Zum Inhalt springen
Anmelden

Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Daten vergleichen und Zufall untersuchen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Einige nennen Team Süd, weil dort der weiteste Sprung ist oder weil die Summe größer ist. Andere widersprechen, weil Team Süd ein Kind mehr hat. Die Gruppen streiten, und jede hat ein Argument. Ein fairer Vergleich braucht eine Zahl, die nicht von der Anzahl der Kinder abhängt: den Mittelwert. Team Nord kommt auf 310 cm, Team Süd auf etwa 303 cm. Wie gleichmäßig ein Team springt, zeigt die Spannweite.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median beschreiben die Mitte einer Datenreihe, die Spannweite ihre Breite.

  1. ●36
    Punkte im Test: 15, 14, 5, 15, 13. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 12,4
  2. ●37
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 19, 8, 10, 15, 20. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 8, 10, 15, 19, 20
    2. Median = mittlerer Wert = 15
    3. Spannweite = 20 − 8 = 12
    Ergebnis:
    Median 15; Spannweite 12

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenKennwerte stehen für eine Gruppe

Ein Mittelwert oder Median steht für eine ganze Gruppe, die Spannweite für ihre Streuung. Gruppen vergleicht man über solche Kennwerte, nicht über einzelne Werte. Chancen zeigen sich erst bei vielen Versuchen.

Punktdiagramm einer Gruppe: Der Median 6 steht für die Mitte, die Spannweite 6 für die Streuung2345678910Median 6Spannweite 9 − 3 = 6

WeiterdenkenDenk nach

Team A hat den weitesten Springer, Team B den höheren Mittelwert. Welches Team ist besser – und was müsstest du wissen, um das zu entscheiden?

1Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

EntdeckenFrage

Warum nennen Statistiker beim Einkommen lieber den Median als den Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Einkommen ziehen den Durchschnitt nach oben, sodass die meisten Menschen darunter liegen. Der Median ist das Einkommen in der Mitte: Die eine Hälfte verdient weniger, die andere mehr. Deshalb beschreibt er, was für viele typisch ist, besser.

MerkenDatenreihen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.

Der Mittelwert zeigt die Mitte, die Spannweite zeigt, wie weit die Werte auseinanderliegen.

BeispielZwei Datenreihen mit Mittelwert und Median vergleichen

Weitsprung beim Sportfest, in cm. Team Nord: 303, 358, 276, 339, 304. Team Süd: 390, 281, 374, 302, 348. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe springt weiter?
Team NordTeam Süd260280300320340360380400
Schritt für Schritt
  1. Team Nord: 303 + 358 + 276 + 339 + 304 = 1580, 1580 : 5 = 316
  2. Team Süd: 390 + 281 + 374 + 302 + 348 = 1695, 1695 : 5 = 339
  3. 339 ist mehr als 316.
  1. Team Nord: 303 + 358 + 276 + 339 + 304 = 1580, 1580 : 5 = 316
  2. Team Süd: 390 + 281 + 374 + 302 + 348 = 1695, 1695 : 5 = 339
  3. 339 ist mehr als 316.
Ergebnis:
Team Süd (339 cm gegen 316 cm)

AchtungMittelwert falsch berechnet oder einzelne Werte verglichen

So nicht
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 3 = 20
So richtig
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 4 = 15

Alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Eine Gruppe vergleicht man über Kennwerte, nicht über ihren besten Wert.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Mädchen: 10, 16, 5, 4, 5. Jungen: 16, 17, 8, 9, 5. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe trifft öfter?
    MädchenJungen4681012141618
    So fängst du an:
    Mädchen: 10 + 16 + 5 + 4 + 5 = 40, 40 : 5 = 8
    Lösung zeigen
    1. Mädchen: 10 + 16 + 5 + 4 + 5 = 40, 40 : 5 = 8
    2. Jungen: 16 + 17 + 8 + 9 + 5 = 55, 55 : 5 = 11
    3. 11 ist mehr als 8.
    Ergebnis:
    Jungen (11 Treffer gegen 8 Treffer)
  2. ●2
    Lesezeit am Tag, in Minuten. Gruppe Adler: 29, 20, 57, 31, 13. Gruppe Falken: 20, 48, 32, 27, 53. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe liest länger?
    Gruppe AdlerGruppe Falken102030405060
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler geordnet: 13, 20, 29, 31, 57, Median 29
    2. Gruppe Falken geordnet: 20, 27, 32, 48, 53, Median 32
    3. 32 ist mehr als 29.
    Ergebnis:
    Gruppe Falken (Median 32 gegen 29)
  3. ★3
    Lesezeit am Tag, in Minuten. Gruppe Adler: 51, 49, 13, 36, 14, 41. Gruppe Falken: 44, 47, 28, 29. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    Gruppe AdlerGruppe Falken10152025303540455055
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 51 + 49 + 13 + 36 + 14 + 41 = 204, 204 : 6 = 34
    2. Gruppe Falken: 44 + 47 + 28 + 29 = 148, 148 : 4 = 37
    3. 37 − 34 = 3
    Ergebnis:
    Gruppe Falken, um 3 min

2Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

EntdeckenFrage

Kann ein einziges Kind den Taschengeld-Durchschnitt einer ganzen Klasse verdoppeln?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. Bekommen 24 Kinder je 5 € und ein Kind 130 €, ist der Mittelwert 250 € : 25 = 10 €, also doppelt so viel wie fast alle bekommen. Der Median bleibt bei 5 €. Ein einziger Ausreißer verändert den Mittelwert stark, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.

Den Median verändert er kaum. Bei Ausreißern beschreibt der Median die Gruppe besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert oder Median?

Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 48, 247, 52, 28, 20. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder besser?
Werte050100150200250
Schritt für Schritt
  1. Mittelwert: 395 : 5 = 79
  2. Geordnet: 20, 28, 48, 52, 247, Median 48
  3. Der Wert 247 zieht den Mittelwert nach oben.
  1. Mittelwert: 395 : 5 = 79
  2. Geordnet: 20, 28, 48, 52, 247, Median 48
  3. Der Wert 247 zieht den Mittelwert nach oben.
Ergebnis:
Median (48 statt 79)

AchtungMittelwert trotz Ausreißer gewählt

So nicht
5, 6, 5, 7, 42 → Mittelwert 13 beschreibt die Gruppe
So richtig
5, 6, 5, 7, 42 → Median = 6 beschreibt die Gruppe besser

Liegt ein Wert weit weg von allen anderen, beschreibt der Median die Gruppe besser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 247, 59, 41, 20, 28. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte050100150200250
    So fängst du an:
    247 ist viel größer als alle anderen Werte.
    Lösung zeigen
    1. 247 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 395 : 5 = 79
    3. Ohne ihn: 148 : 4 = 37
    Ergebnis:
    Ausreißer 247, Mittelwert 79 statt 37
  2. ●5
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 40, 23, 42, 35, 290. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 86 min.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte050100150200250300
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 23, 35, 40, 42, 290
    2. Median: 40
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 290.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 40 passt besser
  3. ★6
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 44, 32, 47, 40, 312, 47. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte050100150200250300350
    Lösung zeigen
    1. 312 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 522 : 6 = 87
    3. Ohne ihn: 210 : 5 = 42
    Ergebnis:
    Ausreißer 312, Mittelwert 87 statt 42

3Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

EntdeckenFrage

Wie kann eine Umfrage mit rund tausend Menschen etwas über ganz Deutschland sagen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn die Befragten gut ausgewählt sind, spiegeln sie die Bevölkerung im Kleinen. Der Anteil in der Umfrage ist dann eine Schätzung für den Anteil im ganzen Land. Große Umfragen zur Politik fragen deshalb meist nur etwa 1000 bis 1500 Menschen.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlender Wert aus dem Mittelwert

Mila möchte bei 5 Runden Korbwurf im Mittel genau 9 Treffer erreichen. Die ersten Ergebnisse: 5, 8, 18, 7. Was braucht Mila beim letzten Mal?
bisher468101214161820?
Schritt für Schritt
  1. Summe aller Werte: 5 · 9 = 45
  2. Summe der bekannten: 5 + 8 + 18 + 7 = 38
  3. 45 − 38 = 7
  1. Summe aller Werte: 5 · 9 = 45
  2. Summe der bekannten: 5 + 8 + 18 + 7 = 38
  3. 45 − 38 = 7
Ergebnis:
7 Treffer

AchtungFehlenden Wert vom Mittelwert statt von der Summe aus gesucht

So nicht
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → der fünfte ist 14
So richtig
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → 5 · 14 = 70, 70 − 54 = 16

Erst Mittelwert mal Anzahl: Das ist die Summe. Dann die bekannten Werte abziehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Der Mittelwert von 4 Lesetagen ist 43 min. Bekannt sind 15, 56, 41. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    So fängst du an:
    Summe aller Werte: 4 · 43 = 172
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 43 = 172
    2. Summe der bekannten: 15 + 56 + 41 = 112
    3. 172 − 112 = 60
    Ergebnis:
    60 min
  2. ●8
    Tim möchte bei 4 Lesetagen im Mittel genau 33 min erreichen. Die ersten Ergebnisse: 25, 24, 41. Was braucht Tim beim letzten Mal?
    bisher20253035404550?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 33 = 132
    2. Summe der bekannten: 25 + 24 + 41 = 90
    3. 132 − 90 = 42
    Ergebnis:
    42 min
  3. ★9
    Mila hat in 3 Spielen im Mittel 12 Punkte gemacht. Nach dem nächsten Spiel liegt der Mittelwert bei 13 Punkten. Wie viele Punkte waren es im letzten Spiel?
    Lösung zeigen
    1. Summe vorher: 3 · 12 = 36
    2. Summe nachher: 4 · 13 = 52
    3. 52 − 36 = 16
    Ergebnis:
    16 Punkte

4Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Krankheitsfälle je 100.000 Einwohner und nicht einfach die Fälle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Großstadt hat natürlich mehr Fälle als ein Dorf, weil dort mehr Menschen leben. Erst wenn man die Fälle durch die Einwohnerzahl teilt, kann man Orte verschiedener Größe fair vergleichen. Das ist eine relative Häufigkeit, nur auf 100.000 Menschen hochgerechnet.

MerkenRelative Häufigkeit

Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.

Zum Beispiel 12 von 40 ergibt 12/40 = 3/10 = 0,3. So kann man verschieden große Gruppen vergleichen.

BeispielVerschieden große Gruppen über Anteile vergleichen

An der Schule am Park sagen 29 von 50 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 11 von 25 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
A29 von 50B11 von 25
Schritt für Schritt
  1. Schule am Park: 2950 = 0,58
  2. Schule am See: 1125 = 0,44
  3. 0,58 ist die größte Zahl.
  1. Schule am Park: 2950 = 0,58
  2. Schule am See: 1125 = 0,44
  3. 0,58 ist die größte Zahl.
Ergebnis:
Schule am Park (0,58)

AchtungAnzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 14-mal bei 25 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 13-mal bei 20 Schüssen. Ben sagt: „Bei Team Nord ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    Team Nord14 von 25Team Süd13 von 20
    So fängst du an:
    Team Nord: 1425 = 0,56
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 1425 = 0,56
    2. Team Süd: 1320 = 0,65
    3. Die relative Häufigkeit ist bei Team Süd größer.
    Ergebnis:
    Nein, bei Team Süd ist der Anteil größer
  2. ●11
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 22-mal bei 40 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 25-mal bei 50 Schüssen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    Team Nord22 von 40Team Süd25 von 50
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 2240 = 0,55
    2. Team Süd: 2550 = 0,5
    3. 0,55 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Team Nord (0,55)
  3. ★12
    An der Schule am Park sagen 17 von 40 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 36 von 50 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A17 von 40B36 von 50
    Lösung zeigen
    1. Schule am Park: 1740 = 0,425
    2. Schule am See: 3650 = 0,72
    3. 0,72 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Schule am See (0,72)

5Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

EntdeckenFrage

Landet eine Reißzwecke öfter auf dem Rücken oder auf der Seite?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht ausrechnen, sondern nur ausprobieren. Nach zehn Würfen weiß man fast nichts, nach Hunderten von Würfen pendelt sich der Anteil ein. Je nach Form der Reißzwecke kommt etwas anderes heraus, deshalb ist der Versuch selbst die Antwort.

MerkenKreuztabelle

Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.

Jede Zeile und jede Spalte muss ihre Summe ergeben. Das ist die Kontrolle.

BeispielTabelle mit zwei Merkmalen lesen und ergänzen

In der Tabelle fehlen Zahlen. Wie viele Kinder wurden insgesamt befragt?
RadBusgesamtKlasse 6a11??Klasse 6b11516gesamt?18?
Schritt für Schritt
  1. Spalte Bus: 18 − 5 = 13
  2. Zeile Klasse 6a: 11 + 13 = 24
  3. Insgesamt: 24 + 16 = 40
  1. Spalte Bus: 18 − 5 = 13
  2. Zeile Klasse 6a: 11 + 13 = 24
  3. Insgesamt: 24 + 16 = 40
Ergebnis:
40

AchtungStellenweise kleiner von größer

So nicht
52 − 27 = 35
So richtig
52 − 27: 12 − 7 = 5, 4 − 2 = 2 → 25

Schau, ob oben die kleinere Ziffer steht. Tausche dann einen Zehner in zehn Einer.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Jungen haben nicht gefrühstückt?
    Frühstückkein FrühstückgesamtMädchen9918Jungen4?16gesamt132134
    So fängst du an:
    Zeile Jungen: zusammen 16.
    Lösung zeigen
    1. Zeile Jungen: zusammen 16.
    2. 16 − 4 = 12
    3. Kontrolle mit der Spalte: 12 + 9 = 21
    Ergebnis:
    12
  2. ●14
    Bei einer Umfrage machen 34 Kinder mit, davon sind 14 Kinder der Klasse 6a. 8 Kinder der Klasse 6a und 7 Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Rad. Wie viele Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Bus? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    1. Kinder der Klasse 6b: 34 − 14 = 20
    2. Kinder der Klasse 6b, die mit dem Bus kommen: 20 − 7 = 13
    3. Kontrolle: 8 + 6 + 7 + 13 = 34
    Ergebnis:
    13
  3. ★15
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Mädchen haben nicht gefrühstückt?
    Frühstückkein FrühstückgesamtMädchen9?22Jungen91120gesamt182442
    Lösung zeigen
    1. Zeile Mädchen: zusammen 22.
    2. 22 − 9 = 13
    3. Kontrolle mit der Spalte: 13 + 11 = 24
    Ergebnis:
    13

6Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

EntdeckenFrage

Hat schon einmal jemand eine Münze 24.000-mal geworfen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja, der Statistiker Karl Pearson um 1900. Er bekam 12.012-mal Kopf, das sind 0,5005 aller Würfe. Schon im 18. Jahrhundert warf der Naturforscher Buffon 4040-mal und bekam 2048-mal Kopf. Je länger die Reihe, desto näher liegt der Anteil bei einhalb.

Ausprobieren: Zufallsversuch: Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Münze, Würfel oder Glücksrad oft werfen – die relative Häufigkeit pendelt sich bei der Wahrscheinlichkeit ein.

MerkenLangfristig stabil

Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.

Bei vielen Versuchen wird sie stabil. Dann ist sie eine gute Schätzung für die Chance.

BeispielRelative Häufigkeiten bei vielen Versuchen

Eine Reißzwecke wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft sie auf dem Rücken landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
Würfe1050100500Treffer31842195
Schritt für Schritt
  1. 3 : 10 = 0,3
  2. 42 : 100 = 0,42
  3. 195 : 500 = 0,39
  4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
  1. 3 : 10 = 0,3
  2. 42 : 100 = 0,42
  3. 195 : 500 = 0,39
  4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
Ergebnis:
0,39

AchtungAus wenigen Versuchen auf die Chance geschlossen

So nicht
3 Sechsen in 10 Würfen → Chance 3 : 10 = 0,3
So richtig
3 Sechsen in 10 Würfen → noch zu wenige; 100 Sechsen in 600 Würfen → 100 : 600 ≈ 0,17

Erst viele Versuche machen die relative Häufigkeit verlässlich.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 100 Würfen.
    Würfe1050100500Treffer3111883
    So fängst du an:
    Treffer geteilt durch Würfe.
    Lösung zeigen
    1. Treffer geteilt durch Würfe.
    2. 18 : 100 = 0,18
    Ergebnis:
    0,18
  2. ●17
    Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe1050100500Treffer12033149
    Lösung zeigen
    1. 1 : 10 = 0,1
    2. 33 : 100 = 0,33
    3. 149 : 500 = 0,298
    4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
    Ergebnis:
    0,298
  3. ★18
    Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,3.“ Hat sie recht?
    Würfe10502001000Treffer3529159
    Lösung zeigen
    1. 3 : 10 = 0,3
    2. 159 : 1000 = 0,159
    3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
    4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,16.
    Ergebnis:
    Nein, eher 0,159

7Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Warum muss man beim Spiel „Die Siedler von Catan“ so oft den Räuber versetzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Räuber kommt bei der Augensumme 7. Von den 36 Ergebnissen zweier Würfel haben 6 die Summe 7, mehr als jede andere Summe. Die 2 und die 12 haben nur je ein Ergebnis. Deshalb sind die Zahlen 6 und 8 auf dem Spielfeld so wertvoll.

MerkenGewinnchancen auszählen

Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3. Wer alle günstigen Ergebnisse zählt, kennt die Chance.

BeispielGewinnchancen durch Auszählen

Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 6? Gib sie als gekürzten Bruch an.
123456123456?
Schritt für Schritt
  1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
  2. Summe 6: 1 und 5; 2 und 4; 3 und 3; 4 und 2; 5 und 1
  3. 5 von 36, also 536 = 536
  1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
  2. Summe 6: 1 und 5; 2 und 4; 3 und 3; 4 und 2; 5 und 1
  3. 5 von 36, also 536 = 536
Ergebnis:
536

AchtungErgebnisse unvollständig gezählt

So nicht
Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36
So richtig
Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 11? Gib sie als gekürzten Bruch an.
    123456123456?
    So fängst du an:
    Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    Lösung zeigen
    1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    2. Summe 11: 5 und 6; 6 und 5
    3. 2 von 36, also 236 = 118
    Ergebnis:
    118
  2. ●20
    Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 8? Gib sie als gekürzten Bruch an.
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    2. Summe 8: 2 und 6; 3 und 5; 4 und 4; 5 und 3; 6 und 2
    3. 5 von 36, also 536 = 536
    Ergebnis:
    536
  3. ★21
    Zwei Würfel werden geworfen. Gewonnen hat, wer genau den Unterschied 1 der beiden Augenzahlen erreicht. Wie viele der 36 Ergebnisse gewinnen?
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Die Tabelle hat 6 · 6 = 36 Felder, erst Würfel 1, dann Würfel 2.
    2. Unterschied 1: 5 Felder, bei denen Würfel 1 größer ist, genauso viele umgekehrt.
    3. 5 + 5 = 10
    Ergebnis:
    10 Ergebnisse

8Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

EntdeckenFrage

Ist ein Spiel fair, bei dem einer bei geradem und der andere bei ungeradem Augenprodukt gewinnt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Ungerade ist das Produkt nur, wenn beide Würfel ungerade zeigen: 3 · 3 = 9 von 36 Ergebnissen. Gerade ist es bei den übrigen 27. Wer auf gerade setzt, gewinnt also dreimal so oft – obwohl es gerecht aussieht.

MerkenFairness

Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Gefühle täuschen, Zählen nicht.

BeispielIst das Spiel fair?

Anna und Emre werfen einen Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn eine 1 oder 2 geworfen wird. Emre bekommt einen Punkt, wenn eine 3, 4, 5 oder 6 geworfen wird. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Anna je Treffer bekommen, damit es fair wird?
Schritt für Schritt
  1. Anna: 2 von 6 Ergebnissen
  2. Emre: 4 von 6 Ergebnissen
  3. Emre gewinnt 2-mal so oft.
  4. Anna braucht 2 Punkte je Treffer.
  1. Anna: 2 von 6 Ergebnissen
  2. Emre: 4 von 6 Ergebnissen
  3. Emre gewinnt 2-mal so oft.
  4. Anna braucht 2 Punkte je Treffer.
Ergebnis:
2 Punkte

AchtungNoch einmal: Ergebnisse unvollständig gezählt

So nicht
Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36
So richtig
Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Mila und Emre werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme gerade ist. Emre bekommt einen Punkt, wenn sie ungerade ist. Emre meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    So fängst du an:
    Mila: 18 von 36 Ergebnissen
    Lösung zeigen
    1. Mila: 18 von 36 Ergebnissen
    2. Emre: 18 von 36 Ergebnissen
    3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
    Ergebnis:
    fair (18 zu 18)
  2. ●23
    Mila und Emre werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme kleiner als 7 ist. Emre bekommt einen Punkt, wenn sie größer als 7 ist; bei 7 wird neu geworfen. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    Lösung zeigen
    1. Mila: 15 von 36 Ergebnissen
    2. Emre: 15 von 36 Ergebnissen
    3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
    Ergebnis:
    fair (15 zu 15)
  3. ★24
    Anna und Emre werfen einen Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn eine 1 oder 2 geworfen wird. Emre bekommt einen Punkt, wenn eine 3, 4, 5 oder 6 geworfen wird. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    Lösung zeigen
    1. Anna: 2 von 6 Ergebnissen
    2. Emre: 4 von 6 Ergebnissen
    3. 4 ist mehr als 2.
    Ergebnis:
    nicht fair, Emre gewinnt öfter (4 zu 2)

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Mädchen: 30, 8, 31, 26, 10. Jungen: 23, 15, 16, 31, 30. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe geht weiter?
    MädchenJungen5101520253035
    Lösung zeigen
    1. Mädchen: 30 + 8 + 31 + 26 + 10 = 105, 105 : 5 = 21
    2. Jungen: 23 + 15 + 16 + 31 + 30 = 115, 115 : 5 = 23
    3. 23 ist mehr als 21.
    Ergebnis:
    Jungen (23 Hundert Schritte gegen 21 Hundert Schritte)
  2. ●26
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Mädchen: 21, 18, 22, 21, 23. Jungen: 16, 7, 27, 26, 29. Beide Gruppen haben denselben Mittelwert. Worin unterscheiden sie sich? Nutze die Spannweite.
    MädchenJungen51015202530
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert beider Gruppen: 105 : 5 = 21
    2. Mädchen: 23 − 18 = 5
    3. Jungen: 29 − 7 = 22
    4. Die Werte von Mädchen liegen enger beisammen.
    Ergebnis:
    gleichmäßiger: Mädchen (Spannweite 5 gegen 22)
  3. ●27
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 54, 354, 59, 35, 28. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte050100150200250300350400
    Lösung zeigen
    1. 354 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 530 : 5 = 106
    3. Ohne ihn: 176 : 4 = 44
    Ergebnis:
    Ausreißer 354, Mittelwert 106 statt 44
  4. ●28
    Lukas hat die Ergebnisse von 4 Runden Korbwurf notiert. Im Mittel waren es 12 Treffer. 3 Ergebnisse sind noch zu lesen: 16, 18, 3. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher2468101214161820?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 12 = 48
    2. Summe der bekannten: 16 + 18 + 3 = 37
    3. 48 − 37 = 11
    Ergebnis:
    11 Treffer
  5. ●29
    In der Klasse 6a kommen 27 von 50 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 24 von 40 Kindern mit dem Rad zur Schule. Ben sagt: „In der Klasse 6a ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A27 von 50B24 von 40
    Lösung zeigen
    1. Klasse 6a: 2750 = 0,54
    2. Klasse 6b: 2440 = 0,6
    3. Die relative Häufigkeit ist in der Klasse 6b größer.
    Ergebnis:
    Nein, in der Klasse 6b ist der Anteil größer
  6. ●30
    Ein Würfel wird 20-mal geworfen. 13-mal fällt eine gerade Zahl. Gib die relative Häufigkeit als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl an.
    Treffer13 von 20
    Lösung zeigen
    1. Relative Häufigkeit: Anzahl geteilt durch alle, 1320
    2. 1320 lässt sich nicht kürzen.
    3. Als Dezimalzahl: 13 : 20 = 0,65
    Ergebnis:
    1320 = 0,65

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Datenreihen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.
Ausreißer
Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Relative Häufigkeit
Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.
Kreuztabelle
Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.
Langfristig stabil
Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.
Gewinnchancen auszählen
Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.
Fairness
Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

    31
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Team Nord: 10, 18, 13, 9, 15. Team Süd: 3, 17, 13, 11, 6. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    Team NordTeam Süd24681012141618
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Team Nord, um 3 Treffer

  2. Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

    32
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 28, 18, 214, 15, 15. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 58 Bücher.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte0255075100125150175200225
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, der Median 18 passt besser

  3. Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

    33
    Der Mittelwert von 5 Lesetagen ist 28 min. Bekannt sind 11, 27, 10, 57. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    35 min

  4. Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

    34
    Bei einer Umfrage machen 36 Kinder mit, davon sind 21 Mädchen. 11 Mädchen und 9 Jungen haben ein Haustier. Wie viele Jungen haben kein Haustier? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    6

  5. Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

    35
    Anna und Ben werfen einen Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn eine 1 oder 2 geworfen wird. Ben bekommt einen Punkt, wenn eine 3, 4, 5 oder 6 geworfen wird. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Anna je Treffer bekommen, damit es fair wird?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2 Punkte

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Mittelwert als faire Vergleichszahl für verschieden große Gruppen, die Spannweite für die Streuung.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Sportergebnisse vergleichen, Umfragen in der Klasse auswerten, Spielregeln auf Fairness prüfen. Beruf: Marktforschung, Qualitätskontrolle in der Produktion, Wetter- und Verkehrsstatistik.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Brüche und Dezimalzahlen, Systematisch zählen

Darauf baut auf: Daten und Zufall

Lösungen

  1. Jungen (11 Treffer gegen 8 Treffer)
  2. Gruppe Falken (Median 32 gegen 29)
  3. Gruppe Falken, um 3 min
  4. Ausreißer 247, Mittelwert 79 statt 37
  5. Nein, der Median 40 passt besser
  6. Ausreißer 312, Mittelwert 87 statt 42
  7. 60 min
  8. 42 min
  9. 16 Punkte
  10. Nein, bei Team Süd ist der Anteil größer
  11. Team Nord (0,55)
  12. Schule am See (0,72)
  13. 12
  14. 13
  15. 13
  16. 0,18
  17. 0,298
  18. Nein, eher 0,159
  19. 118
  20. 536
  21. 10 Ergebnisse
  22. fair (18 zu 18)
  23. fair (15 zu 15)
  24. nicht fair, Emre gewinnt öfter (4 zu 2)
  25. Jungen (23 Hundert Schritte gegen 21 Hundert Schritte)
  26. gleichmäßiger: Mädchen (Spannweite 5 gegen 22)
  27. Ausreißer 354, Mittelwert 106 statt 44
  28. 11 Treffer
  29. Nein, in der Klasse 6b ist der Anteil größer
  30. 1320 = 0,65
  31. Team Nord, um 3 Treffer
  32. Nein, der Median 18 passt besser
  33. 35 min
  34. 6
  35. 2 Punkte
  36. x̄ = 12,4
  37. Median 15; Spannweite 12