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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

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Daten vergleichen und Zufall untersuchen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Einige nennen Team Süd, weil dort der weiteste Sprung ist oder weil die Summe größer ist. Andere widersprechen, weil Team Süd ein Kind mehr hat. Die Gruppen streiten, und jede hat ein Argument. Ein fairer Vergleich braucht eine Zahl, die nicht von der Anzahl der Kinder abhängt: den Mittelwert. Team Nord kommt auf 310 cm, Team Süd auf etwa 303 cm. Wie gleichmäßig ein Team springt, zeigt die Spannweite.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median beschreiben die Mitte einer Datenreihe, die Spannweite ihre Breite.

  1. ●36
    Punkte im Test: 5, 14, 9, 13, 3. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 8,8
  2. ●37
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 10, 2, 2, 2, 14. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 2, 2, 2, 10, 14
    2. Median = mittlerer Wert = 2
    3. Spannweite = 14 − 2 = 12
    Ergebnis:
    Median 2; Spannweite 12

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenKennwerte stehen für eine Gruppe

Ein Mittelwert oder Median steht für eine ganze Gruppe, die Spannweite für ihre Streuung. Gruppen vergleicht man über solche Kennwerte, nicht über einzelne Werte. Chancen zeigen sich erst bei vielen Versuchen.

Punktdiagramm einer Gruppe: Der Median 6 steht für die Mitte, die Spannweite 6 für die Streuung2345678910Median 6Spannweite 9 − 3 = 6

WeiterdenkenDenk nach

Team A hat den weitesten Springer, Team B den höheren Mittelwert. Welches Team ist besser – und was müsstest du wissen, um das zu entscheiden?

1Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

EntdeckenFrage

Warum nennen Statistiker beim Einkommen lieber den Median als den Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Einkommen ziehen den Durchschnitt nach oben, sodass die meisten Menschen darunter liegen. Der Median ist das Einkommen in der Mitte: Die eine Hälfte verdient weniger, die andere mehr. Deshalb beschreibt er, was für viele typisch ist, besser.

MerkenDatenreihen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.

Der Mittelwert zeigt die Mitte, die Spannweite zeigt, wie weit die Werte auseinanderliegen.

BeispielZwei Datenreihen mit Mittelwert und Median vergleichen

Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Gruppe Adler: 20, 23, 24, 12, 16. Gruppe Falken: 22, 29, 15, 13, 11. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
Gruppe AdlerGruppe Falken1015202530
Schritt für Schritt
  1. Gruppe Adler: 20 + 23 + 24 + 12 + 16 = 95, 95 : 5 = 19
  2. Gruppe Falken: 22 + 29 + 15 + 13 + 11 = 90, 90 : 5 = 18
  3. 19 − 18 = 1
  1. Gruppe Adler: 20 + 23 + 24 + 12 + 16 = 95, 95 : 5 = 19
  2. Gruppe Falken: 22 + 29 + 15 + 13 + 11 = 90, 90 : 5 = 18
  3. 19 − 18 = 1
Ergebnis:
Gruppe Adler, um 1 Punkte

AchtungMittelwert falsch berechnet oder einzelne Werte verglichen

So nicht
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 3 = 20
So richtig
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 4 = 15

Alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Eine Gruppe vergleicht man über Kennwerte, nicht über ihren besten Wert.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Lesezeit am Tag, in Minuten. Gruppe Adler: 41, 59, 18, 48, 49. Gruppe Falken: 19, 40, 20, 46, 50. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    Gruppe AdlerGruppe Falken102030405060
    So fängst du an:
    Gruppe Adler: 41 + 59 + 18 + 48 + 49 = 215, 215 : 5 = 43
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 41 + 59 + 18 + 48 + 49 = 215, 215 : 5 = 43
    2. Gruppe Falken: 19 + 40 + 20 + 46 + 50 = 175, 175 : 5 = 35
    3. 43 − 35 = 8
    Ergebnis:
    Gruppe Adler, um 8 min
  2. ●2
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Gruppe Adler: 10, 14, 20, 15, 21. Gruppe Falken: 21, 21, 18, 23, 17. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    Gruppe AdlerGruppe Falken1012141618202224
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 10 + 14 + 20 + 15 + 21 = 80, 80 : 5 = 16
    2. Gruppe Falken: 21 + 21 + 18 + 23 + 17 = 100, 100 : 5 = 20
    3. 20 − 16 = 4
    Ergebnis:
    Gruppe Falken, um 4 Punkte
  3. ★3
    Lesezeit am Tag, in Minuten. Gruppe Adler: 45, 20, 54, 44, 17. Gruppe Falken: 48, 36, 40, 37, 52, 15. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    Gruppe AdlerGruppe Falken152025303540455055
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 45 + 20 + 54 + 44 + 17 = 180, 180 : 5 = 36
    2. Gruppe Falken: 48 + 36 + 40 + 37 + 52 + 15 = 228, 228 : 6 = 38
    3. 38 − 36 = 2
    Ergebnis:
    Gruppe Falken, um 2 min

2Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

EntdeckenFrage

Kann ein einziges Kind den Taschengeld-Durchschnitt einer ganzen Klasse verdoppeln?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. Bekommen 24 Kinder je 5 € und ein Kind 130 €, ist der Mittelwert 250 € : 25 = 10 €, also doppelt so viel wie fast alle bekommen. Der Median bleibt bei 5 €. Ein einziger Ausreißer verändert den Mittelwert stark, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.

Den Median verändert er kaum. Bei Ausreißern beschreibt der Median die Gruppe besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert oder Median?

Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 6, 3, 9, 6, 41. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 13 min.“ Beschreibt dieser Wert die Fahrgäste gut? Vergleiche mit dem Median.
Werte051015202530354045
Schritt für Schritt
  1. Geordnet: 3, 6, 6, 9, 41
  2. Median: 6
  3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 41.
  4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
  1. Geordnet: 3, 6, 6, 9, 41
  2. Median: 6
  3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 41.
  4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
Ergebnis:
Nein, der Median 6 passt besser

AchtungMittelwert trotz Ausreißer gewählt

So nicht
5, 6, 5, 7, 42 → Mittelwert 13 beschreibt die Gruppe
So richtig
5, 6, 5, 7, 42 → Median = 6 beschreibt die Gruppe besser

Liegt ein Wert weit weg von allen anderen, beschreibt der Median die Gruppe besser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 15, 30, 19, 20, 181. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder besser?
    Werte0255075100125150175200
    So fängst du an:
    Mittelwert: 265 : 5 = 53
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 265 : 5 = 53
    2. Geordnet: 15, 19, 20, 30, 181, Median 20
    3. Der Wert 181 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (20 statt 53)
  2. ●5
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 280, 42, 60, 30, 48. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 92 min.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte050100150200250300
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 30, 42, 48, 60, 280
    2. Median: 48
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 280.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 48 passt besser
  3. ★6
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 150, 10, 22, 18, 27, 13. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 40 Bücher.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte020406080100120140160
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 10, 13, 18, 22, 27, 150
    2. Median: 20
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 150.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 20 passt besser

3Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

EntdeckenFrage

Wie kann eine Umfrage mit rund tausend Menschen etwas über ganz Deutschland sagen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn die Befragten gut ausgewählt sind, spiegeln sie die Bevölkerung im Kleinen. Der Anteil in der Umfrage ist dann eine Schätzung für den Anteil im ganzen Land. Große Umfragen zur Politik fragen deshalb meist nur etwa 1000 bis 1500 Menschen.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlender Wert aus dem Mittelwert

Lukas möchte bei 5 Weitsprüngen im Mittel genau 307 cm erreichen. Die ersten Ergebnisse: 253, 279, 366, 301. Was braucht Lukas beim letzten Mal?
bisher240260280300320340360380400?
Schritt für Schritt
  1. Summe aller Werte: 5 · 307 = 1535
  2. Summe der bekannten: 253 + 279 + 366 + 301 = 1199
  3. 1535 − 1199 = 336
  1. Summe aller Werte: 5 · 307 = 1535
  2. Summe der bekannten: 253 + 279 + 366 + 301 = 1199
  3. 1535 − 1199 = 336
Ergebnis:
336 cm

AchtungFehlenden Wert vom Mittelwert statt von der Summe aus gesucht

So nicht
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → der fünfte ist 14
So richtig
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → 5 · 14 = 70, 70 − 54 = 16

Erst Mittelwert mal Anzahl: Das ist die Summe. Dann die bekannten Werte abziehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Mila hat die Ergebnisse von 5 Weitsprüngen notiert. Im Mittel waren es 295 cm. 4 Ergebnisse sind noch zu lesen: 280, 286, 267, 273. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher265270275280285290295?
    So fängst du an:
    Summe aller Werte: 5 · 295 = 1475
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 295 = 1475
    2. Summe der bekannten: 280 + 286 + 267 + 273 = 1106
    3. 1475 − 1106 = 369
    Ergebnis:
    369 cm
  2. ●8
    Lukas möchte bei 4 Weitsprüngen im Mittel genau 331 cm erreichen. Die ersten Ergebnisse: 317, 359, 286. Was braucht Lukas beim letzten Mal?
    bisher280290300310320330340350360370?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 331 = 1324
    2. Summe der bekannten: 317 + 359 + 286 = 962
    3. 1324 − 962 = 362
    Ergebnis:
    362 cm
  3. ★9
    Mila möchte bei 6 Weitsprüngen im Mittel genau 323 cm erreichen. Die ersten Ergebnisse: 266, 361, 296, 359, 386. Was braucht Mila beim letzten Mal?
    bisher260280300320340360380400420?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 6 · 323 = 1938
    2. Summe der bekannten: 266 + 361 + 296 + 359 + 386 = 1668
    3. 1938 − 1668 = 270
    Ergebnis:
    270 cm

4Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Krankheitsfälle je 100.000 Einwohner und nicht einfach die Fälle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Großstadt hat natürlich mehr Fälle als ein Dorf, weil dort mehr Menschen leben. Erst wenn man die Fälle durch die Einwohnerzahl teilt, kann man Orte verschiedener Größe fair vergleichen. Das ist eine relative Häufigkeit, nur auf 100.000 Menschen hochgerechnet.

MerkenRelative Häufigkeit

Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.

Zum Beispiel 12 von 40 ergibt 12/40 = 3/10 = 0,3. So kann man verschieden große Gruppen vergleichen.

BeispielVerschieden große Gruppen über Anteile vergleichen

Team Nord trifft beim Elfmetertraining 6-mal bei 20 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 8-mal bei 40 Schüssen. Ben sagt: „Bei Team Süd ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
Team Nord6 von 20Team Süd8 von 40
Schritt für Schritt
  1. Team Nord: 620 = 0,3
  2. Team Süd: 840 = 0,2
  3. Die relative Häufigkeit ist bei Team Nord größer.
  1. Team Nord: 620 = 0,3
  2. Team Süd: 840 = 0,2
  3. Die relative Häufigkeit ist bei Team Nord größer.
Ergebnis:
Nein, bei Team Nord ist der Anteil größer

AchtungAnzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    In der Klasse 6a kommen 30 von 40 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 2 von 10 Kindern mit dem Rad zur Schule. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A30 von 40B2 von 10
    So fängst du an:
    Klasse 6a: 3040 = 0,75
    Lösung zeigen
    1. Klasse 6a: 3040 = 0,75
    2. Klasse 6b: 210 = 0,2
    3. 0,75 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Klasse 6a (0,75)
  2. ●11
    In der Klasse 6a kommen 28 von 40 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 25 von 50 Kindern mit dem Rad zur Schule. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A28 von 40B25 von 50
    Lösung zeigen
    1. Klasse 6a: 2840 = 0,7
    2. Klasse 6b: 2550 = 0,5
    3. 0,7 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Klasse 6a (0,7)
  3. ★12
    An der Schule am Park sagen 2 von 10 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 27 von 40 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A2 von 10B27 von 40
    Lösung zeigen
    1. Schule am Park: 210 = 0,2
    2. Schule am See: 2740 = 0,675
    3. 0,675 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Schule am See (0,675)

5Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

EntdeckenFrage

Landet eine Reißzwecke öfter auf dem Rücken oder auf der Seite?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht ausrechnen, sondern nur ausprobieren. Nach zehn Würfen weiß man fast nichts, nach Hunderten von Würfen pendelt sich der Anteil ein. Je nach Form der Reißzwecke kommt etwas anderes heraus, deshalb ist der Versuch selbst die Antwort.

MerkenKreuztabelle

Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.

Jede Zeile und jede Spalte muss ihre Summe ergeben. Das ist die Kontrolle.

BeispielTabelle mit zwei Merkmalen lesen und ergänzen

In der Tabelle fehlen Zahlen. Wie viele Kinder wurden insgesamt befragt?
Frühstückkein FrühstückgesamtMädchen11??Jungen151328gesamt?18?
Schritt für Schritt
  1. Spalte kein Frühstück: 18 − 13 = 5
  2. Zeile Mädchen: 11 + 5 = 16
  3. Insgesamt: 16 + 28 = 44
  1. Spalte kein Frühstück: 18 − 13 = 5
  2. Zeile Mädchen: 11 + 5 = 16
  3. Insgesamt: 16 + 28 = 44
Ergebnis:
44

AchtungAntiproportional statt proportional

So nicht
3 Hefte 6 € → 6 Hefte 3 €
So richtig
3 Hefte 6 € → 6 Hefte 12 €

Frag dich: Mehr Stück, mehr Geld? Dann ist es proportional.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Kinder aus Klasse 5 sind in keiner AG?
    AG jaAG neingesamtKlasse 515?22Klasse 6141024gesamt291746
    So fängst du an:
    Zeile Klasse 5: zusammen 22.
    Lösung zeigen
    1. Zeile Klasse 5: zusammen 22.
    2. 22 − 15 = 7
    3. Kontrolle mit der Spalte: 7 + 10 = 17
    Ergebnis:
    7
  2. ●14
    Bei einer Umfrage machen 39 Kinder mit, davon sind 25 Kinder der Klasse 6a. 11 Kinder der Klasse 6a und 6 Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Rad. Wie viele Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Bus? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    1. Kinder der Klasse 6b: 39 − 25 = 14
    2. Kinder der Klasse 6b, die mit dem Bus kommen: 14 − 6 = 8
    3. Kontrolle: 11 + 14 + 6 + 8 = 39
    Ergebnis:
    8
  3. ★15
    Bei einer Umfrage machen 31 Kinder mit, davon sind 14 Kinder aus Klasse 5. 9 Kinder aus Klasse 5 und 8 Kinder aus Klasse 6 sind in einer AG. Wie viele Kinder aus Klasse 6 sind in keiner AG? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    1. Kinder aus Klasse 6: 31 − 14 = 17
    2. Kinder aus Klasse 6, die in keiner AG sind: 17 − 8 = 9
    3. Kontrolle: 9 + 5 + 8 + 9 = 31
    Ergebnis:
    9

6Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

EntdeckenFrage

Hat schon einmal jemand eine Münze 24.000-mal geworfen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja, der Statistiker Karl Pearson um 1900. Er bekam 12.012-mal Kopf, das sind 0,5005 aller Würfe. Schon im 18. Jahrhundert warf der Naturforscher Buffon 4040-mal und bekam 2048-mal Kopf. Je länger die Reihe, desto näher liegt der Anteil bei einhalb.

Ausprobieren: Zufallsversuch: Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Münze, Würfel oder Glücksrad oft werfen – die relative Häufigkeit pendelt sich bei der Wahrscheinlichkeit ein.

MerkenLangfristig stabil

Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.

Bei vielen Versuchen wird sie stabil. Dann ist sie eine gute Schätzung für die Chance.

BeispielRelative Häufigkeiten bei vielen Versuchen

Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 50 Würfen.
Würfe1050100500Treffer51731153
Schritt für Schritt
  1. Treffer geteilt durch Würfe.
  2. 17 : 50 = 0,34
  1. Treffer geteilt durch Würfe.
  2. 17 : 50 = 0,34
Ergebnis:
0,34

AchtungAus wenigen Versuchen auf die Chance geschlossen

So nicht
3 Sechsen in 10 Würfen → Chance 3 : 10 = 0,3
So richtig
3 Sechsen in 10 Würfen → noch zu wenige; 100 Sechsen in 600 Würfen → 100 : 600 ≈ 0,17

Erst viele Versuche machen die relative Häufigkeit verlässlich.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,2.“ Hat sie recht?
    Würfe1050100500Treffer271484
    So fängst du an:
    2 : 10 = 0,2
    Lösung zeigen
    1. 2 : 10 = 0,2
    2. 84 : 500 = 0,168
    3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
    4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,17.
    Ergebnis:
    Nein, eher 0,168
  2. ●17
    Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe1050100500Treffer31930154
    Lösung zeigen
    1. 3 : 10 = 0,3
    2. 30 : 100 = 0,3
    3. 154 : 500 = 0,308
    4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
    Ergebnis:
    0,308
  3. ★18
    Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 1000 Würfen.
    Würfe10502001000Treffer51355300
    Lösung zeigen
    1. Treffer geteilt durch Würfe.
    2. 300 : 1000 = 0,3
    Ergebnis:
    0,3

7Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Warum muss man beim Spiel „Die Siedler von Catan“ so oft den Räuber versetzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Räuber kommt bei der Augensumme 7. Von den 36 Ergebnissen zweier Würfel haben 6 die Summe 7, mehr als jede andere Summe. Die 2 und die 12 haben nur je ein Ergebnis. Deshalb sind die Zahlen 6 und 8 auf dem Spielfeld so wertvoll.

MerkenGewinnchancen auszählen

Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3. Wer alle günstigen Ergebnisse zählt, kennt die Chance.

BeispielGewinnchancen durch Auszählen

Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Kopf und eine gerade Zahl?
123456KopfZahl?
Schritt für Schritt
  1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
  2. Günstig: 3 Ergebnisse.
  3. Die Chance ist 3 von 12, also 1/4.
  1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
  2. Günstig: 3 Ergebnisse.
  3. Die Chance ist 3 von 12, also 1/4.
Ergebnis:
12 Ergebnisse, 3 davon günstig

AchtungErgebnisse unvollständig gezählt

So nicht
Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36
So richtig
Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 6?
    123456123456?
    So fängst du an:
    Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    Lösung zeigen
    1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    2. Summe 6: 1 und 5; 2 und 4; 3 und 3; 4 und 2; 5 und 1
    3. Das sind 5 Ergebnisse.
    Ergebnis:
    5 Ergebnisse
  2. ●20
    Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 10?
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    2. Summe 10: 4 und 6; 5 und 5; 6 und 4
    3. Das sind 3 Ergebnisse.
    Ergebnis:
    3 Ergebnisse
  3. ★21
    Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 4? Gib sie als gekürzten Bruch an.
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    2. Summe 4: 1 und 3; 2 und 2; 3 und 1
    3. 3 von 36, also 336 = 112
    Ergebnis:
    112

8Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

EntdeckenFrage

Ist ein Spiel fair, bei dem einer bei geradem und der andere bei ungeradem Augenprodukt gewinnt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Ungerade ist das Produkt nur, wenn beide Würfel ungerade zeigen: 3 · 3 = 9 von 36 Ergebnissen. Gerade ist es bei den übrigen 27. Wer auf gerade setzt, gewinnt also dreimal so oft – obwohl es gerecht aussieht.

MerkenFairness

Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Gefühle täuschen, Zählen nicht.

BeispielIst das Spiel fair?

Anna und Emre werfen einen Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn eine 1 oder 2 geworfen wird. Emre bekommt einen Punkt, wenn eine 3, 4, 5 oder 6 geworfen wird. Emre meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
Schritt für Schritt
  1. Anna: 2 von 6 Ergebnissen
  2. Emre: 4 von 6 Ergebnissen
  3. 4 ist mehr als 2.
  1. Anna: 2 von 6 Ergebnissen
  2. Emre: 4 von 6 Ergebnissen
  3. 4 ist mehr als 2.
Ergebnis:
nicht fair, Emre gewinnt öfter (4 zu 2)

AchtungNoch einmal: Ergebnisse unvollständig gezählt

So nicht
Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36
So richtig
Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Jonas und Ben werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme kleiner als 7 ist. Ben bekommt einen Punkt, wenn sie größer als 7 ist; bei 7 wird neu geworfen. Ben meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    So fängst du an:
    Jonas: 15 von 36 Ergebnissen
    Lösung zeigen
    1. Jonas: 15 von 36 Ergebnissen
    2. Ben: 15 von 36 Ergebnissen
    3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
    Ergebnis:
    fair (15 zu 15)
  2. ●23
    Anna und Emre werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme kleiner als 7 ist. Emre bekommt einen Punkt, wenn sie größer als 7 ist; bei 7 wird neu geworfen. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    Lösung zeigen
    1. Anna: 15 von 36 Ergebnissen
    2. Emre: 15 von 36 Ergebnissen
    3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
    Ergebnis:
    fair (15 zu 15)
  3. ★24
    Jonas und Ben werfen eine Münze und einen Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn Kopf und eine gerade Zahl kommt. Ben bekommt einen Punkt, wenn Zahl und eine ungerade Zahl kommt. Ben meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    1. Jonas: 3 von 12 Ergebnissen
    2. Ben: 3 von 12 Ergebnissen
    3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
    Ergebnis:
    fair (3 zu 3)

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Gruppe Adler: 14, 11, 35, 9, 36. Gruppe Falken: 25, 10, 37, 28, 20. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    Gruppe AdlerGruppe Falken510152025303540
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 14 + 11 + 35 + 9 + 36 = 105, 105 : 5 = 21
    2. Gruppe Falken: 25 + 10 + 37 + 28 + 20 = 120, 120 : 5 = 24
    3. 24 − 21 = 3
    Ergebnis:
    Gruppe Falken, um 3 Hundert Schritte
  2. ●26
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Gruppe Adler: 14, 27, 19, 10, 15. Gruppe Falken: 16, 15, 18, 19, 17. Beide Gruppen haben denselben Mittelwert. Worin unterscheiden sie sich? Nutze die Spannweite.
    Gruppe AdlerGruppe Falken1015202530
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert beider Gruppen: 85 : 5 = 17
    2. Gruppe Adler: 27 − 10 = 17
    3. Gruppe Falken: 19 − 15 = 4
    4. Die Werte von Gruppe Falken liegen enger beisammen.
    Ergebnis:
    gleichmäßiger: Gruppe Falken (Spannweite 4 gegen 17)
  3. ●27
    Taschengeld in der Woche, in €: 52, 8, 9, 6, 5. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 16 €.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder der Gruppe gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte0102030405060
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 5, 6, 8, 9, 52
    2. Median: 8
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 52.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 8 passt besser
  4. ●28
    Tim möchte bei 5 Weitsprüngen im Mittel genau 308 cm erreichen. Die ersten Ergebnisse: 310, 245, 330, 290. Was braucht Tim beim letzten Mal?
    bisher240260280300320340360?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 308 = 1540
    2. Summe der bekannten: 310 + 245 + 330 + 290 = 1175
    3. 1540 − 1175 = 365
    Ergebnis:
    365 cm
  5. ●29
    In der Theater-AG haben 4 von 10 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 13 von 40 Kindern ein Haustier. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A4 von 10B13 von 40
    Lösung zeigen
    1. Theater-AG: 410 = 0,4
    2. Fußball-AG: 1340 = 0,325
    3. 0,4 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Theater-AG (0,4)
  6. ●30
    Bei einer Umfrage antworten 20 Kinder. 17 von ihnen sagen, dass sie ein Instrument spielen. Gib die relative Häufigkeit als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl an.
    Lösung zeigen
    1. Relative Häufigkeit: Anzahl geteilt durch alle, 1720
    2. 1720 lässt sich nicht kürzen.
    3. Als Dezimalzahl: 17 : 20 = 0,85
    Ergebnis:
    1720 = 0,85

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Datenreihen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.
Ausreißer
Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Relative Häufigkeit
Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.
Kreuztabelle
Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.
Langfristig stabil
Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.
Gewinnchancen auszählen
Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.
Fairness
Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

    31
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Gruppe Adler: 9, 19, 23, 22, 17. Gruppe Falken: 9, 27, 18, 22, 9. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe hat mehr Punkte?
    Gruppe AdlerGruppe Falken51015202530
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Gruppe Adler (18 Punkte gegen 17 Punkte)

  2. Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

    32
    Taschengeld in der Woche, in €: 4, 6, 9, 47, 9. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte01020304050
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Ausreißer 47, Mittelwert 15 statt 7

  3. Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

    33
    Der Mittelwert von 5 Weitsprüngen ist 327 cm. Bekannt sind 372, 323, 284, 277. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    379 cm

  4. Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

    34
    Bei einer Umfrage machen 28 Kinder mit, davon sind 19 Kinder aus Klasse 5. 13 Kinder aus Klasse 5 und 5 Kinder aus Klasse 6 sind in einer AG. Wie viele Kinder aus Klasse 6 sind in keiner AG? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    4

  5. Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

    35
    Jonas und Ben werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn das Augenprodukt gerade ist. Ben bekommt einen Punkt, wenn es ungerade ist. Ben meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nicht fair, Jonas gewinnt öfter (27 zu 9)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Mittelwert als faire Vergleichszahl für verschieden große Gruppen, die Spannweite für die Streuung.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Sportergebnisse vergleichen, Umfragen in der Klasse auswerten, Spielregeln auf Fairness prüfen. Beruf: Marktforschung, Qualitätskontrolle in der Produktion, Wetter- und Verkehrsstatistik.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Brüche und Dezimalzahlen, Systematisch zählen

Darauf baut auf: Daten und Zufall

Lösungen

  1. Gruppe Adler, um 8 min
  2. Gruppe Falken, um 4 Punkte
  3. Gruppe Falken, um 2 min
  4. Median (20 statt 53)
  5. Nein, der Median 48 passt besser
  6. Nein, der Median 20 passt besser
  7. 369 cm
  8. 362 cm
  9. 270 cm
  10. Klasse 6a (0,75)
  11. Klasse 6a (0,7)
  12. Schule am See (0,675)
  13. 7
  14. 8
  15. 9
  16. Nein, eher 0,168
  17. 0,308
  18. 0,3
  19. 5 Ergebnisse
  20. 3 Ergebnisse
  21. 112
  22. fair (15 zu 15)
  23. fair (15 zu 15)
  24. fair (3 zu 3)
  25. Gruppe Falken, um 3 Hundert Schritte
  26. gleichmäßiger: Gruppe Falken (Spannweite 4 gegen 17)
  27. Nein, der Median 8 passt besser
  28. 365 cm
  29. Theater-AG (0,4)
  30. 1720 = 0,85
  31. Gruppe Adler (18 Punkte gegen 17 Punkte)
  32. Ausreißer 47, Mittelwert 15 statt 7
  33. 379 cm
  34. 4
  35. nicht fair, Jonas gewinnt öfter (27 zu 9)
  36. x̄ = 8,8
  37. Median 2; Spannweite 12