Zum Inhalt springen
Anmelden

Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Daten vergleichen und Zufall untersuchen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Einige nennen Team Süd, weil dort der weiteste Sprung ist oder weil die Summe größer ist. Andere widersprechen, weil Team Süd ein Kind mehr hat. Die Gruppen streiten, und jede hat ein Argument. Ein fairer Vergleich braucht eine Zahl, die nicht von der Anzahl der Kinder abhängt: den Mittelwert. Team Nord kommt auf 310 cm, Team Süd auf etwa 303 cm. Wie gleichmäßig ein Team springt, zeigt die Spannweite.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median beschreiben die Mitte einer Datenreihe, die Spannweite ihre Breite.

  1. ●38
    Punkte im Test: 13, 5, 12, 2, 10. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 8,4
  2. ●39
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 17, 9, 8, 19, 6. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 6, 8, 9, 17, 19
    2. Median = mittlerer Wert = 9
    3. Spannweite = 19 − 6 = 13
    Ergebnis:
    Median 9; Spannweite 13

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenKennwerte stehen für eine Gruppe

Ein Mittelwert oder Median steht für eine ganze Gruppe, die Spannweite für ihre Streuung. Gruppen vergleicht man über solche Kennwerte, nicht über einzelne Werte. Chancen zeigen sich erst bei vielen Versuchen.

Punktdiagramm einer Gruppe: Der Median 6 steht für die Mitte, die Spannweite 6 für die Streuung2345678910Median 6Spannweite 9 − 3 = 6

WeiterdenkenDenk nach

Team A hat den weitesten Springer, Team B den höheren Mittelwert. Welches Team ist besser – und was müsstest du wissen, um das zu entscheiden?

1Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

EntdeckenFrage

Warum nennen Statistiker beim Einkommen lieber den Median als den Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Einkommen ziehen den Durchschnitt nach oben, sodass die meisten Menschen darunter liegen. Der Median ist das Einkommen in der Mitte: Die eine Hälfte verdient weniger, die andere mehr. Deshalb beschreibt er, was für viele typisch ist, besser.

MerkenDatenreihen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.

Der Mittelwert zeigt die Mitte, die Spannweite zeigt, wie weit die Werte auseinanderliegen.

BeispielZwei Datenreihen mit Mittelwert und Median vergleichen

Lesezeit am Tag, in Minuten. Gruppe Adler: 22, 21, 51, 46, 20. Gruppe Falken: 23, 39, 60, 26, 47. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe liest länger?
Gruppe AdlerGruppe Falken202530354045505560
Schritt für Schritt
  1. Gruppe Adler: 22 + 21 + 51 + 46 + 20 = 160, 160 : 5 = 32
  2. Gruppe Falken: 23 + 39 + 60 + 26 + 47 = 195, 195 : 5 = 39
  3. 39 ist mehr als 32.
  1. Gruppe Adler: 22 + 21 + 51 + 46 + 20 = 160, 160 : 5 = 32
  2. Gruppe Falken: 23 + 39 + 60 + 26 + 47 = 195, 195 : 5 = 39
  3. 39 ist mehr als 32.
Ergebnis:
Gruppe Falken (39 min gegen 32 min)

AchtungMittelwert falsch berechnet oder einzelne Werte verglichen

So nicht
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 3 = 20
So richtig
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 4 = 15

Alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Eine Gruppe vergleicht man über Kennwerte, nicht über ihren besten Wert.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Mädchen: 6, 27, 16, 34, 12. Jungen: 21, 18, 36, 26, 39. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe geht weiter?
    MädchenJungen510152025303540
    So fängst du an:
    Mädchen geordnet: 6, 12, 16, 27, 34, Median 16
    Lösung zeigen
    1. Mädchen geordnet: 6, 12, 16, 27, 34, Median 16
    2. Jungen geordnet: 18, 21, 26, 36, 39, Median 26
    3. 26 ist mehr als 16.
    Ergebnis:
    Jungen (Median 26 gegen 16)
  2. ●2
    Lesezeit am Tag, in Minuten. Mädchen: 42, 24, 28, 41, 35. Jungen: 11, 36, 35, 58, 40. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe liest länger?
    MädchenJungen102030405060
    Lösung zeigen
    1. Mädchen: 42 + 24 + 28 + 41 + 35 = 170, 170 : 5 = 34
    2. Jungen: 11 + 36 + 35 + 58 + 40 = 180, 180 : 5 = 36
    3. 36 ist mehr als 34.
    Ergebnis:
    Jungen (36 min gegen 34 min)
  3. ★3
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Gruppe Adler: 21, 18, 24, 25, 20, 18. Gruppe Falken: 23, 8, 17, 24. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe hat mehr Punkte?
    Gruppe AdlerGruppe Falken510152025
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler geordnet: 18, 18, 20, 21, 24, 25, Median 20,5
    2. Gruppe Falken geordnet: 8, 17, 23, 24, Median 20
    3. 20,5 ist mehr als 20.
    Ergebnis:
    Gruppe Adler (Median 20,5 gegen 20)

2Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

EntdeckenFrage

Kann ein einziges Kind den Taschengeld-Durchschnitt einer ganzen Klasse verdoppeln?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. Bekommen 24 Kinder je 5 € und ein Kind 130 €, ist der Mittelwert 250 € : 25 = 10 €, also doppelt so viel wie fast alle bekommen. Der Median bleibt bei 5 €. Ein einziger Ausreißer verändert den Mittelwert stark, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.

Den Median verändert er kaum. Bei Ausreißern beschreibt der Median die Gruppe besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert oder Median?

Taschengeld in der Woche, in €: 6, 8, 9, 5, 32. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 12 €.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder der Gruppe gut? Vergleiche mit dem Median.
Werte5101520253035
Schritt für Schritt
  1. Geordnet: 5, 6, 8, 9, 32
  2. Median: 8
  3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 32.
  4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
  1. Geordnet: 5, 6, 8, 9, 32
  2. Median: 8
  3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 32.
  4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
Ergebnis:
Nein, der Median 8 passt besser

AchtungMittelwert trotz Ausreißer gewählt

So nicht
5, 6, 5, 7, 42 → Mittelwert 13 beschreibt die Gruppe
So richtig
5, 6, 5, 7, 42 → Median = 6 beschreibt die Gruppe besser

Liegt ein Wert weit weg von allen anderen, beschreibt der Median die Gruppe besser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 4, 6, 3, 55, 7. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte0102030405060
    So fängst du an:
    55 ist viel größer als alle anderen Werte.
    Lösung zeigen
    1. 55 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 75 : 5 = 15
    3. Ohne ihn: 20 : 4 = 5
    Ergebnis:
    Ausreißer 55, Mittelwert 15 statt 5
  2. ●5
    Taschengeld in der Woche, in €: 4, 5, 7, 8, 41. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte051015202530354045
    Lösung zeigen
    1. 41 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 65 : 5 = 13
    3. Ohne ihn: 24 : 4 = 6
    Ergebnis:
    Ausreißer 41, Mittelwert 13 statt 6
  3. ★6
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 13, 21, 14, 19, 151, 28. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 41 Bücher.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte020406080100120140160
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 13, 14, 19, 21, 28, 151
    2. Median: 20
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 151.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 20 passt besser

3Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

EntdeckenFrage

Wie kann eine Umfrage mit rund tausend Menschen etwas über ganz Deutschland sagen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn die Befragten gut ausgewählt sind, spiegeln sie die Bevölkerung im Kleinen. Der Anteil in der Umfrage ist dann eine Schätzung für den Anteil im ganzen Land. Große Umfragen zur Politik fragen deshalb meist nur etwa 1000 bis 1500 Menschen.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlender Wert aus dem Mittelwert

Der Mittelwert von 4 Kopfrechentests ist 19 Punkte. Bekannt sind 15, 27, 26. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
Schritt für Schritt
  1. Summe aller Werte: 4 · 19 = 76
  2. Summe der bekannten: 15 + 27 + 26 = 68
  3. 76 − 68 = 8
  1. Summe aller Werte: 4 · 19 = 76
  2. Summe der bekannten: 15 + 27 + 26 = 68
  3. 76 − 68 = 8
Ergebnis:
8 Punkte

AchtungFehlenden Wert vom Mittelwert statt von der Summe aus gesucht

So nicht
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → der fünfte ist 14
So richtig
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → 5 · 14 = 70, 70 − 54 = 16

Erst Mittelwert mal Anzahl: Das ist die Summe. Dann die bekannten Werte abziehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Der Mittelwert von 5 Lesetagen ist 36 min. Bekannt sind 44, 24, 24, 34. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    So fängst du an:
    Summe aller Werte: 5 · 36 = 180
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 36 = 180
    2. Summe der bekannten: 44 + 24 + 24 + 34 = 126
    3. 180 − 126 = 54
    Ergebnis:
    54 min
  2. ●8
    Der Mittelwert von 4 Runden Korbwurf ist 10 Treffer. Bekannt sind 8, 14, 5. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 10 = 40
    2. Summe der bekannten: 8 + 14 + 5 = 27
    3. 40 − 27 = 13
    Ergebnis:
    13 Treffer
  3. ★9
    Mila hat in 5 Spielen im Mittel 11 Punkte gemacht. Nach dem nächsten Spiel liegt der Mittelwert bei 13 Punkten. Wie viele Punkte waren es im letzten Spiel?
    Lösung zeigen
    1. Summe vorher: 5 · 11 = 55
    2. Summe nachher: 6 · 13 = 78
    3. 78 − 55 = 23
    Ergebnis:
    23 Punkte

4Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Krankheitsfälle je 100.000 Einwohner und nicht einfach die Fälle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Großstadt hat natürlich mehr Fälle als ein Dorf, weil dort mehr Menschen leben. Erst wenn man die Fälle durch die Einwohnerzahl teilt, kann man Orte verschiedener Größe fair vergleichen. Das ist eine relative Häufigkeit, nur auf 100.000 Menschen hochgerechnet.

MerkenRelative Häufigkeit

Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.

Zum Beispiel 12 von 40 ergibt 12/40 = 3/10 = 0,3. So kann man verschieden große Gruppen vergleichen.

BeispielVerschieden große Gruppen über Anteile vergleichen

In der Klasse 6a kommen 28 von 40 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 30 von 50 Kindern mit dem Rad zur Schule. Ben sagt: „In der Klasse 6b ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
A28 von 40B30 von 50
Schritt für Schritt
  1. Klasse 6a: 2840 = 0,7
  2. Klasse 6b: 3050 = 0,6
  3. Die relative Häufigkeit ist in der Klasse 6a größer.
  1. Klasse 6a: 2840 = 0,7
  2. Klasse 6b: 3050 = 0,6
  3. Die relative Häufigkeit ist in der Klasse 6a größer.
Ergebnis:
Nein, in der Klasse 6a ist der Anteil größer

AchtungAnzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 17-mal bei 25 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 7-mal bei 10 Schüssen. Ben sagt: „Bei Team Nord ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    Team Nord17 von 25Team Süd7 von 10
    So fängst du an:
    Team Nord: 1725 = 0,68
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 1725 = 0,68
    2. Team Süd: 710 = 0,7
    3. Die relative Häufigkeit ist bei Team Süd größer.
    Ergebnis:
    Nein, bei Team Süd ist der Anteil größer
  2. ●11
    An der Schule am Park sagen 7 von 10 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 20 von 25 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A7 von 10B20 von 25
    Lösung zeigen
    1. Schule am Park: 710 = 0,7
    2. Schule am See: 2025 = 0,8
    3. 0,8 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Schule am See (0,8)
  3. ★12
    In der Klasse 6a kommen 23 von 40 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 19 von 25 Kindern mit dem Rad zur Schule. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A23 von 40B19 von 25
    Lösung zeigen
    1. Klasse 6a: 2340 = 0,575
    2. Klasse 6b: 1925 = 0,76
    3. 0,76 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Klasse 6b (0,76)

5Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

EntdeckenFrage

Landet eine Reißzwecke öfter auf dem Rücken oder auf der Seite?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht ausrechnen, sondern nur ausprobieren. Nach zehn Würfen weiß man fast nichts, nach Hunderten von Würfen pendelt sich der Anteil ein. Je nach Form der Reißzwecke kommt etwas anderes heraus, deshalb ist der Versuch selbst die Antwort.

MerkenKreuztabelle

Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.

Jede Zeile und jede Spalte muss ihre Summe ergeben. Das ist die Kontrolle.

BeispielTabelle mit zwei Merkmalen lesen und ergänzen

Bei einer Umfrage machen 37 Kinder mit, davon sind 21 Mädchen. 12 Mädchen und 7 Jungen haben gefrühstückt. Wie viele Jungen haben nicht gefrühstückt? Lege eine Tabelle an.
Schritt für Schritt
  1. Jungen: 37 − 21 = 16
  2. Jungen, die nicht gefrühstückt haben: 16 − 7 = 9
  3. Kontrolle: 12 + 9 + 7 + 9 = 37
  1. Jungen: 37 − 21 = 16
  2. Jungen, die nicht gefrühstückt haben: 16 − 7 = 9
  3. Kontrolle: 12 + 9 + 7 + 9 = 37
Ergebnis:
9

AchtungNoch einmal: Anzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Rad?
    RadBusgesamtKlasse 6a51419Klasse 6b?1421gesamt122840
    So fängst du an:
    Zeile Klasse 6b: zusammen 21.
    Lösung zeigen
    1. Zeile Klasse 6b: zusammen 21.
    2. 21 − 14 = 7
    3. Kontrolle mit der Spalte: 7 + 5 = 12
    Ergebnis:
    7
  2. ●14
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Kinder aus Klasse 6 sind in einer AG?
    AG jaAG neingesamtKlasse 5121123Klasse 6?711gesamt161834
    Lösung zeigen
    1. Zeile Klasse 6: zusammen 11.
    2. 11 − 7 = 4
    3. Kontrolle mit der Spalte: 4 + 12 = 16
    Ergebnis:
    4
  3. ★15
    In der Tabelle fehlen Zahlen. Wie viele Kinder wurden insgesamt befragt?
    AG jaAG neingesamtKlasse 55??Klasse 67916gesamt?20?
    Lösung zeigen
    1. Spalte AG nein: 20 − 9 = 11
    2. Zeile Klasse 5: 5 + 11 = 16
    3. Insgesamt: 16 + 16 = 32
    Ergebnis:
    32

6Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

EntdeckenFrage

Hat schon einmal jemand eine Münze 24.000-mal geworfen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja, der Statistiker Karl Pearson um 1900. Er bekam 12.012-mal Kopf, das sind 0,5005 aller Würfe. Schon im 18. Jahrhundert warf der Naturforscher Buffon 4040-mal und bekam 2048-mal Kopf. Je länger die Reihe, desto näher liegt der Anteil bei einhalb.

MerkenLangfristig stabil

Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.

Bei vielen Versuchen wird sie stabil. Dann ist sie eine gute Schätzung für die Chance.

BeispielRelative Häufigkeiten bei vielen Versuchen

Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,1.“ Hat sie recht?
Würfe1050100500Treffer11722123
Schritt für Schritt
  1. 1 : 10 = 0,1
  2. 123 : 500 = 0,246
  3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
  4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,25.
  1. 1 : 10 = 0,1
  2. 123 : 500 = 0,246
  3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
  4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,25.
Ergebnis:
Nein, eher 0,246

AchtungAus wenigen Versuchen auf die Chance geschlossen

So nicht
3 Sechsen in 10 Würfen → Chance 3 : 10 = 0,3
So richtig
3 Sechsen in 10 Würfen → noch zu wenige; 100 Sechsen in 600 Würfen → 100 : 600 ≈ 0,17

Erst viele Versuche machen die relative Häufigkeit verlässlich.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,1.“ Hat sie recht?
    Würfe1050100500Treffer1101380
    So fängst du an:
    1 : 10 = 0,1
    Lösung zeigen
    1. 1 : 10 = 0,1
    2. 80 : 500 = 0,16
    3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
    4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,16.
    Ergebnis:
    Nein, eher 0,16
  2. ●17
    Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,3.“ Hat sie recht?
    Würfe1050100500Treffer391888
    Lösung zeigen
    1. 3 : 10 = 0,3
    2. 88 : 500 = 0,176
    3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
    4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,18.
    Ergebnis:
    Nein, eher 0,176
  3. ★18
    Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 1000 Würfen.
    Würfe10502001000Treffer4746197
    Lösung zeigen
    1. Treffer geteilt durch Würfe.
    2. 197 : 1000 = 0,197
    Ergebnis:
    0,197

7Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Warum muss man beim Spiel „Die Siedler von Catan“ so oft den Räuber versetzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Räuber kommt bei der Augensumme 7. Von den 36 Ergebnissen zweier Würfel haben 6 die Summe 7, mehr als jede andere Summe. Die 2 und die 12 haben nur je ein Ergebnis. Deshalb sind die Zahlen 6 und 8 auf dem Spielfeld so wertvoll.

MerkenGewinnchancen auszählen

Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3. Wer alle günstigen Ergebnisse zählt, kennt die Chance.

BeispielGewinnchancen durch Auszählen

Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 10? Gib sie als gekürzten Bruch an.
123456123456?
Schritt für Schritt
  1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
  2. Summe 10: 4 und 6; 5 und 5; 6 und 4
  3. 3 von 36, also 336 = 112
  1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
  2. Summe 10: 4 und 6; 5 und 5; 6 und 4
  3. 3 von 36, also 336 = 112
Ergebnis:
112

AchtungErgebnisse unvollständig gezählt

So nicht
Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36
So richtig
Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Kopf und eine gerade Zahl?
    123456KopfZahl?
    So fängst du an:
    Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    Lösung zeigen
    1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    2. Günstig: 3 Ergebnisse.
    3. Die Chance ist 3 von 12, also 1/4.
    Ergebnis:
    12 Ergebnisse, 3 davon günstig
  2. ●20
    Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 3?
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    2. Summe 3: 1 und 2; 2 und 1
    3. Das sind 2 Ergebnisse.
    Ergebnis:
    2 Ergebnisse
  3. ★21
    Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Kopf und eine Sechs?
    123456KopfZahl?
    Lösung zeigen
    1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    2. Günstig: 1 Ergebnis.
    3. Die Chance ist 1 von 12, also 1/12.
    Ergebnis:
    12 Ergebnisse, 1 davon günstig

8Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

EntdeckenFrage

Ist ein Spiel fair, bei dem einer bei geradem und der andere bei ungeradem Augenprodukt gewinnt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Ungerade ist das Produkt nur, wenn beide Würfel ungerade zeigen: 3 · 3 = 9 von 36 Ergebnissen. Gerade ist es bei den übrigen 27. Wer auf gerade setzt, gewinnt also dreimal so oft – obwohl es gerecht aussieht.

MerkenFairness

Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Gefühle täuschen, Zählen nicht.

BeispielIst das Spiel fair?

Jonas und Emre werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme kleiner als 7 ist. Emre bekommt einen Punkt, wenn sie größer als 7 ist; bei 7 wird neu geworfen. Emre meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
Schritt für Schritt
  1. Jonas: 15 von 36 Ergebnissen
  2. Emre: 15 von 36 Ergebnissen
  3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
  1. Jonas: 15 von 36 Ergebnissen
  2. Emre: 15 von 36 Ergebnissen
  3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
Ergebnis:
fair (15 zu 15)

AchtungNoch einmal: Ergebnisse unvollständig gezählt

So nicht
Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36
So richtig
Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Anna und Ben werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn der Unterschied der Augenzahlen 0, 1 oder 2 ist. Ben bekommt einen Punkt, wenn er 3, 4 oder 5 ist. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Ben je Treffer bekommen, damit es fair wird?
    So fängst du an:
    Anna: 24 von 36 Ergebnissen
    Lösung zeigen
    1. Anna: 24 von 36 Ergebnissen
    2. Ben: 12 von 36 Ergebnissen
    3. Anna gewinnt 2-mal so oft.
    4. Ben braucht 2 Punkte je Treffer.
    Ergebnis:
    2 Punkte
  2. ●23
    Jonas und Lotta werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn das Augenprodukt gerade ist. Lotta bekommt einen Punkt, wenn es ungerade ist. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Lotta je Treffer bekommen, damit es fair wird?
    Lösung zeigen
    1. Jonas: 27 von 36 Ergebnissen
    2. Lotta: 9 von 36 Ergebnissen
    3. Jonas gewinnt 3-mal so oft.
    4. Lotta braucht 3 Punkte je Treffer.
    Ergebnis:
    3 Punkte
  3. ★24
    Jonas und Emre werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme kleiner als 7 ist. Emre bekommt einen Punkt, wenn sie größer als 7 ist; bei 7 wird neu geworfen. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    Lösung zeigen
    1. Jonas: 15 von 36 Ergebnissen
    2. Emre: 15 von 36 Ergebnissen
    3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
    Ergebnis:
    fair (15 zu 15)

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Gruppe Adler: 26, 8, 32, 30, 39. Gruppe Falken: 27, 32, 11, 16, 9. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe geht weiter?
    Gruppe AdlerGruppe Falken510152025303540
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 26 + 8 + 32 + 30 + 39 = 135, 135 : 5 = 27
    2. Gruppe Falken: 27 + 32 + 11 + 16 + 9 = 95, 95 : 5 = 19
    3. 27 ist mehr als 19.
    Ergebnis:
    Gruppe Adler (27 Hundert Schritte gegen 19 Hundert Schritte)
  2. ●26
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Gruppe Adler: 18, 21, 17, 21, 18. Gruppe Falken: 22, 27, 10, 13, 23. Beide Gruppen haben denselben Mittelwert. Worin unterscheiden sie sich? Nutze die Spannweite.
    Gruppe AdlerGruppe Falken1015202530
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert beider Gruppen: 95 : 5 = 19
    2. Gruppe Adler: 21 − 17 = 4
    3. Gruppe Falken: 27 − 10 = 17
    4. Die Werte von Gruppe Adler liegen enger beisammen.
    Ergebnis:
    gleichmäßiger: Gruppe Adler (Spannweite 4 gegen 17)
  3. ●27
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 10, 28, 24, 238, 10. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte050100150200250
    Lösung zeigen
    1. 238 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 310 : 5 = 62
    3. Ohne ihn: 72 : 4 = 18
    Ergebnis:
    Ausreißer 238, Mittelwert 62 statt 18
  4. ●28
    Der Mittelwert von 5 Kopfrechentests ist 19 Punkte. Bekannt sind 14, 24, 21, 25. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 19 = 95
    2. Summe der bekannten: 14 + 24 + 21 + 25 = 84
    3. 95 − 84 = 11
    Ergebnis:
    11 Punkte
  5. ●29
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 16-mal bei 20 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 19-mal bei 25 Schüssen. Ben sagt: „Bei Team Süd ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    Team Nord16 von 20Team Süd19 von 25
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 1620 = 0,8
    2. Team Süd: 1925 = 0,76
    3. Die relative Häufigkeit ist bei Team Nord größer.
    Ergebnis:
    Nein, bei Team Nord ist der Anteil größer
  6. ●30
    Bei einer Umfrage antworten 20 Kinder. 9 von ihnen sagen, dass sie ein Instrument spielen. Gib die relative Häufigkeit als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl an.
    Lösung zeigen
    1. Relative Häufigkeit: Anzahl geteilt durch alle, 920
    2. 920 lässt sich nicht kürzen.
    3. Als Dezimalzahl: 9 : 20 = 0,45
    Ergebnis:
    920 = 0,45

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Datenreihen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.
Ausreißer
Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Relative Häufigkeit
Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.
Kreuztabelle
Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.
Langfristig stabil
Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.
Gewinnchancen auszählen
Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.
Fairness
Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

    31
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Gruppe Adler: 6, 22, 17, 37, 33. Gruppe Falken: 6, 21, 28, 32, 23. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe geht weiter?
    Gruppe AdlerGruppe Falken510152025303540
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Gruppe Adler (23 Hundert Schritte gegen 22 Hundert Schritte)

  2. Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

    32
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 27, 196, 24, 11, 22. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte0255075100125150175200
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Ausreißer 196, Mittelwert 56 statt 21

  3. Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

    33
    Der Mittelwert von 5 Weitsprüngen ist 330 cm. Bekannt sind 255, 331, 350, 349. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    365 cm

  4. Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

    34
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 10-mal bei 50 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 8-mal bei 10 Schüssen. Ben sagt: „Bei Team Nord ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    Team Nord10 von 50Team Süd8 von 10
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, bei Team Süd ist der Anteil größer

  5. Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

    35
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Jungen haben nicht gefrühstückt?
    Frühstückkein FrühstückgesamtMädchen51419Jungen9?16gesamt142135
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    7

  6. Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

    36
    Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 50 Würfen.
    Würfe1050100500Treffer182081
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    0,16

  7. Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

    37
    Anna und Emre werfen einen Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn eine 1 oder 2 geworfen wird. Emre bekommt einen Punkt, wenn eine 3, 4, 5 oder 6 geworfen wird. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Anna je Treffer bekommen, damit es fair wird?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2 Punkte

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Mittelwert als faire Vergleichszahl für verschieden große Gruppen, die Spannweite für die Streuung.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Sportergebnisse vergleichen, Umfragen in der Klasse auswerten, Spielregeln auf Fairness prüfen. Beruf: Marktforschung, Qualitätskontrolle in der Produktion, Wetter- und Verkehrsstatistik.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Brüche und Dezimalzahlen, Systematisch zählen

Darauf baut auf: Daten und Zufall

Lösungen

  1. Jungen (Median 26 gegen 16)
  2. Jungen (36 min gegen 34 min)
  3. Gruppe Adler (Median 20,5 gegen 20)
  4. Ausreißer 55, Mittelwert 15 statt 5
  5. Ausreißer 41, Mittelwert 13 statt 6
  6. Nein, der Median 20 passt besser
  7. 54 min
  8. 13 Treffer
  9. 23 Punkte
  10. Nein, bei Team Süd ist der Anteil größer
  11. Schule am See (0,8)
  12. Klasse 6b (0,76)
  13. 7
  14. 4
  15. 32
  16. Nein, eher 0,16
  17. Nein, eher 0,176
  18. 0,197
  19. 12 Ergebnisse, 3 davon günstig
  20. 2 Ergebnisse
  21. 12 Ergebnisse, 1 davon günstig
  22. 2 Punkte
  23. 3 Punkte
  24. fair (15 zu 15)
  25. Gruppe Adler (27 Hundert Schritte gegen 19 Hundert Schritte)
  26. gleichmäßiger: Gruppe Adler (Spannweite 4 gegen 17)
  27. Ausreißer 238, Mittelwert 62 statt 18
  28. 11 Punkte
  29. Nein, bei Team Nord ist der Anteil größer
  30. 920 = 0,45
  31. Gruppe Adler (23 Hundert Schritte gegen 22 Hundert Schritte)
  32. Ausreißer 196, Mittelwert 56 statt 21
  33. 365 cm
  34. Nein, bei Team Süd ist der Anteil größer
  35. 7
  36. 0,16
  37. 2 Punkte
  38. x̄ = 8,4
  39. Median 9; Spannweite 13