behalten.

ÜbenJetzt du

○16
Rechne schriftlich: 755 · 23
Lösung zeigen
Ergebnis:
17.365
●17
Rechne schriftlich: 590 − 53
Lösung zeigen
Ergebnis:
537
★18
Rechne schriftlich: 249 : 3
Lösung zeigen
1. 249 : 3
2. 2 : 3 = 0 Rest 2
3. 24 : 3 = 8 Rest 0
4. 9 : 3 = 3 Rest 0
5. Ergebnis: 83
Ergebnis:
83

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●19
Ein Tablet kostet 200,00 €. Berechne 10 % des Preises.
Lösung zeigen
1. 100 % → 200,00 €
2. 1 % → 2,00 €
3. 10 % → 2,00 € · 10 = 20,00 €
Ergebnis:
20,00 €
●20
Ein Trikot kostet 80,00 €. Im Sale gibt es 25 % Rabatt. Berechne den neuen Preis.
Lösung zeigen
1. Es bleiben 100 % − 25 % = 75 %
2. 75 % = 0,75
3. 80,00 € · 0,75 = 60,00 €
Ergebnis:
60,00 €
●21
Beim Fußballtraining dauern 3 Trainingseinheiten zusammen 225 Minuten. Wie lange dauern 8 Trainingseinheiten?
Lösung zeigen
1. Trainingseinheiten Minuten
2. 3 Trainingseinheiten → 225 Minuten
3. ↓ : 3 ↓ : 3
4. 1 Trainingseinheit → 225 Minuten : 3 = 75 Minuten
5. ↓ · 8 ↓ · 8
6. 8 Trainingseinheiten → 75 Minuten · 8 = 600 Minuten
Ergebnis:
600 Minuten
●22
Rechne um: 2 m in cm.
Lösung zeigen
1. 1 m = 100 cm
2. 2 · 100 = 200 cm
Ergebnis:
200 cm
●23
Ein Rechteck ist 10 cm lang und 8 cm breit. Berechne Umfang und Flächeninhalt.
Lösung zeigen
1. u = 2 · (10 + 8) = 36 cm
2. A = 10 · 8 = 80 cm²
Ergebnis:
u = 36 cm; A = 80 cm²
●24
Ein Quader hat die Kanten 6 cm, 2 cm und 4 cm. Berechne Volumen.
Lösung zeigen
Ergebnis:
V = 48 cm³

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Prozentwert und Rabatt: Prozentwert gleich Grundwert mal Prozentsatz.
Dreisatz: Erst auf eins herunterrechnen, dann auf die gesuchte Menge hochrechnen.
Größen, Fläche und Volumen: 1 km sind 1.000 m, 1 m sind 100 cm, 1 h sind 60 min.
Mittelwert: Alle Werte addieren und durch die Anzahl der Werte teilen.
Wahrscheinlichkeit nach Laplace: Günstige Ergebnisse geteilt durch alle möglichen Ergebnisse.
Schriftlich, Brüche, Gleichung: Beim schriftlichen Rechnen steht Stelle unter Stelle.

AchtungRabatt und Aufschlag

So nicht

60 € minus 20 % Rabatt = 60 · 0,2 = 12 €

So richtig

60 € minus 20 % = 60 · 0,8 = 48 €  (12 € ist der Rabatt, nicht der Preis)

Nach einem Rabatt bleibt der Rest: 100 % weniger der Rabatt.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich rechne Prozentwerte und Rabatte aus.
25
Ein Roller kostet 120,00 €. Berechne 20 % des Preises.
Lösung zeigen
Ergebnis:
24,00 €
Ich löse Dreisatzaufgaben aus dem Alltag.
26
3 Döner kosten zusammen 19,50 €. Was kosten 6 Döner?
Lösung zeigen
Ergebnis:
39,00 €
Ich rechne Größen um und berechne Fläche und Volumen.
27
Rechne um: 12 kg in g.
Lösung zeigen
Ergebnis:
12.000 g
Ich berechne Mittelwerte aus Daten.
28
Punkte im Test: 4, 14, 12, 11, 4. Berechne Mittelwert.
Lösung zeigen
Ergebnis:
x̄ = 9
Ich bestimme Wahrscheinlichkeiten nach Laplace.
29
In einer Urne sind 4 rote, 4 blaue Kugeln. Berechne die Wahrscheinlichkeit, keine rote zu ziehen.
Lösung zeigen
Ergebnis:
48 ≈ 50 %
Ich rechne schriftlich, mit Brüchen und mit Gleichungen.
30
Rechne schriftlich: 534 + 14
Lösung zeigen
Ergebnis:
548

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Aufgabentyp: Wer erkennt, welche Art Aufgabe es ist, kennt den Weg.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Sale und Mehrwertsteuer, Rezepte und Material umrechnen, Noten und Messwerte mitteln. Beruf: Bewerbungstests und Ausbildung setzen genau diese Rechenarten voraus.

Wörter

Dreisatz: erst auf eins herunter, dann hoch
Gleichung: zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Grundwert: das Ganze, von dem etwas genommen wird
Mittelwert: alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Nenner: die Zahl unten – in wie viele Teile geteilt wurde
Prozentsatz: wie viel Prozent es sind
Prozentwert: der Teil, um den es geht
Summe: was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Umfang: der Weg einmal außen herum
Volumen: wie viel hineinpasst
Wahrscheinlichkeit: wie sicher etwas passiert
Zähler: die Zahl oben – wie viele Teile

Lösungen

24,00 €
8,00 €
7,68 €
6 Sekunden
660 km
28,00 €
400 ct
2.000 m
25.000 cm
x̄ = 6
x̄ = 8,6
x̄ = 9,33; Median = 10
26 ≈ 33,3 %
24 ≈ 50 %
611 ≈ 54,5 %
17.365
537
83
20,00 €
60,00 €
600 Minuten
200 cm
u = 36 cm; A = 80 cm²
V = 48 cm³
24,00 €
39,00 €
12.000 g
x̄ = 9
48 ≈ 50 %
548