Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

Brüche und Dezimalzahlen vernetzen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Entscheide in 30 Sekunden ohne Rechnen: Welche Ergebnisse sind größer als 36? 36 · 1,5, 36 · 0,8, 36 : 0,5, 36 : 4, 36 · 3/4, 36 : 3/4.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die Stimmen gehen auseinander. Viele halten jedes Malnehmen für größer und jedes Teilen für kleiner, und bei 36 : 0,5 streiten sich die Gruppen. Rechnen dauert zu lange. Ihr braucht nur eine Frage: Ist die zweite Zahl größer oder kleiner als 1? Mal etwas unter 1 nimmt nur einen Teil, geteilt durch etwas unter 1 passt öfter hinein.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Ein Bruch ist ein Anteil und zugleich eine Zahl – derselbe Wert wie eine Dezimalzahl.

●39
Welcher Bruch ist größer: 56 oder 58? Begründe.
Lösung zeigen
1. Gleichnamig machen: 4048 und 3048
2. 56 > 58
Ergebnis:
56 > 58
●40
Berechne 25 von 50 kg.
Lösung zeigen
1. 50 : 5 = 10
2. 10 · 2 = 20
Ergebnis:
20 kg

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenMal heißt nehmen, nicht vermehren

Mal einer Zahl heißt: so viel davon nehmen. 0,8 · 24 nimmt nur einen Teil von 24, 1,5 · 24 mehr als 24. Geteilt fragt, wie oft etwas hineinpasst – 0,5 passt öfter in 24 als 1.

WeiterdenkenDenk nach

Kann ein Produkt kleiner sein als beide Zahlen, die man malnimmt? Wann passiert das, und warum?

1Ich sage vorher, ob Malnehmen oder Teilen mit einem Bruch oder einer Dezimalzahl das Ergebnis größer oder kleiner macht.

EntdeckenFrage

Warum zeigt ein Taschenrechner für 1 : 3 nie ein genaues Ergebnis?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil die Division nie aufgeht: Es bleibt immer ein Rest von 1, und die 3 wiederholt sich ohne Ende. Der Rechner hat nur acht bis zehn Stellen und schneidet ab. Wer danach mal 3 rechnet, sieht auf einfachen Rechnern 0,9999999 statt 1.

MerkenMalnehmen macht nicht immer größer

Mal einer Zahl kleiner als 1 wird das Ergebnis kleiner.

Geteilt durch eine Zahl kleiner als 1 wird es größer. Erst vorhersagen, dann rechnen.

BeispielGrößer oder kleiner? Vorhersagen vor dem Rechnen

Entscheide zuerst, dann rechne: Ist das Ergebnis von 60 · 12 mehr oder weniger als 60?

Schritt für Schritt

12 ist kleiner als 1. Mal 12 nimmt nur einen Teil von 60: kleiner.
Kontrolle: 60 · 12 = 30

12 ist kleiner als 1. Mal 12 nimmt nur einen Teil von 60: kleiner.
Kontrolle: 60 · 12 = 30

Ergebnis:

kleiner: 30

AchtungMalnehmen macht immer größer

So nicht

24 · 0,8 > 24, also 28,8

So richtig

24 · 0,8 < 24, denn 0,8 < 1 → 24 · 0,8 = 19,2

Den Faktor mit 1 vergleichen: Mal einer Zahl kleiner als 1 wird es kleiner, geteilt durch sie größer.

ÜbenJetzt du

○1
Tim sagt: „30 · 23 ist mehr als 30, denn mal macht größer.“ Stimmt das?
So fängst du an:
23 ist kleiner als 1. Mal 23 nimmt nur einen Teil von 30: kleiner.
Lösung zeigen
1. 23 ist kleiner als 1. Mal 23 nimmt nur einen Teil von 30: kleiner.
2. Kontrolle: 30 · 23 = 20
3. Tim hat nicht recht.
Ergebnis:
kleiner: 20
●2
Tim sagt: „60 · 0,8 ist mehr als 60, denn mal macht größer.“ Stimmt das?
Lösung zeigen
1. 0,8 ist kleiner als 1. Mal 0,8 nimmt nur einen Teil von 60: kleiner.
2. Kontrolle: 60 · 0,8 = 48
3. Tim hat nicht recht.
Ergebnis:
kleiner: 48
★3
Ordne ohne zu rechnen der Größe nach: 36 : 0,5, 36 und 36 · 0,5. Beginne mit der kleinsten Zahl.
Lösung zeigen
1. 0,5 ist kleiner als 1.
2. Mal 0,5 nimmt nur einen Teil von 36: kleiner als 36.
3. Geteilt durch 0,5: 0,5 passt öfter als 36-mal hinein, also größer.
4. Kontrolle: 36 · 0,5 = 18 und 36 : 0,5 = 72
Ergebnis:
36 · 0,5 < 36 < 36 : 0,5

2Ich addiere und subtrahiere gemischte Zahlen.

EntdeckenFrage

Warum tauchen bei 1/7, 2/7 und 3/7 immer dieselben sechs Ziffern auf?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

1/7 ist 0,142857…, 2/7 ist 0,285714… und 3/7 ist 0,428571… – dieselben sechs Ziffern, nur an einer anderen Stelle begonnen. Beim Teilen durch 7 können nur die Reste 1 bis 6 vorkommen, und alle Siebtel laufen durch denselben Kreis von Resten.

MerkenGemischte Zahl

2 3/4 heißt 2 Ganze und 3/4. Man rechnet Ganze und Brüche getrennt.

Reicht der Bruch beim Subtrahieren nicht, tauscht man ein Ganzes in Bruchteile.

BeispielGemischte Zahlen addieren und subtrahieren

Welche gemischte Zahl kommt heraus? 3 45 − 1 15 Kürze, wenn es geht.

Schritt für Schritt

Ganze: 3 − 1 = 2
Brüche: 45 − 15 gibt 35
Zusammen: 2 35

Ganze: 3 − 1 = 2
Brüche: 45 − 15 gibt 35
Zusammen: 2 35

Ergebnis:

2 35

AchtungBeim Subtrahieren gemischter Zahlen nicht getauscht

So nicht

5 1/4 − 2 3/4 → 3 2/4 (3/4 − 1/4 gerechnet)

So richtig

5 1/4 − 2 3/4 → 4 5/4 − 2 3/4 → 2 2/4 → 2 1/2

Reicht der Bruch nicht, ein Ganzes in Bruchteile tauschen – nicht einfach die Brüche umdrehen.

ÜbenJetzt du

○4
Berechne: 3 35 − 25
So fängst du an:
Ganze: 3 − 0 = 3
Lösung zeigen
1. Ganze: 3 − 0 = 3
2. Brüche: 35 − 25 gibt 15
3. Zusammen: 3 15
Ergebnis:
3 15
●5
Welche gemischte Zahl kommt heraus? 3 56 − 1 16 Kürze, wenn es geht.
Lösung zeigen
1. Ganze: 3 − 1 = 2
2. Brüche: 56 − 16 gibt 46
3. Zusammen: 2 23
Ergebnis:
2 23
★6
Welche gemischte Zahl kommt heraus? 3 25 − 2 12 Kürze, wenn es geht.
Lösung zeigen
1. Gleicher Nenner 10: 3 410 − 2 510
2. 410 ist weniger als 510: 1 Ganzes in 1010 tauschen.
3. 3 410 wird zu 2 und 14/10.
4. Ganze: 2 − 2 = 0, Brüche: 1410 − 510 gibt 910
5. Zusammen: 910
Ergebnis:
910

3Ich berechne den Anteil von einem Anteil und zeige ihn am Rechteck.

EntdeckenFrage

Warum ist eine Dreiviertelstunde 45 Minuten und nicht 75 Minuten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. 3/4 von 60 Minuten sind 45 Minuten. Genauso sind 1,5 Stunden 90 Minuten und nicht 1 Stunde 50 Minuten – die Zeit rechnet nicht im Zehnersystem.

MerkenAnteil vom Anteil

3/4 von 2/3 heißt 3/4 · 2/3. Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner.

Am Rechteck ist das Ergebnis die doppelt gefärbte Fläche.

BeispielAnteil von einem Anteil

Berechne 12 von 15 und zeige es am Rechteck. Färbe zuerst 1/5, dann davon 1/2.

Schritt für Schritt

12 von 15 heißt 12 · 1/5.
Zähler mal Zähler: 1 · 1 = 1
Nenner mal Nenner: 2 · 5 = 10
Also: 110

12 von 15 heißt 12 · 1/5.
Zähler mal Zähler: 1 · 1 = 1
Nenner mal Nenner: 2 · 5 = 10
Also: 110

Ergebnis:

110

AchtungAnteil vom Anteil addiert statt malgenommen

So nicht

3/4 von 2/3 → 3/4 + 2/3 = 17/12

So richtig

3/4 von 2/3 → 3/4 · 2/3 = 6/12 = 1/2

„Von“ heißt mal: 3/4 von 2/3 ist 3/4 · 2/3. Am Rechteck ist es die doppelt gefärbte Fläche.

ÜbenJetzt du

○7
13 eines Gartens sind Beete. Auf 25 der Beetfläche wachsen Tomaten. Welcher Anteil des ganzen Gartens ist mit Tomaten bepflanzt?
So fängst du an:
25 von 13 heißt 25 · 1/3.
Lösung zeigen
1. 25 von 13 heißt 25 · 1/3.
2. Zähler mal Zähler: 2 · 1 = 2
3. Nenner mal Nenner: 5 · 3 = 15
4. Also: 215
Ergebnis:
215
●8
Berechne 15 von 25 und zeige es am Rechteck. Färbe zuerst 2/5, dann davon 1/5.
Lösung zeigen
1. 15 von 25 heißt 15 · 2/5.
2. Zähler mal Zähler: 1 · 2 = 2
3. Nenner mal Nenner: 5 · 5 = 25
4. Also: 225
Ergebnis:
225
★9
35 eines Gartens sind Beete. Auf 13 der Beetfläche wachsen Tomaten. Welcher Anteil des ganzen Gartens ist mit Tomaten bepflanzt?
Lösung zeigen
1. 13 von 35 heißt 13 · 3/5.
2. Zähler mal Zähler: 1 · 3 = 3
3. Nenner mal Nenner: 3 · 5 = 15
4. Kürzen: 315 = 15
Ergebnis:
15

4Ich unterscheide abbrechende und periodische Dezimalzahlen.

EntdeckenFrage

Wie viele Achtelnoten passen in einen Takt, der 4/4 heißt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Acht. Ein 4/4-Takt hat vier Viertel, und jedes Viertel sind zwei Achtel. Musiker rechnen dauernd mit Brüchen: Eine halbe Note und zwei Viertel füllen den Takt genauso wie acht Achtel.

MerkenAbbrechend oder periodisch

Man kürzt und zerlegt den Nenner in Primfaktoren.

Kommen nur 2 und 5 vor, bricht die Dezimalzahl ab. Sonst wiederholen sich Ziffern ohne Ende: 1/3 ergibt 0,333…

BeispielAbbrechend oder periodisch?

Nur einer dieser Brüche hat eine abbrechende Dezimalzahl: 1/6, 2/3, 140. Welcher ist es?

Schritt für Schritt

16 → 0,16666…, periodisch
23 → 0,66666…, periodisch
140 → 0,025, abbrechend

16 → 0,16666…, periodisch
23 → 0,66666…, periodisch
140 → 0,025, abbrechend

Ergebnis:

140

AchtungNenner nicht gekürzt oder Periode abgeschnitten

So nicht

3/12: Nenner 12 hat den Faktor 3 → periodisch

So richtig

3/12 = 1/4, Nenner 4 = 2 · 2 → abbrechend: 0,25

Erst kürzen, dann den Nenner prüfen. 0,33 ist gerundet und nicht dasselbe wie 1/3.

ÜbenJetzt du

○10
Bricht die Dezimalzahl zu 1825 ab, oder ist sie periodisch? Entscheide mit dem Nenner, bevor du teilst.
So fängst du an:
Nenner 25 in Primfaktoren: 5 · 5
Lösung zeigen
1. Nenner 25 in Primfaktoren: 5 · 5
2. Nur die Faktoren 2 und 5: abbrechend.
3. Kontrolle: 18 : 25 = 0,72
Ergebnis:
abbrechend
●11
Bricht die Dezimalzahl zu 911 ab, oder ist sie periodisch? Entscheide mit dem Nenner, bevor du teilst.
Lösung zeigen
1. Der Nenner 11 ist eine Primzahl.
2. Ein anderer Faktor als 2 und 5 steckt darin: periodisch.
3. Kontrolle: 9 : 11 → 0,818181…
Ergebnis:
periodisch
★12
Nur einer dieser Brüche hat eine periodische Dezimalzahl: 6/24, 7/10, 411. Welcher ist es?
Lösung zeigen
1. 624 → 0,25, abbrechend
2. 710 → 0,7, abbrechend
3. 411 → 0,363636…, periodisch
Ergebnis:
411

5Ich rechne mit Rechengesetzen geschickt (Vertauschen, Zusammenfassen, Verteilen).

EntdeckenFrage

Wie oft kann man ein Blatt Papier in der Mitte falten – und welcher Teil ist dann noch eine Lage?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Jedes Falten nimmt die Hälfte der Hälfte: nach 3 Faltungen 1/8, nach 7 Faltungen 1/128. Die Schülerin Britney Gallivan hat 2002 ein sehr langes Papier zwölfmal gefaltet – dafür brauchte sie über einen Kilometer Papier.

MerkenRechengesetze nutzen

Vertauschen und Zusammenfassen ändern das Ergebnis nicht.

So wird aus 0,25 · 7 · 4 geschickt 0,25 · 4 · 7 = 7. Gleiche Faktoren klammert man aus: 7 · 1,5 + 3 · 1,5 = 10 · 1,5.

BeispielGeschickt rechnen mit Rechengesetzen

Rechne geschickt im Kopf: 4 · 9,5 · 0,25

Schritt für Schritt

Vertauschen: 0,25 · 4 · 9,5
0,25 · 4 = 1
1 · 9,5 = 9,5

Vertauschen: 0,25 · 4 · 9,5
0,25 · 4 = 1
1 · 9,5 = 9,5

Ergebnis:

9,5

AchtungKomma nach Gefühl gesetzt

So nicht

3,8 · 2,45 → 93,1 (Komma nach Gefühl)

So richtig

3,8 · 2,45 ≈ 4 · 2 = 8 → 9,31

Erst überschlagen, dann die Stellen nach dem Komma zählen. Beide müssen zum Ergebnis passen.

ÜbenJetzt du

○13
Welche zwei Zahlen nimmst du zuerst mal? Rechne dann: 0,5 · 8,5 · 8
So fängst du an:
Vertauschen: 0,5 · 8 · 8,5
Lösung zeigen
1. Vertauschen: 0,5 · 8 · 8,5
2. 0,5 · 8 = 4
3. 4 · 8,5 = 34
Ergebnis:
34
●14
Rechne geschickt: 4 · 1,5 + 6 · 1,5
Lösung zeigen
1. Beide Male wird mit 1,5 malgenommen.
2. Erst 4 + 6 = 10
3. 10 · 1,5 = 15
Ergebnis:
15
★15
Rechne geschickt: 8 · 0,6 + 2 · 0,6
Lösung zeigen
1. Beide Male wird mit 0,6 malgenommen.
2. Erst 8 + 2 = 10
3. 10 · 0,6 = 6
Ergebnis:
6

6Ich wähle zwischen Bruch und Dezimalzahl die geschicktere Schreibweise.

EntdeckenFrage

Wie hat der junge Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 so schnell addiert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat nicht der Reihe nach gerechnet, sondern geschickt zusammengefasst: 1 + 100, 2 + 99, 3 + 98 und so weiter ergeben jedes Mal 101, und das 50-mal. Das sind 5050. Vertauschen und Zusammenfassen ändern das Ergebnis nicht – aber die Arbeit.

MerkenDie passende Schreibweise

0,75 · 36 rechnet man leichter als 3/4 von 36. Drittel und Sechstel bleiben besser Brüche.

Zum Vergleichen wandelt man alles in dieselbe Schreibweise um.

BeispielBruch oder Dezimalzahl: geschickt wählen

Ein Paket wiegt 1,9 kg, ein zweites 25 kg. Wie schwer sind beide zusammen?

Schritt für Schritt

25 = 0,4
Beide als Dezimalzahl – dann Komma unter Komma.
1,9 + 0,4 = 2,3

25 = 0,4
Beide als Dezimalzahl – dann Komma unter Komma.
1,9 + 0,4 = 2,3

Ergebnis:

2,3 kg

AchtungAnteil umgedreht

So nicht

2/5 von 100 = 250

So richtig

2/5 von 100 = 100 : 5 · 2 = 40

Teile durch den Nenner. Nimm dann mal den Zähler.

ÜbenJetzt du

○16
Berechne 4,7 + 15. Welche Schreibweise ist hier geschickter?
So fängst du an:
15 = 0,2
Lösung zeigen
1. 15 = 0,2
2. Beide als Dezimalzahl – dann Komma unter Komma.
3. 4,7 + 0,2 = 4,9
Ergebnis:
4,9
●17
Berechne 5,6 + 34. Welche Schreibweise ist hier geschickter?
Lösung zeigen
1. 34 = 0,75
2. Beide als Dezimalzahl – dann Komma unter Komma.
3. 5,6 + 0,75 = 6,35
Ergebnis:
6,35
★18
Berechne geschickt im Kopf: 0,375 · 200. Welcher Bruch hilft dir?
Lösung zeigen
1. 0,375 ist dasselbe wie 3/8.
2. 38 von 200: 200 : 8 · 3 = 75
Ergebnis:
75

7Ich prüfe Ergebnisse mit Überschlag und Kommaregel.

EntdeckenFrage

Warum stehen an der Tankstelle Preise wie 1,799 Euro – mit drei Stellen nach dem Komma?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Kraftstoffpreise werden in Deutschland in Zehntelcent angegeben. Erst beim Bezahlen wird auf ganze Cent gerundet. Wer 40 Liter tankt, merkt den Unterschied von 0,001 Euro je Liter kaum – bei Millionen Litern macht er viel Geld aus.

MerkenÜberschlag und Kommaregel

Erst grob rechnen, dann genau.

So ist 3,8 · 2,45 ungefähr 4 · 2 = 8. Beim Malnehmen hat das Ergebnis so viele Nachkommastellen wie beide Zahlen zusammen.

BeispielKomma setzen mit Überschlag und Kommaregel

Das Ergebnis von 248,5 : 3,5 hat die Ziffern 71. Das Komma fehlt noch. Setze es mit einem Überschlag.

Schritt für Schritt

Überschlag: 249 : 4 = 62,25
Das Ergebnis liegt in der Nähe von 62,25.
Also: 71

Überschlag: 249 : 4 = 62,25
Das Ergebnis liegt in der Nähe von 62,25.
Also: 71

Ergebnis:

AchtungKomma nur im Teiler verschoben

So nicht

13,76 : 1,72 = 13,76 : 172

So richtig

13,76 : 1,72 = 1376 : 172 = 8

Verschiebe das Komma in beiden Zahlen gleich weit.

ÜbenJetzt du

○19
Welches Ergebnis kann für 7,6 · 1,4 stimmen: 106,4, 1,064, 10,64? Entscheide ohne genau zu rechnen.
So fängst du an:
Überschlag: 8 · 1 = 8
Lösung zeigen
1. Überschlag: 8 · 1 = 8
2. Am nächsten daran liegt 10,64.
3. Kommaregel zur Kontrolle: 2 Stellen nach dem Komma.
Ergebnis:
10,64
●20
Das Ergebnis von 430 : 5 hat die Ziffern 86. Das Komma fehlt noch. Setze es mit einem Überschlag.
Lösung zeigen
1. Überschlag: 430 : 5 = 86
2. Das Ergebnis liegt in der Nähe von 86.
3. Also: 86
Ergebnis:
86
★21
Das Ergebnis von 3,6 : 0,4 hat die Ziffern 9. Das Komma fehlt noch. Setze es mit einem Überschlag.
Lösung zeigen
1. Überschlag: 4 : 0,4 = 10
2. Das Ergebnis liegt in der Nähe von 10.
3. Also: 9
Ergebnis:
9

8Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten mit Brüchen und Dezimalzahlen.

EntdeckenFrage

Wie viele Kilometer fehlen einer Marathonläuferin noch, wenn sie drei Viertel der Strecke geschafft hat?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Marathon ist 42,195 km lang. Drei Viertel davon sind 42,195 · 3 : 4 = 31,646 km, gerundet. Es fehlen 42,195 − 31,646 = 10,549 km, also gut 10,5 km. Schneller geht es mit dem fehlenden Viertel: 42,195 : 4.

MerkenRechenplan für Sachaufgaben

Erst klären, was gesucht ist.

Dann einen Plan in Schritten machen: Was rechne ich zuerst, was danach? Am Ende mit einem Überschlag prüfen und einen Antwortsatz schreiben.

BeispielMehrschrittige Sachaufgaben mit Brüchen und Dezimalzahlen

Für 2 Personen braucht man 1 12 kg Kartoffeln. Es kochen aber 5 Personen. 1 kg Kartoffeln kostet 1,60 €. Was kosten die Kartoffeln?

Schritt für Schritt

Plan: erst die Menge für 5 Personen, dann der Preis.
1 12 kg sind 1,5 kg.
1,5 : 2 · 5 = 3,75
3,75 · 1,6 = 6

Plan: erst die Menge für 5 Personen, dann der Preis.
1 12 kg sind 1,5 kg.
1,5 : 2 · 5 = 3,75
3,75 · 1,6 = 6

Ergebnis:

6,00 €

AchtungNoch einmal: Komma nach Gefühl gesetzt

So nicht

3,8 · 2,45 → 93,1 (Komma nach Gefühl)

So richtig

3,8 · 2,45 ≈ 4 · 2 = 8 → 9,31

Erst überschlagen, dann die Stellen nach dem Komma zählen. Beide müssen zum Ergebnis passen.

ÜbenJetzt du

○22
Mia hat 24,00 € gespart. Sie gibt 13 davon für ein Buch aus und danach 4,10 € für das Kino. Wie viel Geld hat Mia danach noch?
So fängst du an:
Plan: erst das Buch, dann das Kino abziehen.
Lösung zeigen
1. Plan: erst das Buch, dann das Kino abziehen.
2. Buch: 24 : 3 · 1 = 8
3. 24 − 8 = 16
4. 16 − 4,1 = 11,9
Ergebnis:
11,90 €
●23
Für einen Vorhang braucht Frau Lang 2 34 m Stoff. 1 m kostet 9,00 €. Sie bezahlt mit einem 50-€-Schein. Wie viel Geld bekommt sie zurück?
Lösung zeigen
1. Plan: erst den Preis für den Stoff, dann das Rückgeld.
2. 2 34 m sind 2,75 m.
3. 9 · 2,75 = 24,75
4. 50 − 24,75 = 25,25
Ergebnis:
25,25 €
★24
Mia hat 20,00 € gespart. Sie gibt 12 davon für ein Buch aus und danach 2,90 € für das Kino. Wie viel Geld hat Mia danach noch?
Lösung zeigen
1. Plan: erst das Buch, dann das Kino abziehen.
2. Buch: 20 : 2 · 1 = 10
3. 20 − 10 = 10
4. 10 − 2,9 = 7,1
Ergebnis:
7,10 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Entscheide zuerst, dann rechne: Ist das Ergebnis von 16 : 0,5 mehr oder weniger als 16?
Lösung zeigen
1. 0,5 ist kleiner als 1. 0,5 passt öfter als 16-mal in 16: größer.
2. Kontrolle: 16 : 0,5 = 32
Ergebnis:
größer: 32
●26
Ein Band ist 5 m lang und wird in Stücke von 0,5 m geschnitten. Mehr oder weniger als 5 Stücke? Wie viele genau?
Lösung zeigen
1. Ein Stück ist kürzer als 1 m, also passen mehr als 5 Stücke hinein.
2. 5 : 0,5 = 10
Ergebnis:
mehr: 10 Stücke
●27
Rechne Ganze und Brüche getrennt und schreibe das Ergebnis als gemischte Zahl: 4 56 − 3 16
Lösung zeigen
1. Ganze: 4 − 3 = 1
2. Brüche: 56 − 16 gibt 46
3. Zusammen: 1 23
Ergebnis:
1 23
●28
Am Vormittag wandert die Klasse 4 23 km, am Nachmittag 3 16 km. Wie weit wandert sie an diesem Tag?
Lösung zeigen
1. Rechnung: 4 23 + 3 16
2. Gleicher Nenner 6: 4 46 + 3 16
3. Ganze: 4 + 3 = 7
4. Brüche: 46 und 16 geben 5/6.
5. Zusammen: 7 56
Ergebnis:
7 56 km
●29
Berechne 12 von 14 und zeige es am Rechteck. Färbe zuerst 1/4, dann davon 1/2.
Lösung zeigen
1. 12 von 14 heißt 12 · 1/4.
2. Zähler mal Zähler: 1 · 1 = 1
3. Nenner mal Nenner: 2 · 4 = 8
4. Also: 18
Ergebnis:
18
●30
Lies am Bild ab: Welcher Anteil des ganzen Rechtecks ist grün, also doppelt gefärbt?
Lösung zeigen
1. Blau: 2 von 3 Zeilen, das sind 2/3.
2. Grün: 3 von 4 Spalten der blauen Fläche, also 34 von 2/3.
3. Kästchen: 3 · 4 = 12, davon grün 2 · 3 = 6
4. Also: 34 · 23 ergibt 6/12, gekürzt 12
Ergebnis:
12

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Malnehmen macht nicht immer größer: Mal einer Zahl kleiner als 1 wird das Ergebnis kleiner.
Gemischte Zahl: 2 3/4 heißt 2 Ganze und 3/4. Man rechnet Ganze und Brüche getrennt.
Anteil vom Anteil: 3/4 von 2/3 heißt 3/4 · 2/3. Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner.
Abbrechend oder periodisch: Man kürzt und zerlegt den Nenner in Primfaktoren.
Rechengesetze nutzen: Vertauschen und Zusammenfassen ändern das Ergebnis nicht.
Die passende Schreibweise: 0,75 · 36 rechnet man leichter als 3/4 von 36. Drittel und Sechstel bleiben besser Brüche.
Überschlag und Kommaregel: Erst grob rechnen, dann genau.
Rechenplan für Sachaufgaben: Erst klären, was gesucht ist.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich sage vorher, ob Malnehmen oder Teilen mit einem Bruch oder einer Dezimalzahl das Ergebnis größer oder kleiner macht.
31
Ohne zu rechnen: Wird 20 · 0,5 größer oder kleiner als 20? Rechne danach zur Kontrolle.
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Ergebnis:
kleiner: 10
Ich addiere und subtrahiere gemischte Zahlen.
32
Welche gemischte Zahl kommt heraus? 5 13 + 16 Kürze, wenn es geht.
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Ergebnis:
5 12
Ich berechne den Anteil von einem Anteil und zeige ihn am Rechteck.
33
25 eines Gartens sind Beete. Auf 23 der Beetfläche wachsen Tomaten. Welcher Anteil des ganzen Gartens ist mit Tomaten bepflanzt?
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Ergebnis:
415
Ich unterscheide abbrechende und periodische Dezimalzahlen.
34
Bricht die Dezimalzahl zu 825 ab, oder ist sie periodisch? Entscheide mit dem Nenner, bevor du teilst.
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Ergebnis:
abbrechend
Ich rechne mit Rechengesetzen geschickt (Vertauschen, Zusammenfassen, Verteilen).
35
Rechne geschickt im Kopf: 5 · 1,3 · 0,2
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Ergebnis:
1,3
Ich wähle zwischen Bruch und Dezimalzahl die geschicktere Schreibweise.
36
Berechne 2,3 + 35. Welche Schreibweise ist hier geschickter?
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Ergebnis:
2,9
Ich prüfe Ergebnisse mit Überschlag und Kommaregel.
37
Beim Abschreiben ist das Komma verloren gegangen: 8,1 · 1,6 ergibt die Ziffern 1296. Setze das Komma richtig.
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Ergebnis:
12,96
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten mit Brüchen und Dezimalzahlen.
38
Für 2 Personen braucht man 12 kg Kartoffeln. Es kochen aber 6 Personen. 1 kg Kartoffeln kostet 1,60 €. Was kosten die Kartoffeln?
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Ergebnis:
2,40 €

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Entscheide in 30 Sekunden ohne Rechnen: Welche Ergebnisse sind größer als 36? 36 · 1,5, 36 · 0,8, 36 : 0,5, 36 : 4, 36 · 3/4, 36 : 3/4.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Die Vorhersage vor dem Rechnen: den Faktor mit 1 vergleichen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Käse nach Gewicht, Rezepte mit Dreiviertelliter, Zeiten wie anderthalb Stunden, Rechnungen prüfen. Beruf: Materialbedarf im Handwerk, Mengen in der Küche, Kassieren und Kontrollieren im Verkauf.

Wörter

Anteil: wie viel von einem Ganzen
Bruch: ein Teil von einem Ganzen, als Zahl geschrieben
Nenner: die Zahl unten – in wie viele Teile geteilt wurde
Zähler: die Zahl oben – wie viele Teile

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Brüche und Dezimalzahlen, Dezimalzahlen, Teilbarkeit und Primzahlen

Darauf baut auf: Prozentrechnung

Lösungen

kleiner: 20
kleiner: 48
36 · 0,5 < 36 < 36 : 0,5
3 15
2 23
910
215
225
15
abbrechend
periodisch
411
34
15
6
4,9
6,35
75
10,64
86
9
11,90 €
25,25 €
7,10 €
größer: 32
mehr: 10 Stücke
1 23
7 56 km
18
12
kleiner: 10
5 12
415
abbrechend
1,3
2,9
12,96
2,40 €
56 > 58
20 kg