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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

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Daten vergleichen und Zufall untersuchen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Einige nennen Team Süd, weil dort der weiteste Sprung ist oder weil die Summe größer ist. Andere widersprechen, weil Team Süd ein Kind mehr hat. Die Gruppen streiten, und jede hat ein Argument. Ein fairer Vergleich braucht eine Zahl, die nicht von der Anzahl der Kinder abhängt: den Mittelwert. Team Nord kommt auf 310 cm, Team Süd auf etwa 303 cm. Wie gleichmäßig ein Team springt, zeigt die Spannweite.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median beschreiben die Mitte einer Datenreihe, die Spannweite ihre Breite.

  1. ●37
    Punkte im Test: 12, 12, 1, 11, 1. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 7,4
  2. ●38
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 17, 16, 3, 4, 12. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 3, 4, 12, 16, 17
    2. Median = mittlerer Wert = 12
    3. Spannweite = 17 − 3 = 14
    Ergebnis:
    Median 12; Spannweite 14

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenKennwerte stehen für eine Gruppe

Ein Mittelwert oder Median steht für eine ganze Gruppe, die Spannweite für ihre Streuung. Gruppen vergleicht man über solche Kennwerte, nicht über einzelne Werte. Chancen zeigen sich erst bei vielen Versuchen.

Punktdiagramm einer Gruppe: Der Median 6 steht für die Mitte, die Spannweite 6 für die Streuung2345678910Median 6Spannweite 9 − 3 = 6

WeiterdenkenDenk nach

Team A hat den weitesten Springer, Team B den höheren Mittelwert. Welches Team ist besser – und was müsstest du wissen, um das zu entscheiden?

1Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

EntdeckenFrage

Warum nennen Statistiker beim Einkommen lieber den Median als den Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Einkommen ziehen den Durchschnitt nach oben, sodass die meisten Menschen darunter liegen. Der Median ist das Einkommen in der Mitte: Die eine Hälfte verdient weniger, die andere mehr. Deshalb beschreibt er, was für viele typisch ist, besser.

MerkenDatenreihen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.

Der Mittelwert zeigt die Mitte, die Spannweite zeigt, wie weit die Werte auseinanderliegen.

BeispielZwei Datenreihen mit Mittelwert und Median vergleichen

Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Team Nord: 10, 18, 17, 4, 16. Team Süd: 9, 14, 10, 15, 7. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
Team NordTeam Süd4681012141618
Schritt für Schritt
  1. Team Nord: 10 + 18 + 17 + 4 + 16 = 65, 65 : 5 = 13
  2. Team Süd: 9 + 14 + 10 + 15 + 7 = 55, 55 : 5 = 11
  3. 13 − 11 = 2
  1. Team Nord: 10 + 18 + 17 + 4 + 16 = 65, 65 : 5 = 13
  2. Team Süd: 9 + 14 + 10 + 15 + 7 = 55, 55 : 5 = 11
  3. 13 − 11 = 2
Ergebnis:
Team Nord, um 2 Treffer

AchtungMittelwert falsch berechnet oder einzelne Werte verglichen

So nicht
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 3 = 20
So richtig
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 4 = 15

Alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Eine Gruppe vergleicht man über Kennwerte, nicht über ihren besten Wert.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Gruppe Adler: 28, 11, 14, 29, 18. Gruppe Falken: 16, 8, 26, 25, 20. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe hat mehr Punkte?
    Gruppe AdlerGruppe Falken51015202530
    So fängst du an:
    Gruppe Adler geordnet: 11, 14, 18, 28, 29, Median 18
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler geordnet: 11, 14, 18, 28, 29, Median 18
    2. Gruppe Falken geordnet: 8, 16, 20, 25, 26, Median 20
    3. 20 ist mehr als 18.
    Ergebnis:
    Gruppe Falken (Median 20 gegen 18)
  2. ●2
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Gruppe Adler: 9, 24, 11, 39, 27. Gruppe Falken: 16, 36, 6, 34, 8. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe geht weiter?
    Gruppe AdlerGruppe Falken510152025303540
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler geordnet: 9, 11, 24, 27, 39, Median 24
    2. Gruppe Falken geordnet: 6, 8, 16, 34, 36, Median 16
    3. 24 ist mehr als 16.
    Ergebnis:
    Gruppe Adler (Median 24 gegen 16)
  3. ★3
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Gruppe Adler: 20, 16, 23, 19, 22, 26. Gruppe Falken: 15, 21, 23, 11, 14, 12. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe hat mehr Punkte?
    Gruppe AdlerGruppe Falken101214161820222426
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 20 + 16 + 23 + 19 + 22 + 26 = 126, 126 : 6 = 21
    2. Gruppe Falken: 15 + 21 + 23 + 11 + 14 + 12 = 96, 96 : 6 = 16
    3. 21 ist mehr als 16.
    Ergebnis:
    Gruppe Adler (21 Punkte gegen 16 Punkte)

2Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

EntdeckenFrage

Kann ein einziges Kind den Taschengeld-Durchschnitt einer ganzen Klasse verdoppeln?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. Bekommen 24 Kinder je 5 € und ein Kind 130 €, ist der Mittelwert 250 € : 25 = 10 €, also doppelt so viel wie fast alle bekommen. Der Median bleibt bei 5 €. Ein einziger Ausreißer verändert den Mittelwert stark, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.

Den Median verändert er kaum. Bei Ausreißern beschreibt der Median die Gruppe besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert oder Median?

Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 6, 60, 4, 2, 8. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 16 min.“ Beschreibt dieser Wert die Fahrgäste gut? Vergleiche mit dem Median.
Werte0102030405060
Schritt für Schritt
  1. Geordnet: 2, 4, 6, 8, 60
  2. Median: 6
  3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 60.
  4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
  1. Geordnet: 2, 4, 6, 8, 60
  2. Median: 6
  3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 60.
  4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
Ergebnis:
Nein, der Median 6 passt besser

AchtungMittelwert trotz Ausreißer gewählt

So nicht
5, 6, 5, 7, 42 → Mittelwert 13 beschreibt die Gruppe
So richtig
5, 6, 5, 7, 42 → Median = 6 beschreibt die Gruppe besser

Liegt ein Wert weit weg von allen anderen, beschreibt der Median die Gruppe besser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 226, 30, 22, 15, 17. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 62 Bücher.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte050100150200250
    So fängst du an:
    Geordnet: 15, 17, 22, 30, 226
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 15, 17, 22, 30, 226
    2. Median: 22
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 226.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 22 passt besser
  2. ●5
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 26, 269, 55, 30, 45. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 85 min.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte050100150200250300
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 26, 30, 45, 55, 269
    2. Median: 45
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 269.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 45 passt besser
  3. ★6
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 8, 4, 8, 6, 42, 4. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 12 min.“ Beschreibt dieser Wert die Fahrgäste gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte051015202530354045
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 4, 4, 6, 8, 8, 42
    2. Median: 7
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 42.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 7 passt besser

3Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

EntdeckenFrage

Wie kann eine Umfrage mit rund tausend Menschen etwas über ganz Deutschland sagen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn die Befragten gut ausgewählt sind, spiegeln sie die Bevölkerung im Kleinen. Der Anteil in der Umfrage ist dann eine Schätzung für den Anteil im ganzen Land. Große Umfragen zur Politik fragen deshalb meist nur etwa 1000 bis 1500 Menschen.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlender Wert aus dem Mittelwert

Der Mittelwert von 4 Kopfrechentests ist 18 Punkte. Bekannt sind 10, 26, 14. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
Schritt für Schritt
  1. Summe aller Werte: 4 · 18 = 72
  2. Summe der bekannten: 10 + 26 + 14 = 50
  3. 72 − 50 = 22
  1. Summe aller Werte: 4 · 18 = 72
  2. Summe der bekannten: 10 + 26 + 14 = 50
  3. 72 − 50 = 22
Ergebnis:
22 Punkte

AchtungFehlenden Wert vom Mittelwert statt von der Summe aus gesucht

So nicht
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → der fünfte ist 14
So richtig
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → 5 · 14 = 70, 70 − 54 = 16

Erst Mittelwert mal Anzahl: Das ist die Summe. Dann die bekannten Werte abziehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Mila möchte bei 5 Kopfrechentests im Mittel genau 18 Punkte erreichen. Die ersten Ergebnisse: 24, 17, 14, 12. Was braucht Mila beim letzten Mal?
    bisher1214161820222426?
    So fängst du an:
    Summe aller Werte: 5 · 18 = 90
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 18 = 90
    2. Summe der bekannten: 24 + 17 + 14 + 12 = 67
    3. 90 − 67 = 23
    Ergebnis:
    23 Punkte
  2. ●8
    Der Mittelwert von 4 Runden Korbwurf ist 12 Treffer. Bekannt sind 12, 15, 11. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 12 = 48
    2. Summe der bekannten: 12 + 15 + 11 = 38
    3. 48 − 38 = 10
    Ergebnis:
    10 Treffer
  3. ★9
    Tim möchte bei 6 Kopfrechentests im Mittel genau 22 Punkte erreichen. Die ersten Ergebnisse: 19, 23, 23, 10, 29. Was braucht Tim beim letzten Mal?
    bisher101520253035?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 6 · 22 = 132
    2. Summe der bekannten: 19 + 23 + 23 + 10 + 29 = 104
    3. 132 − 104 = 28
    Ergebnis:
    28 Punkte

4Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Krankheitsfälle je 100.000 Einwohner und nicht einfach die Fälle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Großstadt hat natürlich mehr Fälle als ein Dorf, weil dort mehr Menschen leben. Erst wenn man die Fälle durch die Einwohnerzahl teilt, kann man Orte verschiedener Größe fair vergleichen. Das ist eine relative Häufigkeit, nur auf 100.000 Menschen hochgerechnet.

MerkenRelative Häufigkeit

Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.

Zum Beispiel 12 von 40 ergibt 12/40 = 3/10 = 0,3. So kann man verschieden große Gruppen vergleichen.

BeispielVerschieden große Gruppen über Anteile vergleichen

In der Theater-AG haben 8 von 10 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 14 von 40 Kindern ein Haustier. Ben sagt: „In der Fußball-AG ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
A8 von 10B14 von 40
Schritt für Schritt
  1. Theater-AG: 810 = 0,8
  2. Fußball-AG: 1440 = 0,35
  3. Die relative Häufigkeit ist in der Theater-AG größer.
  1. Theater-AG: 810 = 0,8
  2. Fußball-AG: 1440 = 0,35
  3. Die relative Häufigkeit ist in der Theater-AG größer.
Ergebnis:
Nein, in der Theater-AG ist der Anteil größer

AchtungAnzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 15-mal bei 25 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 39-mal bei 50 Schüssen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    Team Nord15 von 25Team Süd39 von 50
    So fängst du an:
    Team Nord: 1525 = 0,6
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 1525 = 0,6
    2. Team Süd: 3950 = 0,78
    3. 0,78 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Team Süd (0,78)
  2. ●11
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 19-mal bei 50 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 4-mal bei 10 Schüssen. Ben sagt: „Bei Team Nord ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    Team Nord19 von 50Team Süd4 von 10
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 1950 = 0,38
    2. Team Süd: 410 = 0,4
    3. Die relative Häufigkeit ist bei Team Süd größer.
    Ergebnis:
    Nein, bei Team Süd ist der Anteil größer
  3. ★12
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 17-mal bei 40 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 25-mal bei 50 Schüssen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    Team Nord17 von 40Team Süd25 von 50
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 1740 = 0,425
    2. Team Süd: 2550 = 0,5
    3. 0,5 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Team Süd (0,5)

5Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

EntdeckenFrage

Landet eine Reißzwecke öfter auf dem Rücken oder auf der Seite?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht ausrechnen, sondern nur ausprobieren. Nach zehn Würfen weiß man fast nichts, nach Hunderten von Würfen pendelt sich der Anteil ein. Je nach Form der Reißzwecke kommt etwas anderes heraus, deshalb ist der Versuch selbst die Antwort.

MerkenKreuztabelle

Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.

Jede Zeile und jede Spalte muss ihre Summe ergeben. Das ist die Kontrolle.

BeispielTabelle mit zwei Merkmalen lesen und ergänzen

Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Rad?
RadBusgesamtKlasse 6a9817Klasse 6b?614gesamt171431
Schritt für Schritt
  1. Zeile Klasse 6b: zusammen 14.
  2. 14 − 6 = 8
  3. Kontrolle mit der Spalte: 8 + 9 = 17
  1. Zeile Klasse 6b: zusammen 14.
  2. 14 − 6 = 8
  3. Kontrolle mit der Spalte: 8 + 9 = 17
Ergebnis:
8

AchtungNoch einmal: Anzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Bei einer Umfrage machen 45 Kinder mit, davon sind 20 Kinder aus Klasse 5. 10 Kinder aus Klasse 5 und 14 Kinder aus Klasse 6 sind in einer AG. Wie viele Kinder aus Klasse 6 sind in keiner AG? Lege eine Tabelle an.
    So fängst du an:
    Kinder aus Klasse 6: 45 − 20 = 25
    Lösung zeigen
    1. Kinder aus Klasse 6: 45 − 20 = 25
    2. Kinder aus Klasse 6, die in keiner AG sind: 25 − 14 = 11
    3. Kontrolle: 10 + 10 + 14 + 11 = 45
    Ergebnis:
    11
  2. ●14
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Kinder aus Klasse 5 sind in einer AG?
    AG jaAG neingesamtKlasse 5?414Klasse 6131225gesamt231639
    Lösung zeigen
    1. Zeile Klasse 5: zusammen 14.
    2. 14 − 4 = 10
    3. Kontrolle mit der Spalte: 10 + 13 = 23
    Ergebnis:
    10
  3. ★15
    Bei einer Umfrage machen 36 Kinder mit, davon sind 13 Mädchen. 4 Mädchen und 12 Jungen haben gefrühstückt. Wie viele Jungen haben nicht gefrühstückt? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    1. Jungen: 36 − 13 = 23
    2. Jungen, die nicht gefrühstückt haben: 23 − 12 = 11
    3. Kontrolle: 4 + 9 + 12 + 11 = 36
    Ergebnis:
    11

6Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

EntdeckenFrage

Hat schon einmal jemand eine Münze 24.000-mal geworfen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja, der Statistiker Karl Pearson um 1900. Er bekam 12.012-mal Kopf, das sind 0,5005 aller Würfe. Schon im 18. Jahrhundert warf der Naturforscher Buffon 4040-mal und bekam 2048-mal Kopf. Je länger die Reihe, desto näher liegt der Anteil bei einhalb.

Ausprobieren: Zufallsversuch: Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Münze, Würfel oder Glücksrad oft werfen – die relative Häufigkeit pendelt sich bei der Wahrscheinlichkeit ein.

MerkenLangfristig stabil

Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.

Bei vielen Versuchen wird sie stabil. Dann ist sie eine gute Schätzung für die Chance.

BeispielRelative Häufigkeiten bei vielen Versuchen

Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,1.“ Hat sie recht?
Würfe1050100500Treffer11629149
Schritt für Schritt
  1. 1 : 10 = 0,1
  2. 149 : 500 = 0,298
  3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
  4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,3.
  1. 1 : 10 = 0,1
  2. 149 : 500 = 0,298
  3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
  4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,3.
Ergebnis:
Nein, eher 0,298

AchtungAus wenigen Versuchen auf die Chance geschlossen

So nicht
3 Sechsen in 10 Würfen → Chance 3 : 10 = 0,3
So richtig
3 Sechsen in 10 Würfen → noch zu wenige; 100 Sechsen in 600 Würfen → 100 : 600 ≈ 0,17

Erst viele Versuche machen die relative Häufigkeit verlässlich.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,1.“ Hat sie recht?
    Würfe1050100500Treffer151877
    So fängst du an:
    1 : 10 = 0,1
    Lösung zeigen
    1. 1 : 10 = 0,1
    2. 77 : 500 = 0,154
    3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
    4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,15.
    Ergebnis:
    Nein, eher 0,154
  2. ●17
    Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe1050100500Treffer51528147
    Lösung zeigen
    1. 5 : 10 = 0,5
    2. 28 : 100 = 0,28
    3. 147 : 500 = 0,294
    4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
    Ergebnis:
    0,294
  3. ★18
    Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,5.“ Hat sie recht?
    Würfe10502001000Treffer51759302
    Lösung zeigen
    1. 5 : 10 = 0,5
    2. 302 : 1000 = 0,302
    3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
    4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,3.
    Ergebnis:
    Nein, eher 0,302

7Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Warum muss man beim Spiel „Die Siedler von Catan“ so oft den Räuber versetzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Räuber kommt bei der Augensumme 7. Von den 36 Ergebnissen zweier Würfel haben 6 die Summe 7, mehr als jede andere Summe. Die 2 und die 12 haben nur je ein Ergebnis. Deshalb sind die Zahlen 6 und 8 auf dem Spielfeld so wertvoll.

MerkenGewinnchancen auszählen

Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3. Wer alle günstigen Ergebnisse zählt, kennt die Chance.

BeispielGewinnchancen durch Auszählen

Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Kopf und eine gerade Zahl?
123456KopfZahl?
Schritt für Schritt
  1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
  2. Günstig: 3 Ergebnisse.
  3. Die Chance ist 3 von 12, also 1/4.
  1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
  2. Günstig: 3 Ergebnisse.
  3. Die Chance ist 3 von 12, also 1/4.
Ergebnis:
12 Ergebnisse, 3 davon günstig

AchtungErgebnisse unvollständig gezählt

So nicht
Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36
So richtig
Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 7? Gib sie als gekürzten Bruch an.
    123456123456?
    So fängst du an:
    Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    Lösung zeigen
    1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    2. Summe 7: 1 und 6; 2 und 5; 3 und 4; 4 und 3; 5 und 2; 6 und 1
    3. 6 von 36, also 636 = 16
    Ergebnis:
    16
  2. ●20
    Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Kopf und eine Sechs?
    123456KopfZahl?
    Lösung zeigen
    1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    2. Günstig: 1 Ergebnis.
    3. Die Chance ist 1 von 12, also 1/12.
    Ergebnis:
    12 Ergebnisse, 1 davon günstig
  3. ★21
    Zwei Würfel werden geworfen, und die Augenzahlen werden malgenommen. Bei wie vielen der 36 Ergebnisse kommt 6 heraus?
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Geordnet zählen: erst Würfel 1, dann Würfel 2.
    2. Produkt 6: 1 und 6; 2 und 3; 3 und 2; 6 und 1
    3. Das sind 4 Ergebnisse.
    Ergebnis:
    4 Ergebnisse

8Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

EntdeckenFrage

Ist ein Spiel fair, bei dem einer bei geradem und der andere bei ungeradem Augenprodukt gewinnt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Ungerade ist das Produkt nur, wenn beide Würfel ungerade zeigen: 3 · 3 = 9 von 36 Ergebnissen. Gerade ist es bei den übrigen 27. Wer auf gerade setzt, gewinnt also dreimal so oft – obwohl es gerecht aussieht.

MerkenFairness

Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Gefühle täuschen, Zählen nicht.

BeispielIst das Spiel fair?

Mila und Emre werfen einen Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn eine 1 oder 2 geworfen wird. Emre bekommt einen Punkt, wenn eine 3, 4, 5 oder 6 geworfen wird. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Mila je Treffer bekommen, damit es fair wird?
Schritt für Schritt
  1. Mila: 2 von 6 Ergebnissen
  2. Emre: 4 von 6 Ergebnissen
  3. Emre gewinnt 2-mal so oft.
  4. Mila braucht 2 Punkte je Treffer.
  1. Mila: 2 von 6 Ergebnissen
  2. Emre: 4 von 6 Ergebnissen
  3. Emre gewinnt 2-mal so oft.
  4. Mila braucht 2 Punkte je Treffer.
Ergebnis:
2 Punkte

AchtungAlle Ergebnisse gleich wahrscheinlich angenommen

So nicht
Augensumme 7 → 1/11
So richtig
Augensumme 7 → 6/36 = 1/6

Zähl in der Tabelle mit 36 Feldern, wie oft die Summe vorkommt.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Anna und Ben werfen eine Münze und einen Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn Kopf und eine gerade Zahl kommt. Ben bekommt einen Punkt, wenn Zahl und eine ungerade Zahl kommt. Ben meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    So fängst du an:
    Anna: 3 von 12 Ergebnissen
    Lösung zeigen
    1. Anna: 3 von 12 Ergebnissen
    2. Ben: 3 von 12 Ergebnissen
    3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
    Ergebnis:
    fair (3 zu 3)
  2. ●23
    Anna und Emre werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme kleiner als 7 ist. Emre bekommt einen Punkt, wenn sie größer als 7 ist; bei 7 wird neu geworfen. Emre meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    1. Anna: 15 von 36 Ergebnissen
    2. Emre: 15 von 36 Ergebnissen
    3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
    Ergebnis:
    fair (15 zu 15)
  3. ★24
    Jonas und Ben werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme gerade ist. Ben bekommt einen Punkt, wenn sie ungerade ist. Ben meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    1. Jonas: 18 von 36 Ergebnissen
    2. Ben: 18 von 36 Ergebnissen
    3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
    Ergebnis:
    fair (18 zu 18)

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Team Nord: 6, 12, 7, 13, 17. Team Süd: 6, 8, 18, 5, 8. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe trifft öfter?
    Team NordTeam Süd4681012141618
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 6 + 12 + 7 + 13 + 17 = 55, 55 : 5 = 11
    2. Team Süd: 6 + 8 + 18 + 5 + 8 = 45, 45 : 5 = 9
    3. 11 ist mehr als 9.
    Ergebnis:
    Team Nord (11 Treffer gegen 9 Treffer)
  2. ●26
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Team Nord: 20, 20, 22, 21, 22. Team Süd: 13, 30, 16, 18, 28. Beide Gruppen haben denselben Mittelwert. Worin unterscheiden sie sich? Nutze die Spannweite.
    Team NordTeam Süd1015202530
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert beider Gruppen: 105 : 5 = 21
    2. Team Nord: 22 − 20 = 2
    3. Team Süd: 30 − 13 = 17
    4. Die Werte von Team Nord liegen enger beisammen.
    Ergebnis:
    gleichmäßiger: Team Nord (Spannweite 2 gegen 17)
  3. ●27
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 34, 37, 32, 57, 385. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder besser?
    Werte050100150200250300350400
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 545 : 5 = 109
    2. Geordnet: 32, 34, 37, 57, 385, Median 37
    3. Der Wert 385 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (37 statt 109)
  4. ●28
    Lukas möchte bei 4 Weitsprüngen im Mittel genau 307 cm erreichen. Die ersten Ergebnisse: 297, 262, 354. Was braucht Lukas beim letzten Mal?
    bisher260280300320340360380?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 307 = 1228
    2. Summe der bekannten: 297 + 262 + 354 = 913
    3. 1228 − 913 = 315
    Ergebnis:
    315 cm
  5. ●29
    In der Theater-AG haben 22 von 50 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 11 von 40 Kindern ein Haustier. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A22 von 50B11 von 40
    Lösung zeigen
    1. Theater-AG: 2250 = 0,44
    2. Fußball-AG: 1140 = 0,275
    3. 0,44 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Theater-AG (0,44)
  6. ●30
    Beim Basketball wirft Jana 10-mal auf den Korb und trifft 8-mal. Gib die relative Häufigkeit als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl an.
    Treffer8 von 10
    Lösung zeigen
    1. Relative Häufigkeit: Anzahl geteilt durch alle, 810
    2. Gekürzt: 810 = 45
    3. Als Dezimalzahl: 8 : 10 = 0,8
    Ergebnis:
    45 = 0,8

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Datenreihen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.
Ausreißer
Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Relative Häufigkeit
Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.
Kreuztabelle
Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.
Langfristig stabil
Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.
Gewinnchancen auszählen
Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.
Fairness
Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

    31
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Mädchen: 29, 13, 37, 30, 21. Jungen: 23, 36, 18, 18, 15. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    MädchenJungen10152025303540
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Mädchen, um 4 Hundert Schritte

  2. Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

    32
    Taschengeld in der Woche, in €: 5, 5, 41, 6, 8. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte51015202530354045
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Ausreißer 41, Mittelwert 13 statt 6

  3. Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

    33
    Noah hat die Ergebnisse von 5 Weitsprüngen notiert. Im Mittel waren es 301 cm. 4 Ergebnisse sind noch zu lesen: 365, 281, 260, 359. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher260280300320340360380400?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    240 cm

  4. Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

    34
    An der Schule am Park sagen 10 von 20 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 30 von 40 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A10 von 20B30 von 40
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Schule am See (0,75)

  5. Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

    35
    Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe1050100500Treffer52241198
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    0,396

  6. Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

    36
    Jonas und Emre werfen einen Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn eine 1 oder 2 geworfen wird. Emre bekommt einen Punkt, wenn eine 3, 4, 5 oder 6 geworfen wird. Emre meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nicht fair, Emre gewinnt öfter (4 zu 2)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Mittelwert als faire Vergleichszahl für verschieden große Gruppen, die Spannweite für die Streuung.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Sportergebnisse vergleichen, Umfragen in der Klasse auswerten, Spielregeln auf Fairness prüfen. Beruf: Marktforschung, Qualitätskontrolle in der Produktion, Wetter- und Verkehrsstatistik.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Brüche und Dezimalzahlen, Systematisch zählen

Darauf baut auf: Daten und Zufall

Lösungen

  1. Gruppe Falken (Median 20 gegen 18)
  2. Gruppe Adler (Median 24 gegen 16)
  3. Gruppe Adler (21 Punkte gegen 16 Punkte)
  4. Nein, der Median 22 passt besser
  5. Nein, der Median 45 passt besser
  6. Nein, der Median 7 passt besser
  7. 23 Punkte
  8. 10 Treffer
  9. 28 Punkte
  10. Team Süd (0,78)
  11. Nein, bei Team Süd ist der Anteil größer
  12. Team Süd (0,5)
  13. 11
  14. 10
  15. 11
  16. Nein, eher 0,154
  17. 0,294
  18. Nein, eher 0,302
  19. 16
  20. 12 Ergebnisse, 1 davon günstig
  21. 4 Ergebnisse
  22. fair (3 zu 3)
  23. fair (15 zu 15)
  24. fair (18 zu 18)
  25. Team Nord (11 Treffer gegen 9 Treffer)
  26. gleichmäßiger: Team Nord (Spannweite 2 gegen 17)
  27. Median (37 statt 109)
  28. 315 cm
  29. Theater-AG (0,44)
  30. 45 = 0,8
  31. Mädchen, um 4 Hundert Schritte
  32. Ausreißer 41, Mittelwert 13 statt 6
  33. 240 cm
  34. Schule am See (0,75)
  35. 0,396
  36. nicht fair, Emre gewinnt öfter (4 zu 2)
  37. x̄ = 7,4
  38. Median 12; Spannweite 14