Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

Brüche und Dezimalzahlen vernetzen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Entscheide in 30 Sekunden ohne Rechnen: Welche Ergebnisse sind größer als 36? 36 · 1,5, 36 · 0,8, 36 : 0,5, 36 : 4, 36 · 3/4, 36 : 3/4.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die Stimmen gehen auseinander. Viele halten jedes Malnehmen für größer und jedes Teilen für kleiner, und bei 36 : 0,5 streiten sich die Gruppen. Rechnen dauert zu lange. Ihr braucht nur eine Frage: Ist die zweite Zahl größer oder kleiner als 1? Mal etwas unter 1 nimmt nur einen Teil, geteilt durch etwas unter 1 passt öfter hinein.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Ein Bruch ist ein Anteil und zugleich eine Zahl – derselbe Wert wie eine Dezimalzahl.

●39
Welcher Bruch ist größer: 57 oder 58? Begründe.
Lösung zeigen
1. Gleichnamig machen: 4056 und 3556
2. 57 > 58
Ergebnis:
57 > 58
●40
Berechne 34 von 20 min.
Lösung zeigen
1. 20 : 4 = 5
2. 5 · 3 = 15
Ergebnis:
15 min

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenMal heißt nehmen, nicht vermehren

Mal einer Zahl heißt: so viel davon nehmen. 0,8 · 24 nimmt nur einen Teil von 24, 1,5 · 24 mehr als 24. Geteilt fragt, wie oft etwas hineinpasst – 0,5 passt öfter in 24 als 1.

WeiterdenkenDenk nach

Kann ein Produkt kleiner sein als beide Zahlen, die man malnimmt? Wann passiert das, und warum?

1Ich sage vorher, ob Malnehmen oder Teilen mit einem Bruch oder einer Dezimalzahl das Ergebnis größer oder kleiner macht.

EntdeckenFrage

Warum zeigt ein Taschenrechner für 1 : 3 nie ein genaues Ergebnis?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil die Division nie aufgeht: Es bleibt immer ein Rest von 1, und die 3 wiederholt sich ohne Ende. Der Rechner hat nur acht bis zehn Stellen und schneidet ab. Wer danach mal 3 rechnet, sieht auf einfachen Rechnern 0,9999999 statt 1.

MerkenMalnehmen macht nicht immer größer

Mal einer Zahl kleiner als 1 wird das Ergebnis kleiner.

Geteilt durch eine Zahl kleiner als 1 wird es größer. Erst vorhersagen, dann rechnen.

BeispielGrößer oder kleiner? Vorhersagen vor dem Rechnen

Entscheide zuerst, dann rechne: Ist das Ergebnis von 16 : 25 mehr oder weniger als 16?

Schritt für Schritt

25 ist kleiner als 1. 25 passt öfter als 16-mal in 16: größer.
Kontrolle: mit dem Kehrbruch: 16 · 52 = 40

25 ist kleiner als 1. 25 passt öfter als 16-mal in 16: größer.
Kontrolle: mit dem Kehrbruch: 16 · 52 = 40

Ergebnis:

größer: 40

AchtungMalnehmen macht immer größer

So nicht

24 · 0,8 > 24, also 28,8

So richtig

24 · 0,8 < 24, denn 0,8 < 1 → 24 · 0,8 = 19,2

Den Faktor mit 1 vergleichen: Mal einer Zahl kleiner als 1 wird es kleiner, geteilt durch sie größer.

ÜbenJetzt du

○1
Tim sagt: „60 · 34 ist mehr als 60, denn mal macht größer.“ Stimmt das?
So fängst du an:
34 ist kleiner als 1. Mal 34 nimmt nur einen Teil von 60: kleiner.
Lösung zeigen
1. 34 ist kleiner als 1. Mal 34 nimmt nur einen Teil von 60: kleiner.
2. Kontrolle: 60 · 34 = 45
3. Tim hat nicht recht.
Ergebnis:
kleiner: 45
●2
Lea sagt: „48 : 12 ist weniger als 48, denn Teilen macht kleiner.“ Stimmt das?
Lösung zeigen
1. 12 ist kleiner als 1. 12 passt öfter als 48-mal in 48: größer.
2. Kontrolle: mit dem Kehrbruch: 48 · 21 = 96
3. Lea hat nicht recht.
Ergebnis:
größer: 96
★3
Ohne zu rechnen: Wird 24 · 0,25 größer oder kleiner als 24? Rechne danach zur Kontrolle.
Lösung zeigen
1. 0,25 ist kleiner als 1. Mal 0,25 nimmt nur einen Teil von 24: kleiner.
2. Kontrolle: 24 · 0,25 = 6
Ergebnis:
kleiner: 6

2Ich addiere und subtrahiere gemischte Zahlen.

EntdeckenFrage

Warum tauchen bei 1/7, 2/7 und 3/7 immer dieselben sechs Ziffern auf?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

1/7 ist 0,142857…, 2/7 ist 0,285714… und 3/7 ist 0,428571… – dieselben sechs Ziffern, nur an einer anderen Stelle begonnen. Beim Teilen durch 7 können nur die Reste 1 bis 6 vorkommen, und alle Siebtel laufen durch denselben Kreis von Resten.

MerkenGemischte Zahl

2 3/4 heißt 2 Ganze und 3/4. Man rechnet Ganze und Brüche getrennt.

Reicht der Bruch beim Subtrahieren nicht, tauscht man ein Ganzes in Bruchteile.

BeispielGemischte Zahlen addieren und subtrahieren

Rechne Ganze und Brüche getrennt und schreibe das Ergebnis als gemischte Zahl: 5 45 − 2 35

Schritt für Schritt

Ganze: 5 − 2 = 3
Brüche: 45 − 35 gibt 15
Zusammen: 3 15

Ganze: 5 − 2 = 3
Brüche: 45 − 35 gibt 15
Zusammen: 3 15

Ergebnis:

3 15

AchtungBeim Subtrahieren gemischter Zahlen nicht getauscht

So nicht

5 1/4 − 2 3/4 → 3 2/4 (3/4 − 1/4 gerechnet)

So richtig

5 1/4 − 2 3/4 → 4 5/4 − 2 3/4 → 2 2/4 → 2 1/2

Reicht der Bruch nicht, ein Ganzes in Bruchteile tauschen – nicht einfach die Brüche umdrehen.

ÜbenJetzt du

○4
Rechne Ganze und Brüche getrennt und schreibe das Ergebnis als gemischte Zahl: 5 12 − 2 14
So fängst du an:
Gleicher Nenner 4: 5 24 − 2 14
Lösung zeigen
1. Gleicher Nenner 4: 5 24 − 2 14
2. Ganze: 5 − 2 = 3
3. Brüche: 24 − 14 gibt 14
4. Zusammen: 3 14
Ergebnis:
3 14
●5
Berechne: 6 34 − 1 58
Lösung zeigen
1. Gleicher Nenner 8: 6 68 − 1 58
2. Ganze: 6 − 1 = 5
3. Brüche: 68 − 58 gibt 18
4. Zusammen: 5 18
Ergebnis:
5 18
★6
Welche gemischte Zahl kommt heraus? 6 12 − 2 23 Kürze, wenn es geht.
Lösung zeigen
1. Gleicher Nenner 6: 6 36 − 2 46
2. 36 ist weniger als 46: 1 Ganzes in 66 tauschen.
3. 6 36 wird zu 5 und 9/6.
4. Ganze: 5 − 2 = 3, Brüche: 96 − 46 gibt 56
5. Zusammen: 3 56
Ergebnis:
3 56

3Ich berechne den Anteil von einem Anteil und zeige ihn am Rechteck.

EntdeckenFrage

Warum ist eine Dreiviertelstunde 45 Minuten und nicht 75 Minuten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. 3/4 von 60 Minuten sind 45 Minuten. Genauso sind 1,5 Stunden 90 Minuten und nicht 1 Stunde 50 Minuten – die Zeit rechnet nicht im Zehnersystem.

MerkenAnteil vom Anteil

3/4 von 2/3 heißt 3/4 · 2/3. Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner.

Am Rechteck ist das Ergebnis die doppelt gefärbte Fläche.

BeispielAnteil von einem Anteil

Von einer Tafel Schokolade ist noch 13 übrig. Ben isst 23 davon. Welchen Anteil der ganzen Tafel isst Ben?

Schritt für Schritt

23 von 13 heißt 23 · 1/3.
Zähler mal Zähler: 2 · 1 = 2
Nenner mal Nenner: 3 · 3 = 9
Also: 29

23 von 13 heißt 23 · 1/3.
Zähler mal Zähler: 2 · 1 = 2
Nenner mal Nenner: 3 · 3 = 9
Also: 29

Ergebnis:

AchtungAnteil vom Anteil addiert statt malgenommen

So nicht

3/4 von 2/3 → 3/4 + 2/3 = 17/12

So richtig

3/4 von 2/3 → 3/4 · 2/3 = 6/12 = 1/2

„Von“ heißt mal: 3/4 von 2/3 ist 3/4 · 2/3. Am Rechteck ist es die doppelt gefärbte Fläche.

ÜbenJetzt du

○7
Berechne 13 von 25 und zeige es am Rechteck. Färbe zuerst 2/5, dann davon 1/3.
So fängst du an:
13 von 25 heißt 13 · 2/5.
Lösung zeigen
1. 13 von 25 heißt 13 · 2/5.
2. Zähler mal Zähler: 1 · 2 = 2
3. Nenner mal Nenner: 3 · 5 = 15
4. Also: 215
Ergebnis:
215
●8
Von einer Tafel Schokolade ist noch 25 übrig. Ben isst 13 davon. Welchen Anteil der ganzen Tafel isst Ben?
Lösung zeigen
1. 13 von 25 heißt 13 · 2/5.
2. Zähler mal Zähler: 1 · 2 = 2
3. Nenner mal Nenner: 3 · 5 = 15
4. Also: 215
Ergebnis:
215
★9
13 eines Gartens sind Beete. Auf 25 der Beetfläche wachsen Tomaten. Welcher Anteil des ganzen Gartens ist mit Tomaten bepflanzt?
Lösung zeigen
1. 25 von 13 heißt 25 · 1/3.
2. Zähler mal Zähler: 2 · 1 = 2
3. Nenner mal Nenner: 5 · 3 = 15
4. Also: 215
Ergebnis:
215

4Ich unterscheide abbrechende und periodische Dezimalzahlen.

EntdeckenFrage

Wie viele Achtelnoten passen in einen Takt, der 4/4 heißt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Acht. Ein 4/4-Takt hat vier Viertel, und jedes Viertel sind zwei Achtel. Musiker rechnen dauernd mit Brüchen: Eine halbe Note und zwei Viertel füllen den Takt genauso wie acht Achtel.

MerkenAbbrechend oder periodisch

Man kürzt und zerlegt den Nenner in Primfaktoren.

Kommen nur 2 und 5 vor, bricht die Dezimalzahl ab. Sonst wiederholen sich Ziffern ohne Ende: 1/3 ergibt 0,333…

BeispielAbbrechend oder periodisch?

Nur einer dieser Brüche hat eine periodische Dezimalzahl: 11/15, 5/8, 1316. Welcher ist es?

Schritt für Schritt

1115 → 0,73333…, periodisch
58 → 0,625, abbrechend
1316 → 0,8125, abbrechend

1115 → 0,73333…, periodisch
58 → 0,625, abbrechend
1316 → 0,8125, abbrechend

Ergebnis:

1115

AchtungNenner nicht gekürzt oder Periode abgeschnitten

So nicht

3/12: Nenner 12 hat den Faktor 3 → periodisch

So richtig

3/12 = 1/4, Nenner 4 = 2 · 2 → abbrechend: 0,25

Erst kürzen, dann den Nenner prüfen. 0,33 ist gerundet und nicht dasselbe wie 1/3.

ÜbenJetzt du

○10
Nur einer dieser Brüche hat eine periodische Dezimalzahl: 9/16, 1/4, 1115. Welcher ist es?
So fängst du an:
916 → 0,5625, abbrechend
Lösung zeigen
1. 916 → 0,5625, abbrechend
2. 14 → 0,25, abbrechend
3. 1115 → 0,73333…, periodisch
Ergebnis:
1115
●11
Bricht die Dezimalzahl zu 13 ab, oder ist sie periodisch? Entscheide mit dem Nenner, bevor du teilst.
Lösung zeigen
1. Der Nenner 3 ist eine Primzahl.
2. Ein anderer Faktor als 2 und 5 steckt darin: periodisch.
3. Kontrolle: 1 : 3 → 0,33333…
Ergebnis:
periodisch
★12
Nur einer dieser Brüche hat eine periodische Dezimalzahl: 3/6, 21/24, 23. Welcher ist es?
Lösung zeigen
1. 36 → 0,5, abbrechend
2. 2124 → 0,875, abbrechend
3. 23 → 0,66666…, periodisch
Ergebnis:
23

5Ich rechne mit Rechengesetzen geschickt (Vertauschen, Zusammenfassen, Verteilen).

EntdeckenFrage

Wie oft kann man ein Blatt Papier in der Mitte falten – und welcher Teil ist dann noch eine Lage?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Jedes Falten nimmt die Hälfte der Hälfte: nach 3 Faltungen 1/8, nach 7 Faltungen 1/128. Die Schülerin Britney Gallivan hat 2002 ein sehr langes Papier zwölfmal gefaltet – dafür brauchte sie über einen Kilometer Papier.

MerkenRechengesetze nutzen

Vertauschen und Zusammenfassen ändern das Ergebnis nicht.

So wird aus 0,25 · 7 · 4 geschickt 0,25 · 4 · 7 = 7. Gleiche Faktoren klammert man aus: 7 · 1,5 + 3 · 1,5 = 10 · 1,5.

BeispielGeschickt rechnen mit Rechengesetzen

Welche zwei Zahlen nimmst du zuerst mal? Rechne dann: 1,25 · 8,8 · 8

Schritt für Schritt

Vertauschen: 1,25 · 8 · 8,8
1,25 · 8 = 10
10 · 8,8 = 88

Vertauschen: 1,25 · 8 · 8,8
1,25 · 8 = 10
10 · 8,8 = 88

Ergebnis:

AchtungKomma nach Gefühl gesetzt

So nicht

3,8 · 2,45 → 93,1 (Komma nach Gefühl)

So richtig

3,8 · 2,45 ≈ 4 · 2 = 8 → 9,31

Erst überschlagen, dann die Stellen nach dem Komma zählen. Beide müssen zum Ergebnis passen.

ÜbenJetzt du

○13
Rechne geschickt: 2 · 1,5 + 8 · 1,5
So fängst du an:
Beide Male wird mit 1,5 malgenommen.
Lösung zeigen
1. Beide Male wird mit 1,5 malgenommen.
2. Erst 2 + 8 = 10
3. 10 · 1,5 = 15
Ergebnis:
15
●14
Welche zwei Zahlen nimmst du zuerst mal? Rechne dann: 0,5 · 4,8 · 2
Lösung zeigen
1. Vertauschen: 0,5 · 2 · 4,8
2. 0,5 · 2 = 1
3. 1 · 4,8 = 4,8
Ergebnis:
4,8
★15
Rechne geschickt: 34 · 9 + 34 · 3
Lösung zeigen
1. Beide Male wird mit 34 malgenommen.
2. Erst 9 + 3 = 12
3. 34 · 12 = 9
Ergebnis:
9

6Ich wähle zwischen Bruch und Dezimalzahl die geschicktere Schreibweise.

EntdeckenFrage

Wie hat der junge Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 so schnell addiert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat nicht der Reihe nach gerechnet, sondern geschickt zusammengefasst: 1 + 100, 2 + 99, 3 + 98 und so weiter ergeben jedes Mal 101, und das 50-mal. Das sind 5050. Vertauschen und Zusammenfassen ändern das Ergebnis nicht – aber die Arbeit.

MerkenDie passende Schreibweise

0,75 · 36 rechnet man leichter als 3/4 von 36. Drittel und Sechstel bleiben besser Brüche.

Zum Vergleichen wandelt man alles in dieselbe Schreibweise um.

BeispielBruch oder Dezimalzahl: geschickt wählen

In einer Kiste liegen 14 Perlen. Der Anteil der gelben Perlen ist 0,5. Wie viele gelben Perlen sind es? Rechne mit der passenden Schreibweise.

Schritt für Schritt

0,5 ist dasselbe wie 1/2.
12 von 14: 14 : 2 · 1 = 7

0,5 ist dasselbe wie 1/2.
12 von 14: 14 : 2 · 1 = 7

Ergebnis:

AchtungAnteil umgedreht

So nicht

2/5 von 100 = 250

So richtig

2/5 von 100 = 100 : 5 · 2 = 40

Teile durch den Nenner. Nimm dann mal den Zähler.

ÜbenJetzt du

○16
Ein Paket wiegt 5,2 kg, ein zweites 12 kg. Wie schwer sind beide zusammen?
So fängst du an:
12 = 0,5
Lösung zeigen
1. 12 = 0,5
2. Beide als Dezimalzahl – dann Komma unter Komma.
3. 5,2 + 0,5 = 5,7
Ergebnis:
5,7 kg
●17
Berechne 1,5 + 12. Welche Schreibweise ist hier geschickter?
Lösung zeigen
1. 12 = 0,5
2. Beide als Dezimalzahl – dann Komma unter Komma.
3. 1,5 + 0,5 = 2
Ergebnis:
2
★18
In einer Kiste liegen 128 Murmeln. Der Anteil der blauen Murmeln ist 0,875. Wie viele blauen Murmeln sind es? Rechne mit der passenden Schreibweise.
Lösung zeigen
1. 0,875 ist dasselbe wie 7/8.
2. 78 von 128: 128 : 8 · 7 = 112
Ergebnis:
112

7Ich prüfe Ergebnisse mit Überschlag und Kommaregel.

EntdeckenFrage

Warum stehen an der Tankstelle Preise wie 1,799 Euro – mit drei Stellen nach dem Komma?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Kraftstoffpreise werden in Deutschland in Zehntelcent angegeben. Erst beim Bezahlen wird auf ganze Cent gerundet. Wer 40 Liter tankt, merkt den Unterschied von 0,001 Euro je Liter kaum – bei Millionen Litern macht er viel Geld aus.

MerkenÜberschlag und Kommaregel

Erst grob rechnen, dann genau.

So ist 3,8 · 2,45 ungefähr 4 · 2 = 8. Beim Malnehmen hat das Ergebnis so viele Nachkommastellen wie beide Zahlen zusammen.

BeispielKomma setzen mit Überschlag und Kommaregel

Beim Abschreiben ist das Komma verloren gegangen: 5,7 · 1,6 ergibt die Ziffern 912. Setze das Komma richtig.

Schritt für Schritt

Überschlag: 6 · 2 = 12
Kommaregel: eine Stelle und eine Stelle nach dem Komma, zusammen 2 Stellen.
912 mit 2 Stellen nach dem Komma: 9,12

Überschlag: 6 · 2 = 12
Kommaregel: eine Stelle und eine Stelle nach dem Komma, zusammen 2 Stellen.
912 mit 2 Stellen nach dem Komma: 9,12

Ergebnis:

9,12

AchtungNachkommastellen beim Mal falsch gezählt

So nicht

0,3 · 0,2 = 0,6

So richtig

0,3 · 0,2 = 0,06

Zähl die Stellen nach dem Komma in beiden Zahlen zusammen.

ÜbenJetzt du

○19
Das Ergebnis von 304,5 : 3,5 hat die Ziffern 87. Das Komma fehlt noch. Setze es mit einem Überschlag.
So fängst du an:
Überschlag: 305 : 4 = 76,25
Lösung zeigen
1. Überschlag: 305 : 4 = 76,25
2. Das Ergebnis liegt in der Nähe von 76,25.
3. Also: 87
Ergebnis:
87
●20
Das Ergebnis von 244 : 4 hat die Ziffern 61. Das Komma fehlt noch. Setze es mit einem Überschlag.
Lösung zeigen
1. Überschlag: 244 : 4 = 61
2. Das Ergebnis liegt in der Nähe von 61.
3. Also: 61
Ergebnis:
61
★21
Das Ergebnis von 6,36 : 1,2 hat die Ziffern 53. Das Komma fehlt noch. Setze es mit einem Überschlag.
Lösung zeigen
1. Überschlag: 6 : 1 = 6
2. Das Ergebnis liegt in der Nähe von 6.
3. Also: 5,3
Ergebnis:
5,3

8Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten mit Brüchen und Dezimalzahlen.

EntdeckenFrage

Wie viele Kilometer fehlen einer Marathonläuferin noch, wenn sie drei Viertel der Strecke geschafft hat?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Marathon ist 42,195 km lang. Drei Viertel davon sind 42,195 · 3 : 4 = 31,646 km, gerundet. Es fehlen 42,195 − 31,646 = 10,549 km, also gut 10,5 km. Schneller geht es mit dem fehlenden Viertel: 42,195 : 4.

MerkenRechenplan für Sachaufgaben

Erst klären, was gesucht ist.

Dann einen Plan in Schritten machen: Was rechne ich zuerst, was danach? Am Ende mit einem Überschlag prüfen und einen Antwortsatz schreiben.

BeispielMehrschrittige Sachaufgaben mit Brüchen und Dezimalzahlen

Ein Aquarium fasst 100 Liter. Es ist zu 25 gefüllt. Tim gießt Wasser mit einem Eimer nach, der 2,5 Liter fasst. Wie viele Eimer braucht er, bis das Aquarium voll ist?

Schritt für Schritt

Plan: erst was drin ist, dann was fehlt, dann die Eimer.
25 von 100: 100 : 5 · 2 = 40
Es fehlen 100 − 40 = 60
60 : 2,5 = 24

Plan: erst was drin ist, dann was fehlt, dann die Eimer.
25 von 100: 100 : 5 · 2 = 40
Es fehlen 100 − 40 = 60
60 : 2,5 = 24

Ergebnis:

24 Eimer

AchtungNoch einmal: Komma nach Gefühl gesetzt

So nicht

3,8 · 2,45 → 93,1 (Komma nach Gefühl)

So richtig

3,8 · 2,45 ≈ 4 · 2 = 8 → 9,31

Erst überschlagen, dann die Stellen nach dem Komma zählen. Beide müssen zum Ergebnis passen.

ÜbenJetzt du

○22
Ein Aquarium fasst 40 Liter. Es ist zu 34 gefüllt. Tim gießt Wasser mit einem Eimer nach, der 2,5 Liter fasst. Wie viele Eimer braucht er, bis das Aquarium voll ist?
So fängst du an:
Plan: erst was drin ist, dann was fehlt, dann die Eimer.
Lösung zeigen
1. Plan: erst was drin ist, dann was fehlt, dann die Eimer.
2. 34 von 40: 40 : 4 · 3 = 30
3. Es fehlen 40 − 30 = 10
4. 10 : 2,5 = 4
Ergebnis:
4 Eimer
●23
Für 4 Personen braucht man 34 kg Kartoffeln. Es kochen aber 6 Personen. 1 kg Kartoffeln kostet 2,00 €. Was kosten die Kartoffeln?
Lösung zeigen
1. Plan: erst die Menge für 6 Personen, dann der Preis.
2. 34 kg sind 0,75 kg.
3. 0,75 : 4 · 6 = 1,125
4. 1,125 · 2 = 2,25
Ergebnis:
2,25 €
★24
Für 2 Personen braucht man 1 12 kg Kartoffeln. Es kochen aber 5 Personen. 1 kg Kartoffeln kostet 1,60 €. Was kosten die Kartoffeln?
Lösung zeigen
1. Plan: erst die Menge für 5 Personen, dann der Preis.
2. 1 12 kg sind 1,5 kg.
3. 1,5 : 2 · 5 = 3,75
4. 3,75 · 1,6 = 6
Ergebnis:
6,00 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Ohne zu rechnen: Wird 40 : 23 größer oder kleiner als 40? Rechne danach zur Kontrolle.
Lösung zeigen
1. 23 ist kleiner als 1. 23 passt öfter als 40-mal in 40: größer.
2. Kontrolle: mit dem Kehrbruch: 40 · 32 = 60
Ergebnis:
größer: 60
●26
Ein Beutel hat 256 g Mehl. Oma braucht 58 davon. Mehr oder weniger als 256 g? Wie viel genau?
Lösung zeigen
1. 58 ist kleiner als 1, also braucht Oma weniger als 256 g.
2. 256 · 58 = 160
Ergebnis:
weniger: 160 g
●27
Welche gemischte Zahl kommt heraus? 5 12 + 2 14 Kürze, wenn es geht.
Lösung zeigen
1. Gleicher Nenner 4: 5 24 + 2 14
2. Ganze: 5 + 2 = 7
3. Brüche: 24 und 14 geben 3/4.
4. Zusammen: 7 34
Ergebnis:
7 34
●28
In einem Kanister sind 5 34 Liter Wasser. Beim Blumengießen werden 3 18 Liter verbraucht. Wie viel Wasser bleibt im Kanister?
Lösung zeigen
1. Rechnung: 5 34 − 3 18
2. Gleicher Nenner 8: 5 68 − 3 18
3. Ganze: 5 − 3 = 2
4. Brüche: 68 − 18 gibt 58
5. Zusammen: 2 58
Ergebnis:
2 58 Liter
●29
Berechne 14 von 15 und zeige es am Rechteck. Färbe zuerst 1/5, dann davon 1/4.
Lösung zeigen
1. 14 von 15 heißt 14 · 1/5.
2. Zähler mal Zähler: 1 · 1 = 1
3. Nenner mal Nenner: 4 · 5 = 20
4. Also: 120
Ergebnis:
120
●30
Welche Malaufgabe mit zwei Brüchen zeigt das Bild? Gib auch das Ergebnis an.
Lösung zeigen
1. Blau: 2 von 5 Zeilen, das sind 2/5.
2. Grün: 2 von 3 Spalten der blauen Fläche, also 23 von 2/5.
3. Kästchen: 5 · 3 = 15, davon grün 2 · 2 = 4
4. Also: 23 · 25 ergibt 415
Ergebnis:
23 · 2/5, Ergebnis 415

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Malnehmen macht nicht immer größer: Mal einer Zahl kleiner als 1 wird das Ergebnis kleiner.
Gemischte Zahl: 2 3/4 heißt 2 Ganze und 3/4. Man rechnet Ganze und Brüche getrennt.
Anteil vom Anteil: 3/4 von 2/3 heißt 3/4 · 2/3. Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner.
Abbrechend oder periodisch: Man kürzt und zerlegt den Nenner in Primfaktoren.
Rechengesetze nutzen: Vertauschen und Zusammenfassen ändern das Ergebnis nicht.
Die passende Schreibweise: 0,75 · 36 rechnet man leichter als 3/4 von 36. Drittel und Sechstel bleiben besser Brüche.
Überschlag und Kommaregel: Erst grob rechnen, dann genau.
Rechenplan für Sachaufgaben: Erst klären, was gesucht ist.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich sage vorher, ob Malnehmen oder Teilen mit einem Bruch oder einer Dezimalzahl das Ergebnis größer oder kleiner macht.
31
Ohne zu rechnen: Wird 60 · 0,75 größer oder kleiner als 60? Rechne danach zur Kontrolle.
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Ergebnis:
kleiner: 45
Ich addiere und subtrahiere gemischte Zahlen.
32
Rechne Ganze und Brüche getrennt und schreibe das Ergebnis als gemischte Zahl: 1 25 + 3 25
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Ergebnis:
4 45
Ich berechne den Anteil von einem Anteil und zeige ihn am Rechteck.
33
Berechne 14 von 34 und zeige es am Rechteck. Färbe zuerst 3/4, dann davon 1/4.
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Ergebnis:
316
Ich unterscheide abbrechende und periodische Dezimalzahlen.
34
Wandle 12 in eine Dezimalzahl um. Bricht sie ab, oder wiederholen sich die Ziffern ohne Ende?
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Ergebnis:
abbrechend: 0,5
Ich rechne mit Rechengesetzen geschickt (Vertauschen, Zusammenfassen, Verteilen).
35
Welche zwei Zahlen nimmst du zuerst mal? Rechne dann: 5 · 8,1 · 0,2
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Ergebnis:
8,1
Ich wähle zwischen Bruch und Dezimalzahl die geschicktere Schreibweise.
36
In einer Kiste liegen 15 Perlen. Der Anteil der gelben Perlen ist 0,6. Wie viele gelben Perlen sind es? Rechne mit der passenden Schreibweise.
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Ergebnis:
9
Ich prüfe Ergebnisse mit Überschlag und Kommaregel.
37
Welches Ergebnis kann für 5,7 · 2 stimmen: 114, 11,4, 1,14? Entscheide ohne genau zu rechnen.
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Ergebnis:
11,4
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten mit Brüchen und Dezimalzahlen.
38
Für einen Vorhang braucht Frau Lang 2 34 m Stoff. 1 m kostet 5,00 €. Sie bezahlt mit einem 20-€-Schein. Wie viel Geld bekommt sie zurück?
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Ergebnis:
6,25 €

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Entscheide in 30 Sekunden ohne Rechnen: Welche Ergebnisse sind größer als 36? 36 · 1,5, 36 · 0,8, 36 : 0,5, 36 : 4, 36 · 3/4, 36 : 3/4.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Die Vorhersage vor dem Rechnen: den Faktor mit 1 vergleichen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Käse nach Gewicht, Rezepte mit Dreiviertelliter, Zeiten wie anderthalb Stunden, Rechnungen prüfen. Beruf: Materialbedarf im Handwerk, Mengen in der Küche, Kassieren und Kontrollieren im Verkauf.

Wörter

Anteil: wie viel von einem Ganzen
Bruch: ein Teil von einem Ganzen, als Zahl geschrieben
Nenner: die Zahl unten – in wie viele Teile geteilt wurde
Zähler: die Zahl oben – wie viele Teile

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Brüche und Dezimalzahlen, Dezimalzahlen, Teilbarkeit und Primzahlen

Darauf baut auf: Prozentrechnung

Lösungen

kleiner: 45
größer: 96
kleiner: 6
3 14
5 18
3 56
215
215
215
1115
periodisch
23
15
4,8
9
5,7 kg
2
112
87
61
5,3
4 Eimer
2,25 €
6,00 €
größer: 60
weniger: 160 g
7 34
2 58 Liter
120
23 · 2/5, Ergebnis 415
kleiner: 45
4 45
316
abbrechend: 0,5
8,1
9
11,4
6,25 €
57 > 58
15 min