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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Daten vergleichen und Zufall untersuchen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Einige nennen Team Süd, weil dort der weiteste Sprung ist oder weil die Summe größer ist. Andere widersprechen, weil Team Süd ein Kind mehr hat. Die Gruppen streiten, und jede hat ein Argument. Ein fairer Vergleich braucht eine Zahl, die nicht von der Anzahl der Kinder abhängt: den Mittelwert. Team Nord kommt auf 310 cm, Team Süd auf etwa 303 cm. Wie gleichmäßig ein Team springt, zeigt die Spannweite.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median beschreiben die Mitte einer Datenreihe, die Spannweite ihre Breite.

  1. ●36
    Punkte im Test: 10, 2, 4, 3, 6. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 5
  2. ●37
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 4, 16, 17, 14, 16. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 4, 14, 16, 16, 17
    2. Median = mittlerer Wert = 16
    3. Spannweite = 17 − 4 = 13
    Ergebnis:
    Median 16; Spannweite 13

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenKennwerte stehen für eine Gruppe

Ein Mittelwert oder Median steht für eine ganze Gruppe, die Spannweite für ihre Streuung. Gruppen vergleicht man über solche Kennwerte, nicht über einzelne Werte. Chancen zeigen sich erst bei vielen Versuchen.

Punktdiagramm einer Gruppe: Der Median 6 steht für die Mitte, die Spannweite 6 für die Streuung2345678910Median 6Spannweite 9 − 3 = 6

WeiterdenkenDenk nach

Team A hat den weitesten Springer, Team B den höheren Mittelwert. Welches Team ist besser – und was müsstest du wissen, um das zu entscheiden?

1Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

EntdeckenFrage

Warum nennen Statistiker beim Einkommen lieber den Median als den Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Einkommen ziehen den Durchschnitt nach oben, sodass die meisten Menschen darunter liegen. Der Median ist das Einkommen in der Mitte: Die eine Hälfte verdient weniger, die andere mehr. Deshalb beschreibt er, was für viele typisch ist, besser.

MerkenDatenreihen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.

Der Mittelwert zeigt die Mitte, die Spannweite zeigt, wie weit die Werte auseinanderliegen.

BeispielZwei Datenreihen mit Mittelwert und Median vergleichen

Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Gruppe Adler: 25, 12, 20, 20, 13. Gruppe Falken: 25, 19, 13, 15, 23. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
Gruppe AdlerGruppe Falken1214161820222426
Schritt für Schritt
  1. Gruppe Adler: 25 + 12 + 20 + 20 + 13 = 90, 90 : 5 = 18
  2. Gruppe Falken: 25 + 19 + 13 + 15 + 23 = 95, 95 : 5 = 19
  3. 19 − 18 = 1
  1. Gruppe Adler: 25 + 12 + 20 + 20 + 13 = 90, 90 : 5 = 18
  2. Gruppe Falken: 25 + 19 + 13 + 15 + 23 = 95, 95 : 5 = 19
  3. 19 − 18 = 1
Ergebnis:
Gruppe Falken, um 1 Punkte

AchtungMittelwert falsch berechnet oder einzelne Werte verglichen

So nicht
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 3 = 20
So richtig
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 4 = 15

Alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Eine Gruppe vergleicht man über Kennwerte, nicht über ihren besten Wert.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Lesezeit am Tag, in Minuten. Mädchen: 16, 57, 45, 18, 34. Jungen: 16, 53, 47, 54, 10. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe liest länger?
    MädchenJungen102030405060
    So fängst du an:
    Mädchen geordnet: 16, 18, 34, 45, 57, Median 34
    Lösung zeigen
    1. Mädchen geordnet: 16, 18, 34, 45, 57, Median 34
    2. Jungen geordnet: 10, 16, 47, 53, 54, Median 47
    3. 47 ist mehr als 34.
    Ergebnis:
    Jungen (Median 47 gegen 34)
  2. ●2
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Gruppe Adler: 11, 9, 30, 11, 29. Gruppe Falken: 17, 19, 19, 24, 21. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe hat mehr Punkte?
    Gruppe AdlerGruppe Falken51015202530
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler geordnet: 9, 11, 11, 29, 30, Median 11
    2. Gruppe Falken geordnet: 17, 19, 19, 21, 24, Median 19
    3. 19 ist mehr als 11.
    Ergebnis:
    Gruppe Falken (Median 19 gegen 11)
  3. ★3
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Mädchen: 8, 13, 9, 9, 18, 9. Jungen: 4, 7, 13, 12, 14. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    MädchenJungen4681012141618
    Lösung zeigen
    1. Mädchen: 8 + 13 + 9 + 9 + 18 + 9 = 66, 66 : 6 = 11
    2. Jungen: 4 + 7 + 13 + 12 + 14 = 50, 50 : 5 = 10
    3. 11 − 10 = 1
    Ergebnis:
    Mädchen, um 1 Treffer

2Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

EntdeckenFrage

Kann ein einziges Kind den Taschengeld-Durchschnitt einer ganzen Klasse verdoppeln?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. Bekommen 24 Kinder je 5 € und ein Kind 130 €, ist der Mittelwert 250 € : 25 = 10 €, also doppelt so viel wie fast alle bekommen. Der Median bleibt bei 5 €. Ein einziger Ausreißer verändert den Mittelwert stark, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.

Den Median verändert er kaum. Bei Ausreißern beschreibt der Median die Gruppe besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert oder Median?

Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 6, 3, 7, 8, 51. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
Werte0102030405060
Schritt für Schritt
  1. 51 ist viel größer als alle anderen Werte.
  2. Mit ihm: 75 : 5 = 15
  3. Ohne ihn: 24 : 4 = 6
  1. 51 ist viel größer als alle anderen Werte.
  2. Mit ihm: 75 : 5 = 15
  3. Ohne ihn: 24 : 4 = 6
Ergebnis:
Ausreißer 51, Mittelwert 15 statt 6

AchtungMittelwert trotz Ausreißer gewählt

So nicht
5, 6, 5, 7, 42 → Mittelwert 13 beschreibt die Gruppe
So richtig
5, 6, 5, 7, 42 → Median = 6 beschreibt die Gruppe besser

Liegt ein Wert weit weg von allen anderen, beschreibt der Median die Gruppe besser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 8, 60, 5, 5, 2. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Fahrgäste besser?
    Werte0102030405060
    So fängst du an:
    Mittelwert: 80 : 5 = 16
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 80 : 5 = 16
    2. Geordnet: 2, 5, 5, 8, 60, Median 5
    3. Der Wert 60 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (5 statt 16)
  2. ●5
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 10, 29, 208, 23, 10. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 56 Bücher.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte0255075100125150175200225
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 10, 10, 23, 29, 208
    2. Median: 23
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 208.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 23 passt besser
  3. ★6
    Taschengeld in der Woche, in €: 4, 9, 6, 5, 36, 6. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte0510152025303540
    Lösung zeigen
    1. 36 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 66 : 6 = 11
    3. Ohne ihn: 30 : 5 = 6
    Ergebnis:
    Ausreißer 36, Mittelwert 11 statt 6

3Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

EntdeckenFrage

Wie kann eine Umfrage mit rund tausend Menschen etwas über ganz Deutschland sagen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn die Befragten gut ausgewählt sind, spiegeln sie die Bevölkerung im Kleinen. Der Anteil in der Umfrage ist dann eine Schätzung für den Anteil im ganzen Land. Große Umfragen zur Politik fragen deshalb meist nur etwa 1000 bis 1500 Menschen.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlender Wert aus dem Mittelwert

Der Mittelwert von 4 Weitsprüngen ist 329 cm. Bekannt sind 250, 312, 371. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
Schritt für Schritt
  1. Summe aller Werte: 4 · 329 = 1316
  2. Summe der bekannten: 250 + 312 + 371 = 933
  3. 1316 − 933 = 383
  1. Summe aller Werte: 4 · 329 = 1316
  2. Summe der bekannten: 250 + 312 + 371 = 933
  3. 1316 − 933 = 383
Ergebnis:
383 cm

AchtungFehlenden Wert vom Mittelwert statt von der Summe aus gesucht

So nicht
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → der fünfte ist 14
So richtig
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → 5 · 14 = 70, 70 − 54 = 16

Erst Mittelwert mal Anzahl: Das ist die Summe. Dann die bekannten Werte abziehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Mila möchte bei 4 Weitsprüngen im Mittel genau 339 cm erreichen. Die ersten Ergebnisse: 390, 278, 320. Was braucht Mila beim letzten Mal?
    bisher260280300320340360380400420?
    So fängst du an:
    Summe aller Werte: 4 · 339 = 1356
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 339 = 1356
    2. Summe der bekannten: 390 + 278 + 320 = 988
    3. 1356 − 988 = 368
    Ergebnis:
    368 cm
  2. ●8
    Aylin möchte bei 5 Lesetagen im Mittel genau 34 min erreichen. Die ersten Ergebnisse: 13, 36, 50, 36. Was braucht Aylin beim letzten Mal?
    bisher10152025303540455055?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 34 = 170
    2. Summe der bekannten: 13 + 36 + 50 + 36 = 135
    3. 170 − 135 = 35
    Ergebnis:
    35 min
  3. ★9
    Aylin möchte bei 6 Kopfrechentests im Mittel genau 22 Punkte erreichen. Die ersten Ergebnisse: 26, 18, 23, 16, 24. Was braucht Aylin beim letzten Mal?
    bisher16182022242628?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 6 · 22 = 132
    2. Summe der bekannten: 26 + 18 + 23 + 16 + 24 = 107
    3. 132 − 107 = 25
    Ergebnis:
    25 Punkte

4Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Krankheitsfälle je 100.000 Einwohner und nicht einfach die Fälle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Großstadt hat natürlich mehr Fälle als ein Dorf, weil dort mehr Menschen leben. Erst wenn man die Fälle durch die Einwohnerzahl teilt, kann man Orte verschiedener Größe fair vergleichen. Das ist eine relative Häufigkeit, nur auf 100.000 Menschen hochgerechnet.

MerkenRelative Häufigkeit

Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.

Zum Beispiel 12 von 40 ergibt 12/40 = 3/10 = 0,3. So kann man verschieden große Gruppen vergleichen.

BeispielVerschieden große Gruppen über Anteile vergleichen

Team Nord trifft beim Elfmetertraining 22-mal bei 50 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 6-mal bei 10 Schüssen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
Team Nord22 von 50Team Süd6 von 10
Schritt für Schritt
  1. Team Nord: 2250 = 0,44
  2. Team Süd: 610 = 0,6
  3. 0,6 ist die größte Zahl.
  1. Team Nord: 2250 = 0,44
  2. Team Süd: 610 = 0,6
  3. 0,6 ist die größte Zahl.
Ergebnis:
Team Süd (0,6)

AchtungAnzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    In der Theater-AG haben 29 von 50 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 9 von 25 Kindern ein Haustier. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A29 von 50B9 von 25
    So fängst du an:
    Theater-AG: 2950 = 0,58
    Lösung zeigen
    1. Theater-AG: 2950 = 0,58
    2. Fußball-AG: 925 = 0,36
    3. 0,58 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Theater-AG (0,58)
  2. ●11
    An der Schule am Park sagen 4 von 20 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 35 von 50 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A4 von 20B35 von 50
    Lösung zeigen
    1. Schule am Park: 420 = 0,2
    2. Schule am See: 3550 = 0,7
    3. 0,7 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Schule am See (0,7)
  3. ★12
    In der Klasse 6a kommen 25 von 40 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 30 von 50 Kindern mit dem Rad zur Schule. Ben sagt: „In der Klasse 6b ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A25 von 40B30 von 50
    Lösung zeigen
    1. Klasse 6a: 2540 = 0,625
    2. Klasse 6b: 3050 = 0,6
    3. Die relative Häufigkeit ist in der Klasse 6a größer.
    Ergebnis:
    Nein, in der Klasse 6a ist der Anteil größer

5Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

EntdeckenFrage

Landet eine Reißzwecke öfter auf dem Rücken oder auf der Seite?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht ausrechnen, sondern nur ausprobieren. Nach zehn Würfen weiß man fast nichts, nach Hunderten von Würfen pendelt sich der Anteil ein. Je nach Form der Reißzwecke kommt etwas anderes heraus, deshalb ist der Versuch selbst die Antwort.

MerkenKreuztabelle

Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.

Jede Zeile und jede Spalte muss ihre Summe ergeben. Das ist die Kontrolle.

BeispielTabelle mit zwei Merkmalen lesen und ergänzen

Bei einer Umfrage machen 38 Kinder mit, davon sind 17 Mädchen. 10 Mädchen und 10 Jungen haben gefrühstückt. Wie viele Jungen haben nicht gefrühstückt? Lege eine Tabelle an.
Schritt für Schritt
  1. Jungen: 38 − 17 = 21
  2. Jungen, die nicht gefrühstückt haben: 21 − 10 = 11
  3. Kontrolle: 10 + 7 + 10 + 11 = 38
  1. Jungen: 38 − 17 = 21
  2. Jungen, die nicht gefrühstückt haben: 21 − 10 = 11
  3. Kontrolle: 10 + 7 + 10 + 11 = 38
Ergebnis:
11

AchtungNoch einmal: Anzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    In der Tabelle fehlen Zahlen. Wie viele Kinder wurden insgesamt befragt?
    Frühstückkein FrühstückgesamtMädchen14??Jungen131326gesamt?27?
    So fängst du an:
    Spalte kein Frühstück: 27 − 13 = 14
    Lösung zeigen
    1. Spalte kein Frühstück: 27 − 13 = 14
    2. Zeile Mädchen: 14 + 14 = 28
    3. Insgesamt: 28 + 26 = 54
    Ergebnis:
    54
  2. ●14
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Mädchen haben nicht gefrühstückt?
    Frühstückkein FrühstückgesamtMädchen11?23Jungen13619gesamt241842
    Lösung zeigen
    1. Zeile Mädchen: zusammen 23.
    2. 23 − 11 = 12
    3. Kontrolle mit der Spalte: 12 + 6 = 18
    Ergebnis:
    12
  3. ★15
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Kinder aus Klasse 6 sind in keiner AG?
    AG jaAG neingesamtKlasse 5448Klasse 69?19gesamt131427
    Lösung zeigen
    1. Zeile Klasse 6: zusammen 19.
    2. 19 − 9 = 10
    3. Kontrolle mit der Spalte: 10 + 4 = 14
    Ergebnis:
    10

6Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

EntdeckenFrage

Hat schon einmal jemand eine Münze 24.000-mal geworfen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja, der Statistiker Karl Pearson um 1900. Er bekam 12.012-mal Kopf, das sind 0,5005 aller Würfe. Schon im 18. Jahrhundert warf der Naturforscher Buffon 4040-mal und bekam 2048-mal Kopf. Je länger die Reihe, desto näher liegt der Anteil bei einhalb.

Ausprobieren: Zufallsversuch: Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Münze, Würfel oder Glücksrad oft werfen – die relative Häufigkeit pendelt sich bei der Wahrscheinlichkeit ein.

MerkenLangfristig stabil

Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.

Bei vielen Versuchen wird sie stabil. Dann ist sie eine gute Schätzung für die Chance.

BeispielRelative Häufigkeiten bei vielen Versuchen

Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
Würfe1050100500Treffer31834148
Schritt für Schritt
  1. 3 : 10 = 0,3
  2. 34 : 100 = 0,34
  3. 148 : 500 = 0,296
  4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
  1. 3 : 10 = 0,3
  2. 34 : 100 = 0,34
  3. 148 : 500 = 0,296
  4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
Ergebnis:
0,296

AchtungAus wenigen Versuchen auf die Chance geschlossen

So nicht
3 Sechsen in 10 Würfen → Chance 3 : 10 = 0,3
So richtig
3 Sechsen in 10 Würfen → noch zu wenige; 100 Sechsen in 600 Würfen → 100 : 600 ≈ 0,17

Erst viele Versuche machen die relative Häufigkeit verlässlich.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,2.“ Hat sie recht?
    Würfe1050100500Treffer22032154
    So fängst du an:
    2 : 10 = 0,2
    Lösung zeigen
    1. 2 : 10 = 0,2
    2. 154 : 500 = 0,308
    3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
    4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,31.
    Ergebnis:
    Nein, eher 0,308
  2. ●17
    Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,1.“ Hat sie recht?
    Würfe1050100500Treffer11935173
    Lösung zeigen
    1. 1 : 10 = 0,1
    2. 173 : 500 = 0,346
    3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
    4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,35.
    Ergebnis:
    Nein, eher 0,346
  3. ★18
    Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe10502001000Treffer1939157
    Lösung zeigen
    1. 1 : 10 = 0,1
    2. 39 : 200 = 0,195
    3. 157 : 1000 = 0,157
    4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
    Ergebnis:
    0,157

7Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Warum muss man beim Spiel „Die Siedler von Catan“ so oft den Räuber versetzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Räuber kommt bei der Augensumme 7. Von den 36 Ergebnissen zweier Würfel haben 6 die Summe 7, mehr als jede andere Summe. Die 2 und die 12 haben nur je ein Ergebnis. Deshalb sind die Zahlen 6 und 8 auf dem Spielfeld so wertvoll.

MerkenGewinnchancen auszählen

Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3. Wer alle günstigen Ergebnisse zählt, kennt die Chance.

BeispielGewinnchancen durch Auszählen

Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 11? Gib sie als gekürzten Bruch an.
123456123456?
Schritt für Schritt
  1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
  2. Summe 11: 5 und 6; 6 und 5
  3. 2 von 36, also 236 = 118
  1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
  2. Summe 11: 5 und 6; 6 und 5
  3. 2 von 36, also 236 = 118
Ergebnis:
118

AchtungErgebnisse unvollständig gezählt

So nicht
Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36
So richtig
Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 7?
    123456123456?
    So fängst du an:
    Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    Lösung zeigen
    1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    2. Summe 7: 1 und 6; 2 und 5; 3 und 4; 4 und 3; 5 und 2; 6 und 1
    3. Das sind 6 Ergebnisse.
    Ergebnis:
    6 Ergebnisse
  2. ●20
    Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Kopf und eine Sechs?
    123456KopfZahl?
    Lösung zeigen
    1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    2. Günstig: 1 Ergebnis.
    3. Die Chance ist 1 von 12, also 1/12.
    Ergebnis:
    12 Ergebnisse, 1 davon günstig
  3. ★21
    Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 11?
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    2. Summe 11: 5 und 6; 6 und 5
    3. Das sind 2 Ergebnisse.
    Ergebnis:
    2 Ergebnisse

8Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

EntdeckenFrage

Ist ein Spiel fair, bei dem einer bei geradem und der andere bei ungeradem Augenprodukt gewinnt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Ungerade ist das Produkt nur, wenn beide Würfel ungerade zeigen: 3 · 3 = 9 von 36 Ergebnissen. Gerade ist es bei den übrigen 27. Wer auf gerade setzt, gewinnt also dreimal so oft – obwohl es gerecht aussieht.

MerkenFairness

Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Gefühle täuschen, Zählen nicht.

BeispielIst das Spiel fair?

Mila und Emre werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme kleiner als 7 ist. Emre bekommt einen Punkt, wenn sie größer als 7 ist; bei 7 wird neu geworfen. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
Schritt für Schritt
  1. Mila: 15 von 36 Ergebnissen
  2. Emre: 15 von 36 Ergebnissen
  3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
  1. Mila: 15 von 36 Ergebnissen
  2. Emre: 15 von 36 Ergebnissen
  3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
Ergebnis:
fair (15 zu 15)

AchtungAlle Ergebnisse gleich wahrscheinlich angenommen

So nicht
Augensumme 7 → 1/11
So richtig
Augensumme 7 → 6/36 = 1/6

Zähl in der Tabelle mit 36 Feldern, wie oft die Summe vorkommt.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Jonas und Lotta werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme gerade ist. Lotta bekommt einen Punkt, wenn sie ungerade ist. Lotta meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    So fängst du an:
    Jonas: 18 von 36 Ergebnissen
    Lösung zeigen
    1. Jonas: 18 von 36 Ergebnissen
    2. Lotta: 18 von 36 Ergebnissen
    3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
    Ergebnis:
    fair (18 zu 18)
  2. ●23
    Anna und Emre werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme kleiner als 7 ist. Emre bekommt einen Punkt, wenn sie größer als 7 ist; bei 7 wird neu geworfen. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    Lösung zeigen
    1. Anna: 15 von 36 Ergebnissen
    2. Emre: 15 von 36 Ergebnissen
    3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
    Ergebnis:
    fair (15 zu 15)
  3. ★24
    Mila und Lotta werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme 7 oder mehr ist. Lotta bekommt einen Punkt, wenn sie kleiner als 7 ist. Lotta meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    1. Mila: 21 von 36 Ergebnissen
    2. Lotta: 15 von 36 Ergebnissen
    3. 21 ist mehr als 15.
    Ergebnis:
    nicht fair, Mila gewinnt öfter (21 zu 15)

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Mädchen: 36, 8, 29, 8, 34. Jungen: 15, 26, 35, 24, 10. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe geht weiter?
    MädchenJungen510152025303540
    Lösung zeigen
    1. Mädchen: 36 + 8 + 29 + 8 + 34 = 115, 115 : 5 = 23
    2. Jungen: 15 + 26 + 35 + 24 + 10 = 110, 110 : 5 = 22
    3. 23 ist mehr als 22.
    Ergebnis:
    Mädchen (23 Hundert Schritte gegen 22 Hundert Schritte)
  2. ●26
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Team Nord: 14, 5, 3, 15, 8. Team Süd: 8, 9, 11, 9, 8. Berechne für beide Gruppen die Spannweite. Welche Gruppe hat gleichmäßigere Ergebnisse?
    Team NordTeam Süd246810121416
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 15 − 3 = 12
    2. Team Süd: 11 − 8 = 3
    3. Die kleinere Spannweite hat Team Süd.
    Ergebnis:
    gleichmäßiger: Team Süd (Spannweite 3 gegen 12)
  3. ●27
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 9, 56, 9, 4, 2. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 16 min.“ Beschreibt dieser Wert die Fahrgäste gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte0102030405060
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 2, 4, 9, 9, 56
    2. Median: 9
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 56.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 9 passt besser
  4. ●28
    Aylin möchte bei 5 Kopfrechentests im Mittel genau 17 Punkte erreichen. Die ersten Ergebnisse: 25, 12, 15, 25. Was braucht Aylin beim letzten Mal?
    bisher121416182022242628?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 17 = 85
    2. Summe der bekannten: 25 + 12 + 15 + 25 = 77
    3. 85 − 77 = 8
    Ergebnis:
    8 Punkte
  5. ●29
    In der Klasse 6a kommen 21 von 40 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 30 von 50 Kindern mit dem Rad zur Schule. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A21 von 40B30 von 50
    Lösung zeigen
    1. Klasse 6a: 2140 = 0,525
    2. Klasse 6b: 3050 = 0,6
    3. 0,6 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Klasse 6b (0,6)
  6. ●30
    Ein Würfel wird 10-mal geworfen. 2-mal fällt eine gerade Zahl. Gib die relative Häufigkeit als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl an.
    Treffer2 von 10
    Lösung zeigen
    1. Relative Häufigkeit: Anzahl geteilt durch alle, 210
    2. Gekürzt: 210 = 15
    3. Als Dezimalzahl: 2 : 10 = 0,2
    Ergebnis:
    15 = 0,2

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Datenreihen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.
Ausreißer
Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Relative Häufigkeit
Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.
Kreuztabelle
Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.
Langfristig stabil
Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.
Gewinnchancen auszählen
Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.
Fairness
Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

    31
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Gruppe Adler: 36, 28, 31, 15, 30. Gruppe Falken: 16, 29, 36, 32, 17. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    Gruppe AdlerGruppe Falken152025303540
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Gruppe Adler, um 2 Hundert Schritte

  2. Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

    32
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 27, 198, 28, 18, 19. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte0255075100125150175200
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Ausreißer 198, Mittelwert 58 statt 23

  3. Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

    33
    Der Mittelwert von 5 Runden Korbwurf ist 12 Treffer. Bekannt sind 15, 3, 18, 11. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    13 Treffer

  4. Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

    34
    Bei einer Umfrage machen 32 Kinder mit, davon sind 15 Kinder aus Klasse 5. 6 Kinder aus Klasse 5 und 4 Kinder aus Klasse 6 sind in einer AG. Wie viele Kinder aus Klasse 6 sind in keiner AG? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    13

  5. Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

    35
    Jonas und Ben werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn beide Würfel dieselbe Zahl zeigen. Ben bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme 11 oder 12 ist. Ben meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nicht fair, Jonas gewinnt öfter (6 zu 3)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Mittelwert als faire Vergleichszahl für verschieden große Gruppen, die Spannweite für die Streuung.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Sportergebnisse vergleichen, Umfragen in der Klasse auswerten, Spielregeln auf Fairness prüfen. Beruf: Marktforschung, Qualitätskontrolle in der Produktion, Wetter- und Verkehrsstatistik.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Brüche und Dezimalzahlen, Systematisch zählen

Darauf baut auf: Daten und Zufall

Lösungen

  1. Jungen (Median 47 gegen 34)
  2. Gruppe Falken (Median 19 gegen 11)
  3. Mädchen, um 1 Treffer
  4. Median (5 statt 16)
  5. Nein, der Median 23 passt besser
  6. Ausreißer 36, Mittelwert 11 statt 6
  7. 368 cm
  8. 35 min
  9. 25 Punkte
  10. Theater-AG (0,58)
  11. Schule am See (0,7)
  12. Nein, in der Klasse 6a ist der Anteil größer
  13. 54
  14. 12
  15. 10
  16. Nein, eher 0,308
  17. Nein, eher 0,346
  18. 0,157
  19. 6 Ergebnisse
  20. 12 Ergebnisse, 1 davon günstig
  21. 2 Ergebnisse
  22. fair (18 zu 18)
  23. fair (15 zu 15)
  24. nicht fair, Mila gewinnt öfter (21 zu 15)
  25. Mädchen (23 Hundert Schritte gegen 22 Hundert Schritte)
  26. gleichmäßiger: Team Süd (Spannweite 3 gegen 12)
  27. Nein, der Median 9 passt besser
  28. 8 Punkte
  29. Klasse 6b (0,6)
  30. 15 = 0,2
  31. Gruppe Adler, um 2 Hundert Schritte
  32. Ausreißer 198, Mittelwert 58 statt 23
  33. 13 Treffer
  34. 13
  35. nicht fair, Jonas gewinnt öfter (6 zu 3)
  36. x̄ = 5
  37. Median 16; Spannweite 13