Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

Brüche und Dezimalzahlen vernetzen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Entscheide in 30 Sekunden ohne Rechnen: Welche Ergebnisse sind größer als 36? 36 · 1,5, 36 · 0,8, 36 : 0,5, 36 : 4, 36 · 3/4, 36 : 3/4.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die Stimmen gehen auseinander. Viele halten jedes Malnehmen für größer und jedes Teilen für kleiner, und bei 36 : 0,5 streiten sich die Gruppen. Rechnen dauert zu lange. Ihr braucht nur eine Frage: Ist die zweite Zahl größer oder kleiner als 1? Mal etwas unter 1 nimmt nur einen Teil, geteilt durch etwas unter 1 passt öfter hinein.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Ein Bruch ist ein Anteil und zugleich eine Zahl – derselbe Wert wie eine Dezimalzahl.

●39
Welcher Bruch ist größer: 17 oder 48? Begründe.
Lösung zeigen
1. Gleichnamig machen: 856 und 2856
2. 17 < 48
Ergebnis:
17 < 48
●40
Berechne 25 von 50 kg.
Lösung zeigen
1. 50 : 5 = 10
2. 10 · 2 = 20
Ergebnis:
20 kg

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenMal heißt nehmen, nicht vermehren

Mal einer Zahl heißt: so viel davon nehmen. 0,8 · 24 nimmt nur einen Teil von 24, 1,5 · 24 mehr als 24. Geteilt fragt, wie oft etwas hineinpasst – 0,5 passt öfter in 24 als 1.

WeiterdenkenDenk nach

Kann ein Produkt kleiner sein als beide Zahlen, die man malnimmt? Wann passiert das, und warum?

1Ich sage vorher, ob Malnehmen oder Teilen mit einem Bruch oder einer Dezimalzahl das Ergebnis größer oder kleiner macht.

EntdeckenFrage

Warum zeigt ein Taschenrechner für 1 : 3 nie ein genaues Ergebnis?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil die Division nie aufgeht: Es bleibt immer ein Rest von 1, und die 3 wiederholt sich ohne Ende. Der Rechner hat nur acht bis zehn Stellen und schneidet ab. Wer danach mal 3 rechnet, sieht auf einfachen Rechnern 0,9999999 statt 1.

MerkenMalnehmen macht nicht immer größer

Mal einer Zahl kleiner als 1 wird das Ergebnis kleiner.

Geteilt durch eine Zahl kleiner als 1 wird es größer. Erst vorhersagen, dann rechnen.

BeispielGrößer oder kleiner? Vorhersagen vor dem Rechnen

Ohne zu rechnen: Wird 30 · 23 größer oder kleiner als 30? Rechne danach zur Kontrolle.

Schritt für Schritt

23 ist kleiner als 1. Mal 23 nimmt nur einen Teil von 30: kleiner.
Kontrolle: 30 · 23 = 20

23 ist kleiner als 1. Mal 23 nimmt nur einen Teil von 30: kleiner.
Kontrolle: 30 · 23 = 20

Ergebnis:

kleiner: 20

AchtungMalnehmen macht immer größer

So nicht

24 · 0,8 > 24, also 28,8

So richtig

24 · 0,8 < 24, denn 0,8 < 1 → 24 · 0,8 = 19,2

Den Faktor mit 1 vergleichen: Mal einer Zahl kleiner als 1 wird es kleiner, geteilt durch sie größer.

ÜbenJetzt du

○1
Entscheide zuerst, dann rechne: Ist das Ergebnis von 60 · 0,5 mehr oder weniger als 60?
So fängst du an:
0,5 ist kleiner als 1. Mal 0,5 nimmt nur einen Teil von 60: kleiner.
Lösung zeigen
1. 0,5 ist kleiner als 1. Mal 0,5 nimmt nur einen Teil von 60: kleiner.
2. Kontrolle: 60 · 0,5 = 30
Ergebnis:
kleiner: 30
●2
Ohne zu rechnen: Wird 48 : 0,8 größer oder kleiner als 48? Rechne danach zur Kontrolle.
Lösung zeigen
1. 0,8 ist kleiner als 1. 0,8 passt öfter als 48-mal in 48: größer.
2. Kontrolle: 48 : 0,8 = 60
Ergebnis:
größer: 60
★3
Ordne ohne zu rechnen der Größe nach: 12, 12 : 0,8 und 12 · 0,8. Beginne mit der kleinsten Zahl.
Lösung zeigen
1. 0,8 ist kleiner als 1.
2. Mal 0,8 nimmt nur einen Teil von 12: kleiner als 12.
3. Geteilt durch 0,8: 0,8 passt öfter als 12-mal hinein, also größer.
4. Kontrolle: 12 · 0,8 = 9,6 und 12 : 0,8 = 15
Ergebnis:
12 · 0,8 < 12 < 12 : 0,8

2Ich addiere und subtrahiere gemischte Zahlen.

EntdeckenFrage

Warum tauchen bei 1/7, 2/7 und 3/7 immer dieselben sechs Ziffern auf?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

1/7 ist 0,142857…, 2/7 ist 0,285714… und 3/7 ist 0,428571… – dieselben sechs Ziffern, nur an einer anderen Stelle begonnen. Beim Teilen durch 7 können nur die Reste 1 bis 6 vorkommen, und alle Siebtel laufen durch denselben Kreis von Resten.

MerkenGemischte Zahl

2 3/4 heißt 2 Ganze und 3/4. Man rechnet Ganze und Brüche getrennt.

Reicht der Bruch beim Subtrahieren nicht, tauscht man ein Ganzes in Bruchteile.

BeispielGemischte Zahlen addieren und subtrahieren

Rechne Ganze und Brüche getrennt und schreibe das Ergebnis als gemischte Zahl: 5 13 − 4 16

Schritt für Schritt

Gleicher Nenner 6: 5 26 − 4 16
Ganze: 5 − 4 = 1
Brüche: 26 − 16 gibt 16
Zusammen: 1 16

Gleicher Nenner 6: 5 26 − 4 16
Ganze: 5 − 4 = 1
Brüche: 26 − 16 gibt 16
Zusammen: 1 16

Ergebnis:

1 16

AchtungBeim Subtrahieren gemischter Zahlen nicht getauscht

So nicht

5 1/4 − 2 3/4 → 3 2/4 (3/4 − 1/4 gerechnet)

So richtig

5 1/4 − 2 3/4 → 4 5/4 − 2 3/4 → 2 2/4 → 2 1/2

Reicht der Bruch nicht, ein Ganzes in Bruchteile tauschen – nicht einfach die Brüche umdrehen.

ÜbenJetzt du

○4
Welche gemischte Zahl kommt heraus? 6 23 − 4 13 Kürze, wenn es geht.
So fängst du an:
Ganze: 6 − 4 = 2
Lösung zeigen
1. Ganze: 6 − 4 = 2
2. Brüche: 23 − 13 gibt 13
3. Zusammen: 2 13
Ergebnis:
2 13
●5
Berechne: 5 13 + 2 13
Lösung zeigen
1. Ganze: 5 + 2 = 7
2. Brüche: 13 und 13 geben 2/3.
3. Zusammen: 7 23
Ergebnis:
7 23
★6
Rechne Ganze und Brüche getrennt und schreibe das Ergebnis als gemischte Zahl: 6 12 + 4 23
Lösung zeigen
1. Gleicher Nenner 6: 6 36 + 4 46
2. Ganze: 6 + 4 = 10
3. Brüche: 36 und 46 geben 7/6, das ist 1 Ganzes und 1/6.
4. Zusammen: 11 16
Ergebnis:
11 16

3Ich berechne den Anteil von einem Anteil und zeige ihn am Rechteck.

EntdeckenFrage

Warum ist eine Dreiviertelstunde 45 Minuten und nicht 75 Minuten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. 3/4 von 60 Minuten sind 45 Minuten. Genauso sind 1,5 Stunden 90 Minuten und nicht 1 Stunde 50 Minuten – die Zeit rechnet nicht im Zehnersystem.

MerkenAnteil vom Anteil

3/4 von 2/3 heißt 3/4 · 2/3. Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner.

Am Rechteck ist das Ergebnis die doppelt gefärbte Fläche.

BeispielAnteil von einem Anteil

23 eines Gartens sind Beete. Auf 13 der Beetfläche wachsen Tomaten. Welcher Anteil des ganzen Gartens ist mit Tomaten bepflanzt?

Schritt für Schritt

13 von 23 heißt 13 · 2/3.
Zähler mal Zähler: 1 · 2 = 2
Nenner mal Nenner: 3 · 3 = 9
Also: 29

13 von 23 heißt 13 · 2/3.
Zähler mal Zähler: 1 · 2 = 2
Nenner mal Nenner: 3 · 3 = 9
Also: 29

Ergebnis:

AchtungAnteil vom Anteil addiert statt malgenommen

So nicht

3/4 von 2/3 → 3/4 + 2/3 = 17/12

So richtig

3/4 von 2/3 → 3/4 · 2/3 = 6/12 = 1/2

„Von“ heißt mal: 3/4 von 2/3 ist 3/4 · 2/3. Am Rechteck ist es die doppelt gefärbte Fläche.

ÜbenJetzt du

○7
13 eines Gartens sind Beete. Auf 25 der Beetfläche wachsen Tomaten. Welcher Anteil des ganzen Gartens ist mit Tomaten bepflanzt?
So fängst du an:
25 von 13 heißt 25 · 1/3.
Lösung zeigen
1. 25 von 13 heißt 25 · 1/3.
2. Zähler mal Zähler: 2 · 1 = 2
3. Nenner mal Nenner: 5 · 3 = 15
4. Also: 215
Ergebnis:
215
●8
14 eines Gartens sind Beete. Auf 15 der Beetfläche wachsen Tomaten. Welcher Anteil des ganzen Gartens ist mit Tomaten bepflanzt?
Lösung zeigen
1. 15 von 14 heißt 15 · 1/4.
2. Zähler mal Zähler: 1 · 1 = 1
3. Nenner mal Nenner: 5 · 4 = 20
4. Also: 120
Ergebnis:
120
★9
In einer Klasse sind 40 Kinder. 38 der Klasse kommt mit dem Rad. 35 davon tragen einen Helm. Welcher Anteil der Klasse ist das, und wie viele Kinder sind es?
Lösung zeigen
1. 35 von 38 heißt 35 · 3/8.
2. Zähler mal Zähler: 3 · 3 = 9
3. Nenner mal Nenner: 5 · 8 = 40
4. Also: 940
5. 940 von 40 Kindern: 40 : 40 · 9 = 9
Ergebnis:
9/40, also 9 Kinder

4Ich unterscheide abbrechende und periodische Dezimalzahlen.

EntdeckenFrage

Wie viele Achtelnoten passen in einen Takt, der 4/4 heißt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Acht. Ein 4/4-Takt hat vier Viertel, und jedes Viertel sind zwei Achtel. Musiker rechnen dauernd mit Brüchen: Eine halbe Note und zwei Viertel füllen den Takt genauso wie acht Achtel.

MerkenAbbrechend oder periodisch

Man kürzt und zerlegt den Nenner in Primfaktoren.

Kommen nur 2 und 5 vor, bricht die Dezimalzahl ab. Sonst wiederholen sich Ziffern ohne Ende: 1/3 ergibt 0,333…

BeispielAbbrechend oder periodisch?

Nur einer dieser Brüche hat eine periodische Dezimalzahl: 4/5, 19/40, 715. Welcher ist es?

Schritt für Schritt

45 → 0,8, abbrechend
1940 → 0,475, abbrechend
715 → 0,46666…, periodisch

45 → 0,8, abbrechend
1940 → 0,475, abbrechend
715 → 0,46666…, periodisch

Ergebnis:

715

AchtungNenner nicht gekürzt oder Periode abgeschnitten

So nicht

3/12: Nenner 12 hat den Faktor 3 → periodisch

So richtig

3/12 = 1/4, Nenner 4 = 2 · 2 → abbrechend: 0,25

Erst kürzen, dann den Nenner prüfen. 0,33 ist gerundet und nicht dasselbe wie 1/3.

ÜbenJetzt du

○10
Nur einer dieser Brüche hat eine periodische Dezimalzahl: 8/9, 15/16, 110. Welcher ist es?
So fängst du an:
89 → 0,88888…, periodisch
Lösung zeigen
1. 89 → 0,88888…, periodisch
2. 1516 → 0,9375, abbrechend
3. 110 → 0,1, abbrechend
Ergebnis:
89
●11
Nur einer dieser Brüche hat eine periodische Dezimalzahl: 17/20, 1/6, 12. Welcher ist es?
Lösung zeigen
1. 1720 → 0,85, abbrechend
2. 16 → 0,16666…, periodisch
3. 12 → 0,5, abbrechend
Ergebnis:
16
★12
Nur einer dieser Brüche hat eine periodische Dezimalzahl: 9/12, 1/4, 16. Welcher ist es?
Lösung zeigen
1. 912 → 0,75, abbrechend
2. 14 → 0,25, abbrechend
3. 16 → 0,16666…, periodisch
Ergebnis:
16

5Ich rechne mit Rechengesetzen geschickt (Vertauschen, Zusammenfassen, Verteilen).

EntdeckenFrage

Wie oft kann man ein Blatt Papier in der Mitte falten – und welcher Teil ist dann noch eine Lage?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Jedes Falten nimmt die Hälfte der Hälfte: nach 3 Faltungen 1/8, nach 7 Faltungen 1/128. Die Schülerin Britney Gallivan hat 2002 ein sehr langes Papier zwölfmal gefaltet – dafür brauchte sie über einen Kilometer Papier.

MerkenRechengesetze nutzen

Vertauschen und Zusammenfassen ändern das Ergebnis nicht.

So wird aus 0,25 · 7 · 4 geschickt 0,25 · 4 · 7 = 7. Gleiche Faktoren klammert man aus: 7 · 1,5 + 3 · 1,5 = 10 · 1,5.

BeispielGeschickt rechnen mit Rechengesetzen

Rechne geschickt: 5,9 + 3,8 + 0,1 + 0,2

Schritt für Schritt

Umordnen: 5,9 + 0,1 + 3,8 + 0,2
5,9 + 0,1 = 6
3,8 + 0,2 = 4
6 + 4 = 10

Umordnen: 5,9 + 0,1 + 3,8 + 0,2
5,9 + 0,1 = 6
3,8 + 0,2 = 4
6 + 4 = 10

Ergebnis:

AchtungKomma nach Gefühl gesetzt

So nicht

3,8 · 2,45 → 93,1 (Komma nach Gefühl)

So richtig

3,8 · 2,45 ≈ 4 · 2 = 8 → 9,31

Erst überschlagen, dann die Stellen nach dem Komma zählen. Beide müssen zum Ergebnis passen.

ÜbenJetzt du

○13
Fasse geschickt zusammen und rechne: 3,1 + 2,1 + 0,9 + 0,9
So fängst du an:
Umordnen: 3,1 + 0,9 + 2,1 + 0,9
Lösung zeigen
1. Umordnen: 3,1 + 0,9 + 2,1 + 0,9
2. 3,1 + 0,9 = 4
3. 2,1 + 0,9 = 3
4. 4 + 3 = 7
Ergebnis:
7
●14
Rechne geschickt: 2 · 1,5 + 8 · 1,5
Lösung zeigen
1. Beide Male wird mit 1,5 malgenommen.
2. Erst 2 + 8 = 10
3. 10 · 1,5 = 15
Ergebnis:
15
★15
Fasse geschickt zusammen und rechne: 5,3 + 5,5 + 0,7 + 0,5
Lösung zeigen
1. Umordnen: 5,3 + 0,7 + 5,5 + 0,5
2. 5,3 + 0,7 = 6
3. 5,5 + 0,5 = 6
4. 6 + 6 = 12
Ergebnis:
12

6Ich wähle zwischen Bruch und Dezimalzahl die geschicktere Schreibweise.

EntdeckenFrage

Wie hat der junge Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 so schnell addiert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat nicht der Reihe nach gerechnet, sondern geschickt zusammengefasst: 1 + 100, 2 + 99, 3 + 98 und so weiter ergeben jedes Mal 101, und das 50-mal. Das sind 5050. Vertauschen und Zusammenfassen ändern das Ergebnis nicht – aber die Arbeit.

MerkenDie passende Schreibweise

0,75 · 36 rechnet man leichter als 3/4 von 36. Drittel und Sechstel bleiben besser Brüche.

Zum Vergleichen wandelt man alles in dieselbe Schreibweise um.

BeispielBruch oder Dezimalzahl: geschickt wählen

Berechne 5,8 + 35. Welche Schreibweise ist hier geschickter?

Schritt für Schritt

35 = 0,6
Beide als Dezimalzahl – dann Komma unter Komma.
5,8 + 0,6 = 6,4

35 = 0,6
Beide als Dezimalzahl – dann Komma unter Komma.
5,8 + 0,6 = 6,4

Ergebnis:

6,4

AchtungAnteil umgedreht

So nicht

2/5 von 100 = 250

So richtig

2/5 von 100 = 100 : 5 · 2 = 40

Teile durch den Nenner. Nimm dann mal den Zähler.

ÜbenJetzt du

○16
Berechne 2,1 + 15. Welche Schreibweise ist hier geschickter?
So fängst du an:
15 = 0,2
Lösung zeigen
1. 15 = 0,2
2. Beide als Dezimalzahl – dann Komma unter Komma.
3. 2,1 + 0,2 = 2,3
Ergebnis:
2,3
●17
Berechne geschickt im Kopf: 0,4 · 50. Welcher Bruch hilft dir?
Lösung zeigen
1. 0,4 ist dasselbe wie 2/5.
2. 25 von 50: 50 : 5 · 2 = 20
Ergebnis:
20
★18
Berechne 0,75 + 56 und gib das Ergebnis genau an.
Lösung zeigen
1. 56 hat als Dezimalzahl Ziffern ohne Ende – also mit Brüchen rechnen.
2. 0,75 ist 3/4.
3. Gleicher Nenner 12: 912 + 1012 gibt 1912
4. Ergebnis: 1 712
Ergebnis:
1 712

7Ich prüfe Ergebnisse mit Überschlag und Kommaregel.

EntdeckenFrage

Warum stehen an der Tankstelle Preise wie 1,799 Euro – mit drei Stellen nach dem Komma?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Kraftstoffpreise werden in Deutschland in Zehntelcent angegeben. Erst beim Bezahlen wird auf ganze Cent gerundet. Wer 40 Liter tankt, merkt den Unterschied von 0,001 Euro je Liter kaum – bei Millionen Litern macht er viel Geld aus.

MerkenÜberschlag und Kommaregel

Erst grob rechnen, dann genau.

So ist 3,8 · 2,45 ungefähr 4 · 2 = 8. Beim Malnehmen hat das Ergebnis so viele Nachkommastellen wie beide Zahlen zusammen.

BeispielKomma setzen mit Überschlag und Kommaregel

Welches Ergebnis kann für 7,2 · 4,9 stimmen: 352,8, 35,28, 3,528? Entscheide ohne genau zu rechnen.

Schritt für Schritt

Überschlag: 7 · 5 = 35
Am nächsten daran liegt 35,28.
Kommaregel zur Kontrolle: 2 Stellen nach dem Komma.

Überschlag: 7 · 5 = 35
Am nächsten daran liegt 35,28.
Kommaregel zur Kontrolle: 2 Stellen nach dem Komma.

Ergebnis:

35,28

AchtungNachkommastellen beim Mal falsch gezählt

So nicht

0,3 · 0,2 = 0,6

So richtig

0,3 · 0,2 = 0,06

Zähl die Stellen nach dem Komma in beiden Zahlen zusammen.

ÜbenJetzt du

○19
Das Ergebnis von 470 : 5 hat die Ziffern 94. Das Komma fehlt noch. Setze es mit einem Überschlag.
So fängst du an:
Überschlag: 470 : 5 = 94
Lösung zeigen
1. Überschlag: 470 : 5 = 94
2. Das Ergebnis liegt in der Nähe von 94.
3. Also: 94
Ergebnis:
94
●20
Beim Abschreiben ist das Komma verloren gegangen: 7,6 · 3 ergibt die Ziffern 228. Setze das Komma richtig.
Lösung zeigen
1. Überschlag: 8 · 3 = 24
2. Kommaregel: eine Stelle und keine Stelle nach dem Komma, zusammen eine Stelle.
3. 228 mit eine Stelle nach dem Komma: 22,8
Ergebnis:
22,8
★21
Beim Abschreiben ist das Komma verloren gegangen: 0,12 · 0,68 ergibt die Ziffern 816. Setze das Komma richtig.
Lösung zeigen
1. Überschlag: 0,1 · 0,7 = 0,07
2. Kommaregel: 2 Stellen und 2 Stellen nach dem Komma, zusammen 4 Stellen.
3. 816 mit 4 Stellen nach dem Komma: 0,0816
Ergebnis:
0,0816

8Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten mit Brüchen und Dezimalzahlen.

EntdeckenFrage

Wie viele Kilometer fehlen einer Marathonläuferin noch, wenn sie drei Viertel der Strecke geschafft hat?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Marathon ist 42,195 km lang. Drei Viertel davon sind 42,195 · 3 : 4 = 31,646 km, gerundet. Es fehlen 42,195 − 31,646 = 10,549 km, also gut 10,5 km. Schneller geht es mit dem fehlenden Viertel: 42,195 : 4.

MerkenRechenplan für Sachaufgaben

Erst klären, was gesucht ist.

Dann einen Plan in Schritten machen: Was rechne ich zuerst, was danach? Am Ende mit einem Überschlag prüfen und einen Antwortsatz schreiben.

BeispielMehrschrittige Sachaufgaben mit Brüchen und Dezimalzahlen

Für einen Vorhang braucht Frau Lang 1 34 m Stoff. 1 m kostet 7,00 €. Sie bezahlt mit einem 20-€-Schein. Wie viel Geld bekommt sie zurück?

Schritt für Schritt

Plan: erst den Preis für den Stoff, dann das Rückgeld.
1 34 m sind 1,75 m.
7 · 1,75 = 12,25
20 − 12,25 = 7,75

Plan: erst den Preis für den Stoff, dann das Rückgeld.
1 34 m sind 1,75 m.
7 · 1,75 = 12,25
20 − 12,25 = 7,75

Ergebnis:

7,75 €

AchtungNoch einmal: Komma nach Gefühl gesetzt

So nicht

3,8 · 2,45 → 93,1 (Komma nach Gefühl)

So richtig

3,8 · 2,45 ≈ 4 · 2 = 8 → 9,31

Erst überschlagen, dann die Stellen nach dem Komma zählen. Beide müssen zum Ergebnis passen.

ÜbenJetzt du

○22
Für 4 Personen braucht man 1 12 kg Kartoffeln. Es kochen aber 2 Personen. 1 kg Kartoffeln kostet 2,40 €. Was kosten die Kartoffeln?
So fängst du an:
Plan: erst die Menge für 2 Personen, dann der Preis.
Lösung zeigen
1. Plan: erst die Menge für 2 Personen, dann der Preis.
2. 1 12 kg sind 1,5 kg.
3. 1,5 : 4 · 2 = 0,75
4. 0,75 · 2,4 = 1,8
Ergebnis:
1,80 €
●23
Für 4 Personen braucht man 12 kg Kartoffeln. Es kochen aber 6 Personen. 1 kg Kartoffeln kostet 3,20 €. Was kosten die Kartoffeln?
Lösung zeigen
1. Plan: erst die Menge für 6 Personen, dann der Preis.
2. 12 kg sind 0,5 kg.
3. 0,5 : 4 · 6 = 0,75
4. 0,75 · 3,2 = 2,4
Ergebnis:
2,40 €
★24
Mia hat 44,00 € gespart. Sie gibt 14 davon für ein Buch aus und danach 4,80 € für das Kino. Wie viel Geld hat Mia danach noch?
Lösung zeigen
1. Plan: erst das Buch, dann das Kino abziehen.
2. Buch: 44 : 4 · 1 = 11
3. 44 − 11 = 33
4. 33 − 4,8 = 28,2
Ergebnis:
28,20 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Ohne zu rechnen: Wird 60 · 23 größer oder kleiner als 60? Rechne danach zur Kontrolle.
Lösung zeigen
1. 23 ist kleiner als 1. Mal 23 nimmt nur einen Teil von 60: kleiner.
2. Kontrolle: 60 · 23 = 40
Ergebnis:
kleiner: 40
●26
In eine Flasche passen 34 l Saft. Wie viele Flaschen kann man mit 9 l füllen? Sind es mehr oder weniger als 9?
Lösung zeigen
1. Eine Flasche fasst weniger als 1 l, also werden es mehr als 9 Flaschen.
2. 9 · 4 : 3 = 12
Ergebnis:
mehr: 12 Flaschen
●27
Rechne Ganze und Brüche getrennt und schreibe das Ergebnis als gemischte Zahl: 2 38 − 18
Lösung zeigen
1. Ganze: 2 − 0 = 2
2. Brüche: 38 − 18 gibt 28
3. Zusammen: 2 14
Ergebnis:
2 14
●28
Ein Brett ist 6 23 m lang. Tom sägt ein Stück von 3 13 m ab. Wie lang ist das Reststück?
Lösung zeigen
1. Rechnung: 6 23 − 3 13
2. Ganze: 6 − 3 = 3
3. Brüche: 23 − 13 gibt 13
4. Zusammen: 3 13
Ergebnis:
3 13 m
●29
13 eines Gartens sind Beete. Auf 12 der Beetfläche wachsen Tomaten. Welcher Anteil des ganzen Gartens ist mit Tomaten bepflanzt?
Lösung zeigen
1. 12 von 13 heißt 12 · 1/3.
2. Zähler mal Zähler: 1 · 1 = 1
3. Nenner mal Nenner: 2 · 3 = 6
4. Also: 16
Ergebnis:
16
●30
Lies am Bild ab: Welcher Anteil des ganzen Rechtecks ist grün, also doppelt gefärbt?
Lösung zeigen
1. Blau: 3 von 4 Zeilen, das sind 3/4.
2. Grün: 1 von 5 Spalten der blauen Fläche, also 15 von 3/4.
3. Kästchen: 4 · 5 = 20, davon grün 3 · 1 = 3
4. Also: 15 · 34 ergibt 320
Ergebnis:
320

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Malnehmen macht nicht immer größer: Mal einer Zahl kleiner als 1 wird das Ergebnis kleiner.
Gemischte Zahl: 2 3/4 heißt 2 Ganze und 3/4. Man rechnet Ganze und Brüche getrennt.
Anteil vom Anteil: 3/4 von 2/3 heißt 3/4 · 2/3. Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner.
Abbrechend oder periodisch: Man kürzt und zerlegt den Nenner in Primfaktoren.
Rechengesetze nutzen: Vertauschen und Zusammenfassen ändern das Ergebnis nicht.
Die passende Schreibweise: 0,75 · 36 rechnet man leichter als 3/4 von 36. Drittel und Sechstel bleiben besser Brüche.
Überschlag und Kommaregel: Erst grob rechnen, dann genau.
Rechenplan für Sachaufgaben: Erst klären, was gesucht ist.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich sage vorher, ob Malnehmen oder Teilen mit einem Bruch oder einer Dezimalzahl das Ergebnis größer oder kleiner macht.
31
Lea sagt: „48 : 12 ist weniger als 48, denn Teilen macht kleiner.“ Stimmt das?
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Ergebnis:
größer: 96
Ich addiere und subtrahiere gemischte Zahlen.
32
Berechne: 5 23 − 4 13
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Ergebnis:
1 13
Ich berechne den Anteil von einem Anteil und zeige ihn am Rechteck.
33
Berechne 15 von 12 und zeige es am Rechteck. Färbe zuerst 1/2, dann davon 1/5.
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Ergebnis:
110
Ich unterscheide abbrechende und periodische Dezimalzahlen.
34
Bricht die Dezimalzahl zu 415 ab, oder ist sie periodisch? Entscheide mit dem Nenner, bevor du teilst.
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Ergebnis:
periodisch
Ich rechne mit Rechengesetzen geschickt (Vertauschen, Zusammenfassen, Verteilen).
35
Rechne geschickt: 4 · 1,5 + 6 · 1,5
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Ergebnis:
15
Ich wähle zwischen Bruch und Dezimalzahl die geschicktere Schreibweise.
36
Ein Paket wiegt 3,6 kg, ein zweites 25 kg. Wie schwer sind beide zusammen?
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Ergebnis:
4 kg
Ich prüfe Ergebnisse mit Überschlag und Kommaregel.
37
Beim Abschreiben ist das Komma verloren gegangen: 7,7 · 4 ergibt die Ziffern 308. Setze das Komma richtig.
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Ergebnis:
30,8
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten mit Brüchen und Dezimalzahlen.
38
Mia hat 35,00 € gespart. Sie gibt 25 davon für ein Buch aus und danach 2,70 € für das Kino. Wie viel Geld hat Mia danach noch?
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Ergebnis:
18,30 €

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Entscheide in 30 Sekunden ohne Rechnen: Welche Ergebnisse sind größer als 36? 36 · 1,5, 36 · 0,8, 36 : 0,5, 36 : 4, 36 · 3/4, 36 : 3/4.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Die Vorhersage vor dem Rechnen: den Faktor mit 1 vergleichen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Käse nach Gewicht, Rezepte mit Dreiviertelliter, Zeiten wie anderthalb Stunden, Rechnungen prüfen. Beruf: Materialbedarf im Handwerk, Mengen in der Küche, Kassieren und Kontrollieren im Verkauf.

Wörter

Anteil: wie viel von einem Ganzen
Bruch: ein Teil von einem Ganzen, als Zahl geschrieben
Nenner: die Zahl unten – in wie viele Teile geteilt wurde
Zähler: die Zahl oben – wie viele Teile

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Brüche und Dezimalzahlen, Dezimalzahlen, Teilbarkeit und Primzahlen

Darauf baut auf: Prozentrechnung

Lösungen

kleiner: 30
größer: 60
12 · 0,8 < 12 < 12 : 0,8
2 13
7 23
11 16
215
120
9/40, also 9 Kinder
89
16
16
7
15
12
2,3
20
1 712
94
22,8
0,0816
1,80 €
2,40 €
28,20 €
kleiner: 40
mehr: 12 Flaschen
2 14
3 13 m
16
320
größer: 96
1 13
110
periodisch
15
4 kg
30,8
18,30 €
17 < 48
20 kg