Mathematik · Klasse 12 und 13 · Kapitel

Binomialverteilung

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Ein Würfel wird 10-mal geworfen. Wie wahrscheinlich sind genau drei Sechsen? Rechne mit dem Baumdiagramm.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Der Baum hat 1024 Pfade; die Pfade mit genau drei Sechsen zu zählen ist mühsam und fehleranfällig. Die Klasse braucht die Zählformel. 120 Pfade haben genau drei Sechsen – das ist 10 über 3 –, jeder mit derselben Wahrscheinlichkeit. Die Bernoulli-Formel fasst das zusammen.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Ein zweistufiges Experiment mit Zurücklegen hat auf jeder Stufe dieselbe Wahrscheinlichkeit.

●40
Urne mit 5 roten und 3 blauen Kugeln. Zweimal ziehen mit Zurücklegen. Berechne P(rot, rot).
Lösung zeigen
1. Pfadregel: Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades multiplizieren
2. 58 · 58 = 0,3906
Ergebnis:
≈ 39,1 %
●41
Urne mit 4 roten und 4 blauen Kugeln. Zweimal ziehen mit Zurücklegen. Berechne P(rot, rot).
Lösung zeigen
1. Pfadregel: Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades multiplizieren
2. 48 · 48 = 0,25
Ergebnis:
≈ 25 %

So kannst du es dir vorstellen

Entdeckenn gleiche Versuche, zwei Ausgänge

Die Binomialverteilung passt genau dann, wenn immer wieder dasselbe Experiment läuft, es nur Treffer und Niete gibt und p sich nicht ändert. Diese Prüfung kommt VOR jeder Rechnung.

WeiterdenkenDenk nach

Ziehen aus einer Urne ohne Zurücklegen – ist das binomialverteilt? Warum nicht?

1Ich erkenne Bernoulli-Ketten (n, p) in Sachsituationen.

EntdeckenFrage

Wie wahrscheinlich sind bei zehn Münzwürfen genau fünfmal Kopf – die Hälfte?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nur 24,6 %. „Halbe-halbe“ ist der wahrscheinlichste Ausgang, aber nicht wahrscheinlich – die Binomialverteilung verteilt die Masse auf die Nachbarn.

MerkenBernoulli-Kette

n gleiche, unabhängige Versuche mit Trefferwahrscheinlichkeit p – nur „Treffer“ oder „Niete“.

Eselsbrücke: Bernoulli: „n über k, p hoch k, q hoch Rest“ – P(X = k) = (n k) pᵏ (1−p)ⁿ⁻ᵏ

BeispielBernoulli-Kette erkennen

Eine Münze wird 20-mal geworfen. Interessiert: Wie oft fällt Kopf? Entscheide, ob eine Bernoulli-Kette vorliegt. Bestimme gegebenenfalls n und p.

Schritt für Schritt

Bedingungen: nur zwei Ausgänge, immer dieselbe Wahrscheinlichkeit, Versuche unabhängig.
Alle drei erfüllt – die Versuche sind unabhängig, p bleibt gleich.
n = 20, p = 0,5

Bedingungen: nur zwei Ausgänge, immer dieselbe Wahrscheinlichkeit, Versuche unabhängig.
Alle drei erfüllt – die Versuche sind unabhängig, p bleibt gleich.
n = 20, p = 0,5

Ergebnis:

ja: n = 20, p = 0,5

AchtungBinomialkoeffizient vergessen

So nicht

n = 5, p = 0,3: P(X = 2) = 0,3^2 · 0,7^3 = 0,031

So richtig

n = 5, p = 0,3: P(X = 2) = (5 über 2) · 0,3^2 · 0,7^3 = 10 · 0,031 = 0,31

pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ ist nur ein Pfad – mit (n über k) multiplizieren.

ÜbenJetzt du

○1
12-mal wird zufällig eine Karte gezogen und zurückgelegt. Interessiert: Wie oft ist es ein Ass? Entscheide, ob eine Bernoulli-Kette vorliegt. Bestimme gegebenenfalls n und p.
So fängst du an:
Bedingungen: nur zwei Ausgänge, immer dieselbe Wahrscheinlichkeit, Versuche unabhängig.
Lösung zeigen
1. Bedingungen: nur zwei Ausgänge, immer dieselbe Wahrscheinlichkeit, Versuche unabhängig.
2. Alle drei erfüllt – die Versuche sind unabhängig, p bleibt gleich.
3. n = 12, p = 452
Ergebnis:
ja: n = 12, p = 452
●2
Aus einer Urne mit 10 Kugeln werden 3 Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Interessiert: Wie viele rote sind dabei? Entscheide, ob eine Bernoulli-Kette vorliegt. Bestimme gegebenenfalls n und p.
Lösung zeigen
1. Bedingungen: nur zwei Ausgänge, immer dieselbe Wahrscheinlichkeit, Versuche unabhängig.
2. Nicht erfüllt: Entweder ändert sich p von Zug zu Zug, oder n steht nicht fest.
3. Entweder ändert sich p, oder die Anzahl der Versuche steht nicht von vornherein fest.
Ergebnis:
nein – n oder p sind nicht fest
★3
Aus einer Klasse mit 28 Kindern werden 4 für eine Aufgabe ausgelost (niemand zweimal). Interessiert: Wie viele Mädchen sind dabei? Entscheide, ob eine Bernoulli-Kette vorliegt. Bestimme gegebenenfalls n und p.
Lösung zeigen
1. Bedingungen: nur zwei Ausgänge, immer dieselbe Wahrscheinlichkeit, Versuche unabhängig.
2. Nicht erfüllt: Entweder ändert sich p von Zug zu Zug, oder n steht nicht fest.
3. Entweder ändert sich p, oder die Anzahl der Versuche steht nicht von vornherein fest.
Ergebnis:
nein – n oder p sind nicht fest

2Ich berechne P(X = k) mit der Bernoulli-Formel.

EntdeckenFrage

Wie wahrscheinlich ist es, fünf Fragen mit je vier Antworten allein durch Raten zu treffen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Etwa ein Promille: 0,25 hoch 5 sind rund 0,001. Mindestens drei von fünf zu raten gelingt dagegen in etwa 10 von 100 Fällen – Raten reicht für ein Ausreichend nicht.

MerkenBinomialverteilung: P(X = k)

P(X = k) = (n über k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ. (n über k) zählt, auf wie viele Arten k Treffer verteilt sein können.

BeispielBinomialverteilung: P(X = k)

Ein Multiple-Choice-Test hat 4 Fragen mit je Trefferwahrscheinlichkeit 0,2 beim Raten. Berechne die Wahrscheinlichkeit für genau 2 richtige.

Schritt für Schritt

Bernoulli-Kette: n = 4, p = 0,2
P(X = 2) = (4 über 2) · 0,2² · 0,8²
= 6 · 0,04 · 0,64 ≈ 0,1536

Bernoulli-Kette: n = 4, p = 0,2
P(X = 2) = (4 über 2) · 0,2² · 0,8²
= 6 · 0,04 · 0,64 ≈ 0,1536

Ergebnis:

≈ 15,4 %

AchtungNoch einmal: Binomialkoeffizient vergessen

So nicht

n = 5, p = 0,3: P(X = 2) = 0,3^2 · 0,7^3 = 0,031

So richtig

n = 5, p = 0,3: P(X = 2) = (5 über 2) · 0,3^2 · 0,7^3 = 10 · 0,031 = 0,31

pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ ist nur ein Pfad – mit (n über k) multiplizieren.

ÜbenJetzt du

○4
Ein Multiple-Choice-Test hat 6 Fragen mit je Trefferwahrscheinlichkeit 0,25 beim Raten. Berechne die Wahrscheinlichkeit für genau 1 richtige.
So fängst du an:
Bernoulli-Kette: n = 6, p = 0,25
Lösung zeigen
1. Bernoulli-Kette: n = 6, p = 0,25
2. P(X = 1) = (6 über 1) · 0,25¹ · 0,75⁵
3. = 6 · 0,25 · 0,2373 ≈ 0,356
Ergebnis:
≈ 35,6 %
●5
Ein Multiple-Choice-Test hat 5 Fragen mit je Trefferwahrscheinlichkeit 0,2 beim Raten. Berechne die Wahrscheinlichkeit für genau 1 richtige.
Lösung zeigen
1. Bernoulli-Kette: n = 5, p = 0,2
2. P(X = 1) = (5 über 1) · 0,2¹ · 0,8⁴
3. = 5 · 0,2 · 0,4096 ≈ 0,4096
Ergebnis:
≈ 41 %
★6
Ein Multiple-Choice-Test hat 12 Fragen mit je Trefferwahrscheinlichkeit 0,25 beim Raten. Berechne die Wahrscheinlichkeit für genau 1 richtige.
Lösung zeigen
1. Bernoulli-Kette: n = 12, p = 0,25
2. P(X = 1) = (12 über 1) · 0,25¹ · 0,75¹¹
3. = 12 · 0,25 · 0,04224 ≈ 0,1267
Ergebnis:
≈ 12,7 %

3Ich berechne kumulierte Wahrscheinlichkeiten P(X ≤ k) mit Tabelle oder Rechner.

EntdeckenFrage

Warum fragt eine Qualitätsprüfung nach höchstens drei Fehlern und nicht nach genau drei?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil die Entscheidung an einer Grenze hängt und nicht an einer einzelnen Zahl. Dafür addiert man die Wahrscheinlichkeiten von null bis drei – das ist die kumulierte Wahrscheinlichkeit.

MerkenKumuliert

P(X ≤ k) = Summe von P(X = 0) bis P(X = k); Tabelle oder Rechner.

BeispielKumulierte Wahrscheinlichkeit P(X ≤ k)

X ist binomialverteilt mit n = 6 und p = 0,5. Berechne P(X ≤ 2).

Schritt für Schritt

P(X ≤ 2) = P(X = 0) + … + P(X = 2)
P(X = 0) = C(6;0) · 0,5⁰ · 0,5⁶ = 0,0156
P(X = 1) = C(6;1) · 0,5¹ · 0,5⁵ = 0,0938
P(X = 2) = C(6;2) · 0,5² · 0,5⁴ = 0,2344
Summe ≈ 0,3438

P(X ≤ 2) = P(X = 0) + … + P(X = 2)
P(X = 0) = C(6;0) · 0,5⁰ · 0,5⁶ = 0,0156
P(X = 1) = C(6;1) · 0,5¹ · 0,5⁵ = 0,0938
P(X = 2) = C(6;2) · 0,5² · 0,5⁴ = 0,2344
Summe ≈ 0,3438

Ergebnis:

P(X ≤ 2) ≈ 0,3438 (34,4 %)

Achtung„mindestens“ falsch übersetzt

So nicht

P(mindestens 1 Treffer) = P(X = 1)

So richtig

P(mindestens 1 Treffer) = 1 − P(X = 0)

„Mindestens 1“ = 1 − P(X = 0); „höchstens 2“ = P(X ≤ 2).

ÜbenJetzt du

○7
X ist binomialverteilt mit n = 8 und p = 0,25. Berechne P(X ≤ 3).
So fängst du an:
P(X ≤ 3) = P(X = 0) + … + P(X = 3)
Lösung zeigen
1. P(X ≤ 3) = P(X = 0) + … + P(X = 3)
2. P(X = 0) = C(8;0) · 0,25⁰ · 0,75⁸ = 0,1001
3. P(X = 1) = C(8;1) · 0,25¹ · 0,75⁷ = 0,267
4. P(X = 2) = C(8;2) · 0,25² · 0,75⁶ = 0,3115
5. P(X = 3) = C(8;3) · 0,25³ · 0,75⁵ = 0,2076
6. Summe ≈ 0,8862
Ergebnis:
P(X ≤ 3) ≈ 0,8862 (88,6 %)
●8
X ist binomialverteilt mit n = 5 und p = 0,5. Berechne P(X ≤ 3).
Lösung zeigen
1. P(X ≤ 3) = P(X = 0) + … + P(X = 3)
2. P(X = 0) = C(5;0) · 0,5⁰ · 0,5⁵ = 0,0313
3. P(X = 1) = C(5;1) · 0,5¹ · 0,5⁴ = 0,1563
4. P(X = 2) = C(5;2) · 0,5² · 0,5³ = 0,3125
5. P(X = 3) = C(5;3) · 0,5³ · 0,5² = 0,3125
6. Summe ≈ 0,8125
Ergebnis:
P(X ≤ 3) ≈ 0,8125 (81,3 %)
★9
X ist binomialverteilt mit n = 8 und p = 0,5. Berechne P(X ≤ 1).
Lösung zeigen
1. P(X ≤ 1) = P(X = 0) + … + P(X = 1)
2. P(X = 0) = C(8;0) · 0,5⁰ · 0,5⁸ = 0,0039
3. P(X = 1) = C(8;1) · 0,5¹ · 0,5⁷ = 0,0313
4. Summe ≈ 0,0352
Ergebnis:
P(X ≤ 1) ≈ 0,0352 (3,5 %)

4Ich nutze das Gegenereignis für „mindestens“ und „höchstens“.

EntdeckenFrage

Wie oft musst du würfeln, damit mindestens eine Sechs wahrscheinlicher ist als keine?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ab vier Würfen: Dann liegt die Wahrscheinlichkeit bei rund 52 Prozent, bei zehn Würfen bei 84 Prozent. Gerechnet wird über das Gegenteil, also über „keine einzige Sechs“.

MerkenMindestens einmal

Mindestens einmal heißt: nicht kein einziges Mal.

Deshalb über das Gegenereignis: P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − (1 − p)ⁿ.

BeispielBinomialverteilung: mindestens einmal

Ein Bauteil ist mit Wahrscheinlichkeit 0,05 defekt. Es werden 5 Bauteile geprüft. Berechne P(mindestens eines defekt).

Schritt für Schritt

Gegenereignis: keines defekt → (1 − 0,05)⁵ = 0,7738
1 − 0,7738 = 0,2262

Gegenereignis: keines defekt → (1 − 0,05)⁵ = 0,7738
1 − 0,7738 = 0,2262

Ergebnis:

≈ 22,6 %

AchtungNoch einmal: „mindestens“ falsch übersetzt

So nicht

P(mindestens 1 Treffer) = P(X = 1)

So richtig

P(mindestens 1 Treffer) = 1 − P(X = 0)

„Mindestens 1“ = 1 − P(X = 0); „höchstens 2“ = P(X ≤ 2).

ÜbenJetzt du

○10
Ein Bauteil ist mit Wahrscheinlichkeit 0,1 defekt. Es werden 3 Bauteile geprüft. Berechne P(mindestens eines defekt).
So fängst du an:
Gegenereignis: keines defekt → (1 − 0,1)³ = 0,729
Lösung zeigen
1. Gegenereignis: keines defekt → (1 − 0,1)³ = 0,729
2. 1 − 0,729 = 0,271
Ergebnis:
≈ 27,1 %
●11
Ein Bauteil ist mit Wahrscheinlichkeit 0,05 defekt. Es werden 6 Bauteile geprüft. Berechne P(mindestens eines defekt).
Lösung zeigen
1. Gegenereignis: keines defekt → (1 − 0,05)⁶ = 0,7351
2. 1 − 0,7351 = 0,2649
Ergebnis:
≈ 26,5 %
★12
Ein Bauteil ist mit Wahrscheinlichkeit 0,25 defekt. Es werden 10 Bauteile geprüft. Berechne P(mindestens eines defekt).
Lösung zeigen
1. Gegenereignis: keines defekt → (1 − 0,25)¹⁰ = 0,0563
2. 1 − 0,0563 = 0,9437
Ergebnis:
≈ 94,4 %

5Ich berechne Erwartungswert und Standardabweichung.

EntdeckenFrage

Woher weiß eine Versicherung im Voraus, wie viel sie in einem Jahr auszahlen wird?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Aus dem Erwartungswert. Bei n Fällen mit Wahrscheinlichkeit p sind im Mittel n mal p zu erwarten, und die Streuung wächst nur mit der Wurzel – je mehr Verträge, desto verlässlicher.

MerkenErwartungswert und Standardabweichung

Im Mittel erwartet man μ = n · p Treffer; die Streuung darum ist σ = √(n · p · (1 − p)).

Beides folgt aus n und p allein.

BeispielErwartungswert und Standardabweichung

X ist binomialverteilt mit n = 100 und p = 0,5. Berechne Erwartungswert.

Schritt für Schritt

Erwartungswert heißt: So viele Treffer sind auf lange Sicht im Mittel zu erwarten.
μ = n · p = 100 · 0,5 = 50

Erwartungswert heißt: So viele Treffer sind auf lange Sicht im Mittel zu erwarten.
μ = n · p = 100 · 0,5 = 50

Ergebnis:

μ = 50

ÜbenJetzt du

○13
X ist binomialverteilt mit n = 100 und p = 0,25. Berechne Erwartungswert.
So fängst du an:
Erwartungswert heißt: So viele Treffer sind auf lange Sicht im Mittel zu erwarten.
Lösung zeigen
1. Erwartungswert heißt: So viele Treffer sind auf lange Sicht im Mittel zu erwarten.
2. μ = n · p = 100 · 0,25 = 25
Ergebnis:
μ = 25
●14
X ist binomialverteilt mit n = 50 und p = 0,2. Berechne Erwartungswert.
Lösung zeigen
1. Erwartungswert heißt: So viele Treffer sind auf lange Sicht im Mittel zu erwarten.
2. μ = n · p = 50 · 0,2 = 10
Ergebnis:
μ = 10
★15
X ist binomialverteilt mit n = 400 und p = 0,2. Berechne Erwartungswert und Standardabweichung.
Lösung zeigen
1. Erwartungswert heißt: So viele Treffer sind auf lange Sicht im Mittel zu erwarten.
2. μ = n · p = 400 · 0,2 = 80
3. σ = √n · p · (1 − p) = √64 ≈ 8
4. Rund zwei Drittel der Ergebnisse liegen zwischen 72 und 88.
Ergebnis:
μ = 80, σ ≈ 8

6Ich bestimme n oder p aus Bedingungen (Dreimal-Mindestens-Aufgabe).

EntdeckenFrage

Wie viele Blutspender braucht ein Termin, damit mit 95 Prozent Sicherheit einer mit AB negativ kommt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Etwa 1 Prozent der Menschen in Deutschland hat AB negativ. Gesucht ist n mit 1 − 0,99ⁿ ≥ 0,95, also 0,99ⁿ ≤ 0,05. Logarithmieren ergibt n ≥ 298,1. Es braucht also 299 Spender.

Merkenn bestimmen

1 − (1 − p)ⁿ ≥ 0,9 → nach n auflösen mit Logarithmus.

BeispielWie viele Versuche? (Dreimal-Mindestens-Aufgabe)

Ein Versuch gelingt mit p = 0,25. Bestimme, wie oft man ihn mindestens durchführen muss, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90 % wenigstens einmal gelingt?

Schritt für Schritt

Gegenereignis: „kein einziges Mal“ hat die Wahrscheinlichkeit 0,75ⁿ
Bedingung: 1 − 0,75ⁿ ≥ 0,9 → 0,75ⁿ ≤ 0,1
n ≥ ln(0,1) / ln(0,75) ≈ 8,004
Aufrunden, denn n muss ganzzahlig sein und die Ungleichung erfüllen.
Beim Logarithmieren mit einer Zahl < 1 dreht sich das Zeichen – deshalb ≥ statt ≤.
n = 9

Gegenereignis: „kein einziges Mal“ hat die Wahrscheinlichkeit 0,75ⁿ
Bedingung: 1 − 0,75ⁿ ≥ 0,9 → 0,75ⁿ ≤ 0,1
n ≥ ln(0,1) / ln(0,75) ≈ 8,004
Aufrunden, denn n muss ganzzahlig sein und die Ungleichung erfüllen.
Beim Logarithmieren mit einer Zahl < 1 dreht sich das Zeichen – deshalb ≥ statt ≤.
n = 9

Ergebnis:

n = 9

ÜbenJetzt du

○16
Ein Versuch gelingt mit p = 0,2. Bestimme, wie oft man ihn mindestens durchführen muss, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95 % wenigstens einmal gelingt?
So fängst du an:
Gegenereignis: „kein einziges Mal“ hat die Wahrscheinlichkeit 0,8ⁿ
Lösung zeigen
1. Gegenereignis: „kein einziges Mal“ hat die Wahrscheinlichkeit 0,8ⁿ
2. Bedingung: 1 − 0,8ⁿ ≥ 0,95 → 0,8ⁿ ≤ 0,05
3. n ≥ ln(0,05) / ln(0,8) ≈ 13,425
4. Aufrunden, denn n muss ganzzahlig sein und die Ungleichung erfüllen.
5. Beim Logarithmieren mit einer Zahl < 1 dreht sich das Zeichen – deshalb ≥ statt ≤.
6. n = 14
Ergebnis:
n = 14
●17
Ein Versuch gelingt mit p = 0,1. Bestimme, wie oft man ihn mindestens durchführen muss, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99 % wenigstens einmal gelingt?
Lösung zeigen
1. Gegenereignis: „kein einziges Mal“ hat die Wahrscheinlichkeit 0,9ⁿ
2. Bedingung: 1 − 0,9ⁿ ≥ 0,99 → 0,9ⁿ ≤ 0,01
3. n ≥ ln(0,01) / ln(0,9) ≈ 43,709
4. Aufrunden, denn n muss ganzzahlig sein und die Ungleichung erfüllen.
5. Beim Logarithmieren mit einer Zahl < 1 dreht sich das Zeichen – deshalb ≥ statt ≤.
6. n = 44
Ergebnis:
n = 44
★18
Ein Versuch gelingt mit p = 0,5. Bestimme, wie oft man ihn mindestens durchführen muss, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95 % wenigstens einmal gelingt?
Lösung zeigen
1. Gegenereignis: „kein einziges Mal“ hat die Wahrscheinlichkeit 0,5ⁿ
2. Bedingung: 1 − 0,5ⁿ ≥ 0,95 → 0,5ⁿ ≤ 0,05
3. n ≥ ln(0,05) / ln(0,5) ≈ 4,322
4. Aufrunden, denn n muss ganzzahlig sein und die Ungleichung erfüllen.
5. Beim Logarithmieren mit einer Zahl < 1 dreht sich das Zeichen – deshalb ≥ statt ≤.
6. n = 5
Ergebnis:
n = 5

7Ich deute Histogramme der Binomialverteilung.

EntdeckenFrage

Wirft man 100 Münzen, kommt fast immer zwischen 40- und 60-mal Kopf. Wie viel ist fast immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das Histogramm für n = 100 und p = 0,5 hat seinen Gipfel bei 50 und fällt zu beiden Seiten schnell ab. Addiert man die Säulen von 40 bis 60, erhält man rund 0,965. In etwa 96 von 100 Versuchsreihen landet man also in diesem Bereich.

MerkenHistogramm

Bei p = 0,5 symmetrisch, sonst schief; das Maximum liegt nahe μ.

BeispielStimmt das? Behauptungen zur Binomialverteilung

Ein Ereignis tritt bei jedem Versuch mit Wahrscheinlichkeit 110 ein. Jemand sagt: „Bei 20 Versuchen tritt es dann ganz sicher mindestens einmal ein.“ Stimmt das? Begründe.

Schritt für Schritt

Gegenereignis: bei keinem der 20 Versuche
P(kein Treffer) = (1 − 110)²⁰ = 0,122
Also P(mindestens einmal) = 87,8 % – hoch, aber nicht sicher.

Gegenereignis: bei keinem der 20 Versuche
P(kein Treffer) = (1 − 110)²⁰ = 0,122
Also P(mindestens einmal) = 87,8 % – hoch, aber nicht sicher.

Ergebnis:

nein, 87,8 %

ÜbenJetzt du

○19
Ein Ereignis tritt bei jedem Versuch mit Wahrscheinlichkeit 16 ein. Jemand sagt: „Bei 6 Versuchen tritt es dann ganz sicher mindestens einmal ein.“ Stimmt das? Begründe.
So fängst du an:
Gegenereignis: bei keinem der 6 Versuche
Lösung zeigen
1. Gegenereignis: bei keinem der 6 Versuche
2. P(kein Treffer) = (1 − 16)⁶ = 0,335
3. Also P(mindestens einmal) = 66,5 % – hoch, aber nicht sicher.
Ergebnis:
nein, 66,5 %
●20
Eine Münze wird 10-mal geworfen. Jemand sagt: „Genau 5-mal Kopf ist der wahrscheinlichste Fall – also fällt in mehr als der Hälfte aller Versuchsreihen genau 5-mal Kopf.“ Stimmt das? Begründe.
Lösung zeigen
1. Der wahrscheinlichste Fall ist er wirklich: kein anderer Wert kommt häufiger vor.
2. Aber P(X = 5) = 2521024 ist nur 24,6 %
3. „Am wahrscheinlichsten“ heißt nicht „meistens“.
Ergebnis:
nein, nur 24,6 %
★21
Ein Ereignis tritt bei jedem Versuch mit Wahrscheinlichkeit 16 ein. Jemand sagt: „Bei 10 Versuchen tritt es dann ganz sicher mindestens einmal ein.“ Stimmt das? Begründe.
Lösung zeigen
1. Gegenereignis: bei keinem der 10 Versuche
2. P(kein Treffer) = (1 − 16)¹⁰ = 0,162
3. Also P(mindestens einmal) = 83,8 % – hoch, aber nicht sicher.
Ergebnis:
nein, 83,8 %

8Ich führe einfache Hypothesentests durch (Vertiefung).

EntdeckenFrage

Krake Paul tippte bei der Fußball-WM 2010 achtmal richtig. Konnte er hellsehen, oder reicht Glück als Erklärung?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Nullhypothese sagt: Paul rät, p = 0,5. Acht Treffer in acht Tipps haben dann die Wahrscheinlichkeit 0,5⁸ = 1/256, rund 0,4 Prozent. Ein Test auf dem Niveau 5 Prozent verwirft die Nullhypothese. Ein Beweis für Hellsehen ist das nicht: Unter vielen Tierorakeln trifft eines leicht zufällig.

MerkenHypothesentest

Der Ablehnungsbereich kommt exakt aus der Binomialverteilung unter p₀: rechts das kleinste k mit P(X ≥ k) ≤ α, links das größte k mit P(X ≤ k) ≤ α, zweiseitig α/2 je Seite.

Liegt das Ergebnis darin, wird die Nullhypothese abgelehnt.

BeispielHypothesentest mit der Binomialverteilung

Behauptet wird p₀ = 0,25. Bei n = 200 Versuchen soll auf dem Signifikanzniveau 1 % einseitig nach unten (linksseitig) getestet werden. Bestimme den Ablehnungsbereich mit der Binomialverteilung.

Schritt für Schritt

H₀: p ≥ 0,25 gegen H₁: p < 0,25
Unter H₀ ist X binomialverteilt mit n = 200 und p = 0,25.
Gesucht: größtes k mit P(X ≤ k) ≤ 0,01
P(X ≤ 36) ≈ 0,0117 > 0,01
P(X ≤ 35) ≈ 0,0073 ≤ 0,01
Ablehnungsbereich: X ≤ 35 (Fehler 1. Art ≈ 0,73 % ≤ 1 %)

H₀: p ≥ 0,25 gegen H₁: p < 0,25
Unter H₀ ist X binomialverteilt mit n = 200 und p = 0,25.
Gesucht: größtes k mit P(X ≤ k) ≤ 0,01
P(X ≤ 36) ≈ 0,0117 > 0,01
P(X ≤ 35) ≈ 0,0073 ≤ 0,01
Ablehnungsbereich: X ≤ 35 (Fehler 1. Art ≈ 0,73 % ≤ 1 %)

Ergebnis:

H₀ ablehnen für X ≤ 35

ÜbenJetzt du

○22
Behauptet wird p₀ = 0,6. Bei n = 20 Versuchen soll auf dem Signifikanzniveau 1 % einseitig nach oben (rechtsseitig) getestet werden. Bestimme den Ablehnungsbereich mit der Binomialverteilung.
So fängst du an:
H₀: p ≤ 0,6 gegen H₁: p > 0,6
Lösung zeigen
1. H₀: p ≤ 0,6 gegen H₁: p > 0,6
2. Unter H₀ ist X binomialverteilt mit n = 20 und p = 0,6.
3. Gesucht: kleinstes k mit P(X ≥ k) ≤ 0,01
4. P(X ≥ 17) = 1 − P(X ≤ 16) ≈ 0,016 > 0,01
5. P(X ≥ 18) = 1 − P(X ≤ 17) ≈ 0,0036 ≤ 0,01
6. Ablehnungsbereich: X ≥ 18 (Fehler 1. Art ≈ 0,36 % ≤ 1 %)
Ergebnis:
H₀ ablehnen für X ≥ 18
●23
Behauptet wird p₀ = 0,2. Bei n = 40 Versuchen soll auf dem Signifikanzniveau 1 % einseitig nach oben (rechtsseitig) getestet werden. Bestimme den Ablehnungsbereich mit der Binomialverteilung.
Lösung zeigen
1. H₀: p ≤ 0,2 gegen H₁: p > 0,2
2. Unter H₀ ist X binomialverteilt mit n = 40 und p = 0,2.
3. Gesucht: kleinstes k mit P(X ≥ k) ≤ 0,01
4. P(X ≥ 14) = 1 − P(X ≤ 13) ≈ 0,0194 > 0,01
5. P(X ≥ 15) = 1 − P(X ≤ 14) ≈ 0,0079 ≤ 0,01
6. Ablehnungsbereich: X ≥ 15 (Fehler 1. Art ≈ 0,79 % ≤ 1 %)
Ergebnis:
H₀ ablehnen für X ≥ 15
★24
Behauptet wird p₀ = 0,75. Bei n = 80 Versuchen soll auf dem Signifikanzniveau 5 % einseitig nach unten (linksseitig) getestet werden. Bestimme den Ablehnungsbereich mit der Binomialverteilung.
Lösung zeigen
1. H₀: p ≥ 0,75 gegen H₁: p < 0,75
2. Unter H₀ ist X binomialverteilt mit n = 80 und p = 0,75.
3. Gesucht: größtes k mit P(X ≤ k) ≤ 0,05
4. P(X ≤ 54) ≈ 0,0805 > 0,05
5. P(X ≤ 53) ≈ 0,0499 ≤ 0,05
6. Ablehnungsbereich: X ≤ 53 (Fehler 1. Art ≈ 4,99 % ≤ 5 %)
Ergebnis:
H₀ ablehnen für X ≤ 53

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Ein Multiple-Choice-Test hat 5 Fragen mit je Trefferwahrscheinlichkeit 0,3 beim Raten. Berechne die Wahrscheinlichkeit für genau 2 richtige.
Lösung zeigen
1. Bernoulli-Kette: n = 5, p = 0,3
2. P(X = 2) = (5 über 2) · 0,3² · 0,7³
3. = 10 · 0,09 · 0,343 ≈ 0,3087
Ergebnis:
≈ 30,9 %
●26
X ist binomialverteilt mit n = 50 und p = 0,4. Berechne Erwartungswert.
Lösung zeigen
1. Erwartungswert heißt: So viele Treffer sind auf lange Sicht im Mittel zu erwarten.
2. μ = n · p = 50 · 0,4 = 20
Ergebnis:
μ = 20
●27
Ein Würfel wird 25-mal geworfen. Interessiert: Wie oft fällt eine Sechs? Entscheide, ob eine Bernoulli-Kette vorliegt. Bestimme gegebenenfalls n und p.
Lösung zeigen
1. Bedingungen: nur zwei Ausgänge, immer dieselbe Wahrscheinlichkeit, Versuche unabhängig.
2. Alle drei erfüllt – die Versuche sind unabhängig, p bleibt gleich.
3. n = 25, p = 16
Ergebnis:
ja: n = 25, p = 16
●28
X ist binomialverteilt mit n = 8 und p = 0,5. Berechne P(X ≤ 3).
Lösung zeigen
1. P(X ≤ 3) = P(X = 0) + … + P(X = 3)
2. P(X = 0) = C(8;0) · 0,5⁰ · 0,5⁸ = 0,0039
3. P(X = 1) = C(8;1) · 0,5¹ · 0,5⁷ = 0,0313
4. P(X = 2) = C(8;2) · 0,5² · 0,5⁶ = 0,1094
5. P(X = 3) = C(8;3) · 0,5³ · 0,5⁵ = 0,2188
6. Summe ≈ 0,3633
Ergebnis:
P(X ≤ 3) ≈ 0,3633 (36,3 %)
●29
Ein Versuch gelingt mit p = 0,2. Bestimme, wie oft man ihn mindestens durchführen muss, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99 % wenigstens einmal gelingt?
Lösung zeigen
1. Gegenereignis: „kein einziges Mal“ hat die Wahrscheinlichkeit 0,8ⁿ
2. Bedingung: 1 − 0,8ⁿ ≥ 0,99 → 0,8ⁿ ≤ 0,01
3. n ≥ ln(0,01) / ln(0,8) ≈ 20,638
4. Aufrunden, denn n muss ganzzahlig sein und die Ungleichung erfüllen.
5. Beim Logarithmieren mit einer Zahl < 1 dreht sich das Zeichen – deshalb ≥ statt ≤.
6. n = 21
Ergebnis:
n = 21
●30
Behauptet wird p₀ = 0,75. Bei n = 20 Versuchen soll auf dem Signifikanzniveau 1 % einseitig nach unten (linksseitig) getestet werden. Bestimme den Ablehnungsbereich mit der Binomialverteilung.
Lösung zeigen
1. H₀: p ≥ 0,75 gegen H₁: p < 0,75
2. Unter H₀ ist X binomialverteilt mit n = 20 und p = 0,75.
3. Gesucht: größtes k mit P(X ≤ k) ≤ 0,01
4. P(X ≤ 10) ≈ 0,0139 > 0,01
5. P(X ≤ 9) ≈ 0,0039 ≤ 0,01
6. Ablehnungsbereich: X ≤ 9 (Fehler 1. Art ≈ 0,39 % ≤ 1 %)
Ergebnis:
H₀ ablehnen für X ≤ 9

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Bernoulli-Kette: n gleiche, unabhängige Versuche mit Trefferwahrscheinlichkeit p – nur „Treffer“ oder „Niete“.
Binomialverteilung: P(X = k): P(X = k) = (n über k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ. (n über k) zählt, auf wie viele Arten k Treffer verteilt sein können.
Kumuliert: P(X ≤ k) = Summe von P(X = 0) bis P(X = k); Tabelle oder Rechner.
Mindestens einmal: Mindestens einmal heißt: nicht kein einziges Mal.
Erwartungswert und Standardabweichung: Im Mittel erwartet man μ = n · p Treffer; die Streuung darum ist σ = √(n · p · (1 − p)).
n bestimmen: 1 − (1 − p)ⁿ ≥ 0,9 → nach n auflösen mit Logarithmus.
Histogramm: Bei p = 0,5 symmetrisch, sonst schief; das Maximum liegt nahe μ.
Hypothesentest: Der Ablehnungsbereich kommt exakt aus der Binomialverteilung unter p₀: rechts das kleinste k mit P(X ≥ k) ≤ α, links das größte k mit P(X ≤ k) ≤ α, zweiseitig α/2 je Seite.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich erkenne Bernoulli-Ketten (n, p) in Sachsituationen.
31
Aus einer Klasse mit 28 Kindern werden 4 für eine Aufgabe ausgelost (niemand zweimal). Interessiert: Wie viele Mädchen sind dabei? Entscheide, ob eine Bernoulli-Kette vorliegt. Bestimme gegebenenfalls n und p.
Lösung zeigen
Ergebnis:
nein – n oder p sind nicht fest
Ich berechne P(X = k) mit der Bernoulli-Formel.
32
Ein Multiple-Choice-Test hat 5 Fragen mit je Trefferwahrscheinlichkeit 0,5 beim Raten. Berechne die Wahrscheinlichkeit für genau 1 richtige.
Lösung zeigen
Ergebnis:
≈ 15,6 %
Ich berechne kumulierte Wahrscheinlichkeiten P(X ≤ k) mit Tabelle oder Rechner.
33
X ist binomialverteilt mit n = 6 und p = 0,2. Berechne P(X ≤ 3).
Lösung zeigen
Ergebnis:
P(X ≤ 3) ≈ 0,983 (98,3 %)
Ich nutze das Gegenereignis für „mindestens“ und „höchstens“.
34
Ein Bauteil ist mit Wahrscheinlichkeit 0,05 defekt. Es werden 4 Bauteile geprüft. Berechne P(mindestens eines defekt).
Lösung zeigen
Ergebnis:
≈ 18,6 %
Ich berechne Erwartungswert und Standardabweichung.
35
X ist binomialverteilt mit n = 200 und p = 0,2. Berechne Erwartungswert.
Lösung zeigen
Ergebnis:
μ = 40
Ich bestimme n oder p aus Bedingungen (Dreimal-Mindestens-Aufgabe).
36
Ein Versuch gelingt mit p = 0,25. Bestimme, wie oft man ihn mindestens durchführen muss, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90 % wenigstens einmal gelingt?
Lösung zeigen
Ergebnis:
n = 9
Ich deute Histogramme der Binomialverteilung.
37
Ein Ereignis tritt bei jedem Versuch mit Wahrscheinlichkeit 110 ein. Jemand sagt: „Bei 10 Versuchen tritt es dann ganz sicher mindestens einmal ein.“ Stimmt das? Begründe.
Lösung zeigen
Ergebnis:
nein, 65,1 %
Ich führe einfache Hypothesentests durch (Vertiefung).
38
Behauptet wird p₀ = 0,2. Bei n = 80 Versuchen soll auf dem Signifikanzniveau 1 % einseitig nach unten (linksseitig) getestet werden. Bestimme den Ablehnungsbereich mit der Binomialverteilung.
Lösung zeigen
Ergebnis:
H₀ ablehnen für X ≤ 7
Ich bereite die Klausur vor.
39
Ein Multiple-Choice-Test hat 6 Fragen mit je Trefferwahrscheinlichkeit 0,5 beim Raten. Berechne die Wahrscheinlichkeit für genau 4 richtige.
Lösung zeigen
Ergebnis:
≈ 23,4 %

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Ein Würfel wird 10-mal geworfen. Wie wahrscheinlich sind genau drei Sechsen? Rechne mit dem Baumdiagramm.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Die Bernoulli-Formel.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Wie viele Ausschussteile? Wie oft Sechsen? Beruf: Qualitätskontrolle, Umfragen, Medizin.

Wörter

Summe: was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Wahrscheinlichkeit: wie sicher etwas passiert

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Wahrscheinlichkeit, Potenzen und Wurzeln

Darauf baut auf: Normalverteilung

Lösungen

ja: n = 12, p = 452
nein – n oder p sind nicht fest
nein – n oder p sind nicht fest
≈ 35,6 %
≈ 41 %
≈ 12,7 %
P(X ≤ 3) ≈ 0,8862 (88,6 %)
P(X ≤ 3) ≈ 0,8125 (81,3 %)
P(X ≤ 1) ≈ 0,0352 (3,5 %)
≈ 27,1 %
≈ 26,5 %
≈ 94,4 %
μ = 25
μ = 10
μ = 80, σ ≈ 8
n = 14
n = 44
n = 5
nein, 66,5 %
nein, nur 24,6 %
nein, 83,8 %
H₀ ablehnen für X ≥ 18
H₀ ablehnen für X ≥ 15
H₀ ablehnen für X ≤ 53
≈ 30,9 %
μ = 20
ja: n = 25, p = 16
P(X ≤ 3) ≈ 0,3633 (36,3 %)
n = 21
H₀ ablehnen für X ≤ 9
nein – n oder p sind nicht fest
≈ 15,6 %
P(X ≤ 3) ≈ 0,983 (98,3 %)
≈ 18,6 %
μ = 40
n = 9
nein, 65,1 %
H₀ ablehnen für X ≤ 7
≈ 23,4 %
≈ 39,1 %
≈ 25 %