Mathematik · Klasse 10 und 11 · Kapitel

Wahrscheinlichkeit: Baumdiagramm und Vierfeldertafel

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Von 100.000 Menschen hat 1 von 1000 eine Krankheit. Der Test erkennt 99 % der Kranken, zeigt aber bei 5 % der Gesunden falsch positiv. Jemand ist positiv – wie wahrscheinlich krank? Schätz zuerst. Dann rechne, wie du kannst.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die Schätzungen liegen bei 90 %; die Rechnung verheddert sich in Prozenten von Prozenten. Die Klasse braucht ein Ordnungsschema. Die Vierfeldertafel: 100 Kranke, 99 positiv; 99.900 Gesunde, 4.995 positiv. Von 5.094 Positiven sind 99 krank – unter 2 %.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Im Baum wird entlang des Pfades multipliziert, über Pfade addiert.

●36
Ein Würfel wird einmal geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, höchstens 2 zu würfeln.
Lösung zeigen
1. günstige : mögliche Ergebnisse
2. 2 : 6 = 0,333
Ergebnis:
26 ≈ 33,3 %
●37
In einem Beutel sind 8 Basketbälle und 5 Volleybälle. Zwei Stück werden nacheinander gezogen und nicht zurückgelegt.
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass beide Male Basketbälle gezogen werden.
Lösung zeigen
1. 1. Zug: 8 von 13 → P = 813
2. Nach dem 1. Zug: 7 Basketbälle, 12 Stück gesamt
3. 2. Zug: 7 von 12 → P = 712
4. Pfadregel: entlang des Pfades mal
5. 813 · 712 = 1439
6. ≈ 35,9 %
Ergebnis:
1439 ≈ 35,9 %

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenDie Bedingung verkleinert die Grundmenge

„Unter der Bedingung B“ heißt: Wir sehen nur noch die Fälle an, in denen B eingetreten ist. Der Nenner wird kleiner – deshalb ist P(A|B) meist etwas anderes als P(A).

WeiterdenkenDenk nach

Warum ist die Wahrscheinlichkeit, krank zu sein, eine andere als die, krank zu sein, wenn der Test positiv war?

1Ich wiederhole Laplace-Wahrscheinlichkeit und Pfadregeln.

EntdeckenFrage

Ein Test ist zu 99 % sicher – warum ist ein positives Ergebnis trotzdem meist falsch?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn nur 1 von 1 000 krank ist, gibt es bei 1 000 Tests 10 Fehlalarme und 1 echten Treffer: Positiv heißt nur 9 % krank. Ärzte unterschätzen das regelmäßig – Gigerenzer hat es gemessen.

Ausprobieren: Zufallsversuch: Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Münze, Würfel oder Glücksrad oft werfen – die relative Häufigkeit pendelt sich bei der Wahrscheinlichkeit ein.

MerkenPfadregeln

Entlang eines Pfades multiplizieren, mehrere Pfade addieren.

BeispielGegenereignis und Summenregel

Urne mit 8 roten und 2 blauen Kugeln, zweimal ziehen ohne Zurücklegen. Berechne P(mindestens eine rote).

Schritt für Schritt

Gegenereignis: keine rote = beide blau
P(blau, blau) = 210 · 19 = 0,0222
1 − 0,0222 = 0,9778

Gegenereignis: keine rote = beide blau
P(blau, blau) = 210 · 19 = 0,0222
1 − 0,0222 = 0,9778

Ergebnis:

≈ 97,8 %

ÜbenJetzt du

○1
Urne mit 4 roten und 8 blauen Kugeln, zweimal ziehen ohne Zurücklegen. Berechne P(mindestens eine rote).
So fängst du an:
Gegenereignis: keine rote = beide blau
Lösung zeigen
1. Gegenereignis: keine rote = beide blau
2. P(blau, blau) = 812 · 711 = 0,4242
3. 1 − 0,4242 = 0,5758
Ergebnis:
≈ 57,6 %
●2
Urne mit 4 roten und 5 blauen Kugeln, zweimal ziehen ohne Zurücklegen. Berechne P(mindestens eine rote).
Lösung zeigen
1. Gegenereignis: keine rote = beide blau
2. P(blau, blau) = 59 · 48 = 0,2778
3. 1 − 0,2778 = 0,7222
Ergebnis:
≈ 72,2 %
★3
Urne mit 3 roten und 6 blauen Kugeln, zweimal ziehen ohne Zurücklegen. Berechne P(mindestens eine rote).
Lösung zeigen
1. Gegenereignis: keine rote = beide blau
2. P(blau, blau) = 69 · 58 = 0,4167
3. 1 − 0,4167 = 0,5833
Ergebnis:
≈ 58,3 %

2Ich rechne mehrstufige Zufallsexperimente mit Baumdiagrammen.

EntdeckenFrage

Wie lange bräuchte jemand, um ein Zahlenschloss mit vier Ringen durchzuprobieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es gibt 10.000 Einstellungen. Alle drei Sekunden eine probiert, sind das im Mittel gut vier Stunden – jeder zusätzliche Ring vervielfacht die Möglichkeiten um zehn.

MerkenBaumdiagramm

Jede Stufe eine Verzweigung; ohne Zurücklegen ändern sich die Brüche auf der nächsten Stufe.

BeispielBaumdiagramm: zweistufiges Experiment

Urne mit 4 roten und 4 blauen Kugeln. Zweimal ziehen mit Zurücklegen. Berechne P(rot, rot).

Schritt für Schritt

Pfadregel: Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades multiplizieren
48 · 48 = 0,25

Pfadregel: Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades multiplizieren
48 · 48 = 0,25

Ergebnis:

≈ 25 %

AchtungPfade addiert statt multipliziert

So nicht

P(rot, dann blau) = 0,4 + 0,25

So richtig

P(rot, dann blau) = 0,4 · 0,25 = 0,1

Entlang eines Pfades wird multipliziert.

ÜbenJetzt du

○4
Urne mit 2 roten und 4 blauen Kugeln. Zweimal ziehen mit Zurücklegen. Berechne P(rot, rot).
So fängst du an:
Pfadregel: Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades multiplizieren
Lösung zeigen
1. Pfadregel: Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades multiplizieren
2. 26 · 26 = 0,1111
Ergebnis:
≈ 11,1 %
●5
Urne mit 2 roten und 3 blauen Kugeln. Zweimal ziehen mit Zurücklegen. Berechne P(rot, rot).
Lösung zeigen
1. Pfadregel: Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades multiplizieren
2. 25 · 25 = 0,16
Ergebnis:
≈ 16 %
★6
Urne mit 3 roten und 2 blauen Kugeln. Zweimal ziehen ohne Zurücklegen. Berechne P(rot, rot).
Lösung zeigen
1. Nach dem ersten Zug eine rote weniger: 2 von 4
2. 35 · 24 = 0,3
Ergebnis:
≈ 30 %

3Ich stelle Vierfeldertafeln auf und lese sie.

EntdeckenFrage

Eisverkauf und Badeunfälle steigen gemeinsam – liegt das am Eis?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein, an der Wärme. Zwei Merkmale können zusammen auftreten, ohne dass eines das andere verursacht. Eine Vierfeldertafel zeigt nur, wie oft welche Kombination vorkommt.

MerkenVierfeldertafel

Vier Felder für A∩B, A∩nichtB, nichtA∩B, nichtA∩nichtB; Randsummen ergeben P(A) und P(B).

BeispielBedingte Wahrscheinlichkeit (Vierfeldertafel)

Von 200 Schüler:innen fahren 60 mit dem Rad (R). 45 davon sind auch im Sportverein (S); insgesamt sind 83 im Sportverein. Wie viele fahren Rad, sind aber nicht im Verein?

Schritt für Schritt

Vierfeldertafel: R ∩ S = 45
R ∩ nicht S = 60 − 45 = 15

Vierfeldertafel: R ∩ S = 45
R ∩ nicht S = 60 − 45 = 15

Ergebnis:

AchtungBedingung vertauscht

So nicht

40 von 200 sind im Verein, 30 davon fahren Rad.
P(Verein | Rad) = 30 : 40 = 75 %

So richtig

Gefragt ist P(Rad | Verein) – innerhalb der Vereinsmitglieder:
30 : 40 = 75 %. Umgekehrt (Verein | Rad) wäre 30 : (Zahl der Radfahrenden).

P_B(A) ≠ P_A(B): Durch die Wahrscheinlichkeit der Bedingung teilen.

ÜbenJetzt du

○7
Von 200 Schüler:innen fahren 80 mit dem Rad (R). 44 davon sind auch im Sportverein (S); insgesamt sind 71 im Sportverein. Wie viele fahren Rad, sind aber nicht im Verein?
So fängst du an:
Vierfeldertafel: R ∩ S = 44
Lösung zeigen
1. Vierfeldertafel: R ∩ S = 44
2. R ∩ nicht S = 80 − 44 = 36
Ergebnis:
36
●8
Von 200 Schüler:innen fahren 80 mit dem Rad (R). 45 davon sind auch im Sportverein (S); insgesamt sind 97 im Sportverein. Wie viele fahren Rad, sind aber nicht im Verein?
Lösung zeigen
1. Vierfeldertafel: R ∩ S = 45
2. R ∩ nicht S = 80 − 45 = 35
Ergebnis:
35
★9
Von 200 Schüler:innen fahren 80 Rad (R), 66 sind im Sportverein (S), 47 beides. Berechne P_S(R) – die Wahrscheinlichkeit, dass ein Vereinsmitglied Rad fährt.
Lösung zeigen
1. P_S(R) = P(R ∩ S) : P(S)
2. = 47200 : 66200 = 47 : 66 = 0,712
Ergebnis:
≈ 71,2 %

4Ich berechne bedingte Wahrscheinlichkeiten.

EntdeckenFrage

Warum ist „90 Prozent der Unfälle passieren nah am Wohnort“ leicht falsch zu verstehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil dort auch fast alle Fahrten stattfinden. Gefragt ist nicht, wie viele Unfälle nah passieren, sondern wie viele nahe Fahrten zum Unfall führen – zwei verschiedene Bedingungen.

MerkenBedingte Wahrscheinlichkeit (Vierfeldertafel)

P_B(A) = P(A ∩ B) : P(B) – Anteil von A innerhalb von B.

BeispielBedingte Wahrscheinlichkeit berechnen

Von 100 Personen sind 40 in Gruppe A. Insgesamt tragen 34 Personen das Merkmal M, davon 16 aus Gruppe A. Berechne P(A | M).

Schritt für Schritt

P(A | M) = P(A ∩ M) / P(M)
P(A ∩ M) = 16/100, P(M) = 34100
P(A | M) = 1634 ≈ 0,471
Die Bedingung schrumpft die Grundmenge: gerechnet wird nur noch innerhalb von M.

P(A | M) = P(A ∩ M) / P(M)
P(A ∩ M) = 16/100, P(M) = 34100
P(A | M) = 1634 ≈ 0,471
Die Bedingung schrumpft die Grundmenge: gerechnet wird nur noch innerhalb von M.

Ergebnis:

P(A | M) ≈ 0,471 (47,1 %)

AchtungAnteil nicht in Prozent umgerechnet

So nicht

80 von 2000 = 0,04 %

So richtig

80 von 2000 = 0,04 = 4 %

Nimm den Anteil mal 100. Dann hast du Prozent.

ÜbenJetzt du

○10
Von 200 Personen sind 100 in Gruppe A. Insgesamt tragen 50 Personen das Merkmal M, davon 30 aus Gruppe A. Berechne P(A | M).
So fängst du an:
P(A | M) = P(A ∩ M) / P(M)
Lösung zeigen
1. P(A | M) = P(A ∩ M) / P(M)
2. P(A ∩ M) = 30/200, P(M) = 50200
3. P(A | M) = 3050 ≈ 0,6
4. Die Bedingung schrumpft die Grundmenge: gerechnet wird nur noch innerhalb von M.
Ergebnis:
P(A | M) ≈ 0,6 (60 %)
●11
Von 200 Personen sind 120 in Gruppe A. Insgesamt tragen 64 Personen das Merkmal M, davon 48 aus Gruppe A. Berechne P(A | M).
Lösung zeigen
1. P(A | M) = P(A ∩ M) / P(M)
2. P(A ∩ M) = 48/200, P(M) = 64200
3. P(A | M) = 4864 ≈ 0,75
4. Die Bedingung schrumpft die Grundmenge: gerechnet wird nur noch innerhalb von M.
Ergebnis:
P(A | M) ≈ 0,75 (75 %)
★12
Von 100 Personen sind 60 in Gruppe A. Insgesamt tragen 36 Personen das Merkmal M, davon 24 aus Gruppe A. Berechne P(A | M).
Lösung zeigen
1. P(A | M) = P(A ∩ M) / P(M)
2. P(A ∩ M) = 24/100, P(M) = 36100
3. P(A | M) = 2436 ≈ 0,667
4. Die Bedingung schrumpft die Grundmenge: gerechnet wird nur noch innerhalb von M.
Ergebnis:
P(A | M) ≈ 0,667 (66,7 %)

5Ich wechsle zwischen Baumdiagramm und Vierfeldertafel (Umkehrbaum).

EntdeckenFrage

Aus zwei Kisten wird eine Kugel gezogen – lässt sich an ihr die Kiste erkennen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nur mit dem Umkehrbaum. Wie wahrscheinlich die Kugel aus der ersten Kiste kam, hängt davon ab, wie viele Kugeln in beiden liegen, nicht allein von ihrer Farbe.

MerkenUmkehrbaum

Die Reihenfolge der Stufen tauschen: Was zuerst Bedingung war, wird Ergebnis – die Vierfeldertafel liefert die Zahlen.

BeispielUmkehrbaum (Satz von Bayes)

0,5 % der Bevölkerung haben eine Krankheit. Ein Test erkennt Kranke zu 98 % und Gesunde zu 97 % richtig. Berechne, wie wahrscheinlich eine positiv getestete Person wirklich krank ist.

Schritt für Schritt

P(positiv) = 0,005 · 0,98 + 0,995 · 0,03 = 0,0348
P(krank | positiv) = P(krank ∩ positiv) / P(positiv)
= 0,0049 / 0,0348 ≈ 0,141
Nur etwa 14,1 % – die vielen Gesunden erzeugen mehr falsch-positive als es Kranke gibt.

P(positiv) = 0,005 · 0,98 + 0,995 · 0,03 = 0,0348
P(krank | positiv) = P(krank ∩ positiv) / P(positiv)
= 0,0049 / 0,0348 ≈ 0,141
Nur etwa 14,1 % – die vielen Gesunden erzeugen mehr falsch-positive als es Kranke gibt.

Ergebnis:

≈ 14,1 %

AchtungNoch einmal: Bedingung vertauscht

So nicht

40 von 200 sind im Verein, 30 davon fahren Rad.
P(Verein | Rad) = 30 : 40 = 75 %

So richtig

Gefragt ist P(Rad | Verein) – innerhalb der Vereinsmitglieder:
30 : 40 = 75 %. Umgekehrt (Verein | Rad) wäre 30 : (Zahl der Radfahrenden).

P_B(A) ≠ P_A(B): Durch die Wahrscheinlichkeit der Bedingung teilen.

ÜbenJetzt du

○13
2 % der Bevölkerung haben eine Krankheit. Ein Test erkennt Kranke zu 99 % und Gesunde zu 95 % richtig. Berechne, wie wahrscheinlich eine positiv getestete Person wirklich krank ist.
So fängst du an:
P(positiv) = 0,02 · 0,99 + 0,98 · 0,05 = 0,0688
Lösung zeigen
1. P(positiv) = 0,02 · 0,99 + 0,98 · 0,05 = 0,0688
2. P(krank | positiv) = P(krank ∩ positiv) / P(positiv)
3. = 0,0198 / 0,0688 ≈ 0,288
4. Nur etwa 28,8 % – die vielen Gesunden erzeugen mehr falsch-positive als es Kranke gibt.
Ergebnis:
≈ 28,8 %
●14
2 % der Bevölkerung haben eine Krankheit. Ein Test erkennt Kranke zu 98 % und Gesunde zu 95 % richtig. Berechne, wie wahrscheinlich eine positiv getestete Person wirklich krank ist.
Lösung zeigen
1. P(positiv) = 0,02 · 0,98 + 0,98 · 0,05 = 0,0686
2. P(krank | positiv) = P(krank ∩ positiv) / P(positiv)
3. = 0,0196 / 0,0686 ≈ 0,286
4. Nur etwa 28,6 % – die vielen Gesunden erzeugen mehr falsch-positive als es Kranke gibt.
Ergebnis:
≈ 28,6 %
★15
0,5 % der Bevölkerung haben eine Krankheit. Ein Test erkennt Kranke zu 99 % und Gesunde zu 97 % richtig. Berechne, wie wahrscheinlich eine positiv getestete Person wirklich krank ist.
Lösung zeigen
1. P(positiv) = 0,005 · 0,99 + 0,995 · 0,03 = 0,0348
2. P(krank | positiv) = P(krank ∩ positiv) / P(positiv)
3. = 0,005 / 0,0348 ≈ 0,142
4. Nur etwa 14,2 % – die vielen Gesunden erzeugen mehr falsch-positive als es Kranke gibt.
Ergebnis:
≈ 14,2 %

6Ich prüfe Ereignisse auf stochastische Unabhängigkeit.

EntdeckenFrage

Zeigt der rote Würfel eine Sechs – ändert das die Chance auf die Augensumme 7?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ohne Wissen ist P(Summe 7) = 6/36 = 1/6. Mit roter Sechs muss der grüne Würfel eine 1 zeigen, auch das hat 1/6. Es gilt P(A und B) = 1/36 = 1/6 · 1/6: unabhängig. Bei Augensumme 8 wäre es anders: 5/36 gegen 1/6.

MerkenUnabhängig

A und B sind unabhängig, wenn P(A ∩ B) = P(A) · P(B).

BeispielStochastische Unabhängigkeit prüfen

P(A) = 0,5, P(B) = 0,5, P(A ∩ B) = 0,25. Prüfe, ob A und B stochastisch unabhängig sind.

Schritt für Schritt

Unabhängig heißt: P(A ∩ B) = P(A) · P(B)
P(A) · P(B) = 0,5 · 0,5 = 0,25
Gleich → unabhängig.

Unabhängig heißt: P(A ∩ B) = P(A) · P(B)
P(A) · P(B) = 0,5 · 0,5 = 0,25
Gleich → unabhängig.

Ergebnis:

unabhängig

ÜbenJetzt du

○16
P(A) = 0,4, P(B) = 0,5, P(A ∩ B) = 0,12. Prüfe, ob A und B stochastisch unabhängig sind.
So fängst du an:
Unabhängig heißt: P(A ∩ B) = P(A) · P(B)
Lösung zeigen
1. Unabhängig heißt: P(A ∩ B) = P(A) · P(B)
2. P(A) · P(B) = 0,4 · 0,5 = 0,2
3. 0,12 ≠ 0,2 → abhängig.
Ergebnis:
abhängig
●17
P(A) = 0,5, P(B) = 0,3, P(A ∩ B) = 0,15. Prüfe, ob A und B stochastisch unabhängig sind.
Lösung zeigen
1. Unabhängig heißt: P(A ∩ B) = P(A) · P(B)
2. P(A) · P(B) = 0,5 · 0,3 = 0,15
3. Gleich → unabhängig.
Ergebnis:
unabhängig
★18
P(A) = 0,6, P(B) = 0,5, P(A ∩ B) = 0,22. Prüfe, ob A und B stochastisch unabhängig sind.
Lösung zeigen
1. Unabhängig heißt: P(A ∩ B) = P(A) · P(B)
2. P(A) · P(B) = 0,6 · 0,5 = 0,3
3. 0,22 ≠ 0,3 → abhängig.
Ergebnis:
abhängig

7Ich deute Ergebnisse (medizinische Tests, Fehlalarme).

EntdeckenFrage

Warum folgt auf einen positiven HIV-Suchtest immer erst ein Bestätigungstest?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Angenommen, von 10.000 Getesteten sind 10 infiziert und der Suchtest irrt bei 0,5 Prozent der Gesunden. Dann gibt es etwa 50 Fehlalarme und 10 echte Befunde. Nur jedes sechste positive Ergebnis stimmt. Erst ein zweiter, unabhängiger Test trennt beide Gruppen.

MerkenEin positiver Test heißt nicht krank

Bei seltenen Krankheiten sind die meisten positiven Tests Fehlalarme.

Rechne mit einer Vierfeldertafel für 10 000 Personen – dann siehst du, wie klein der Anteil der Kranken unter den Positiven ist.

BeispielMedizinischen Test deuten (Basisrate)

Ein Test auf einen Stoff im Blut schlägt bei 99 von 100 Betroffenen an. Von 10.000 Untersuchten sind 200 betroffen; von den übrigen schlägt der Test bei 10 von 100 ebenfalls an. Wie viele haben insgesamt ein positives Ergebnis?

Schritt für Schritt

Betroffene mit positivem Ergebnis: 200 · 99100 = 198
Nicht betroffene mit positivem Ergebnis: 9.800 · 10100 = 980
Zusammen: 198 + 980 = 1.178

Betroffene mit positivem Ergebnis: 200 · 99100 = 198
Nicht betroffene mit positivem Ergebnis: 9.800 · 10100 = 980
Zusammen: 198 + 980 = 1.178

Ergebnis:

1.178

ÜbenJetzt du

○19
Ein Test auf eine Materialschwäche schlägt bei 95 von 100 Betroffenen an. Von 10.000 Untersuchten sind 100 betroffen; von den übrigen schlägt der Test bei 10 von 100 ebenfalls an. Wie viele haben insgesamt ein positives Ergebnis?
So fängst du an:
Betroffene mit positivem Ergebnis: 100 · 95100 = 95
Lösung zeigen
1. Betroffene mit positivem Ergebnis: 100 · 95100 = 95
2. Nicht betroffene mit positivem Ergebnis: 9.900 · 10100 = 990
3. Zusammen: 95 + 990 = 1.085
Ergebnis:
1.085
●20
Ein Test auf eine seltene Krankheit schlägt bei 99 von 100 Betroffenen an. Von 10.000 Untersuchten sind 200 betroffen; von den übrigen schlägt der Test bei 2 von 100 ebenfalls an. Wie viele haben insgesamt ein positives Ergebnis?
Lösung zeigen
1. Betroffene mit positivem Ergebnis: 200 · 99100 = 198
2. Nicht betroffene mit positivem Ergebnis: 9.800 · 2100 = 196
3. Zusammen: 198 + 196 = 394
Ergebnis:
394
★21
Ein Test auf einen Stoff im Blut schlägt bei 99 von 100 Betroffenen an. Von 10.000 Untersuchten sind 200 betroffen; von den übrigen schlägt der Test bei 5 von 100 ebenfalls an. Jemand bekommt ein positives Ergebnis und liest: „Der Test ist zu 99 Prozent sicher.“ Stimmt das? Begründe mit Zahlen.
Lösung zeigen
1. Positiv und betroffen: 198
2. Positiv und nicht betroffen: 490
3. Von 688 positiven Ergebnissen sind nur 198 richtig: 198 : 688 ≈ 29 Prozent
4. Die 99 Prozent gelten in der anderen Richtung: Sie sagen, wie oft der Test bei Betroffenen anschlägt – nicht, wie oft ein positives Ergebnis stimmt.
Ergebnis:
Nein – bei einem positiven Ergebnis liegt die Sache nur in etwa 29 von 100 Fällen wirklich vor.

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●22
Von 200 Schüler:innen fahren 120 mit dem Rad (R). 91 davon sind auch im Sportverein (S); insgesamt sind 122 im Sportverein. Wie viele fahren Rad, sind aber nicht im Verein?
Lösung zeigen
1. Vierfeldertafel: R ∩ S = 91
2. R ∩ nicht S = 120 − 91 = 29
Ergebnis:
29
●23
Von 100 Personen sind 40 in Gruppe A. Insgesamt tragen 32 Personen das Merkmal M, davon 20 aus Gruppe A. Berechne P(A | M).
Lösung zeigen
1. P(A | M) = P(A ∩ M) / P(M)
2. P(A ∩ M) = 20/100, P(M) = 32100
3. P(A | M) = 2032 ≈ 0,625
4. Die Bedingung schrumpft die Grundmenge: gerechnet wird nur noch innerhalb von M.
Ergebnis:
P(A | M) ≈ 0,625 (62,5 %)
●24
2 % der Bevölkerung haben eine Krankheit. Ein Test erkennt Kranke zu 99 % und Gesunde zu 97 % richtig. Berechne, wie wahrscheinlich eine positiv getestete Person wirklich krank ist.
Lösung zeigen
1. P(positiv) = 0,02 · 0,99 + 0,98 · 0,03 = 0,0492
2. P(krank | positiv) = P(krank ∩ positiv) / P(positiv)
3. = 0,0198 / 0,0492 ≈ 0,402
4. Nur etwa 40,2 % – die vielen Gesunden erzeugen mehr falsch-positive als es Kranke gibt.
Ergebnis:
≈ 40,2 %
●25
P(A) = 0,6, P(B) = 0,3, P(A ∩ B) = 0,26. Prüfe, ob A und B stochastisch unabhängig sind.
Lösung zeigen
1. Unabhängig heißt: P(A ∩ B) = P(A) · P(B)
2. P(A) · P(B) = 0,6 · 0,3 = 0,18
3. 0,26 ≠ 0,18 → abhängig.
Ergebnis:
abhängig
●26
Urne mit 3 roten und 4 blauen Kugeln. Zweimal ziehen mit Zurücklegen. Berechne P(rot, rot).
Lösung zeigen
1. Pfadregel: Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades multiplizieren
2. 37 · 37 = 0,1837
Ergebnis:
≈ 18,4 %
●27
Urne mit 6 roten und 7 blauen Kugeln, zweimal ziehen ohne Zurücklegen. Berechne P(mindestens eine rote).
Lösung zeigen
1. Gegenereignis: keine rote = beide blau
2. P(blau, blau) = 713 · 612 = 0,2692
3. 1 − 0,2692 = 0,7308
Ergebnis:
≈ 73,1 %

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Pfadregeln: Entlang eines Pfades multiplizieren, mehrere Pfade addieren.
Baumdiagramm: Jede Stufe eine Verzweigung; ohne Zurücklegen ändern sich die Brüche auf der nächsten Stufe.
Vierfeldertafel: Vier Felder für A∩B, A∩nichtB, nichtA∩B, nichtA∩nichtB; Randsummen ergeben P(A) und P(B).
Bedingte Wahrscheinlichkeit (Vierfeldertafel): P_B(A) = P(A ∩ B) : P(B) – Anteil von A innerhalb von B.
Umkehrbaum: Die Reihenfolge der Stufen tauschen: Was zuerst Bedingung war, wird Ergebnis – die Vierfeldertafel liefert die Zahlen.
Unabhängig: A und B sind unabhängig, wenn P(A ∩ B) = P(A) · P(B).
Ein positiver Test heißt nicht krank: Bei seltenen Krankheiten sind die meisten positiven Tests Fehlalarme.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich wiederhole Laplace-Wahrscheinlichkeit und Pfadregeln.
28
Urne mit 2 roten und 7 blauen Kugeln, zweimal ziehen ohne Zurücklegen. Berechne P(mindestens eine rote).
Lösung zeigen
Ergebnis:
≈ 41,7 %
Ich rechne mehrstufige Zufallsexperimente mit Baumdiagrammen.
29
Urne mit 2 roten und 2 blauen Kugeln. Zweimal ziehen mit Zurücklegen. Berechne P(rot, rot).
Lösung zeigen
Ergebnis:
≈ 25 %
Ich stelle Vierfeldertafeln auf und lese sie.
30
Von 200 Schüler:innen fahren 60 mit dem Rad (R). 19 davon sind auch im Sportverein (S); insgesamt sind 66 im Sportverein. Wie viele fahren Rad, sind aber nicht im Verein?
Lösung zeigen
Ergebnis:
41
Ich berechne bedingte Wahrscheinlichkeiten.
31
Von 200 Personen sind 120 in Gruppe A. Insgesamt tragen 52 Personen das Merkmal M, davon 36 aus Gruppe A. Berechne P(A | M).
Lösung zeigen
Ergebnis:
P(A | M) ≈ 0,692 (69,2 %)
Ich wechsle zwischen Baumdiagramm und Vierfeldertafel (Umkehrbaum).
32
2 % der Bevölkerung haben eine Krankheit. Ein Test erkennt Kranke zu 99 % und Gesunde zu 95 % richtig. Berechne, wie wahrscheinlich eine positiv getestete Person wirklich krank ist.
Lösung zeigen
Ergebnis:
≈ 28,8 %
Ich prüfe Ereignisse auf stochastische Unabhängigkeit.
33
P(A) = 0,5, P(B) = 0,5, P(A ∩ B) = 0,25. Prüfe, ob A und B stochastisch unabhängig sind.
Lösung zeigen
Ergebnis:
unabhängig
Ich deute Ergebnisse (medizinische Tests, Fehlalarme).
34
Ein Test auf eine seltene Krankheit schlägt bei 95 von 100 Betroffenen an. Von 10.000 Untersuchten sind 100 betroffen; von den übrigen schlägt der Test bei 2 von 100 ebenfalls an. Wie viele haben insgesamt ein positives Ergebnis?
Lösung zeigen
Ergebnis:
293
Ich bereite die Klausur vor.
35
Von 200 Schüler:innen fahren 60 mit dem Rad (R). 26 davon sind auch im Sportverein (S); insgesamt sind 51 im Sportverein. Wie viele fahren Rad, sind aber nicht im Verein?
Lösung zeigen
Ergebnis:
34

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Die Vierfeldertafel: bedingte Wahrscheinlichkeiten ordnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Corona-Schnelltest positiv – wie sicher ist das? Beruf: Medizin, Recht, Datenanalyse.

Wörter

Anteil: wie viel von einem Ganzen
Ereignis: das, was passieren kann
Wahrscheinlichkeit: wie sicher etwas passiert
Zufallsexperiment: ein Versuch, dessen Ausgang man nicht vorher weiß

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Wahrscheinlichkeit, Brüche und Dezimalzahlen, Zählen und Wahrscheinlichkeit

Darauf baut auf: Binomialverteilung

Lösungen

≈ 57,6 %
≈ 72,2 %
≈ 58,3 %
≈ 11,1 %
≈ 16 %
≈ 30 %
36
35
≈ 71,2 %
P(A | M) ≈ 0,6 (60 %)
P(A | M) ≈ 0,75 (75 %)
P(A | M) ≈ 0,667 (66,7 %)
≈ 28,8 %
≈ 28,6 %
≈ 14,2 %
abhängig
unabhängig
abhängig
1.085
394
Nein – bei einem positiven Ergebnis liegt die Sache nur in etwa 29 von 100 Fällen wirklich vor.
29
P(A | M) ≈ 0,625 (62,5 %)
≈ 40,2 %
abhängig
≈ 18,4 %
≈ 73,1 %
≈ 41,7 %
≈ 25 %
41
P(A | M) ≈ 0,692 (69,2 %)
≈ 28,8 %
unabhängig
293
34
26 ≈ 33,3 %
1439 ≈ 35,9 %