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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

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Brüche und Dezimalzahlen vernetzen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Entscheide in 30 Sekunden ohne Rechnen: Welche Ergebnisse sind größer als 36? 36 · 1,5, 36 · 0,8, 36 : 0,5, 36 : 4, 36 · 3/4, 36 : 3/4.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die Stimmen gehen auseinander. Viele halten jedes Malnehmen für größer und jedes Teilen für kleiner, und bei 36 : 0,5 streiten sich die Gruppen. Rechnen dauert zu lange. Ihr braucht nur eine Frage: Ist die zweite Zahl größer oder kleiner als 1? Mal etwas unter 1 nimmt nur einen Teil, geteilt durch etwas unter 1 passt öfter hinein.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Ein Bruch ist ein Anteil und zugleich eine Zahl – derselbe Wert wie eine Dezimalzahl.

  1. ●39
    Welcher Bruch ist größer: 37 oder 38? Begründe.
    Lösung zeigen
    1. Gleichnamig machen: 2456 und 2156
    2. 37 > 38
    Ergebnis:
    37 > 38
  2. ●40
    Berechne 58 von 160 l.
    Lösung zeigen
    1. 160 : 8 = 20
    2. 20 · 5 = 100
    Ergebnis:
    100 l

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenMal heißt nehmen, nicht vermehren

Mal einer Zahl heißt: so viel davon nehmen. 0,8 · 24 nimmt nur einen Teil von 24, 1,5 · 24 mehr als 24. Geteilt fragt, wie oft etwas hineinpasst – 0,5 passt öfter in 24 als 1.

Zahlenstrahl: 0,8 mal 24 liegt links von 24, 1,5 mal 24 rechts davon0816243240240,8 · 241,5 · 24Mal weniger als 1 nimmt nur einen Teil

WeiterdenkenDenk nach

Kann ein Produkt kleiner sein als beide Zahlen, die man malnimmt? Wann passiert das, und warum?

1Ich sage vorher, ob Malnehmen oder Teilen mit einem Bruch oder einer Dezimalzahl das Ergebnis größer oder kleiner macht.

EntdeckenFrage

Warum zeigt ein Taschenrechner für 1 : 3 nie ein genaues Ergebnis?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil die Division nie aufgeht: Es bleibt immer ein Rest von 1, und die 3 wiederholt sich ohne Ende. Der Rechner hat nur acht bis zehn Stellen und schneidet ab. Wer danach mal 3 rechnet, sieht auf einfachen Rechnern 0,9999999 statt 1.

MerkenMalnehmen macht nicht immer größer

Mal einer Zahl kleiner als 1 wird das Ergebnis kleiner.

Geteilt durch eine Zahl kleiner als 1 wird es größer. Erst vorhersagen, dann rechnen.

BeispielGrößer oder kleiner? Vorhersagen vor dem Rechnen

Entscheide zuerst, dann rechne: Ist das Ergebnis von 24 : 12 mehr oder weniger als 24?
Schritt für Schritt
  1. 12 ist kleiner als 1. 12 passt öfter als 24-mal in 24: größer.
  2. Kontrolle: mit dem Kehrbruch: 24 · 21 = 48
  1. 12 ist kleiner als 1. 12 passt öfter als 24-mal in 24: größer.
  2. Kontrolle: mit dem Kehrbruch: 24 · 21 = 48
Ergebnis:
größer: 48

AchtungMalnehmen macht immer größer

So nicht
24 · 0,8 > 24, also 28,8
So richtig
24 · 0,8 < 24, denn 0,8 < 1 → 24 · 0,8 = 19,2

Den Faktor mit 1 vergleichen: Mal einer Zahl kleiner als 1 wird es kleiner, geteilt durch sie größer.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Ohne zu rechnen: Wird 30 : 25 größer oder kleiner als 30? Rechne danach zur Kontrolle.
    So fängst du an:
    25 ist kleiner als 1. 25 passt öfter als 30-mal in 30: größer.
    Lösung zeigen
    1. 25 ist kleiner als 1. 25 passt öfter als 30-mal in 30: größer.
    2. Kontrolle: mit dem Kehrbruch: 30 · 52 = 75
    Ergebnis:
    größer: 75
  2. ●2
    Ohne zu rechnen: Wird 30 · 0,8 größer oder kleiner als 30? Rechne danach zur Kontrolle.
    Lösung zeigen
    1. 0,8 ist kleiner als 1. Mal 0,8 nimmt nur einen Teil von 30: kleiner.
    2. Kontrolle: 30 · 0,8 = 24
    Ergebnis:
    kleiner: 24
  3. ★3
    Ordne ohne zu rechnen der Größe nach: 24, 24 : 0,75 und 24 · 0,75. Beginne mit der kleinsten Zahl.
    Lösung zeigen
    1. 0,75 ist kleiner als 1.
    2. Mal 0,75 nimmt nur einen Teil von 24: kleiner als 24.
    3. Geteilt durch 0,75: 0,75 passt öfter als 24-mal hinein, also größer.
    4. Kontrolle: 24 · 0,75 = 18 und 24 : 0,75 = 32
    Ergebnis:
    24 · 0,75 < 24 < 24 : 0,75

2Ich addiere und subtrahiere gemischte Zahlen.

EntdeckenFrage

Warum tauchen bei 1/7, 2/7 und 3/7 immer dieselben sechs Ziffern auf?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

1/7 ist 0,142857…, 2/7 ist 0,285714… und 3/7 ist 0,428571… – dieselben sechs Ziffern, nur an einer anderen Stelle begonnen. Beim Teilen durch 7 können nur die Reste 1 bis 6 vorkommen, und alle Siebtel laufen durch denselben Kreis von Resten.

MerkenGemischte Zahl

2 3/4 heißt 2 Ganze und 3/4. Man rechnet Ganze und Brüche getrennt.

Reicht der Bruch beim Subtrahieren nicht, tauscht man ein Ganzes in Bruchteile.

BeispielGemischte Zahlen addieren und subtrahieren

Rechne Ganze und Brüche getrennt und schreibe das Ergebnis als gemischte Zahl: 3 23 − 13
Schritt für Schritt
  1. Ganze: 3 − 0 = 3
  2. Brüche: 23 − 13 gibt 13
  3. Zusammen: 3 13
  1. Ganze: 3 − 0 = 3
  2. Brüche: 23 − 13 gibt 13
  3. Zusammen: 3 13
Ergebnis:
3 13

AchtungBeim Subtrahieren gemischter Zahlen nicht getauscht

So nicht
5 1/4 − 2 3/4 → 3 2/4 (3/4 − 1/4 gerechnet)
So richtig
5 1/4 − 2 3/4 → 4 5/4 − 2 3/4 → 2 2/4 → 2 1/2

Reicht der Bruch nicht, ein Ganzes in Bruchteile tauschen – nicht einfach die Brüche umdrehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Rechne Ganze und Brüche getrennt und schreibe das Ergebnis als gemischte Zahl: 1 12 + 4 14
    1 1/24 1/4
    So fängst du an:
    Gleicher Nenner 4: 1 24 + 4 14
    Lösung zeigen
    1. Gleicher Nenner 4: 1 24 + 4 14
    2. Ganze: 1 + 4 = 5
    3. Brüche: 24 und 14 geben 3/4.
    4. Zusammen: 5 34
    Ergebnis:
    5 34
  2. ●5
    Welche gemischte Zahl kommt heraus? 5 12 − 2 14 Kürze, wenn es geht.
    5 1/22 1/4
    Lösung zeigen
    1. Gleicher Nenner 4: 5 24 − 2 14
    2. Ganze: 5 − 2 = 3
    3. Brüche: 24 − 14 gibt 14
    4. Zusammen: 3 14
    Ergebnis:
    3 14
  3. ★6
    Berechne: 6 25 − 1 12
    6 2/51 1/2
    Lösung zeigen
    1. Gleicher Nenner 10: 6 410 − 1 510
    2. 410 ist weniger als 510: 1 Ganzes in 1010 tauschen.
    3. 6 410 wird zu 5 und 14/10.
    4. Ganze: 5 − 1 = 4, Brüche: 1410 − 510 gibt 910
    5. Zusammen: 4 910
    Ergebnis:
    4 910

3Ich berechne den Anteil von einem Anteil und zeige ihn am Rechteck.

EntdeckenFrage

Warum ist eine Dreiviertelstunde 45 Minuten und nicht 75 Minuten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. 3/4 von 60 Minuten sind 45 Minuten. Genauso sind 1,5 Stunden 90 Minuten und nicht 1 Stunde 50 Minuten – die Zeit rechnet nicht im Zehnersystem.

MerkenAnteil vom Anteil

3/4 von 2/3 heißt 3/4 · 2/3. Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner.

Am Rechteck ist das Ergebnis die doppelt gefärbte Fläche.

BeispielAnteil von einem Anteil

Berechne 34 von 14 und zeige es am Rechteck. Färbe zuerst 1/4, dann davon 3/4.
?
Schritt für Schritt
  1. 34 von 14 heißt 34 · 1/4.
  2. Zähler mal Zähler: 3 · 1 = 3
  3. Nenner mal Nenner: 4 · 4 = 16
  4. Also: 316
  1. 34 von 14 heißt 34 · 1/4.
  2. Zähler mal Zähler: 3 · 1 = 3
  3. Nenner mal Nenner: 4 · 4 = 16
  4. Also: 316
Ergebnis:
316

AchtungAnteil vom Anteil addiert statt malgenommen

So nicht
3/4 von 2/3 → 3/4 + 2/3 = 17/12
So richtig
3/4 von 2/3 → 3/4 · 2/3 = 6/12 = 1/2

„Von“ heißt mal: 3/4 von 2/3 ist 3/4 · 2/3. Am Rechteck ist es die doppelt gefärbte Fläche.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    35 eines Gartens sind Beete. Auf 25 der Beetfläche wachsen Tomaten. Welcher Anteil des ganzen Gartens ist mit Tomaten bepflanzt?
    ?
    So fängst du an:
    25 von 35 heißt 25 · 3/5.
    Lösung zeigen
    1. 25 von 35 heißt 25 · 3/5.
    2. Zähler mal Zähler: 2 · 3 = 6
    3. Nenner mal Nenner: 5 · 5 = 25
    4. Also: 625
    Ergebnis:
    625
  2. ●8
    Berechne 25 von 14 und zeige es am Rechteck. Färbe zuerst 1/4, dann davon 2/5.
    ?
    Lösung zeigen
    1. 25 von 14 heißt 25 · 1/4.
    2. Zähler mal Zähler: 2 · 1 = 2
    3. Nenner mal Nenner: 5 · 4 = 20
    4. Kürzen: 220 = 110
    Ergebnis:
    110
  3. ★9
    14 eines Gartens sind Beete. Auf 12 der Beetfläche wachsen Tomaten. Welcher Anteil des ganzen Gartens ist mit Tomaten bepflanzt?
    ?
    Lösung zeigen
    1. 12 von 14 heißt 12 · 1/4.
    2. Zähler mal Zähler: 1 · 1 = 1
    3. Nenner mal Nenner: 2 · 4 = 8
    4. Also: 18
    Ergebnis:
    18

4Ich unterscheide abbrechende und periodische Dezimalzahlen.

EntdeckenFrage

Wie viele Achtelnoten passen in einen Takt, der 4/4 heißt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Acht. Ein 4/4-Takt hat vier Viertel, und jedes Viertel sind zwei Achtel. Musiker rechnen dauernd mit Brüchen: Eine halbe Note und zwei Viertel füllen den Takt genauso wie acht Achtel.

MerkenAbbrechend oder periodisch

Man kürzt und zerlegt den Nenner in Primfaktoren.

Kommen nur 2 und 5 vor, bricht die Dezimalzahl ab. Sonst wiederholen sich Ziffern ohne Ende: 1/3 ergibt 0,333…

BeispielAbbrechend oder periodisch?

Nur einer dieser Brüche hat eine abbrechende Dezimalzahl: 5/9, 4/11, 15. Welcher ist es?
Schritt für Schritt
  1. 59 → 0,55555…, periodisch
  2. 411 → 0,363636…, periodisch
  3. 15 → 0,2, abbrechend
  1. 59 → 0,55555…, periodisch
  2. 411 → 0,363636…, periodisch
  3. 15 → 0,2, abbrechend
Ergebnis:
15

AchtungNenner nicht gekürzt oder Periode abgeschnitten

So nicht
3/12: Nenner 12 hat den Faktor 3 → periodisch
So richtig
3/12 = 1/4, Nenner 4 = 2 · 2 → abbrechend: 0,25

Erst kürzen, dann den Nenner prüfen. 0,33 ist gerundet und nicht dasselbe wie 1/3.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Wandle 1415 in eine Dezimalzahl um. Bricht sie ab, oder wiederholen sich die Ziffern ohne Ende?
    So fängst du an:
    Nenner 15 in Primfaktoren: 3 · 5
    Lösung zeigen
    1. Nenner 15 in Primfaktoren: 3 · 5
    2. Ein anderer Faktor als 2 und 5 steckt darin: periodisch.
    3. Kontrolle: 14 : 15 → 0,93333…
    Ergebnis:
    periodisch: 0,93333…
  2. ●11
    Nur einer dieser Brüche hat eine abbrechende Dezimalzahl: 8/11, 2/3, 25. Welcher ist es?
    Lösung zeigen
    1. 811 → 0,727272…, periodisch
    2. 23 → 0,66666…, periodisch
    3. 25 → 0,4, abbrechend
    Ergebnis:
    25
  3. ★12
    Wandle 46 in eine Dezimalzahl um. Bricht sie ab, oder wiederholen sich die Ziffern ohne Ende?
    Lösung zeigen
    1. Erst kürzen: 46 = 23
    2. Der Nenner 3 ist eine Primzahl.
    3. Ein anderer Faktor als 2 und 5 steckt darin: periodisch.
    4. Kontrolle: 2 : 3 → 0,66666…
    Ergebnis:
    periodisch: 0,66666…

5Ich rechne mit Rechengesetzen geschickt (Vertauschen, Zusammenfassen, Verteilen).

EntdeckenFrage

Wie oft kann man ein Blatt Papier in der Mitte falten – und welcher Teil ist dann noch eine Lage?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Jedes Falten nimmt die Hälfte der Hälfte: nach 3 Faltungen 1/8, nach 7 Faltungen 1/128. Die Schülerin Britney Gallivan hat 2002 ein sehr langes Papier zwölfmal gefaltet – dafür brauchte sie über einen Kilometer Papier.

MerkenRechengesetze nutzen

Vertauschen und Zusammenfassen ändern das Ergebnis nicht.

So wird aus 0,25 · 7 · 4 geschickt 0,25 · 4 · 7 = 7. Gleiche Faktoren klammert man aus: 7 · 1,5 + 3 · 1,5 = 10 · 1,5.

BeispielGeschickt rechnen mit Rechengesetzen

Rechne geschickt: 6,6 + 6,3 + 0,4 + 0,7
Schritt für Schritt
  1. Umordnen: 6,6 + 0,4 + 6,3 + 0,7
  2. 6,6 + 0,4 = 7
  3. 6,3 + 0,7 = 7
  4. 7 + 7 = 14
  1. Umordnen: 6,6 + 0,4 + 6,3 + 0,7
  2. 6,6 + 0,4 = 7
  3. 6,3 + 0,7 = 7
  4. 7 + 7 = 14
Ergebnis:
14

AchtungKomma nach Gefühl gesetzt

So nicht
3,8 · 2,45 → 93,1 (Komma nach Gefühl)
So richtig
3,8 · 2,45 ≈ 4 · 2 = 8 → 9,31

Erst überschlagen, dann die Stellen nach dem Komma zählen. Beide müssen zum Ergebnis passen.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Rechne geschickt: 6,3 + 2,7 + 0,7 + 0,3
    So fängst du an:
    Umordnen: 6,3 + 0,7 + 2,7 + 0,3
    Lösung zeigen
    1. Umordnen: 6,3 + 0,7 + 2,7 + 0,3
    2. 6,3 + 0,7 = 7
    3. 2,7 + 0,3 = 3
    4. 7 + 3 = 10
    Ergebnis:
    10
  2. ●14
    Rechne geschickt: 8 · 0,6 + 2 · 0,6
    820,6
    Lösung zeigen
    1. Beide Male wird mit 0,6 malgenommen.
    2. Erst 8 + 2 = 10
    3. 10 · 0,6 = 6
    Ergebnis:
    6
  3. ★15
    Rechne geschickt, ohne schriftlich zu multiplizieren: 3,5 · 99
    Lösung zeigen
    1. 99 ist 100 − 1.
    2. 3,5 · 100 = 350
    3. 350 − 3,5 = 346,5
    Ergebnis:
    346,5

6Ich wähle zwischen Bruch und Dezimalzahl die geschicktere Schreibweise.

EntdeckenFrage

Wie hat der junge Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 so schnell addiert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat nicht der Reihe nach gerechnet, sondern geschickt zusammengefasst: 1 + 100, 2 + 99, 3 + 98 und so weiter ergeben jedes Mal 101, und das 50-mal. Das sind 5050. Vertauschen und Zusammenfassen ändern das Ergebnis nicht – aber die Arbeit.

MerkenDie passende Schreibweise

0,75 · 36 rechnet man leichter als 3/4 von 36. Drittel und Sechstel bleiben besser Brüche.

Zum Vergleichen wandelt man alles in dieselbe Schreibweise um.

BeispielBruch oder Dezimalzahl: geschickt wählen

Berechne 4,9 + 12. Welche Schreibweise ist hier geschickter?
Schritt für Schritt
  1. 12 = 0,5
  2. Beide als Dezimalzahl – dann Komma unter Komma.
  3. 4,9 + 0,5 = 5,4
  1. 12 = 0,5
  2. Beide als Dezimalzahl – dann Komma unter Komma.
  3. 4,9 + 0,5 = 5,4
Ergebnis:
5,4

AchtungAnteil umgedreht

So nicht
2/5 von 100 = 250
So richtig
2/5 von 100 = 100 : 5 · 2 = 40

Teile durch den Nenner. Nimm dann mal den Zähler.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Berechne 13 von 3,3 kg. Rechnest du mit dem Bruch oder mit einer Dezimalzahl?
    So fängst du an:
    13 als Dezimalzahl hat Ziffern ohne Ende – ungünstig.
    Lösung zeigen
    1. 13 als Dezimalzahl hat Ziffern ohne Ende – ungünstig.
    2. Mit dem Bruch: 3,3 : 3 · 1 = 1,1
    Ergebnis:
    1,1 kg
  2. ●17
    Berechne geschickt im Kopf: 0,5 · 18. Welcher Bruch hilft dir?
    Lösung zeigen
    1. 0,5 ist dasselbe wie 1/2.
    2. 12 von 18: 18 : 2 · 1 = 9
    Ergebnis:
    9
  3. ★18
    Berechne 16 von 3 kg. Rechnest du mit dem Bruch oder mit einer Dezimalzahl?
    Lösung zeigen
    1. 16 als Dezimalzahl hat Ziffern ohne Ende – ungünstig.
    2. Mit dem Bruch: 3 : 6 · 1 = 0,5
    Ergebnis:
    0,5 kg

7Ich prüfe Ergebnisse mit Überschlag und Kommaregel.

EntdeckenFrage

Warum stehen an der Tankstelle Preise wie 1,799 Euro – mit drei Stellen nach dem Komma?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Kraftstoffpreise werden in Deutschland in Zehntelcent angegeben. Erst beim Bezahlen wird auf ganze Cent gerundet. Wer 40 Liter tankt, merkt den Unterschied von 0,001 Euro je Liter kaum – bei Millionen Litern macht er viel Geld aus.

MerkenÜberschlag und Kommaregel

Erst grob rechnen, dann genau.

So ist 3,8 · 2,45 ungefähr 4 · 2 = 8. Beim Malnehmen hat das Ergebnis so viele Nachkommastellen wie beide Zahlen zusammen.

BeispielKomma setzen mit Überschlag und Kommaregel

Beim Abschreiben ist das Komma verloren gegangen: 8,3 · 9 ergibt die Ziffern 747. Setze das Komma richtig.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 8 · 9 = 72
  2. Kommaregel: eine Stelle und keine Stelle nach dem Komma, zusammen eine Stelle.
  3. 747 mit eine Stelle nach dem Komma: 74,7
  1. Überschlag: 8 · 9 = 72
  2. Kommaregel: eine Stelle und keine Stelle nach dem Komma, zusammen eine Stelle.
  3. 747 mit eine Stelle nach dem Komma: 74,7
Ergebnis:
74,7

AchtungNachkommastellen beim Mal falsch gezählt

So nicht
0,3 · 0,2 = 0,6
So richtig
0,3 · 0,2 = 0,06

Zähl die Stellen nach dem Komma in beiden Zahlen zusammen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welches Ergebnis kann für 4,1 · 5 stimmen: 205, 2,05, 20,5? Entscheide ohne genau zu rechnen.
    So fängst du an:
    Überschlag: 4 · 5 = 20
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 4 · 5 = 20
    2. Am nächsten daran liegt 20,5.
    3. Kommaregel zur Kontrolle: eine Stelle nach dem Komma.
    Ergebnis:
    20,5
  2. ●20
    Welches Ergebnis kann für 4,6 · 1,1 stimmen: 5,06, 0,506, 50,6? Entscheide ohne genau zu rechnen.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 5 · 1 = 5
    2. Am nächsten daran liegt 5,06.
    3. Kommaregel zur Kontrolle: 2 Stellen nach dem Komma.
    Ergebnis:
    5,06
  3. ★21
    Beim Abschreiben ist das Komma verloren gegangen: 6,9 · 0,16 ergibt die Ziffern 1104. Setze das Komma richtig.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 7 · 0,2 = 1,4
    2. Kommaregel: eine Stelle und 2 Stellen nach dem Komma, zusammen 3 Stellen.
    3. 1104 mit 3 Stellen nach dem Komma: 1,104
    Ergebnis:
    1,104

8Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten mit Brüchen und Dezimalzahlen.

EntdeckenFrage

Wie viele Kilometer fehlen einer Marathonläuferin noch, wenn sie drei Viertel der Strecke geschafft hat?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Marathon ist 42,195 km lang. Drei Viertel davon sind 42,195 · 3 : 4 = 31,646 km, gerundet. Es fehlen 42,195 − 31,646 = 10,549 km, also gut 10,5 km. Schneller geht es mit dem fehlenden Viertel: 42,195 : 4.

MerkenRechenplan für Sachaufgaben

Erst klären, was gesucht ist.

Dann einen Plan in Schritten machen: Was rechne ich zuerst, was danach? Am Ende mit einem Überschlag prüfen und einen Antwortsatz schreiben.

BeispielMehrschrittige Sachaufgaben mit Brüchen und Dezimalzahlen

Für einen Vorhang braucht Frau Lang 2 12 m Stoff. 1 m kostet 9,00 €. Sie bezahlt mit einem 50-€-Schein. Wie viel Geld bekommt sie zurück?
Schritt für Schritt
  1. Plan: erst den Preis für den Stoff, dann das Rückgeld.
  2. 2 12 m sind 2,5 m.
  3. 9 · 2,5 = 22,5
  4. 50 − 22,5 = 27,5
  1. Plan: erst den Preis für den Stoff, dann das Rückgeld.
  2. 2 12 m sind 2,5 m.
  3. 9 · 2,5 = 22,5
  4. 50 − 22,5 = 27,5
Ergebnis:
27,50 €

AchtungNoch einmal: Komma nach Gefühl gesetzt

So nicht
3,8 · 2,45 → 93,1 (Komma nach Gefühl)
So richtig
3,8 · 2,45 ≈ 4 · 2 = 8 → 9,31

Erst überschlagen, dann die Stellen nach dem Komma zählen. Beide müssen zum Ergebnis passen.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Für 4 Personen braucht man 1 12 kg Kartoffeln. Es kochen aber 8 Personen. 1 kg Kartoffeln kostet 3,20 €. Was kosten die Kartoffeln?
    So fängst du an:
    Plan: erst die Menge für 8 Personen, dann der Preis.
    Lösung zeigen
    1. Plan: erst die Menge für 8 Personen, dann der Preis.
    2. 1 12 kg sind 1,5 kg.
    3. 1,5 : 4 · 8 = 3
    4. 3 · 3,2 = 9,6
    Ergebnis:
    9,60 €
  2. ●23
    Ein Aquarium fasst 60 Liter. Es ist zu 12 gefüllt. Tim gießt Wasser mit einem Eimer nach, der 5 Liter fasst. Wie viele Eimer braucht er, bis das Aquarium voll ist?
    Lösung zeigen
    1. Plan: erst was drin ist, dann was fehlt, dann die Eimer.
    2. 12 von 60: 60 : 2 · 1 = 30
    3. Es fehlen 60 − 30 = 30
    4. 30 : 5 = 6
    Ergebnis:
    6 Eimer
  3. ★24
    Für 4 Personen braucht man 12 kg Kartoffeln. Es kochen aber 8 Personen. 1 kg Kartoffeln kostet 2,40 €. Was kosten die Kartoffeln?
    Lösung zeigen
    1. Plan: erst die Menge für 8 Personen, dann der Preis.
    2. 12 kg sind 0,5 kg.
    3. 0,5 : 4 · 8 = 1
    4. 1 · 2,4 = 2,4
    Ergebnis:
    2,40 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Ohne zu rechnen: Wird 20 · 0,4 größer oder kleiner als 20? Rechne danach zur Kontrolle.
    Lösung zeigen
    1. 0,4 ist kleiner als 1. Mal 0,4 nimmt nur einen Teil von 20: kleiner.
    2. Kontrolle: 20 · 0,4 = 8
    Ergebnis:
    kleiner: 8
  2. ●26
    Ein Beutel hat 108 g Mehl. Oma braucht 34 davon. Mehr oder weniger als 108 g? Wie viel genau?
    Lösung zeigen
    1. 34 ist kleiner als 1, also braucht Oma weniger als 108 g.
    2. 108 · 34 = 81
    Ergebnis:
    weniger: 81 g
  3. ●27
    Welche gemischte Zahl kommt heraus? 3 56 − 16 Kürze, wenn es geht.
    Lösung zeigen
    1. Ganze: 3 − 0 = 3
    2. Brüche: 56 − 16 gibt 46
    3. Zusammen: 3 23
    Ergebnis:
    3 23
  4. ●28
    In einem Kanister sind 5 34 Liter Wasser. Beim Blumengießen werden 3 58 Liter verbraucht. Wie viel Wasser bleibt im Kanister?
    5 3/43 5/8
    Lösung zeigen
    1. Rechnung: 5 34 − 3 58
    2. Gleicher Nenner 8: 5 68 − 3 58
    3. Ganze: 5 − 3 = 2
    4. Brüche: 68 − 58 gibt 18
    5. Zusammen: 2 18
    Ergebnis:
    2 18 Liter
  5. ●29
    34 eines Gartens sind Beete. Auf 25 der Beetfläche wachsen Tomaten. Welcher Anteil des ganzen Gartens ist mit Tomaten bepflanzt?
    ?
    Lösung zeigen
    1. 25 von 34 heißt 25 · 3/4.
    2. Zähler mal Zähler: 2 · 3 = 6
    3. Nenner mal Nenner: 5 · 4 = 20
    4. Kürzen: 620 = 310
    Ergebnis:
    310
  6. ●30
    Zähle die Kästchen: Wie viele hat das Rechteck, wie viele sind grün? Schreibe den grünen Anteil als Bruch.
    Lösung zeigen
    1. Blau: 2 von 5 Zeilen, das sind 2/5.
    2. Grün: 2 von 3 Spalten der blauen Fläche, also 23 von 2/5.
    3. Kästchen: 5 · 3 = 15, davon grün 2 · 2 = 4
    4. Also: 23 · 25 ergibt 415
    Ergebnis:
    415

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Malnehmen macht nicht immer größer
Mal einer Zahl kleiner als 1 wird das Ergebnis kleiner.
Gemischte Zahl
2 3/4 heißt 2 Ganze und 3/4. Man rechnet Ganze und Brüche getrennt.
Anteil vom Anteil
3/4 von 2/3 heißt 3/4 · 2/3. Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner.
Abbrechend oder periodisch
Man kürzt und zerlegt den Nenner in Primfaktoren.
Rechengesetze nutzen
Vertauschen und Zusammenfassen ändern das Ergebnis nicht.
Die passende Schreibweise
0,75 · 36 rechnet man leichter als 3/4 von 36. Drittel und Sechstel bleiben besser Brüche.
Überschlag und Kommaregel
Erst grob rechnen, dann genau.
Rechenplan für Sachaufgaben
Erst klären, was gesucht ist.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich sage vorher, ob Malnehmen oder Teilen mit einem Bruch oder einer Dezimalzahl das Ergebnis größer oder kleiner macht.

    31
    Tim sagt: „24 · 34 ist mehr als 24, denn mal macht größer.“ Stimmt das?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    kleiner: 18

  2. Ich addiere und subtrahiere gemischte Zahlen.

    32
    Berechne: 1 14 + 3 14
    1 1/43 1/4
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    4 12

  3. Ich berechne den Anteil von einem Anteil und zeige ihn am Rechteck.

    33
    Von einer Tafel Schokolade ist noch 23 übrig. Ben isst 34 davon. Welchen Anteil der ganzen Tafel isst Ben?
    ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    12

  4. Ich unterscheide abbrechende und periodische Dezimalzahlen.

    34
    Bricht die Dezimalzahl zu 516 ab, oder ist sie periodisch? Entscheide mit dem Nenner, bevor du teilst.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    abbrechend

  5. Ich rechne mit Rechengesetzen geschickt (Vertauschen, Zusammenfassen, Verteilen).

    35
    Rechne geschickt: 3,6 + 6,7 + 0,4 + 0,3
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    11

  6. Ich wähle zwischen Bruch und Dezimalzahl die geschicktere Schreibweise.

    36
    Berechne 23 von 1,2 kg. Rechnest du mit dem Bruch oder mit einer Dezimalzahl?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    0,8 kg

  7. Ich prüfe Ergebnisse mit Überschlag und Kommaregel.

    37
    Beim Abschreiben ist das Komma verloren gegangen: 1,9 · 2 ergibt die Ziffern 38. Setze das Komma richtig.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    3,8

  8. Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten mit Brüchen und Dezimalzahlen.

    38
    Mia hat 35,00 € gespart. Sie gibt 25 davon für ein Buch aus und danach 9,20 € für das Kino. Wie viel Geld hat Mia danach noch?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    11,80 €

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Entscheide in 30 Sekunden ohne Rechnen: Welche Ergebnisse sind größer als 36? 36 · 1,5, 36 · 0,8, 36 : 0,5, 36 : 4, 36 · 3/4, 36 : 3/4.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Die Vorhersage vor dem Rechnen: den Faktor mit 1 vergleichen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Käse nach Gewicht, Rezepte mit Dreiviertelliter, Zeiten wie anderthalb Stunden, Rechnungen prüfen. Beruf: Materialbedarf im Handwerk, Mengen in der Küche, Kassieren und Kontrollieren im Verkauf.

Wörter

Anteil
wie viel von einem Ganzen
Bruch
ein Teil von einem Ganzen, als Zahl geschrieben
Nenner
die Zahl unten – in wie viele Teile geteilt wurde
Zähler
die Zahl oben – wie viele Teile

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Brüche und Dezimalzahlen, Dezimalzahlen, Teilbarkeit und Primzahlen

Darauf baut auf: Prozentrechnung

Lösungen

  1. größer: 75
  2. kleiner: 24
  3. 24 · 0,75 < 24 < 24 : 0,75
  4. 5 34
  5. 3 14
  6. 4 910
  7. 625
  8. 110
  9. 18
  10. periodisch: 0,93333…
  11. 25
  12. periodisch: 0,66666…
  13. 10
  14. 6
  15. 346,5
  16. 1,1 kg
  17. 9
  18. 0,5 kg
  19. 20,5
  20. 5,06
  21. 1,104
  22. 9,60 €
  23. 6 Eimer
  24. 2,40 €
  25. kleiner: 8
  26. weniger: 81 g
  27. 3 23
  28. 2 18 Liter
  29. 310
  30. 415
  31. kleiner: 18
  32. 4 12
  33. 12
  34. abbrechend
  35. 11
  36. 0,8 kg
  37. 3,8
  38. 11,80 €
  39. 37 > 38
  40. 100 l