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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

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Brüche und Dezimalzahlen vernetzen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Entscheide in 30 Sekunden ohne Rechnen: Welche Ergebnisse sind größer als 36? 36 · 1,5, 36 · 0,8, 36 : 0,5, 36 : 4, 36 · 3/4, 36 : 3/4.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die Stimmen gehen auseinander. Viele halten jedes Malnehmen für größer und jedes Teilen für kleiner, und bei 36 : 0,5 streiten sich die Gruppen. Rechnen dauert zu lange. Ihr braucht nur eine Frage: Ist die zweite Zahl größer oder kleiner als 1? Mal etwas unter 1 nimmt nur einen Teil, geteilt durch etwas unter 1 passt öfter hinein.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Ein Bruch ist ein Anteil und zugleich eine Zahl – derselbe Wert wie eine Dezimalzahl.

  1. ●39
    Welcher Bruch ist größer: 56 oder 59? Begründe.
    Lösung zeigen
    1. Gleichnamig machen: 4554 und 3054
    2. 56 > 59
    Ergebnis:
    56 > 59
  2. ●40
    Berechne 23 von 30 min.
    Lösung zeigen
    1. 30 : 3 = 10
    2. 10 · 2 = 20
    Ergebnis:
    20 min

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenMal heißt nehmen, nicht vermehren

Mal einer Zahl heißt: so viel davon nehmen. 0,8 · 24 nimmt nur einen Teil von 24, 1,5 · 24 mehr als 24. Geteilt fragt, wie oft etwas hineinpasst – 0,5 passt öfter in 24 als 1.

Zahlenstrahl: 0,8 mal 24 liegt links von 24, 1,5 mal 24 rechts davon0816243240240,8 · 241,5 · 24Mal weniger als 1 nimmt nur einen Teil

WeiterdenkenDenk nach

Kann ein Produkt kleiner sein als beide Zahlen, die man malnimmt? Wann passiert das, und warum?

1Ich sage vorher, ob Malnehmen oder Teilen mit einem Bruch oder einer Dezimalzahl das Ergebnis größer oder kleiner macht.

EntdeckenFrage

Warum zeigt ein Taschenrechner für 1 : 3 nie ein genaues Ergebnis?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil die Division nie aufgeht: Es bleibt immer ein Rest von 1, und die 3 wiederholt sich ohne Ende. Der Rechner hat nur acht bis zehn Stellen und schneidet ab. Wer danach mal 3 rechnet, sieht auf einfachen Rechnern 0,9999999 statt 1.

MerkenMalnehmen macht nicht immer größer

Mal einer Zahl kleiner als 1 wird das Ergebnis kleiner.

Geteilt durch eine Zahl kleiner als 1 wird es größer. Erst vorhersagen, dann rechnen.

BeispielGrößer oder kleiner? Vorhersagen vor dem Rechnen

Entscheide zuerst, dann rechne: Ist das Ergebnis von 60 · 0,6 mehr oder weniger als 60?
Schritt für Schritt
  1. 0,6 ist kleiner als 1. Mal 0,6 nimmt nur einen Teil von 60: kleiner.
  2. Kontrolle: 60 · 0,6 = 36
  1. 0,6 ist kleiner als 1. Mal 0,6 nimmt nur einen Teil von 60: kleiner.
  2. Kontrolle: 60 · 0,6 = 36
Ergebnis:
kleiner: 36

AchtungMalnehmen macht immer größer

So nicht
24 · 0,8 > 24, also 28,8
So richtig
24 · 0,8 < 24, denn 0,8 < 1 → 24 · 0,8 = 19,2

Den Faktor mit 1 vergleichen: Mal einer Zahl kleiner als 1 wird es kleiner, geteilt durch sie größer.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Entscheide zuerst, dann rechne: Ist das Ergebnis von 40 · 14 mehr oder weniger als 40?
    So fängst du an:
    14 ist kleiner als 1. Mal 14 nimmt nur einen Teil von 40: kleiner.
    Lösung zeigen
    1. 14 ist kleiner als 1. Mal 14 nimmt nur einen Teil von 40: kleiner.
    2. Kontrolle: 40 · 14 = 10
    Ergebnis:
    kleiner: 10
  2. ●2
    Ohne zu rechnen: Wird 36 · 0,25 größer oder kleiner als 36? Rechne danach zur Kontrolle.
    Lösung zeigen
    1. 0,25 ist kleiner als 1. Mal 0,25 nimmt nur einen Teil von 36: kleiner.
    2. Kontrolle: 36 · 0,25 = 9
    Ergebnis:
    kleiner: 9
  3. ★3
    Ordne ohne zu rechnen der Größe nach: 20 · 0,5, 20 : 0,5 und 20. Beginne mit der kleinsten Zahl.
    Lösung zeigen
    1. 0,5 ist kleiner als 1.
    2. Mal 0,5 nimmt nur einen Teil von 20: kleiner als 20.
    3. Geteilt durch 0,5: 0,5 passt öfter als 20-mal hinein, also größer.
    4. Kontrolle: 20 · 0,5 = 10 und 20 : 0,5 = 40
    Ergebnis:
    20 · 0,5 < 20 < 20 : 0,5

2Ich addiere und subtrahiere gemischte Zahlen.

EntdeckenFrage

Warum tauchen bei 1/7, 2/7 und 3/7 immer dieselben sechs Ziffern auf?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

1/7 ist 0,142857…, 2/7 ist 0,285714… und 3/7 ist 0,428571… – dieselben sechs Ziffern, nur an einer anderen Stelle begonnen. Beim Teilen durch 7 können nur die Reste 1 bis 6 vorkommen, und alle Siebtel laufen durch denselben Kreis von Resten.

MerkenGemischte Zahl

2 3/4 heißt 2 Ganze und 3/4. Man rechnet Ganze und Brüche getrennt.

Reicht der Bruch beim Subtrahieren nicht, tauscht man ein Ganzes in Bruchteile.

BeispielGemischte Zahlen addieren und subtrahieren

Welche gemischte Zahl kommt heraus? 5 34 + 18 Kürze, wenn es geht.
Schritt für Schritt
  1. Gleicher Nenner 8: 5 68 + 18
  2. Ganze: 5 + 0 = 5
  3. Brüche: 68 und 18 geben 7/8.
  4. Zusammen: 5 78
  1. Gleicher Nenner 8: 5 68 + 18
  2. Ganze: 5 + 0 = 5
  3. Brüche: 68 und 18 geben 7/8.
  4. Zusammen: 5 78
Ergebnis:
5 78

AchtungBeim Subtrahieren gemischter Zahlen nicht getauscht

So nicht
5 1/4 − 2 3/4 → 3 2/4 (3/4 − 1/4 gerechnet)
So richtig
5 1/4 − 2 3/4 → 4 5/4 − 2 3/4 → 2 2/4 → 2 1/2

Reicht der Bruch nicht, ein Ganzes in Bruchteile tauschen – nicht einfach die Brüche umdrehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Welche gemischte Zahl kommt heraus? 2 25 + 1 15 Kürze, wenn es geht.
    2 2/51 1/5
    So fängst du an:
    Ganze: 2 + 1 = 3
    Lösung zeigen
    1. Ganze: 2 + 1 = 3
    2. Brüche: 25 und 15 geben 3/5.
    3. Zusammen: 3 35
    Ergebnis:
    3 35
  2. ●5
    Rechne Ganze und Brüche getrennt und schreibe das Ergebnis als gemischte Zahl: 5 45 − 1 35
    5 4/51 3/5
    Lösung zeigen
    1. Ganze: 5 − 1 = 4
    2. Brüche: 45 − 35 gibt 15
    3. Zusammen: 4 15
    Ergebnis:
    4 15
  3. ★6
    Rechne Ganze und Brüche getrennt und schreibe das Ergebnis als gemischte Zahl: 6 12 + 4 45
    6 1/24 4/5
    Lösung zeigen
    1. Gleicher Nenner 10: 6 510 + 4 810
    2. Ganze: 6 + 4 = 10
    3. Brüche: 510 und 810 geben 13/10, das ist 1 Ganzes und 3/10.
    4. Zusammen: 11 310
    Ergebnis:
    11 310

3Ich berechne den Anteil von einem Anteil und zeige ihn am Rechteck.

EntdeckenFrage

Warum ist eine Dreiviertelstunde 45 Minuten und nicht 75 Minuten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. 3/4 von 60 Minuten sind 45 Minuten. Genauso sind 1,5 Stunden 90 Minuten und nicht 1 Stunde 50 Minuten – die Zeit rechnet nicht im Zehnersystem.

MerkenAnteil vom Anteil

3/4 von 2/3 heißt 3/4 · 2/3. Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner.

Am Rechteck ist das Ergebnis die doppelt gefärbte Fläche.

BeispielAnteil von einem Anteil

Von einer Tafel Schokolade ist noch 23 übrig. Ben isst 35 davon. Welchen Anteil der ganzen Tafel isst Ben?
?
Schritt für Schritt
  1. 35 von 23 heißt 35 · 2/3.
  2. Zähler mal Zähler: 3 · 2 = 6
  3. Nenner mal Nenner: 5 · 3 = 15
  4. Kürzen: 615 = 25
  1. 35 von 23 heißt 35 · 2/3.
  2. Zähler mal Zähler: 3 · 2 = 6
  3. Nenner mal Nenner: 5 · 3 = 15
  4. Kürzen: 615 = 25
Ergebnis:
25

AchtungAnteil vom Anteil addiert statt malgenommen

So nicht
3/4 von 2/3 → 3/4 + 2/3 = 17/12
So richtig
3/4 von 2/3 → 3/4 · 2/3 = 6/12 = 1/2

„Von“ heißt mal: 3/4 von 2/3 ist 3/4 · 2/3. Am Rechteck ist es die doppelt gefärbte Fläche.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    13 eines Gartens sind Beete. Auf 12 der Beetfläche wachsen Tomaten. Welcher Anteil des ganzen Gartens ist mit Tomaten bepflanzt?
    ?
    So fängst du an:
    12 von 13 heißt 12 · 1/3.
    Lösung zeigen
    1. 12 von 13 heißt 12 · 1/3.
    2. Zähler mal Zähler: 1 · 1 = 1
    3. Nenner mal Nenner: 2 · 3 = 6
    4. Also: 16
    Ergebnis:
    16
  2. ●8
    Berechne 34 von 23 und zeige es am Rechteck. Färbe zuerst 2/3, dann davon 3/4.
    ?
    Lösung zeigen
    1. 34 von 23 heißt 34 · 2/3.
    2. Zähler mal Zähler: 3 · 2 = 6
    3. Nenner mal Nenner: 4 · 3 = 12
    4. Kürzen: 612 = 12
    Ergebnis:
    12
  3. ★9
    15 eines Gartens sind Beete. Auf 13 der Beetfläche wachsen Tomaten. Welcher Anteil des ganzen Gartens ist mit Tomaten bepflanzt?
    ?
    Lösung zeigen
    1. 13 von 15 heißt 13 · 1/5.
    2. Zähler mal Zähler: 1 · 1 = 1
    3. Nenner mal Nenner: 3 · 5 = 15
    4. Also: 115
    Ergebnis:
    115

4Ich unterscheide abbrechende und periodische Dezimalzahlen.

EntdeckenFrage

Wie viele Achtelnoten passen in einen Takt, der 4/4 heißt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Acht. Ein 4/4-Takt hat vier Viertel, und jedes Viertel sind zwei Achtel. Musiker rechnen dauernd mit Brüchen: Eine halbe Note und zwei Viertel füllen den Takt genauso wie acht Achtel.

MerkenAbbrechend oder periodisch

Man kürzt und zerlegt den Nenner in Primfaktoren.

Kommen nur 2 und 5 vor, bricht die Dezimalzahl ab. Sonst wiederholen sich Ziffern ohne Ende: 1/3 ergibt 0,333…

BeispielAbbrechend oder periodisch?

Wandle 110 in eine Dezimalzahl um. Bricht sie ab, oder wiederholen sich die Ziffern ohne Ende?
Schritt für Schritt
  1. Nenner 10 in Primfaktoren: 2 · 5
  2. Nur die Faktoren 2 und 5: abbrechend.
  3. Kontrolle: 1 : 10 = 0,1
  1. Nenner 10 in Primfaktoren: 2 · 5
  2. Nur die Faktoren 2 und 5: abbrechend.
  3. Kontrolle: 1 : 10 = 0,1
Ergebnis:
abbrechend: 0,1

AchtungNenner nicht gekürzt oder Periode abgeschnitten

So nicht
3/12: Nenner 12 hat den Faktor 3 → periodisch
So richtig
3/12 = 1/4, Nenner 4 = 2 · 2 → abbrechend: 0,25

Erst kürzen, dann den Nenner prüfen. 0,33 ist gerundet und nicht dasselbe wie 1/3.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Wandle 1115 in eine Dezimalzahl um. Bricht sie ab, oder wiederholen sich die Ziffern ohne Ende?
    So fängst du an:
    Nenner 15 in Primfaktoren: 3 · 5
    Lösung zeigen
    1. Nenner 15 in Primfaktoren: 3 · 5
    2. Ein anderer Faktor als 2 und 5 steckt darin: periodisch.
    3. Kontrolle: 11 : 15 → 0,73333…
    Ergebnis:
    periodisch: 0,73333…
  2. ●11
    Nur einer dieser Brüche hat eine periodische Dezimalzahl: 4/15, 9/20, 1140. Welcher ist es?
    Lösung zeigen
    1. 415 → 0,26666…, periodisch
    2. 920 → 0,45, abbrechend
    3. 1140 → 0,275, abbrechend
    Ergebnis:
    415
  3. ★12
    Bricht die Dezimalzahl zu 711 ab, oder ist sie periodisch? Entscheide mit dem Nenner, bevor du teilst.
    Lösung zeigen
    1. Der Nenner 11 ist eine Primzahl.
    2. Ein anderer Faktor als 2 und 5 steckt darin: periodisch.
    3. Kontrolle: 7 : 11 → 0,636363…
    Ergebnis:
    periodisch

5Ich rechne mit Rechengesetzen geschickt (Vertauschen, Zusammenfassen, Verteilen).

EntdeckenFrage

Wie oft kann man ein Blatt Papier in der Mitte falten – und welcher Teil ist dann noch eine Lage?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Jedes Falten nimmt die Hälfte der Hälfte: nach 3 Faltungen 1/8, nach 7 Faltungen 1/128. Die Schülerin Britney Gallivan hat 2002 ein sehr langes Papier zwölfmal gefaltet – dafür brauchte sie über einen Kilometer Papier.

MerkenRechengesetze nutzen

Vertauschen und Zusammenfassen ändern das Ergebnis nicht.

So wird aus 0,25 · 7 · 4 geschickt 0,25 · 4 · 7 = 7. Gleiche Faktoren klammert man aus: 7 · 1,5 + 3 · 1,5 = 10 · 1,5.

BeispielGeschickt rechnen mit Rechengesetzen

Rechne geschickt im Kopf: 8 · 3,7 · 0,5
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 0,5 · 8 · 3,7
  2. 0,5 · 8 = 4
  3. 4 · 3,7 = 14,8
  1. Vertauschen: 0,5 · 8 · 3,7
  2. 0,5 · 8 = 4
  3. 4 · 3,7 = 14,8
Ergebnis:
14,8

AchtungKomma nach Gefühl gesetzt

So nicht
3,8 · 2,45 → 93,1 (Komma nach Gefühl)
So richtig
3,8 · 2,45 ≈ 4 · 2 = 8 → 9,31

Erst überschlagen, dann die Stellen nach dem Komma zählen. Beide müssen zum Ergebnis passen.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Rechne geschickt: 7 · 0,6 + 3 · 0,6
    730,6
    So fängst du an:
    Beide Male wird mit 0,6 malgenommen.
    Lösung zeigen
    1. Beide Male wird mit 0,6 malgenommen.
    2. Erst 7 + 3 = 10
    3. 10 · 0,6 = 6
    Ergebnis:
    6
  2. ●14
    Welche zwei Zahlen nimmst du zuerst mal? Rechne dann: 1,25 · 2,5 · 8
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 1,25 · 8 · 2,5
    2. 1,25 · 8 = 10
    3. 10 · 2,5 = 25
    Ergebnis:
    25
  3. ★15
    Rechne geschickt: 7 · 2,5 + 3 · 2,5
    732,5
    Lösung zeigen
    1. Beide Male wird mit 2,5 malgenommen.
    2. Erst 7 + 3 = 10
    3. 10 · 2,5 = 25
    Ergebnis:
    25

6Ich wähle zwischen Bruch und Dezimalzahl die geschicktere Schreibweise.

EntdeckenFrage

Wie hat der junge Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 so schnell addiert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat nicht der Reihe nach gerechnet, sondern geschickt zusammengefasst: 1 + 100, 2 + 99, 3 + 98 und so weiter ergeben jedes Mal 101, und das 50-mal. Das sind 5050. Vertauschen und Zusammenfassen ändern das Ergebnis nicht – aber die Arbeit.

MerkenDie passende Schreibweise

0,75 · 36 rechnet man leichter als 3/4 von 36. Drittel und Sechstel bleiben besser Brüche.

Zum Vergleichen wandelt man alles in dieselbe Schreibweise um.

BeispielBruch oder Dezimalzahl: geschickt wählen

Ein Paket wiegt 2,9 kg, ein zweites 12 kg. Wie schwer sind beide zusammen?
Schritt für Schritt
  1. 12 = 0,5
  2. Beide als Dezimalzahl – dann Komma unter Komma.
  3. 2,9 + 0,5 = 3,4
  1. 12 = 0,5
  2. Beide als Dezimalzahl – dann Komma unter Komma.
  3. 2,9 + 0,5 = 3,4
Ergebnis:
3,4 kg

AchtungAnteil umgedreht

So nicht
2/5 von 100 = 250
So richtig
2/5 von 100 = 100 : 5 · 2 = 40

Teile durch den Nenner. Nimm dann mal den Zähler.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Paket wiegt 4,7 kg, ein zweites 35 kg. Wie schwer sind beide zusammen?
    So fängst du an:
    35 = 0,6
    Lösung zeigen
    1. 35 = 0,6
    2. Beide als Dezimalzahl – dann Komma unter Komma.
    3. 4,7 + 0,6 = 5,3
    Ergebnis:
    5,3 kg
  2. ●17
    Ein Paket wiegt 3,9 kg, ein zweites 35 kg. Wie schwer sind beide zusammen?
    Lösung zeigen
    1. 35 = 0,6
    2. Beide als Dezimalzahl – dann Komma unter Komma.
    3. 3,9 + 0,6 = 4,5
    Ergebnis:
    4,5 kg
  3. ★18
    Berechne 23 von 2,1 kg. Rechnest du mit dem Bruch oder mit einer Dezimalzahl?
    Lösung zeigen
    1. 23 als Dezimalzahl hat Ziffern ohne Ende – ungünstig.
    2. Mit dem Bruch: 2,1 : 3 · 2 = 1,4
    Ergebnis:
    1,4 kg

7Ich prüfe Ergebnisse mit Überschlag und Kommaregel.

EntdeckenFrage

Warum stehen an der Tankstelle Preise wie 1,799 Euro – mit drei Stellen nach dem Komma?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Kraftstoffpreise werden in Deutschland in Zehntelcent angegeben. Erst beim Bezahlen wird auf ganze Cent gerundet. Wer 40 Liter tankt, merkt den Unterschied von 0,001 Euro je Liter kaum – bei Millionen Litern macht er viel Geld aus.

MerkenÜberschlag und Kommaregel

Erst grob rechnen, dann genau.

So ist 3,8 · 2,45 ungefähr 4 · 2 = 8. Beim Malnehmen hat das Ergebnis so viele Nachkommastellen wie beide Zahlen zusammen.

BeispielKomma setzen mit Überschlag und Kommaregel

Beim Abschreiben ist das Komma verloren gegangen: 7,1 · 2,8 ergibt die Ziffern 1988. Setze das Komma richtig.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 7 · 3 = 21
  2. Kommaregel: eine Stelle und eine Stelle nach dem Komma, zusammen 2 Stellen.
  3. 1988 mit 2 Stellen nach dem Komma: 19,88
  1. Überschlag: 7 · 3 = 21
  2. Kommaregel: eine Stelle und eine Stelle nach dem Komma, zusammen 2 Stellen.
  3. 1988 mit 2 Stellen nach dem Komma: 19,88
Ergebnis:
19,88

AchtungNachkommastellen beim Mal falsch gezählt

So nicht
0,3 · 0,2 = 0,6
So richtig
0,3 · 0,2 = 0,06

Zähl die Stellen nach dem Komma in beiden Zahlen zusammen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Beim Abschreiben ist das Komma verloren gegangen: 3,5 · 3,5 ergibt die Ziffern 1225. Setze das Komma richtig.
    So fängst du an:
    Überschlag: 4 · 4 = 16
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 4 · 4 = 16
    2. Kommaregel: eine Stelle und eine Stelle nach dem Komma, zusammen 2 Stellen.
    3. 1225 mit 2 Stellen nach dem Komma: 12,25
    Ergebnis:
    12,25
  2. ●20
    Welches Ergebnis kann für 1,9 · 2 stimmen: 0,38, 3,8, 38? Entscheide ohne genau zu rechnen.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 2 · 2 = 4
    2. Am nächsten daran liegt 3,8.
    3. Kommaregel zur Kontrolle: eine Stelle nach dem Komma.
    Ergebnis:
    3,8
  3. ★21
    Beim Abschreiben ist das Komma verloren gegangen: 1,6 · 0,21 ergibt die Ziffern 336. Setze das Komma richtig.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 2 · 0,2 = 0,4
    2. Kommaregel: eine Stelle und 2 Stellen nach dem Komma, zusammen 3 Stellen.
    3. 336 mit 3 Stellen nach dem Komma: 0,336
    Ergebnis:
    0,336

8Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten mit Brüchen und Dezimalzahlen.

EntdeckenFrage

Wie viele Kilometer fehlen einer Marathonläuferin noch, wenn sie drei Viertel der Strecke geschafft hat?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Marathon ist 42,195 km lang. Drei Viertel davon sind 42,195 · 3 : 4 = 31,646 km, gerundet. Es fehlen 42,195 − 31,646 = 10,549 km, also gut 10,5 km. Schneller geht es mit dem fehlenden Viertel: 42,195 : 4.

MerkenRechenplan für Sachaufgaben

Erst klären, was gesucht ist.

Dann einen Plan in Schritten machen: Was rechne ich zuerst, was danach? Am Ende mit einem Überschlag prüfen und einen Antwortsatz schreiben.

BeispielMehrschrittige Sachaufgaben mit Brüchen und Dezimalzahlen

Ein Aquarium fasst 100 Liter. Es ist zu 25 gefüllt. Tim gießt Wasser mit einem Eimer nach, der 7,5 Liter fasst. Wie viele Eimer braucht er, bis das Aquarium voll ist?
Schritt für Schritt
  1. Plan: erst was drin ist, dann was fehlt, dann die Eimer.
  2. 25 von 100: 100 : 5 · 2 = 40
  3. Es fehlen 100 − 40 = 60
  4. 60 : 7,5 = 8
  1. Plan: erst was drin ist, dann was fehlt, dann die Eimer.
  2. 25 von 100: 100 : 5 · 2 = 40
  3. Es fehlen 100 − 40 = 60
  4. 60 : 7,5 = 8
Ergebnis:
8 Eimer

AchtungNoch einmal: Komma nach Gefühl gesetzt

So nicht
3,8 · 2,45 → 93,1 (Komma nach Gefühl)
So richtig
3,8 · 2,45 ≈ 4 · 2 = 8 → 9,31

Erst überschlagen, dann die Stellen nach dem Komma zählen. Beide müssen zum Ergebnis passen.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Für 4 Personen braucht man 25 kg Kartoffeln. Es kochen aber 8 Personen. 1 kg Kartoffeln kostet 1,60 €. Was kosten die Kartoffeln?
    So fängst du an:
    Plan: erst die Menge für 8 Personen, dann der Preis.
    Lösung zeigen
    1. Plan: erst die Menge für 8 Personen, dann der Preis.
    2. 25 kg sind 0,4 kg.
    3. 0,4 : 4 · 8 = 0,8
    4. 0,8 · 1,6 = 1,28
    Ergebnis:
    1,28 €
  2. ●23
    Für 4 Personen braucht man 12 kg Kartoffeln. Es kochen aber 2 Personen. 1 kg Kartoffeln kostet 1,60 €. Was kosten die Kartoffeln?
    Lösung zeigen
    1. Plan: erst die Menge für 2 Personen, dann der Preis.
    2. 12 kg sind 0,5 kg.
    3. 0,5 : 4 · 2 = 0,25
    4. 0,25 · 1,6 = 0,4
    Ergebnis:
    0,40 €
  3. ★24
    Für einen Vorhang braucht Frau Lang 2 34 m Stoff. 1 m kostet 8,40 €. Sie bezahlt mit einem 50-€-Schein. Wie viel Geld bekommt sie zurück?
    Lösung zeigen
    1. Plan: erst den Preis für den Stoff, dann das Rückgeld.
    2. 2 34 m sind 2,75 m.
    3. 8,4 · 2,75 = 23,1
    4. 50 − 23,1 = 26,9
    Ergebnis:
    26,90 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Tim sagt: „20 · 12 ist mehr als 20, denn mal macht größer.“ Stimmt das?
    Lösung zeigen
    1. 12 ist kleiner als 1. Mal 12 nimmt nur einen Teil von 20: kleiner.
    2. Kontrolle: 20 · 12 = 10
    3. Tim hat nicht recht.
    Ergebnis:
    kleiner: 10
  2. ●26
    In eine Flasche passen 12 l Saft. Wie viele Flaschen kann man mit 2 l füllen? Sind es mehr oder weniger als 2?
    Lösung zeigen
    1. Eine Flasche fasst weniger als 1 l, also werden es mehr als 2 Flaschen.
    2. 2 · 2 = 4
    Ergebnis:
    mehr: 4 Flaschen
  3. ●27
    Rechne Ganze und Brüche getrennt und schreibe das Ergebnis als gemischte Zahl: 4 23 + 16
    Lösung zeigen
    1. Gleicher Nenner 6: 4 46 + 16
    2. Ganze: 4 + 0 = 4
    3. Brüche: 46 und 16 geben 5/6.
    4. Zusammen: 4 56
    Ergebnis:
    4 56
  4. ●28
    Ein Brett ist 6 34 m lang. Tom sägt ein Stück von 58 m ab. Wie lang ist das Reststück?
    Lösung zeigen
    1. Rechnung: 6 34 − 58
    2. Gleicher Nenner 8: 6 68 − 58
    3. Ganze: 6 − 0 = 6
    4. Brüche: 68 − 58 gibt 18
    5. Zusammen: 6 18
    Ergebnis:
    6 18 m
  5. ●29
    34 eines Gartens sind Beete. Auf 13 der Beetfläche wachsen Tomaten. Welcher Anteil des ganzen Gartens ist mit Tomaten bepflanzt?
    ?
    Lösung zeigen
    1. 13 von 34 heißt 13 · 3/4.
    2. Zähler mal Zähler: 1 · 3 = 3
    3. Nenner mal Nenner: 3 · 4 = 12
    4. Kürzen: 312 = 14
    Ergebnis:
    14
  6. ●30
    Lies am Bild ab: Welcher Anteil des ganzen Rechtecks ist grün, also doppelt gefärbt?
    Lösung zeigen
    1. Blau: 1 von 2 Zeilen, das sind 1/2.
    2. Grün: 2 von 5 Spalten der blauen Fläche, also 25 von 1/2.
    3. Kästchen: 2 · 5 = 10, davon grün 1 · 2 = 2
    4. Also: 25 · 12 ergibt 2/10, gekürzt 15
    Ergebnis:
    15

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Malnehmen macht nicht immer größer
Mal einer Zahl kleiner als 1 wird das Ergebnis kleiner.
Gemischte Zahl
2 3/4 heißt 2 Ganze und 3/4. Man rechnet Ganze und Brüche getrennt.
Anteil vom Anteil
3/4 von 2/3 heißt 3/4 · 2/3. Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner.
Abbrechend oder periodisch
Man kürzt und zerlegt den Nenner in Primfaktoren.
Rechengesetze nutzen
Vertauschen und Zusammenfassen ändern das Ergebnis nicht.
Die passende Schreibweise
0,75 · 36 rechnet man leichter als 3/4 von 36. Drittel und Sechstel bleiben besser Brüche.
Überschlag und Kommaregel
Erst grob rechnen, dann genau.
Rechenplan für Sachaufgaben
Erst klären, was gesucht ist.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich sage vorher, ob Malnehmen oder Teilen mit einem Bruch oder einer Dezimalzahl das Ergebnis größer oder kleiner macht.

    31
    Lea sagt: „36 : 0,25 ist weniger als 36, denn Teilen macht kleiner.“ Stimmt das?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    größer: 144

  2. Ich addiere und subtrahiere gemischte Zahlen.

    32
    Rechne Ganze und Brüche getrennt und schreibe das Ergebnis als gemischte Zahl: 2 14 + 14
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2 12

  3. Ich berechne den Anteil von einem Anteil und zeige ihn am Rechteck.

    33
    Berechne 23 von 12 und zeige es am Rechteck. Färbe zuerst 1/2, dann davon 2/3.
    ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    13

  4. Ich unterscheide abbrechende und periodische Dezimalzahlen.

    34
    Wandle 310 in eine Dezimalzahl um. Bricht sie ab, oder wiederholen sich die Ziffern ohne Ende?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    abbrechend: 0,3

  5. Ich rechne mit Rechengesetzen geschickt (Vertauschen, Zusammenfassen, Verteilen).

    35
    Welche zwei Zahlen nimmst du zuerst mal? Rechne dann: 2,5 · 2,1 · 4
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    21

  6. Ich wähle zwischen Bruch und Dezimalzahl die geschicktere Schreibweise.

    36
    Berechne geschickt im Kopf: 0,2 · 20. Welcher Bruch hilft dir?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    4

  7. Ich prüfe Ergebnisse mit Überschlag und Kommaregel.

    37
    Welches Ergebnis kann für 3,4 · 7 stimmen: 238, 23,8, 2,38? Entscheide ohne genau zu rechnen.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    23,8

  8. Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten mit Brüchen und Dezimalzahlen.

    38
    Mia hat 35,00 € gespart. Sie gibt 25 davon für ein Buch aus und danach 4,80 € für das Kino. Wie viel Geld hat Mia danach noch?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    16,20 €

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Entscheide in 30 Sekunden ohne Rechnen: Welche Ergebnisse sind größer als 36? 36 · 1,5, 36 · 0,8, 36 : 0,5, 36 : 4, 36 · 3/4, 36 : 3/4.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Die Vorhersage vor dem Rechnen: den Faktor mit 1 vergleichen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Käse nach Gewicht, Rezepte mit Dreiviertelliter, Zeiten wie anderthalb Stunden, Rechnungen prüfen. Beruf: Materialbedarf im Handwerk, Mengen in der Küche, Kassieren und Kontrollieren im Verkauf.

Wörter

Anteil
wie viel von einem Ganzen
Bruch
ein Teil von einem Ganzen, als Zahl geschrieben
Nenner
die Zahl unten – in wie viele Teile geteilt wurde
Zähler
die Zahl oben – wie viele Teile

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Brüche und Dezimalzahlen, Dezimalzahlen, Teilbarkeit und Primzahlen

Darauf baut auf: Prozentrechnung

Lösungen

  1. kleiner: 10
  2. kleiner: 9
  3. 20 · 0,5 < 20 < 20 : 0,5
  4. 3 35
  5. 4 15
  6. 11 310
  7. 16
  8. 12
  9. 115
  10. periodisch: 0,73333…
  11. 415
  12. periodisch
  13. 6
  14. 25
  15. 25
  16. 5,3 kg
  17. 4,5 kg
  18. 1,4 kg
  19. 12,25
  20. 3,8
  21. 0,336
  22. 1,28 €
  23. 0,40 €
  24. 26,90 €
  25. kleiner: 10
  26. mehr: 4 Flaschen
  27. 4 56
  28. 6 18 m
  29. 14
  30. 15
  31. größer: 144
  32. 2 12
  33. 13
  34. abbrechend: 0,3
  35. 21
  36. 4
  37. 23,8
  38. 16,20 €
  39. 56 > 59
  40. 20 min