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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Daten vergleichen und Zufall untersuchen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Einige nennen Team Süd, weil dort der weiteste Sprung ist oder weil die Summe größer ist. Andere widersprechen, weil Team Süd ein Kind mehr hat. Die Gruppen streiten, und jede hat ein Argument. Ein fairer Vergleich braucht eine Zahl, die nicht von der Anzahl der Kinder abhängt: den Mittelwert. Team Nord kommt auf 310 cm, Team Süd auf etwa 303 cm. Wie gleichmäßig ein Team springt, zeigt die Spannweite.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median beschreiben die Mitte einer Datenreihe, die Spannweite ihre Breite.

  1. ●38
    Punkte im Test: 6, 5, 3, 15, 2. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 6,2
  2. ●39
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 11, 10, 20, 16, 12. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 10, 11, 12, 16, 20
    2. Median = mittlerer Wert = 12
    3. Spannweite = 20 − 10 = 10
    Ergebnis:
    Median 12; Spannweite 10

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenKennwerte stehen für eine Gruppe

Ein Mittelwert oder Median steht für eine ganze Gruppe, die Spannweite für ihre Streuung. Gruppen vergleicht man über solche Kennwerte, nicht über einzelne Werte. Chancen zeigen sich erst bei vielen Versuchen.

Punktdiagramm einer Gruppe: Der Median 6 steht für die Mitte, die Spannweite 6 für die Streuung2345678910Median 6Spannweite 9 − 3 = 6

WeiterdenkenDenk nach

Team A hat den weitesten Springer, Team B den höheren Mittelwert. Welches Team ist besser – und was müsstest du wissen, um das zu entscheiden?

1Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

EntdeckenFrage

Warum nennen Statistiker beim Einkommen lieber den Median als den Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Einkommen ziehen den Durchschnitt nach oben, sodass die meisten Menschen darunter liegen. Der Median ist das Einkommen in der Mitte: Die eine Hälfte verdient weniger, die andere mehr. Deshalb beschreibt er, was für viele typisch ist, besser.

MerkenDatenreihen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.

Der Mittelwert zeigt die Mitte, die Spannweite zeigt, wie weit die Werte auseinanderliegen.

BeispielZwei Datenreihen mit Mittelwert und Median vergleichen

Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Team Nord: 10, 5, 3, 14, 8. Team Süd: 9, 14, 18, 5, 14. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe trifft öfter?
Team NordTeam Süd24681012141618
Schritt für Schritt
  1. Team Nord geordnet: 3, 5, 8, 10, 14, Median 8
  2. Team Süd geordnet: 5, 9, 14, 14, 18, Median 14
  3. 14 ist mehr als 8.
  1. Team Nord geordnet: 3, 5, 8, 10, 14, Median 8
  2. Team Süd geordnet: 5, 9, 14, 14, 18, Median 14
  3. 14 ist mehr als 8.
Ergebnis:
Team Süd (Median 14 gegen 8)

AchtungMittelwert falsch berechnet oder einzelne Werte verglichen

So nicht
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 3 = 20
So richtig
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 4 = 15

Alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Eine Gruppe vergleicht man über Kennwerte, nicht über ihren besten Wert.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Mädchen: 30, 30, 7, 10, 38. Jungen: 36, 36, 28, 17, 18. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe geht weiter?
    MädchenJungen510152025303540
    So fängst du an:
    Mädchen geordnet: 7, 10, 30, 30, 38, Median 30
    Lösung zeigen
    1. Mädchen geordnet: 7, 10, 30, 30, 38, Median 30
    2. Jungen geordnet: 17, 18, 28, 36, 36, Median 28
    3. 30 ist mehr als 28.
    Ergebnis:
    Mädchen (Median 30 gegen 28)
  2. ●2
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Team Nord: 17, 9, 9, 16, 9. Team Süd: 10, 5, 8, 14, 13. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe trifft öfter?
    Team NordTeam Süd4681012141618
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 17 + 9 + 9 + 16 + 9 = 60, 60 : 5 = 12
    2. Team Süd: 10 + 5 + 8 + 14 + 13 = 50, 50 : 5 = 10
    3. 12 ist mehr als 10.
    Ergebnis:
    Team Nord (12 Treffer gegen 10 Treffer)
  3. ★3
    Lesezeit am Tag, in Minuten. Mädchen: 47, 52, 31, 27, 17, 54. Jungen: 39, 16, 36, 37. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe liest länger?
    MädchenJungen152025303540455055
    Lösung zeigen
    1. Mädchen geordnet: 17, 27, 31, 47, 52, 54, Median 39
    2. Jungen geordnet: 16, 36, 37, 39, Median 36,5
    3. 39 ist mehr als 36,5.
    Ergebnis:
    Mädchen (Median 39 gegen 36,5)

2Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

EntdeckenFrage

Kann ein einziges Kind den Taschengeld-Durchschnitt einer ganzen Klasse verdoppeln?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. Bekommen 24 Kinder je 5 € und ein Kind 130 €, ist der Mittelwert 250 € : 25 = 10 €, also doppelt so viel wie fast alle bekommen. Der Median bleibt bei 5 €. Ein einziger Ausreißer verändert den Mittelwert stark, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.

Den Median verändert er kaum. Bei Ausreißern beschreibt der Median die Gruppe besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert oder Median?

Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 16, 26, 22, 242, 24. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder besser?
Werte050100150200250
Schritt für Schritt
  1. Mittelwert: 330 : 5 = 66
  2. Geordnet: 16, 22, 24, 26, 242, Median 24
  3. Der Wert 242 zieht den Mittelwert nach oben.
  1. Mittelwert: 330 : 5 = 66
  2. Geordnet: 16, 22, 24, 26, 242, Median 24
  3. Der Wert 242 zieht den Mittelwert nach oben.
Ergebnis:
Median (24 statt 66)

AchtungMittelwert trotz Ausreißer gewählt

So nicht
5, 6, 5, 7, 42 → Mittelwert 13 beschreibt die Gruppe
So richtig
5, 6, 5, 7, 42 → Median = 6 beschreibt die Gruppe besser

Liegt ein Wert weit weg von allen anderen, beschreibt der Median die Gruppe besser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Taschengeld in der Woche, in €: 6, 5, 9, 46, 4. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder der Gruppe besser?
    Werte01020304050
    So fängst du an:
    Mittelwert: 70 : 5 = 14
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 70 : 5 = 14
    2. Geordnet: 4, 5, 6, 9, 46, Median 6
    3. Der Wert 46 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (6 statt 14)
  2. ●5
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 7, 9, 46, 2, 6. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Fahrgäste besser?
    Werte01020304050
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 70 : 5 = 14
    2. Geordnet: 2, 6, 7, 9, 46, Median 7
    3. Der Wert 46 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (7 statt 14)
  3. ★6
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 3, 8, 59, 2, 7, 5. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 14 min.“ Beschreibt dieser Wert die Fahrgäste gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte0102030405060
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 2, 3, 5, 7, 8, 59
    2. Median: 6
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 59.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 6 passt besser

3Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

EntdeckenFrage

Wie kann eine Umfrage mit rund tausend Menschen etwas über ganz Deutschland sagen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn die Befragten gut ausgewählt sind, spiegeln sie die Bevölkerung im Kleinen. Der Anteil in der Umfrage ist dann eine Schätzung für den Anteil im ganzen Land. Große Umfragen zur Politik fragen deshalb meist nur etwa 1000 bis 1500 Menschen.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlender Wert aus dem Mittelwert

Aylin hat die Ergebnisse von 4 Runden Korbwurf notiert. Im Mittel waren es 9 Treffer. 3 Ergebnisse sind noch zu lesen: 15, 5, 6. Welches Ergebnis fehlt?
bisher4681012141618?
Schritt für Schritt
  1. Summe aller Werte: 4 · 9 = 36
  2. Summe der bekannten: 15 + 5 + 6 = 26
  3. 36 − 26 = 10
  1. Summe aller Werte: 4 · 9 = 36
  2. Summe der bekannten: 15 + 5 + 6 = 26
  3. 36 − 26 = 10
Ergebnis:
10 Treffer

AchtungFehlenden Wert vom Mittelwert statt von der Summe aus gesucht

So nicht
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → der fünfte ist 14
So richtig
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → 5 · 14 = 70, 70 − 54 = 16

Erst Mittelwert mal Anzahl: Das ist die Summe. Dann die bekannten Werte abziehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Tim hat die Ergebnisse von 4 Runden Korbwurf notiert. Im Mittel waren es 12 Treffer. 3 Ergebnisse sind noch zu lesen: 5, 8, 17. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher468101214161820?
    So fängst du an:
    Summe aller Werte: 4 · 12 = 48
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 12 = 48
    2. Summe der bekannten: 5 + 8 + 17 = 30
    3. 48 − 30 = 18
    Ergebnis:
    18 Treffer
  2. ●8
    Der Mittelwert von 5 Weitsprüngen ist 298 cm. Bekannt sind 329, 262, 252, 290. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 298 = 1490
    2. Summe der bekannten: 329 + 262 + 252 + 290 = 1133
    3. 1490 − 1133 = 357
    Ergebnis:
    357 cm
  3. ★9
    Der Mittelwert von 6 Lesetagen ist 27 min. Bekannt sind 31, 15, 37, 10, 31. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 6 · 27 = 162
    2. Summe der bekannten: 31 + 15 + 37 + 10 + 31 = 124
    3. 162 − 124 = 38
    Ergebnis:
    38 min

4Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Krankheitsfälle je 100.000 Einwohner und nicht einfach die Fälle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Großstadt hat natürlich mehr Fälle als ein Dorf, weil dort mehr Menschen leben. Erst wenn man die Fälle durch die Einwohnerzahl teilt, kann man Orte verschiedener Größe fair vergleichen. Das ist eine relative Häufigkeit, nur auf 100.000 Menschen hochgerechnet.

MerkenRelative Häufigkeit

Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.

Zum Beispiel 12 von 40 ergibt 12/40 = 3/10 = 0,3. So kann man verschieden große Gruppen vergleichen.

BeispielVerschieden große Gruppen über Anteile vergleichen

An der Schule am Park sagen 7 von 20 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 8 von 25 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Ben sagt: „An der Schule am See ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
A7 von 20B8 von 25
Schritt für Schritt
  1. Schule am Park: 720 = 0,35
  2. Schule am See: 825 = 0,32
  3. Die relative Häufigkeit ist an der Schule am Park größer.
  1. Schule am Park: 720 = 0,35
  2. Schule am See: 825 = 0,32
  3. Die relative Häufigkeit ist an der Schule am Park größer.
Ergebnis:
Nein, an der Schule am Park ist der Anteil größer

AchtungAnzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    In der Theater-AG haben 18 von 25 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 22 von 50 Kindern ein Haustier. Ben sagt: „In der Fußball-AG ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A18 von 25B22 von 50
    So fängst du an:
    Theater-AG: 1825 = 0,72
    Lösung zeigen
    1. Theater-AG: 1825 = 0,72
    2. Fußball-AG: 2250 = 0,44
    3. Die relative Häufigkeit ist in der Theater-AG größer.
    Ergebnis:
    Nein, in der Theater-AG ist der Anteil größer
  2. ●11
    An der Schule am Park sagen 22 von 50 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 6 von 10 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A22 von 50B6 von 10
    Lösung zeigen
    1. Schule am Park: 2250 = 0,44
    2. Schule am See: 610 = 0,6
    3. 0,6 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Schule am See (0,6)
  3. ★12
    In der Klasse 6a kommen 31 von 50 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 21 von 40 Kindern mit dem Rad zur Schule. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A31 von 50B21 von 40
    Lösung zeigen
    1. Klasse 6a: 3150 = 0,62
    2. Klasse 6b: 2140 = 0,525
    3. 0,62 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Klasse 6a (0,62)

5Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

EntdeckenFrage

Landet eine Reißzwecke öfter auf dem Rücken oder auf der Seite?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht ausrechnen, sondern nur ausprobieren. Nach zehn Würfen weiß man fast nichts, nach Hunderten von Würfen pendelt sich der Anteil ein. Je nach Form der Reißzwecke kommt etwas anderes heraus, deshalb ist der Versuch selbst die Antwort.

MerkenKreuztabelle

Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.

Jede Zeile und jede Spalte muss ihre Summe ergeben. Das ist die Kontrolle.

BeispielTabelle mit zwei Merkmalen lesen und ergänzen

Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Kinder der Klasse 6a kommen mit dem Bus?
RadBusgesamtKlasse 6a10?19Klasse 6b12315gesamt221234
Schritt für Schritt
  1. Zeile Klasse 6a: zusammen 19.
  2. 19 − 10 = 9
  3. Kontrolle mit der Spalte: 9 + 3 = 12
  1. Zeile Klasse 6a: zusammen 19.
  2. 19 − 10 = 9
  3. Kontrolle mit der Spalte: 9 + 3 = 12
Ergebnis:
9

AchtungNoch einmal: Anzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    In der Tabelle fehlen Zahlen. Wie viele Kinder wurden insgesamt befragt?
    RadBusgesamtKlasse 6a15??Klasse 6b151126gesamt?22?
    So fängst du an:
    Spalte Bus: 22 − 11 = 11
    Lösung zeigen
    1. Spalte Bus: 22 − 11 = 11
    2. Zeile Klasse 6a: 15 + 11 = 26
    3. Insgesamt: 26 + 26 = 52
    Ergebnis:
    52
  2. ●14
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Kinder aus Klasse 5 sind in einer AG?
    AG jaAG neingesamtKlasse 5?417Klasse 6141125gesamt271542
    Lösung zeigen
    1. Zeile Klasse 5: zusammen 17.
    2. 17 − 4 = 13
    3. Kontrolle mit der Spalte: 13 + 14 = 27
    Ergebnis:
    13
  3. ★15
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Kinder aus Klasse 6 sind in keiner AG?
    AG jaAG neingesamtKlasse 551015Klasse 69?16gesamt141731
    Lösung zeigen
    1. Zeile Klasse 6: zusammen 16.
    2. 16 − 9 = 7
    3. Kontrolle mit der Spalte: 7 + 10 = 17
    Ergebnis:
    7

6Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

EntdeckenFrage

Hat schon einmal jemand eine Münze 24.000-mal geworfen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja, der Statistiker Karl Pearson um 1900. Er bekam 12.012-mal Kopf, das sind 0,5005 aller Würfe. Schon im 18. Jahrhundert warf der Naturforscher Buffon 4040-mal und bekam 2048-mal Kopf. Je länger die Reihe, desto näher liegt der Anteil bei einhalb.

Ausprobieren: Zufallsversuch: Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Münze, Würfel oder Glücksrad oft werfen – die relative Häufigkeit pendelt sich bei der Wahrscheinlichkeit ein.

MerkenLangfristig stabil

Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.

Bei vielen Versuchen wird sie stabil. Dann ist sie eine gute Schätzung für die Chance.

BeispielRelative Häufigkeiten bei vielen Versuchen

Eine Reißzwecke wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft sie auf dem Rücken landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
Würfe1050100500Treffer51643196
Schritt für Schritt
  1. 5 : 10 = 0,5
  2. 43 : 100 = 0,43
  3. 196 : 500 = 0,392
  4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
  1. 5 : 10 = 0,5
  2. 43 : 100 = 0,43
  3. 196 : 500 = 0,392
  4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
Ergebnis:
0,392

AchtungAus wenigen Versuchen auf die Chance geschlossen

So nicht
3 Sechsen in 10 Würfen → Chance 3 : 10 = 0,3
So richtig
3 Sechsen in 10 Würfen → noch zu wenige; 100 Sechsen in 600 Würfen → 100 : 600 ≈ 0,17

Erst viele Versuche machen die relative Häufigkeit verlässlich.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,3.“ Hat sie recht?
    Würfe1050100500Treffer3111587
    So fängst du an:
    3 : 10 = 0,3
    Lösung zeigen
    1. 3 : 10 = 0,3
    2. 87 : 500 = 0,174
    3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
    4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,17.
    Ergebnis:
    Nein, eher 0,174
  2. ●17
    Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 50 Würfen.
    Würfe1050100500Treffer381388
    Lösung zeigen
    1. Treffer geteilt durch Würfe.
    2. 8 : 50 = 0,16
    Ergebnis:
    0,16
  3. ★18
    Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe10502001000Treffer4627155
    Lösung zeigen
    1. 4 : 10 = 0,4
    2. 27 : 200 = 0,135
    3. 155 : 1000 = 0,155
    4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
    Ergebnis:
    0,155

7Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Warum muss man beim Spiel „Die Siedler von Catan“ so oft den Räuber versetzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Räuber kommt bei der Augensumme 7. Von den 36 Ergebnissen zweier Würfel haben 6 die Summe 7, mehr als jede andere Summe. Die 2 und die 12 haben nur je ein Ergebnis. Deshalb sind die Zahlen 6 und 8 auf dem Spielfeld so wertvoll.

MerkenGewinnchancen auszählen

Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3. Wer alle günstigen Ergebnisse zählt, kennt die Chance.

BeispielGewinnchancen durch Auszählen

Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 7? Gib sie als gekürzten Bruch an.
123456123456?
Schritt für Schritt
  1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
  2. Summe 7: 1 und 6; 2 und 5; 3 und 4; 4 und 3; 5 und 2; 6 und 1
  3. 6 von 36, also 636 = 16
  1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
  2. Summe 7: 1 und 6; 2 und 5; 3 und 4; 4 und 3; 5 und 2; 6 und 1
  3. 6 von 36, also 636 = 16
Ergebnis:
16

AchtungErgebnisse unvollständig gezählt

So nicht
Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36
So richtig
Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 3? Gib sie als gekürzten Bruch an.
    123456123456?
    So fängst du an:
    Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    Lösung zeigen
    1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    2. Summe 3: 1 und 2; 2 und 1
    3. 2 von 36, also 236 = 118
    Ergebnis:
    118
  2. ●20
    Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Kopf und eine Sechs?
    123456KopfZahl?
    Lösung zeigen
    1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    2. Günstig: 1 Ergebnis.
    3. Die Chance ist 1 von 12, also 1/12.
    Ergebnis:
    12 Ergebnisse, 1 davon günstig
  3. ★21
    Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 11? Gib sie als gekürzten Bruch an.
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    2. Summe 11: 5 und 6; 6 und 5
    3. 2 von 36, also 236 = 118
    Ergebnis:
    118

8Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

EntdeckenFrage

Ist ein Spiel fair, bei dem einer bei geradem und der andere bei ungeradem Augenprodukt gewinnt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Ungerade ist das Produkt nur, wenn beide Würfel ungerade zeigen: 3 · 3 = 9 von 36 Ergebnissen. Gerade ist es bei den übrigen 27. Wer auf gerade setzt, gewinnt also dreimal so oft – obwohl es gerecht aussieht.

MerkenFairness

Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Gefühle täuschen, Zählen nicht.

BeispielIst das Spiel fair?

Jonas und Ben werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn beide Würfel dieselbe Zahl zeigen. Ben bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme 11 oder 12 ist. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
Schritt für Schritt
  1. Jonas: 6 von 36 Ergebnissen
  2. Ben: 3 von 36 Ergebnissen
  3. 6 ist mehr als 3.
  1. Jonas: 6 von 36 Ergebnissen
  2. Ben: 3 von 36 Ergebnissen
  3. 6 ist mehr als 3.
Ergebnis:
nicht fair, Jonas gewinnt öfter (6 zu 3)

AchtungAlle Ergebnisse gleich wahrscheinlich angenommen

So nicht
Augensumme 7 → 1/11
So richtig
Augensumme 7 → 6/36 = 1/6

Zähl in der Tabelle mit 36 Feldern, wie oft die Summe vorkommt.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Anna und Ben werfen eine Münze und einen Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn Kopf und eine gerade Zahl kommt. Ben bekommt einen Punkt, wenn Zahl und eine ungerade Zahl kommt. Ben meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    So fängst du an:
    Anna: 3 von 12 Ergebnissen
    Lösung zeigen
    1. Anna: 3 von 12 Ergebnissen
    2. Ben: 3 von 12 Ergebnissen
    3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
    Ergebnis:
    fair (3 zu 3)
  2. ●23
    Mila und Ben werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn das Augenprodukt gerade ist. Ben bekommt einen Punkt, wenn es ungerade ist. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Ben je Treffer bekommen, damit es fair wird?
    Lösung zeigen
    1. Mila: 27 von 36 Ergebnissen
    2. Ben: 9 von 36 Ergebnissen
    3. Mila gewinnt 3-mal so oft.
    4. Ben braucht 3 Punkte je Treffer.
    Ergebnis:
    3 Punkte
  3. ★24
    Anna und Lotta werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme kleiner als 7 ist. Lotta bekommt einen Punkt, wenn sie größer als 7 ist; bei 7 wird neu geworfen. Lotta meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    1. Anna: 15 von 36 Ergebnissen
    2. Lotta: 15 von 36 Ergebnissen
    3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
    Ergebnis:
    fair (15 zu 15)

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Team Nord: 309, 381, 339, 267, 314. Team Süd: 379, 312, 362, 327, 285. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe springt weiter?
    Team NordTeam Süd260280300320340360380400
    Lösung zeigen
    1. Team Nord geordnet: 267, 309, 314, 339, 381, Median 314
    2. Team Süd geordnet: 285, 312, 327, 362, 379, Median 327
    3. 327 ist mehr als 314.
    Ergebnis:
    Team Süd (Median 327 gegen 314)
  2. ●26
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Team Nord: 6, 11, 16, 10, 12. Team Süd: 12, 9, 12, 12, 10. Beide Gruppen haben denselben Mittelwert. Worin unterscheiden sie sich? Nutze die Spannweite.
    Team NordTeam Süd6810121416
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert beider Gruppen: 55 : 5 = 11
    2. Team Nord: 16 − 6 = 10
    3. Team Süd: 12 − 9 = 3
    4. Die Werte von Team Süd liegen enger beisammen.
    Ergebnis:
    gleichmäßiger: Team Süd (Spannweite 3 gegen 10)
  3. ●27
    Taschengeld in der Woche, in €: 7, 51, 9, 5, 3. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 15 €.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder der Gruppe gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte0102030405060
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 3, 5, 7, 9, 51
    2. Median: 7
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 51.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 7 passt besser
  4. ●28
    Mila hat die Ergebnisse von 5 Weitsprüngen notiert. Im Mittel waren es 324 cm. 4 Ergebnisse sind noch zu lesen: 337, 341, 325, 343. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher325330335340345350?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 324 = 1620
    2. Summe der bekannten: 337 + 341 + 325 + 343 = 1346
    3. 1620 − 1346 = 274
    Ergebnis:
    274 cm
  5. ●29
    An der Schule am Park sagen 15 von 20 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 28 von 50 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Ben sagt: „An der Schule am See ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A15 von 20B28 von 50
    Lösung zeigen
    1. Schule am Park: 1520 = 0,75
    2. Schule am See: 2850 = 0,56
    3. Die relative Häufigkeit ist an der Schule am Park größer.
    Ergebnis:
    Nein, an der Schule am Park ist der Anteil größer
  6. ●30
    Bei einer Umfrage antworten 20 Kinder. 16 von ihnen sagen, dass sie ein Instrument spielen. Gib die relative Häufigkeit als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl an.
    Lösung zeigen
    1. Relative Häufigkeit: Anzahl geteilt durch alle, 1620
    2. Gekürzt: 1620 = 45
    3. Als Dezimalzahl: 16 : 20 = 0,8
    Ergebnis:
    45 = 0,8

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Datenreihen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.
Ausreißer
Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Relative Häufigkeit
Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.
Kreuztabelle
Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.
Langfristig stabil
Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.
Gewinnchancen auszählen
Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.
Fairness
Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

    31
    Lesezeit am Tag, in Minuten. Gruppe Adler: 46, 22, 53, 19, 40. Gruppe Falken: 48, 33, 27, 48, 14. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe liest länger?
    Gruppe AdlerGruppe Falken10152025303540455055
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Gruppe Adler (Median 40 gegen 33)

  2. Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

    32
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 3, 3, 6, 8, 55. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Fahrgäste besser?
    Werte0102030405060
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Median (6 statt 15)

  3. Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

    33
    Der Mittelwert von 5 Kopfrechentests ist 20 Punkte. Bekannt sind 15, 27, 26, 16. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    16 Punkte

  4. Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

    34
    An der Schule am Park sagen 9 von 20 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 6 von 10 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A9 von 20B6 von 10
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Schule am See (0,6)

  5. Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

    35
    In der Tabelle fehlen Zahlen. Wie viele Kinder wurden insgesamt befragt?
    AG jaAG neingesamtKlasse 56??Klasse 68412gesamt?9?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    23

  6. Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

    36
    Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe1050100500Treffer4121689
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    0,178

  7. Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

    37
    Mila und Emre werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn beide Würfel dieselbe Zahl zeigen. Emre bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme 11 oder 12 ist. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Emre je Treffer bekommen, damit es fair wird?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2 Punkte

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Mittelwert als faire Vergleichszahl für verschieden große Gruppen, die Spannweite für die Streuung.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Sportergebnisse vergleichen, Umfragen in der Klasse auswerten, Spielregeln auf Fairness prüfen. Beruf: Marktforschung, Qualitätskontrolle in der Produktion, Wetter- und Verkehrsstatistik.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Brüche und Dezimalzahlen, Systematisch zählen

Darauf baut auf: Daten und Zufall

Lösungen

  1. Mädchen (Median 30 gegen 28)
  2. Team Nord (12 Treffer gegen 10 Treffer)
  3. Mädchen (Median 39 gegen 36,5)
  4. Median (6 statt 14)
  5. Median (7 statt 14)
  6. Nein, der Median 6 passt besser
  7. 18 Treffer
  8. 357 cm
  9. 38 min
  10. Nein, in der Theater-AG ist der Anteil größer
  11. Schule am See (0,6)
  12. Klasse 6a (0,62)
  13. 52
  14. 13
  15. 7
  16. Nein, eher 0,174
  17. 0,16
  18. 0,155
  19. 118
  20. 12 Ergebnisse, 1 davon günstig
  21. 118
  22. fair (3 zu 3)
  23. 3 Punkte
  24. fair (15 zu 15)
  25. Team Süd (Median 327 gegen 314)
  26. gleichmäßiger: Team Süd (Spannweite 3 gegen 10)
  27. Nein, der Median 7 passt besser
  28. 274 cm
  29. Nein, an der Schule am Park ist der Anteil größer
  30. 45 = 0,8
  31. Gruppe Adler (Median 40 gegen 33)
  32. Median (6 statt 15)
  33. 16 Punkte
  34. Schule am See (0,6)
  35. 23
  36. 0,178
  37. 2 Punkte
  38. x̄ = 6,2
  39. Median 12; Spannweite 10