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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

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Brüche und Dezimalzahlen vernetzen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Entscheide in 30 Sekunden ohne Rechnen: Welche Ergebnisse sind größer als 36? 36 · 1,5, 36 · 0,8, 36 : 0,5, 36 : 4, 36 · 3/4, 36 : 3/4.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die Stimmen gehen auseinander. Viele halten jedes Malnehmen für größer und jedes Teilen für kleiner, und bei 36 : 0,5 streiten sich die Gruppen. Rechnen dauert zu lange. Ihr braucht nur eine Frage: Ist die zweite Zahl größer oder kleiner als 1? Mal etwas unter 1 nimmt nur einen Teil, geteilt durch etwas unter 1 passt öfter hinein.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Ein Bruch ist ein Anteil und zugleich eine Zahl – derselbe Wert wie eine Dezimalzahl.

  1. ●39
    Welcher Bruch ist größer: 26 oder 25? Begründe.
    Lösung zeigen
    1. Gleichnamig machen: 1030 und 1230
    2. 26 < 25
    Ergebnis:
    26 < 25
  2. ●40
    Berechne 34 von 40 min.
    Lösung zeigen
    1. 40 : 4 = 10
    2. 10 · 3 = 30
    Ergebnis:
    30 min

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenMal heißt nehmen, nicht vermehren

Mal einer Zahl heißt: so viel davon nehmen. 0,8 · 24 nimmt nur einen Teil von 24, 1,5 · 24 mehr als 24. Geteilt fragt, wie oft etwas hineinpasst – 0,5 passt öfter in 24 als 1.

Zahlenstrahl: 0,8 mal 24 liegt links von 24, 1,5 mal 24 rechts davon0816243240240,8 · 241,5 · 24Mal weniger als 1 nimmt nur einen Teil

WeiterdenkenDenk nach

Kann ein Produkt kleiner sein als beide Zahlen, die man malnimmt? Wann passiert das, und warum?

1Ich sage vorher, ob Malnehmen oder Teilen mit einem Bruch oder einer Dezimalzahl das Ergebnis größer oder kleiner macht.

EntdeckenFrage

Warum zeigt ein Taschenrechner für 1 : 3 nie ein genaues Ergebnis?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil die Division nie aufgeht: Es bleibt immer ein Rest von 1, und die 3 wiederholt sich ohne Ende. Der Rechner hat nur acht bis zehn Stellen und schneidet ab. Wer danach mal 3 rechnet, sieht auf einfachen Rechnern 0,9999999 statt 1.

MerkenMalnehmen macht nicht immer größer

Mal einer Zahl kleiner als 1 wird das Ergebnis kleiner.

Geteilt durch eine Zahl kleiner als 1 wird es größer. Erst vorhersagen, dann rechnen.

BeispielGrößer oder kleiner? Vorhersagen vor dem Rechnen

Lea sagt: „20 : 0,5 ist weniger als 20, denn Teilen macht kleiner.“ Stimmt das?
Schritt für Schritt
  1. 0,5 ist kleiner als 1. 0,5 passt öfter als 20-mal in 20: größer.
  2. Kontrolle: 20 : 0,5 = 40
  3. Lea hat nicht recht.
  1. 0,5 ist kleiner als 1. 0,5 passt öfter als 20-mal in 20: größer.
  2. Kontrolle: 20 : 0,5 = 40
  3. Lea hat nicht recht.
Ergebnis:
größer: 40

AchtungMalnehmen macht immer größer

So nicht
24 · 0,8 > 24, also 28,8
So richtig
24 · 0,8 < 24, denn 0,8 < 1 → 24 · 0,8 = 19,2

Den Faktor mit 1 vergleichen: Mal einer Zahl kleiner als 1 wird es kleiner, geteilt durch sie größer.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Entscheide zuerst, dann rechne: Ist das Ergebnis von 40 : 25 mehr oder weniger als 40?
    So fängst du an:
    25 ist kleiner als 1. 25 passt öfter als 40-mal in 40: größer.
    Lösung zeigen
    1. 25 ist kleiner als 1. 25 passt öfter als 40-mal in 40: größer.
    2. Kontrolle: mit dem Kehrbruch: 40 · 52 = 100
    Ergebnis:
    größer: 100
  2. ●2
    Ohne zu rechnen: Wird 16 · 0,5 größer oder kleiner als 16? Rechne danach zur Kontrolle.
    Lösung zeigen
    1. 0,5 ist kleiner als 1. Mal 0,5 nimmt nur einen Teil von 16: kleiner.
    2. Kontrolle: 16 · 0,5 = 8
    Ergebnis:
    kleiner: 8
  3. ★3
    Ordne ohne zu rechnen der Größe nach: 12 : 0,75, 12 und 12 · 0,75. Beginne mit der kleinsten Zahl.
    Lösung zeigen
    1. 0,75 ist kleiner als 1.
    2. Mal 0,75 nimmt nur einen Teil von 12: kleiner als 12.
    3. Geteilt durch 0,75: 0,75 passt öfter als 12-mal hinein, also größer.
    4. Kontrolle: 12 · 0,75 = 9 und 12 : 0,75 = 16
    Ergebnis:
    12 · 0,75 < 12 < 12 : 0,75

2Ich addiere und subtrahiere gemischte Zahlen.

EntdeckenFrage

Warum tauchen bei 1/7, 2/7 und 3/7 immer dieselben sechs Ziffern auf?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

1/7 ist 0,142857…, 2/7 ist 0,285714… und 3/7 ist 0,428571… – dieselben sechs Ziffern, nur an einer anderen Stelle begonnen. Beim Teilen durch 7 können nur die Reste 1 bis 6 vorkommen, und alle Siebtel laufen durch denselben Kreis von Resten.

MerkenGemischte Zahl

2 3/4 heißt 2 Ganze und 3/4. Man rechnet Ganze und Brüche getrennt.

Reicht der Bruch beim Subtrahieren nicht, tauscht man ein Ganzes in Bruchteile.

BeispielGemischte Zahlen addieren und subtrahieren

Rechne Ganze und Brüche getrennt und schreibe das Ergebnis als gemischte Zahl: 4 12 − 2 14
4 1/22 1/4
Schritt für Schritt
  1. Gleicher Nenner 4: 4 24 − 2 14
  2. Ganze: 4 − 2 = 2
  3. Brüche: 24 − 14 gibt 14
  4. Zusammen: 2 14
  1. Gleicher Nenner 4: 4 24 − 2 14
  2. Ganze: 4 − 2 = 2
  3. Brüche: 24 − 14 gibt 14
  4. Zusammen: 2 14
Ergebnis:
2 14

AchtungBeim Subtrahieren gemischter Zahlen nicht getauscht

So nicht
5 1/4 − 2 3/4 → 3 2/4 (3/4 − 1/4 gerechnet)
So richtig
5 1/4 − 2 3/4 → 4 5/4 − 2 3/4 → 2 2/4 → 2 1/2

Reicht der Bruch nicht, ein Ganzes in Bruchteile tauschen – nicht einfach die Brüche umdrehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Welche gemischte Zahl kommt heraus? 5 23 − 2 13 Kürze, wenn es geht.
    5 2/32 1/3
    So fängst du an:
    Ganze: 5 − 2 = 3
    Lösung zeigen
    1. Ganze: 5 − 2 = 3
    2. Brüche: 23 − 13 gibt 13
    3. Zusammen: 3 13
    Ergebnis:
    3 13
  2. ●5
    Welche gemischte Zahl kommt heraus? 5 12 − 4 14 Kürze, wenn es geht.
    5 1/24 1/4
    Lösung zeigen
    1. Gleicher Nenner 4: 5 24 − 4 14
    2. Ganze: 5 − 4 = 1
    3. Brüche: 24 − 14 gibt 14
    4. Zusammen: 1 14
    Ergebnis:
    1 14
  3. ★6
    Berechne: 6 56 + 2 89
    6 5/62 8/9
    Lösung zeigen
    1. Gleicher Nenner 18: 6 1518 + 2 1618
    2. Ganze: 6 + 2 = 8
    3. Brüche: 1518 und 1618 geben 31/18, das ist 1 Ganzes und 13/18.
    4. Zusammen: 9 1318
    Ergebnis:
    9 1318

3Ich berechne den Anteil von einem Anteil und zeige ihn am Rechteck.

EntdeckenFrage

Warum ist eine Dreiviertelstunde 45 Minuten und nicht 75 Minuten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. 3/4 von 60 Minuten sind 45 Minuten. Genauso sind 1,5 Stunden 90 Minuten und nicht 1 Stunde 50 Minuten – die Zeit rechnet nicht im Zehnersystem.

MerkenAnteil vom Anteil

3/4 von 2/3 heißt 3/4 · 2/3. Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner.

Am Rechteck ist das Ergebnis die doppelt gefärbte Fläche.

BeispielAnteil von einem Anteil

Berechne 23 von 13 und zeige es am Rechteck. Färbe zuerst 1/3, dann davon 2/3.
?
Schritt für Schritt
  1. 23 von 13 heißt 23 · 1/3.
  2. Zähler mal Zähler: 2 · 1 = 2
  3. Nenner mal Nenner: 3 · 3 = 9
  4. Also: 29
  1. 23 von 13 heißt 23 · 1/3.
  2. Zähler mal Zähler: 2 · 1 = 2
  3. Nenner mal Nenner: 3 · 3 = 9
  4. Also: 29
Ergebnis:
29

AchtungAnteil vom Anteil addiert statt malgenommen

So nicht
3/4 von 2/3 → 3/4 + 2/3 = 17/12
So richtig
3/4 von 2/3 → 3/4 · 2/3 = 6/12 = 1/2

„Von“ heißt mal: 3/4 von 2/3 ist 3/4 · 2/3. Am Rechteck ist es die doppelt gefärbte Fläche.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    35 eines Gartens sind Beete. Auf 15 der Beetfläche wachsen Tomaten. Welcher Anteil des ganzen Gartens ist mit Tomaten bepflanzt?
    ?
    So fängst du an:
    15 von 35 heißt 15 · 3/5.
    Lösung zeigen
    1. 15 von 35 heißt 15 · 3/5.
    2. Zähler mal Zähler: 1 · 3 = 3
    3. Nenner mal Nenner: 5 · 5 = 25
    4. Also: 325
    Ergebnis:
    325
  2. ●8
    Von einer Tafel Schokolade ist noch 15 übrig. Ben isst 35 davon. Welchen Anteil der ganzen Tafel isst Ben?
    ?
    Lösung zeigen
    1. 35 von 15 heißt 35 · 1/5.
    2. Zähler mal Zähler: 3 · 1 = 3
    3. Nenner mal Nenner: 5 · 5 = 25
    4. Also: 325
    Ergebnis:
    325
  3. ★9
    56 eines Gartens sind Beete. Auf 15 der Beetfläche wachsen Tomaten. Welcher Anteil des ganzen Gartens ist mit Tomaten bepflanzt?
    ?
    Lösung zeigen
    1. 15 von 56 heißt 15 · 5/6.
    2. Zähler mal Zähler: 1 · 5 = 5
    3. Nenner mal Nenner: 5 · 6 = 30
    4. Kürzen: 530 = 16
    Ergebnis:
    16

4Ich unterscheide abbrechende und periodische Dezimalzahlen.

EntdeckenFrage

Wie viele Achtelnoten passen in einen Takt, der 4/4 heißt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Acht. Ein 4/4-Takt hat vier Viertel, und jedes Viertel sind zwei Achtel. Musiker rechnen dauernd mit Brüchen: Eine halbe Note und zwei Viertel füllen den Takt genauso wie acht Achtel.

MerkenAbbrechend oder periodisch

Man kürzt und zerlegt den Nenner in Primfaktoren.

Kommen nur 2 und 5 vor, bricht die Dezimalzahl ab. Sonst wiederholen sich Ziffern ohne Ende: 1/3 ergibt 0,333…

BeispielAbbrechend oder periodisch?

Bricht die Dezimalzahl zu 13 ab, oder ist sie periodisch? Entscheide mit dem Nenner, bevor du teilst.
Schritt für Schritt
  1. Der Nenner 3 ist eine Primzahl.
  2. Ein anderer Faktor als 2 und 5 steckt darin: periodisch.
  3. Kontrolle: 1 : 3 → 0,33333…
  1. Der Nenner 3 ist eine Primzahl.
  2. Ein anderer Faktor als 2 und 5 steckt darin: periodisch.
  3. Kontrolle: 1 : 3 → 0,33333…
Ergebnis:
periodisch

AchtungNenner nicht gekürzt oder Periode abgeschnitten

So nicht
3/12: Nenner 12 hat den Faktor 3 → periodisch
So richtig
3/12 = 1/4, Nenner 4 = 2 · 2 → abbrechend: 0,25

Erst kürzen, dann den Nenner prüfen. 0,33 ist gerundet und nicht dasselbe wie 1/3.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Wandle 916 in eine Dezimalzahl um. Bricht sie ab, oder wiederholen sich die Ziffern ohne Ende?
    So fängst du an:
    Nenner 16 in Primfaktoren: 2 · 2 · 2 · 2
    Lösung zeigen
    1. Nenner 16 in Primfaktoren: 2 · 2 · 2 · 2
    2. Nur die Faktoren 2 und 5: abbrechend.
    3. Kontrolle: 9 : 16 = 0,5625
    Ergebnis:
    abbrechend: 0,5625
  2. ●11
    Wandle 116 in eine Dezimalzahl um. Bricht sie ab, oder wiederholen sich die Ziffern ohne Ende?
    Lösung zeigen
    1. Nenner 16 in Primfaktoren: 2 · 2 · 2 · 2
    2. Nur die Faktoren 2 und 5: abbrechend.
    3. Kontrolle: 1 : 16 = 0,0625
    Ergebnis:
    abbrechend: 0,0625
  3. ★12
    Wandle 815 in eine Dezimalzahl um. Bricht sie ab, oder wiederholen sich die Ziffern ohne Ende?
    Lösung zeigen
    1. Nenner 15 in Primfaktoren: 3 · 5
    2. Ein anderer Faktor als 2 und 5 steckt darin: periodisch.
    3. Kontrolle: 8 : 15 → 0,53333…
    Ergebnis:
    periodisch: 0,53333…

5Ich rechne mit Rechengesetzen geschickt (Vertauschen, Zusammenfassen, Verteilen).

EntdeckenFrage

Wie oft kann man ein Blatt Papier in der Mitte falten – und welcher Teil ist dann noch eine Lage?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Jedes Falten nimmt die Hälfte der Hälfte: nach 3 Faltungen 1/8, nach 7 Faltungen 1/128. Die Schülerin Britney Gallivan hat 2002 ein sehr langes Papier zwölfmal gefaltet – dafür brauchte sie über einen Kilometer Papier.

MerkenRechengesetze nutzen

Vertauschen und Zusammenfassen ändern das Ergebnis nicht.

So wird aus 0,25 · 7 · 4 geschickt 0,25 · 4 · 7 = 7. Gleiche Faktoren klammert man aus: 7 · 1,5 + 3 · 1,5 = 10 · 1,5.

BeispielGeschickt rechnen mit Rechengesetzen

Fasse geschickt zusammen und rechne: 3,8 + 2,6 + 0,2 + 0,4
Schritt für Schritt
  1. Umordnen: 3,8 + 0,2 + 2,6 + 0,4
  2. 3,8 + 0,2 = 4
  3. 2,6 + 0,4 = 3
  4. 4 + 3 = 7
  1. Umordnen: 3,8 + 0,2 + 2,6 + 0,4
  2. 3,8 + 0,2 = 4
  3. 2,6 + 0,4 = 3
  4. 4 + 3 = 7
Ergebnis:
7

AchtungKomma nach Gefühl gesetzt

So nicht
3,8 · 2,45 → 93,1 (Komma nach Gefühl)
So richtig
3,8 · 2,45 ≈ 4 · 2 = 8 → 9,31

Erst überschlagen, dann die Stellen nach dem Komma zählen. Beide müssen zum Ergebnis passen.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Rechne geschickt: 7 · 1,5 + 3 · 1,5
    731,5
    So fängst du an:
    Beide Male wird mit 1,5 malgenommen.
    Lösung zeigen
    1. Beide Male wird mit 1,5 malgenommen.
    2. Erst 7 + 3 = 10
    3. 10 · 1,5 = 15
    Ergebnis:
    15
  2. ●14
    Rechne geschickt im Kopf: 0,4 · 9,2 · 5
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 0,4 · 5 · 9,2
    2. 0,4 · 5 = 2
    3. 2 · 9,2 = 18,4
    Ergebnis:
    18,4
  3. ★15
    Rechne geschickt: 1,9 + 3,4 + 0,1 + 0,6
    Lösung zeigen
    1. Umordnen: 1,9 + 0,1 + 3,4 + 0,6
    2. 1,9 + 0,1 = 2
    3. 3,4 + 0,6 = 4
    4. 2 + 4 = 6
    Ergebnis:
    6

6Ich wähle zwischen Bruch und Dezimalzahl die geschicktere Schreibweise.

EntdeckenFrage

Wie hat der junge Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 so schnell addiert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat nicht der Reihe nach gerechnet, sondern geschickt zusammengefasst: 1 + 100, 2 + 99, 3 + 98 und so weiter ergeben jedes Mal 101, und das 50-mal. Das sind 5050. Vertauschen und Zusammenfassen ändern das Ergebnis nicht – aber die Arbeit.

MerkenDie passende Schreibweise

0,75 · 36 rechnet man leichter als 3/4 von 36. Drittel und Sechstel bleiben besser Brüche.

Zum Vergleichen wandelt man alles in dieselbe Schreibweise um.

BeispielBruch oder Dezimalzahl: geschickt wählen

In einer Kiste liegen 14 Murmeln. Der Anteil der blauen Murmeln ist 0,5. Wie viele blauen Murmeln sind es? Rechne mit der passenden Schreibweise.
Schritt für Schritt
  1. 0,5 ist dasselbe wie 1/2.
  2. 12 von 14: 14 : 2 · 1 = 7
  1. 0,5 ist dasselbe wie 1/2.
  2. 12 von 14: 14 : 2 · 1 = 7
Ergebnis:
7

AchtungAnteil umgedreht

So nicht
2/5 von 100 = 250
So richtig
2/5 von 100 = 100 : 5 · 2 = 40

Teile durch den Nenner. Nimm dann mal den Zähler.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Berechne 13 von 12 kg. Rechnest du mit dem Bruch oder mit einer Dezimalzahl?
    So fängst du an:
    13 als Dezimalzahl hat Ziffern ohne Ende – ungünstig.
    Lösung zeigen
    1. 13 als Dezimalzahl hat Ziffern ohne Ende – ungünstig.
    2. Mit dem Bruch: 12 : 3 · 1 = 4
    Ergebnis:
    4 kg
  2. ●17
    Berechne geschickt im Kopf: 0,6 · 70. Welcher Bruch hilft dir?
    Lösung zeigen
    1. 0,6 ist dasselbe wie 3/5.
    2. 35 von 70: 70 : 5 · 3 = 42
    Ergebnis:
    42
  3. ★18
    Berechne 0,75 + 23 und gib das Ergebnis genau an.
    Lösung zeigen
    1. 23 hat als Dezimalzahl Ziffern ohne Ende – also mit Brüchen rechnen.
    2. 0,75 ist 3/4.
    3. Gleicher Nenner 12: 912 + 812 gibt 1712
    4. Ergebnis: 1 512
    Ergebnis:
    1 512

7Ich prüfe Ergebnisse mit Überschlag und Kommaregel.

EntdeckenFrage

Warum stehen an der Tankstelle Preise wie 1,799 Euro – mit drei Stellen nach dem Komma?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Kraftstoffpreise werden in Deutschland in Zehntelcent angegeben. Erst beim Bezahlen wird auf ganze Cent gerundet. Wer 40 Liter tankt, merkt den Unterschied von 0,001 Euro je Liter kaum – bei Millionen Litern macht er viel Geld aus.

MerkenÜberschlag und Kommaregel

Erst grob rechnen, dann genau.

So ist 3,8 · 2,45 ungefähr 4 · 2 = 8. Beim Malnehmen hat das Ergebnis so viele Nachkommastellen wie beide Zahlen zusammen.

BeispielKomma setzen mit Überschlag und Kommaregel

Beim Abschreiben ist das Komma verloren gegangen: 9,4 · 3 ergibt die Ziffern 282. Setze das Komma richtig.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 9 · 3 = 27
  2. Kommaregel: eine Stelle und keine Stelle nach dem Komma, zusammen eine Stelle.
  3. 282 mit eine Stelle nach dem Komma: 28,2
  1. Überschlag: 9 · 3 = 27
  2. Kommaregel: eine Stelle und keine Stelle nach dem Komma, zusammen eine Stelle.
  3. 282 mit eine Stelle nach dem Komma: 28,2
Ergebnis:
28,2

AchtungNachkommastellen beim Mal falsch gezählt

So nicht
0,3 · 0,2 = 0,6
So richtig
0,3 · 0,2 = 0,06

Zähl die Stellen nach dem Komma in beiden Zahlen zusammen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Beim Abschreiben ist das Komma verloren gegangen: 7,9 · 4,3 ergibt die Ziffern 3397. Setze das Komma richtig.
    So fängst du an:
    Überschlag: 8 · 4 = 32
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 8 · 4 = 32
    2. Kommaregel: eine Stelle und eine Stelle nach dem Komma, zusammen 2 Stellen.
    3. 3397 mit 2 Stellen nach dem Komma: 33,97
    Ergebnis:
    33,97
  2. ●20
    Beim Abschreiben ist das Komma verloren gegangen: 5,9 · 8 ergibt die Ziffern 472. Setze das Komma richtig.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 6 · 8 = 48
    2. Kommaregel: eine Stelle und keine Stelle nach dem Komma, zusammen eine Stelle.
    3. 472 mit eine Stelle nach dem Komma: 47,2
    Ergebnis:
    47,2
  3. ★21
    Beim Abschreiben ist das Komma verloren gegangen: 38,1 · 0,35 ergibt die Ziffern 13335. Setze das Komma richtig.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 38 · 0,4 = 15,2
    2. Kommaregel: eine Stelle und 2 Stellen nach dem Komma, zusammen 3 Stellen.
    3. 13.335 mit 3 Stellen nach dem Komma: 13,335
    Ergebnis:
    13,335

8Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten mit Brüchen und Dezimalzahlen.

EntdeckenFrage

Wie viele Kilometer fehlen einer Marathonläuferin noch, wenn sie drei Viertel der Strecke geschafft hat?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Marathon ist 42,195 km lang. Drei Viertel davon sind 42,195 · 3 : 4 = 31,646 km, gerundet. Es fehlen 42,195 − 31,646 = 10,549 km, also gut 10,5 km. Schneller geht es mit dem fehlenden Viertel: 42,195 : 4.

MerkenRechenplan für Sachaufgaben

Erst klären, was gesucht ist.

Dann einen Plan in Schritten machen: Was rechne ich zuerst, was danach? Am Ende mit einem Überschlag prüfen und einen Antwortsatz schreiben.

BeispielMehrschrittige Sachaufgaben mit Brüchen und Dezimalzahlen

Für einen Vorhang braucht Frau Lang 3 14 m Stoff. 1 m kostet 2,00 €. Sie bezahlt mit einem 20-€-Schein. Wie viel Geld bekommt sie zurück?
Schritt für Schritt
  1. Plan: erst den Preis für den Stoff, dann das Rückgeld.
  2. 3 14 m sind 3,25 m.
  3. 2 · 3,25 = 6,5
  4. 20 − 6,5 = 13,5
  1. Plan: erst den Preis für den Stoff, dann das Rückgeld.
  2. 3 14 m sind 3,25 m.
  3. 2 · 3,25 = 6,5
  4. 20 − 6,5 = 13,5
Ergebnis:
13,50 €

AchtungNoch einmal: Komma nach Gefühl gesetzt

So nicht
3,8 · 2,45 → 93,1 (Komma nach Gefühl)
So richtig
3,8 · 2,45 ≈ 4 · 2 = 8 → 9,31

Erst überschlagen, dann die Stellen nach dem Komma zählen. Beide müssen zum Ergebnis passen.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Für einen Vorhang braucht Frau Lang 3 14 m Stoff. 1 m kostet 4,00 €. Sie bezahlt mit einem 20-€-Schein. Wie viel Geld bekommt sie zurück?
    So fängst du an:
    Plan: erst den Preis für den Stoff, dann das Rückgeld.
    Lösung zeigen
    1. Plan: erst den Preis für den Stoff, dann das Rückgeld.
    2. 3 14 m sind 3,25 m.
    3. 4 · 3,25 = 13
    4. 20 − 13 = 7
    Ergebnis:
    7,00 €
  2. ●23
    Mia hat 16,00 € gespart. Sie gibt 12 davon für ein Buch aus und danach 2,20 € für das Kino. Wie viel Geld hat Mia danach noch?
    Lösung zeigen
    1. Plan: erst das Buch, dann das Kino abziehen.
    2. Buch: 16 : 2 · 1 = 8
    3. 16 − 8 = 8
    4. 8 − 2,2 = 5,8
    Ergebnis:
    5,80 €
  3. ★24
    Für 4 Personen braucht man 1 12 kg Kartoffeln. Es kochen aber 6 Personen. 1 kg Kartoffeln kostet 2,40 €. Was kosten die Kartoffeln?
    Lösung zeigen
    1. Plan: erst die Menge für 6 Personen, dann der Preis.
    2. 1 12 kg sind 1,5 kg.
    3. 1,5 : 4 · 6 = 2,25
    4. 2,25 · 2,4 = 5,4
    Ergebnis:
    5,40 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Entscheide zuerst, dann rechne: Ist das Ergebnis von 60 · 34 mehr oder weniger als 60?
    Lösung zeigen
    1. 34 ist kleiner als 1. Mal 34 nimmt nur einen Teil von 60: kleiner.
    2. Kontrolle: 60 · 34 = 45
    Ergebnis:
    kleiner: 45
  2. ●26
    Ein Beutel hat 81 g Mehl. Oma braucht 13 davon. Mehr oder weniger als 81 g? Wie viel genau?
    Lösung zeigen
    1. 13 ist kleiner als 1, also braucht Oma weniger als 81 g.
    2. 81 · 13 = 27
    Ergebnis:
    weniger: 27 g
  3. ●27
    Rechne Ganze und Brüche getrennt und schreibe das Ergebnis als gemischte Zahl: 3 23 + 16
    Lösung zeigen
    1. Gleicher Nenner 6: 3 46 + 16
    2. Ganze: 3 + 0 = 3
    3. Brüche: 46 und 16 geben 5/6.
    4. Zusammen: 3 56
    Ergebnis:
    3 56
  4. ●28
    Eine Radtour dauert am Samstag 2 12 Stunden und am Sonntag 3 14 Stunden. Wie lange ist die Familie an beiden Tagen zusammen unterwegs?
    2 1/23 1/4
    Lösung zeigen
    1. Rechnung: 2 12 + 3 14
    2. Gleicher Nenner 4: 2 24 + 3 14
    3. Ganze: 2 + 3 = 5
    4. Brüche: 24 und 14 geben 3/4.
    5. Zusammen: 5 34
    Ergebnis:
    5 34 Stunden
  5. ●29
    35 eines Gartens sind Beete. Auf 13 der Beetfläche wachsen Tomaten. Welcher Anteil des ganzen Gartens ist mit Tomaten bepflanzt?
    ?
    Lösung zeigen
    1. 13 von 35 heißt 13 · 3/5.
    2. Zähler mal Zähler: 1 · 3 = 3
    3. Nenner mal Nenner: 3 · 5 = 15
    4. Kürzen: 315 = 15
    Ergebnis:
    15
  6. ●30
    Zähle die Kästchen: Wie viele hat das Rechteck, wie viele sind grün? Schreibe den grünen Anteil als Bruch.
    Lösung zeigen
    1. Blau: 2 von 5 Zeilen, das sind 2/5.
    2. Grün: 3 von 5 Spalten der blauen Fläche, also 35 von 2/5.
    3. Kästchen: 5 · 5 = 25, davon grün 2 · 3 = 6
    4. Also: 35 · 25 ergibt 625
    Ergebnis:
    625

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Malnehmen macht nicht immer größer
Mal einer Zahl kleiner als 1 wird das Ergebnis kleiner.
Gemischte Zahl
2 3/4 heißt 2 Ganze und 3/4. Man rechnet Ganze und Brüche getrennt.
Anteil vom Anteil
3/4 von 2/3 heißt 3/4 · 2/3. Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner.
Abbrechend oder periodisch
Man kürzt und zerlegt den Nenner in Primfaktoren.
Rechengesetze nutzen
Vertauschen und Zusammenfassen ändern das Ergebnis nicht.
Die passende Schreibweise
0,75 · 36 rechnet man leichter als 3/4 von 36. Drittel und Sechstel bleiben besser Brüche.
Überschlag und Kommaregel
Erst grob rechnen, dann genau.
Rechenplan für Sachaufgaben
Erst klären, was gesucht ist.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich sage vorher, ob Malnehmen oder Teilen mit einem Bruch oder einer Dezimalzahl das Ergebnis größer oder kleiner macht.

    31
    Ohne zu rechnen: Wird 48 · 0,6 größer oder kleiner als 48? Rechne danach zur Kontrolle.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    kleiner: 28,8

  2. Ich addiere und subtrahiere gemischte Zahlen.

    32
    Rechne Ganze und Brüche getrennt und schreibe das Ergebnis als gemischte Zahl: 1 58 + 1 18
    1 5/81 1/8
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2 34

  3. Ich berechne den Anteil von einem Anteil und zeige ihn am Rechteck.

    33
    35 eines Gartens sind Beete. Auf 13 der Beetfläche wachsen Tomaten. Welcher Anteil des ganzen Gartens ist mit Tomaten bepflanzt?
    ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    15

  4. Ich unterscheide abbrechende und periodische Dezimalzahlen.

    34
    Nur einer dieser Brüche hat eine periodische Dezimalzahl: 1/6, 5/8, 12. Welcher ist es?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    16

  5. Ich rechne mit Rechengesetzen geschickt (Vertauschen, Zusammenfassen, Verteilen).

    35
    Welche zwei Zahlen nimmst du zuerst mal? Rechne dann: 8 · 3,8 · 2,5
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    76

  6. Ich wähle zwischen Bruch und Dezimalzahl die geschicktere Schreibweise.

    36
    Berechne geschickt im Kopf: 0,5 · 18. Welcher Bruch hilft dir?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    9

  7. Ich prüfe Ergebnisse mit Überschlag und Kommaregel.

    37
    Das Ergebnis von 21 : 1,5 hat die Ziffern 14. Das Komma fehlt noch. Setze es mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    14

  8. Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten mit Brüchen und Dezimalzahlen.

    38
    Für einen Vorhang braucht Frau Lang 2 34 m Stoff. 1 m kostet 9,00 €. Sie bezahlt mit einem 50-€-Schein. Wie viel Geld bekommt sie zurück?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    25,25 €

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Entscheide in 30 Sekunden ohne Rechnen: Welche Ergebnisse sind größer als 36? 36 · 1,5, 36 · 0,8, 36 : 0,5, 36 : 4, 36 · 3/4, 36 : 3/4.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Die Vorhersage vor dem Rechnen: den Faktor mit 1 vergleichen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Käse nach Gewicht, Rezepte mit Dreiviertelliter, Zeiten wie anderthalb Stunden, Rechnungen prüfen. Beruf: Materialbedarf im Handwerk, Mengen in der Küche, Kassieren und Kontrollieren im Verkauf.

Wörter

Anteil
wie viel von einem Ganzen
Bruch
ein Teil von einem Ganzen, als Zahl geschrieben
Nenner
die Zahl unten – in wie viele Teile geteilt wurde
Zähler
die Zahl oben – wie viele Teile

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Brüche und Dezimalzahlen, Dezimalzahlen, Teilbarkeit und Primzahlen

Darauf baut auf: Prozentrechnung

Lösungen

  1. größer: 100
  2. kleiner: 8
  3. 12 · 0,75 < 12 < 12 : 0,75
  4. 3 13
  5. 1 14
  6. 9 1318
  7. 325
  8. 325
  9. 16
  10. abbrechend: 0,5625
  11. abbrechend: 0,0625
  12. periodisch: 0,53333…
  13. 15
  14. 18,4
  15. 6
  16. 4 kg
  17. 42
  18. 1 512
  19. 33,97
  20. 47,2
  21. 13,335
  22. 7,00 €
  23. 5,80 €
  24. 5,40 €
  25. kleiner: 45
  26. weniger: 27 g
  27. 3 56
  28. 5 34 Stunden
  29. 15
  30. 625
  31. kleiner: 28,8
  32. 2 34
  33. 15
  34. 16
  35. 76
  36. 9
  37. 14
  38. 25,25 €
  39. 26 < 25
  40. 30 min