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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

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Daten vergleichen und Zufall untersuchen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Einige nennen Team Süd, weil dort der weiteste Sprung ist oder weil die Summe größer ist. Andere widersprechen, weil Team Süd ein Kind mehr hat. Die Gruppen streiten, und jede hat ein Argument. Ein fairer Vergleich braucht eine Zahl, die nicht von der Anzahl der Kinder abhängt: den Mittelwert. Team Nord kommt auf 310 cm, Team Süd auf etwa 303 cm. Wie gleichmäßig ein Team springt, zeigt die Spannweite.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median beschreiben die Mitte einer Datenreihe, die Spannweite ihre Breite.

  1. ●34
    Punkte im Test: 14, 6, 11, 5, 6. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 8,4
  2. ●35
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 10, 8, 14, 15, 8. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 8, 8, 10, 14, 15
    2. Median = mittlerer Wert = 10
    3. Spannweite = 15 − 8 = 7
    Ergebnis:
    Median 10; Spannweite 7

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenKennwerte stehen für eine Gruppe

Ein Mittelwert oder Median steht für eine ganze Gruppe, die Spannweite für ihre Streuung. Gruppen vergleicht man über solche Kennwerte, nicht über einzelne Werte. Chancen zeigen sich erst bei vielen Versuchen.

Punktdiagramm einer Gruppe: Der Median 6 steht für die Mitte, die Spannweite 6 für die Streuung2345678910Median 6Spannweite 9 − 3 = 6

WeiterdenkenDenk nach

Team A hat den weitesten Springer, Team B den höheren Mittelwert. Welches Team ist besser – und was müsstest du wissen, um das zu entscheiden?

1Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

EntdeckenFrage

Warum nennen Statistiker beim Einkommen lieber den Median als den Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Einkommen ziehen den Durchschnitt nach oben, sodass die meisten Menschen darunter liegen. Der Median ist das Einkommen in der Mitte: Die eine Hälfte verdient weniger, die andere mehr. Deshalb beschreibt er, was für viele typisch ist, besser.

MerkenDatenreihen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.

Der Mittelwert zeigt die Mitte, die Spannweite zeigt, wie weit die Werte auseinanderliegen.

BeispielZwei Datenreihen mit Mittelwert und Median vergleichen

Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Mädchen: 27, 11, 38, 20, 29. Jungen: 18, 20, 28, 9, 20. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe geht weiter?
MädchenJungen510152025303540
Schritt für Schritt
  1. Mädchen geordnet: 11, 20, 27, 29, 38, Median 27
  2. Jungen geordnet: 9, 18, 20, 20, 28, Median 20
  3. 27 ist mehr als 20.
  1. Mädchen geordnet: 11, 20, 27, 29, 38, Median 27
  2. Jungen geordnet: 9, 18, 20, 20, 28, Median 20
  3. 27 ist mehr als 20.
Ergebnis:
Mädchen (Median 27 gegen 20)

AchtungMittelwert falsch berechnet oder einzelne Werte verglichen

So nicht
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 3 = 20
So richtig
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 4 = 15

Alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Eine Gruppe vergleicht man über Kennwerte, nicht über ihren besten Wert.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Team Nord: 15, 8, 11, 17, 4. Team Süd: 6, 14, 10, 17, 3. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe trifft öfter?
    Team NordTeam Süd24681012141618
    So fängst du an:
    Team Nord geordnet: 4, 8, 11, 15, 17, Median 11
    Lösung zeigen
    1. Team Nord geordnet: 4, 8, 11, 15, 17, Median 11
    2. Team Süd geordnet: 3, 6, 10, 14, 17, Median 10
    3. 11 ist mehr als 10.
    Ergebnis:
    Team Nord (Median 11 gegen 10)
  2. ●2
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Team Nord: 5, 11, 14, 12, 13. Team Süd: 18, 3, 17, 8, 4. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe trifft öfter?
    Team NordTeam Süd24681012141618
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 5 + 11 + 14 + 12 + 13 = 55, 55 : 5 = 11
    2. Team Süd: 18 + 3 + 17 + 8 + 4 = 50, 50 : 5 = 10
    3. 11 ist mehr als 10.
    Ergebnis:
    Team Nord (11 Treffer gegen 10 Treffer)
  3. ★3
    Lesezeit am Tag, in Minuten. Gruppe Adler: 25, 42, 57, 28, 28. Gruppe Falken: 40, 28, 51, 49, 59, 19. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe liest länger?
    Gruppe AdlerGruppe Falken15202530354045505560
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 25 + 42 + 57 + 28 + 28 = 180, 180 : 5 = 36
    2. Gruppe Falken: 40 + 28 + 51 + 49 + 59 + 19 = 246, 246 : 6 = 41
    3. 41 ist mehr als 36.
    Ergebnis:
    Gruppe Falken (41 min gegen 36 min)

2Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

EntdeckenFrage

Kann ein einziges Kind den Taschengeld-Durchschnitt einer ganzen Klasse verdoppeln?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. Bekommen 24 Kinder je 5 € und ein Kind 130 €, ist der Mittelwert 250 € : 25 = 10 €, also doppelt so viel wie fast alle bekommen. Der Median bleibt bei 5 €. Ein einziger Ausreißer verändert den Mittelwert stark, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.

Den Median verändert er kaum. Bei Ausreißern beschreibt der Median die Gruppe besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert oder Median?

Taschengeld in der Woche, in €: 51, 8, 6, 5, 5. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 15 €.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder der Gruppe gut? Vergleiche mit dem Median.
Werte0102030405060
Schritt für Schritt
  1. Geordnet: 5, 5, 6, 8, 51
  2. Median: 6
  3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 51.
  4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
  1. Geordnet: 5, 5, 6, 8, 51
  2. Median: 6
  3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 51.
  4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
Ergebnis:
Nein, der Median 6 passt besser

AchtungMittelwert trotz Ausreißer gewählt

So nicht
5, 6, 5, 7, 42 → Mittelwert 13 beschreibt die Gruppe
So richtig
5, 6, 5, 7, 42 → Median = 6 beschreibt die Gruppe besser

Liegt ein Wert weit weg von allen anderen, beschreibt der Median die Gruppe besser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Taschengeld in der Woche, in €: 42, 6, 9, 5, 8. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 14 €.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder der Gruppe gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte51015202530354045
    So fängst du an:
    Geordnet: 5, 6, 8, 9, 42
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 5, 6, 8, 9, 42
    2. Median: 8
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 42.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 8 passt besser
  2. ●5
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 321, 58, 29, 41, 56. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 101 min.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte050100150200250300350
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 29, 41, 56, 58, 321
    2. Median: 56
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 321.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 56 passt besser
  3. ★6
    Taschengeld in der Woche, in €: 42, 9, 3, 5, 5, 8. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder der Gruppe besser?
    Werte051015202530354045
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 72 : 6 = 12
    2. Geordnet: 3, 5, 5, 8, 9, 42, Median 6,5
    3. Der Wert 42 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (6,5 statt 12)

3Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

EntdeckenFrage

Wie kann eine Umfrage mit rund tausend Menschen etwas über ganz Deutschland sagen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn die Befragten gut ausgewählt sind, spiegeln sie die Bevölkerung im Kleinen. Der Anteil in der Umfrage ist dann eine Schätzung für den Anteil im ganzen Land. Große Umfragen zur Politik fragen deshalb meist nur etwa 1000 bis 1500 Menschen.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlender Wert aus dem Mittelwert

Lukas möchte bei 4 Kopfrechentests im Mittel genau 19 Punkte erreichen. Die ersten Ergebnisse: 15, 22, 28. Was braucht Lukas beim letzten Mal?
bisher141618202224262830?
Schritt für Schritt
  1. Summe aller Werte: 4 · 19 = 76
  2. Summe der bekannten: 15 + 22 + 28 = 65
  3. 76 − 65 = 11
  1. Summe aller Werte: 4 · 19 = 76
  2. Summe der bekannten: 15 + 22 + 28 = 65
  3. 76 − 65 = 11
Ergebnis:
11 Punkte

AchtungFehlenden Wert vom Mittelwert statt von der Summe aus gesucht

So nicht
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → der fünfte ist 14
So richtig
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → 5 · 14 = 70, 70 − 54 = 16

Erst Mittelwert mal Anzahl: Das ist die Summe. Dann die bekannten Werte abziehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Lukas hat die Ergebnisse von 4 Runden Korbwurf notiert. Im Mittel waren es 10 Treffer. 3 Ergebnisse sind noch zu lesen: 10, 8, 15. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher8910111213141516?
    So fängst du an:
    Summe aller Werte: 4 · 10 = 40
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 10 = 40
    2. Summe der bekannten: 10 + 8 + 15 = 33
    3. 40 − 33 = 7
    Ergebnis:
    7 Treffer
  2. ●8
    Noah hat die Ergebnisse von 4 Weitsprüngen notiert. Im Mittel waren es 306 cm. 3 Ergebnisse sind noch zu lesen: 250, 372, 244. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher240260280300320340360380400?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 306 = 1224
    2. Summe der bekannten: 250 + 372 + 244 = 866
    3. 1224 − 866 = 358
    Ergebnis:
    358 cm
  3. ★9
    Noah möchte bei 6 Kopfrechentests im Mittel genau 19 Punkte erreichen. Die ersten Ergebnisse: 20, 19, 8, 29, 9. Was braucht Noah beim letzten Mal?
    bisher5101520253035?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 6 · 19 = 114
    2. Summe der bekannten: 20 + 19 + 8 + 29 + 9 = 85
    3. 114 − 85 = 29
    Ergebnis:
    29 Punkte

4Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Krankheitsfälle je 100.000 Einwohner und nicht einfach die Fälle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Großstadt hat natürlich mehr Fälle als ein Dorf, weil dort mehr Menschen leben. Erst wenn man die Fälle durch die Einwohnerzahl teilt, kann man Orte verschiedener Größe fair vergleichen. Das ist eine relative Häufigkeit, nur auf 100.000 Menschen hochgerechnet.

MerkenRelative Häufigkeit

Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.

Zum Beispiel 12 von 40 ergibt 12/40 = 3/10 = 0,3. So kann man verschieden große Gruppen vergleichen.

BeispielVerschieden große Gruppen über Anteile vergleichen

An der Schule am Park sagen 6 von 20 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 32 von 50 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
A6 von 20B32 von 50
Schritt für Schritt
  1. Schule am Park: 620 = 0,3
  2. Schule am See: 3250 = 0,64
  3. 0,64 ist die größte Zahl.
  1. Schule am Park: 620 = 0,3
  2. Schule am See: 3250 = 0,64
  3. 0,64 ist die größte Zahl.
Ergebnis:
Schule am See (0,64)

AchtungAnzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    An der Schule am Park sagen 8 von 10 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 14 von 50 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A8 von 10B14 von 50
    So fängst du an:
    Schule am Park: 810 = 0,8
    Lösung zeigen
    1. Schule am Park: 810 = 0,8
    2. Schule am See: 1450 = 0,28
    3. 0,8 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Schule am Park (0,8)
  2. ●11
    An der Schule am Park sagen 2 von 10 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 32 von 40 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A2 von 10B32 von 40
    Lösung zeigen
    1. Schule am Park: 210 = 0,2
    2. Schule am See: 3240 = 0,8
    3. 0,8 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Schule am See (0,8)
  3. ★12
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 7-mal bei 25 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 8-mal bei 40 Schüssen. Ben sagt: „Bei Team Süd ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    Team Nord7 von 25Team Süd8 von 40
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 725 = 0,28
    2. Team Süd: 840 = 0,2
    3. Die relative Häufigkeit ist bei Team Nord größer.
    Ergebnis:
    Nein, bei Team Nord ist der Anteil größer

5Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

EntdeckenFrage

Landet eine Reißzwecke öfter auf dem Rücken oder auf der Seite?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht ausrechnen, sondern nur ausprobieren. Nach zehn Würfen weiß man fast nichts, nach Hunderten von Würfen pendelt sich der Anteil ein. Je nach Form der Reißzwecke kommt etwas anderes heraus, deshalb ist der Versuch selbst die Antwort.

MerkenKreuztabelle

Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.

Jede Zeile und jede Spalte muss ihre Summe ergeben. Das ist die Kontrolle.

BeispielTabelle mit zwei Merkmalen lesen und ergänzen

Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Kinder der Klasse 6a kommen mit dem Bus?
RadBusgesamtKlasse 6a10?22Klasse 6b81422gesamt182644
Schritt für Schritt
  1. Zeile Klasse 6a: zusammen 22.
  2. 22 − 10 = 12
  3. Kontrolle mit der Spalte: 12 + 14 = 26
  1. Zeile Klasse 6a: zusammen 22.
  2. 22 − 10 = 12
  3. Kontrolle mit der Spalte: 12 + 14 = 26
Ergebnis:
12

AchtungAntiproportional statt proportional

So nicht
3 Hefte 6 € → 6 Hefte 3 €
So richtig
3 Hefte 6 € → 6 Hefte 12 €

Frag dich: Mehr Stück, mehr Geld? Dann ist es proportional.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Bei einer Umfrage machen 38 Kinder mit, davon sind 23 Kinder aus Klasse 5. 10 Kinder aus Klasse 5 und 12 Kinder aus Klasse 6 sind in einer AG. Wie viele Kinder aus Klasse 6 sind in keiner AG? Lege eine Tabelle an.
    So fängst du an:
    Kinder aus Klasse 6: 38 − 23 = 15
    Lösung zeigen
    1. Kinder aus Klasse 6: 38 − 23 = 15
    2. Kinder aus Klasse 6, die in keiner AG sind: 15 − 12 = 3
    3. Kontrolle: 10 + 13 + 12 + 3 = 38
    Ergebnis:
    3
  2. ●14
    Bei einer Umfrage machen 32 Kinder mit, davon sind 15 Kinder aus Klasse 5. 9 Kinder aus Klasse 5 und 5 Kinder aus Klasse 6 sind in einer AG. Wie viele Kinder aus Klasse 6 sind in keiner AG? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    1. Kinder aus Klasse 6: 32 − 15 = 17
    2. Kinder aus Klasse 6, die in keiner AG sind: 17 − 5 = 12
    3. Kontrolle: 9 + 6 + 5 + 12 = 32
    Ergebnis:
    12
  3. ★15
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Mädchen haben ein Haustier?
    Haustierkein TiergesamtMädchen?48Jungen11819gesamt151227
    Lösung zeigen
    1. Zeile Mädchen: zusammen 8.
    2. 8 − 4 = 4
    3. Kontrolle mit der Spalte: 4 + 11 = 15
    Ergebnis:
    4

6Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

EntdeckenFrage

Hat schon einmal jemand eine Münze 24.000-mal geworfen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja, der Statistiker Karl Pearson um 1900. Er bekam 12.012-mal Kopf, das sind 0,5005 aller Würfe. Schon im 18. Jahrhundert warf der Naturforscher Buffon 4040-mal und bekam 2048-mal Kopf. Je länger die Reihe, desto näher liegt der Anteil bei einhalb.

Ausprobieren: Zufallsversuch: Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Münze, Würfel oder Glücksrad oft werfen – die relative Häufigkeit pendelt sich bei der Wahrscheinlichkeit ein.

MerkenLangfristig stabil

Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.

Bei vielen Versuchen wird sie stabil. Dann ist sie eine gute Schätzung für die Chance.

BeispielRelative Häufigkeiten bei vielen Versuchen

Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 500 Würfen.
Würfe1050100500Treffer42542202
Schritt für Schritt
  1. Treffer geteilt durch Würfe.
  2. 202 : 500 = 0,404
  1. Treffer geteilt durch Würfe.
  2. 202 : 500 = 0,404
Ergebnis:
0,404

AchtungAus wenigen Versuchen auf die Chance geschlossen

So nicht
3 Sechsen in 10 Würfen → Chance 3 : 10 = 0,3
So richtig
3 Sechsen in 10 Würfen → noch zu wenige; 100 Sechsen in 600 Würfen → 100 : 600 ≈ 0,17

Erst viele Versuche machen die relative Häufigkeit verlässlich.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe1050100500Treffer3520100
    So fängst du an:
    3 : 10 = 0,3
    Lösung zeigen
    1. 3 : 10 = 0,3
    2. 20 : 100 = 0,2
    3. 100 : 500 = 0,2
    4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
    Ergebnis:
    0,2
  2. ●17
    Eine Reißzwecke wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft sie auf dem Rücken landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 50 Würfen.
    Würfe1050100500Treffer42545223
    Lösung zeigen
    1. Treffer geteilt durch Würfe.
    2. 25 : 50 = 0,5
    Ergebnis:
    0,5
  3. ★18
    Eine Reißzwecke wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft sie auf dem Rücken landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe10502001000Treffer52185405
    Lösung zeigen
    1. 5 : 10 = 0,5
    2. 85 : 200 = 0,425
    3. 405 : 1000 = 0,405
    4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
    Ergebnis:
    0,405

7Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Warum muss man beim Spiel „Die Siedler von Catan“ so oft den Räuber versetzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Räuber kommt bei der Augensumme 7. Von den 36 Ergebnissen zweier Würfel haben 6 die Summe 7, mehr als jede andere Summe. Die 2 und die 12 haben nur je ein Ergebnis. Deshalb sind die Zahlen 6 und 8 auf dem Spielfeld so wertvoll.

MerkenGewinnchancen auszählen

Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3. Wer alle günstigen Ergebnisse zählt, kennt die Chance.

BeispielGewinnchancen durch Auszählen

Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 10? Gib sie als gekürzten Bruch an.
123456123456?
Schritt für Schritt
  1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
  2. Summe 10: 4 und 6; 5 und 5; 6 und 4
  3. 3 von 36, also 336 = 112
  1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
  2. Summe 10: 4 und 6; 5 und 5; 6 und 4
  3. 3 von 36, also 336 = 112
Ergebnis:
112

AchtungErgebnisse unvollständig gezählt

So nicht
Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36
So richtig
Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Zahl und eine Zahl größer als 4?
    123456KopfZahl?
    So fängst du an:
    Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    Lösung zeigen
    1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    2. Günstig: 2 Ergebnisse.
    3. Die Chance ist 2 von 12, also 1/6.
    Ergebnis:
    12 Ergebnisse, 2 davon günstig
  2. ●20
    Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 7? Gib sie als gekürzten Bruch an.
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    2. Summe 7: 1 und 6; 2 und 5; 3 und 4; 4 und 3; 5 und 2; 6 und 1
    3. 6 von 36, also 636 = 16
    Ergebnis:
    16
  3. ★21
    Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 11? Gib sie als gekürzten Bruch an.
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    2. Summe 11: 5 und 6; 6 und 5
    3. 2 von 36, also 236 = 118
    Ergebnis:
    118

8Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

EntdeckenFrage

Ist ein Spiel fair, bei dem einer bei geradem und der andere bei ungeradem Augenprodukt gewinnt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Ungerade ist das Produkt nur, wenn beide Würfel ungerade zeigen: 3 · 3 = 9 von 36 Ergebnissen. Gerade ist es bei den übrigen 27. Wer auf gerade setzt, gewinnt also dreimal so oft – obwohl es gerecht aussieht.

MerkenFairness

Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Gefühle täuschen, Zählen nicht.

BeispielIst das Spiel fair?

Jonas und Lotta werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme gerade ist. Lotta bekommt einen Punkt, wenn sie ungerade ist. Lotta meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
Schritt für Schritt
  1. Jonas: 18 von 36 Ergebnissen
  2. Lotta: 18 von 36 Ergebnissen
  3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
  1. Jonas: 18 von 36 Ergebnissen
  2. Lotta: 18 von 36 Ergebnissen
  3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
Ergebnis:
fair (18 zu 18)

AchtungNoch einmal: Ergebnisse unvollständig gezählt

So nicht
Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36
So richtig
Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Anna und Ben werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn beide Würfel dieselbe Zahl zeigen. Ben bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme 11 oder 12 ist. Ben meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    So fängst du an:
    Anna: 6 von 36 Ergebnissen
    Lösung zeigen
    1. Anna: 6 von 36 Ergebnissen
    2. Ben: 3 von 36 Ergebnissen
    3. 6 ist mehr als 3.
    Ergebnis:
    nicht fair, Anna gewinnt öfter (6 zu 3)
  2. ●23
    Anna und Lotta werfen einen Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn eine 1 oder 2 geworfen wird. Lotta bekommt einen Punkt, wenn eine 3, 4, 5 oder 6 geworfen wird. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    Lösung zeigen
    1. Anna: 2 von 6 Ergebnissen
    2. Lotta: 4 von 6 Ergebnissen
    3. 4 ist mehr als 2.
    Ergebnis:
    nicht fair, Lotta gewinnt öfter (4 zu 2)
  3. ★24
    Jonas und Ben werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme gerade ist. Ben bekommt einen Punkt, wenn sie ungerade ist. Ben meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    1. Jonas: 18 von 36 Ergebnissen
    2. Ben: 18 von 36 Ergebnissen
    3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
    Ergebnis:
    fair (18 zu 18)

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Gruppe Adler: 21, 18, 20, 24, 17. Gruppe Falken: 25, 12, 21, 11, 21. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    Gruppe AdlerGruppe Falken101214161820222426
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 21 + 18 + 20 + 24 + 17 = 100, 100 : 5 = 20
    2. Gruppe Falken: 25 + 12 + 21 + 11 + 21 = 90, 90 : 5 = 18
    3. 20 − 18 = 2
    Ergebnis:
    Gruppe Adler, um 2 Punkte
  2. ●26
    Lesezeit am Tag, in Minuten. Mädchen: 16, 44, 13, 41, 41. Jungen: 29, 30, 33, 31, 32. Beide Gruppen haben denselben Mittelwert. Worin unterscheiden sie sich? Nutze die Spannweite.
    MädchenJungen1015202530354045
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert beider Gruppen: 155 : 5 = 31
    2. Mädchen: 44 − 13 = 31
    3. Jungen: 33 − 29 = 4
    4. Die Werte von Jungen liegen enger beisammen.
    Ergebnis:
    gleichmäßiger: Jungen (Spannweite 4 gegen 31)
  3. ●27
    Taschengeld in der Woche, in €: 9, 6, 7, 42, 6. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder der Gruppe besser?
    Werte51015202530354045
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 70 : 5 = 14
    2. Geordnet: 6, 6, 7, 9, 42, Median 7
    3. Der Wert 42 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (7 statt 14)
  4. ●28
    Lukas möchte bei 5 Weitsprüngen im Mittel genau 315 cm erreichen. Die ersten Ergebnisse: 294, 279, 330, 385. Was braucht Lukas beim letzten Mal?
    bisher260280300320340360380400420?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 315 = 1575
    2. Summe der bekannten: 294 + 279 + 330 + 385 = 1288
    3. 1575 − 1288 = 287
    Ergebnis:
    287 cm
  5. ●29
    In der Theater-AG haben 27 von 40 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 7 von 10 Kindern ein Haustier. Ben sagt: „In der Theater-AG ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A27 von 40B7 von 10
    Lösung zeigen
    1. Theater-AG: 2740 = 0,675
    2. Fußball-AG: 710 = 0,7
    3. Die relative Häufigkeit ist in der Fußball-AG größer.
    Ergebnis:
    Nein, in der Fußball-AG ist der Anteil größer
  6. ●30
    Ein Würfel wird 100-mal geworfen. 76-mal fällt eine gerade Zahl. Gib die relative Häufigkeit als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl an.
    Treffer76 von 100
    Lösung zeigen
    1. Relative Häufigkeit: Anzahl geteilt durch alle, 76100
    2. Gekürzt: 76100 = 1925
    3. Als Dezimalzahl: 76 : 100 = 0,76
    Ergebnis:
    1925 = 0,76

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Datenreihen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.
Ausreißer
Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Relative Häufigkeit
Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.
Kreuztabelle
Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.
Langfristig stabil
Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.
Gewinnchancen auszählen
Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.
Fairness
Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

    31
    Lesezeit am Tag, in Minuten. Mädchen: 34, 57, 58, 11, 10. Jungen: 33, 41, 57, 17, 42. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    MädchenJungen102030405060
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Jungen, um 4 min

  2. Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

    32
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 27, 23, 17, 175, 13. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 51 Bücher.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte0255075100125150175
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, der Median 23 passt besser

  3. Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

    33
    Anna und Ben werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn das Augenprodukt gerade ist. Ben bekommt einen Punkt, wenn es ungerade ist. Ben meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nicht fair, Anna gewinnt öfter (27 zu 9)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Mittelwert als faire Vergleichszahl für verschieden große Gruppen, die Spannweite für die Streuung.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Sportergebnisse vergleichen, Umfragen in der Klasse auswerten, Spielregeln auf Fairness prüfen. Beruf: Marktforschung, Qualitätskontrolle in der Produktion, Wetter- und Verkehrsstatistik.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Brüche und Dezimalzahlen, Systematisch zählen

Darauf baut auf: Daten und Zufall

Lösungen

  1. Team Nord (Median 11 gegen 10)
  2. Team Nord (11 Treffer gegen 10 Treffer)
  3. Gruppe Falken (41 min gegen 36 min)
  4. Nein, der Median 8 passt besser
  5. Nein, der Median 56 passt besser
  6. Median (6,5 statt 12)
  7. 7 Treffer
  8. 358 cm
  9. 29 Punkte
  10. Schule am Park (0,8)
  11. Schule am See (0,8)
  12. Nein, bei Team Nord ist der Anteil größer
  13. 3
  14. 12
  15. 4
  16. 0,2
  17. 0,5
  18. 0,405
  19. 12 Ergebnisse, 2 davon günstig
  20. 16
  21. 118
  22. nicht fair, Anna gewinnt öfter (6 zu 3)
  23. nicht fair, Lotta gewinnt öfter (4 zu 2)
  24. fair (18 zu 18)
  25. Gruppe Adler, um 2 Punkte
  26. gleichmäßiger: Jungen (Spannweite 4 gegen 31)
  27. Median (7 statt 14)
  28. 287 cm
  29. Nein, in der Fußball-AG ist der Anteil größer
  30. 1925 = 0,76
  31. Jungen, um 4 min
  32. Nein, der Median 23 passt besser
  33. nicht fair, Anna gewinnt öfter (27 zu 9)
  34. x̄ = 8,4
  35. Median 10; Spannweite 7