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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

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Daten vergleichen und Zufall untersuchen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Einige nennen Team Süd, weil dort der weiteste Sprung ist oder weil die Summe größer ist. Andere widersprechen, weil Team Süd ein Kind mehr hat. Die Gruppen streiten, und jede hat ein Argument. Ein fairer Vergleich braucht eine Zahl, die nicht von der Anzahl der Kinder abhängt: den Mittelwert. Team Nord kommt auf 310 cm, Team Süd auf etwa 303 cm. Wie gleichmäßig ein Team springt, zeigt die Spannweite.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median beschreiben die Mitte einer Datenreihe, die Spannweite ihre Breite.

  1. ●39
    Punkte im Test: 11, 15, 12, 7, 8. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 10,6
  2. ●40
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 17, 20, 7, 13, 18. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 7, 13, 17, 18, 20
    2. Median = mittlerer Wert = 17
    3. Spannweite = 20 − 7 = 13
    Ergebnis:
    Median 17; Spannweite 13

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenKennwerte stehen für eine Gruppe

Ein Mittelwert oder Median steht für eine ganze Gruppe, die Spannweite für ihre Streuung. Gruppen vergleicht man über solche Kennwerte, nicht über einzelne Werte. Chancen zeigen sich erst bei vielen Versuchen.

Punktdiagramm einer Gruppe: Der Median 6 steht für die Mitte, die Spannweite 6 für die Streuung2345678910Median 6Spannweite 9 − 3 = 6

WeiterdenkenDenk nach

Team A hat den weitesten Springer, Team B den höheren Mittelwert. Welches Team ist besser – und was müsstest du wissen, um das zu entscheiden?

1Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

EntdeckenFrage

Warum nennen Statistiker beim Einkommen lieber den Median als den Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Einkommen ziehen den Durchschnitt nach oben, sodass die meisten Menschen darunter liegen. Der Median ist das Einkommen in der Mitte: Die eine Hälfte verdient weniger, die andere mehr. Deshalb beschreibt er, was für viele typisch ist, besser.

MerkenDatenreihen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.

Der Mittelwert zeigt die Mitte, die Spannweite zeigt, wie weit die Werte auseinanderliegen.

BeispielZwei Datenreihen mit Mittelwert und Median vergleichen

Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Gruppe Adler: 25, 13, 26, 9, 22. Gruppe Falken: 40, 11, 33, 38, 8. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe geht weiter?
Gruppe AdlerGruppe Falken510152025303540
Schritt für Schritt
  1. Gruppe Adler geordnet: 9, 13, 22, 25, 26, Median 22
  2. Gruppe Falken geordnet: 8, 11, 33, 38, 40, Median 33
  3. 33 ist mehr als 22.
  1. Gruppe Adler geordnet: 9, 13, 22, 25, 26, Median 22
  2. Gruppe Falken geordnet: 8, 11, 33, 38, 40, Median 33
  3. 33 ist mehr als 22.
Ergebnis:
Gruppe Falken (Median 33 gegen 22)

AchtungMittelwert falsch berechnet oder einzelne Werte verglichen

So nicht
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 3 = 20
So richtig
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 4 = 15

Alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Eine Gruppe vergleicht man über Kennwerte, nicht über ihren besten Wert.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Team Nord: 358, 382, 260, 363, 267. Team Süd: 255, 315, 362, 389, 259. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    Team NordTeam Süd240260280300320340360380400
    So fängst du an:
    Team Nord: 358 + 382 + 260 + 363 + 267 = 1630, 1630 : 5 = 326
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 358 + 382 + 260 + 363 + 267 = 1630, 1630 : 5 = 326
    2. Team Süd: 255 + 315 + 362 + 389 + 259 = 1580, 1580 : 5 = 316
    3. 326 − 316 = 10
    Ergebnis:
    Team Nord, um 10 cm
  2. ●2
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Team Nord: 20, 9, 8, 18, 30. Team Süd: 19, 19, 29, 20, 23. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe hat mehr Punkte?
    Team NordTeam Süd51015202530
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 20 + 9 + 8 + 18 + 30 = 85, 85 : 5 = 17
    2. Team Süd: 19 + 19 + 29 + 20 + 23 = 110, 110 : 5 = 22
    3. 22 ist mehr als 17.
    Ergebnis:
    Team Süd (22 Punkte gegen 17 Punkte)
  3. ★3
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Team Nord: 244, 298, 388, 280, 340. Team Süd: 251, 281, 324, 332. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe springt weiter?
    Team NordTeam Süd240260280300320340360380400
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 244 + 298 + 388 + 280 + 340 = 1550, 1550 : 5 = 310
    2. Team Süd: 251 + 281 + 324 + 332 = 1188, 1188 : 4 = 297
    3. 310 ist mehr als 297.
    Ergebnis:
    Team Nord (310 cm gegen 297 cm)

2Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

EntdeckenFrage

Kann ein einziges Kind den Taschengeld-Durchschnitt einer ganzen Klasse verdoppeln?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. Bekommen 24 Kinder je 5 € und ein Kind 130 €, ist der Mittelwert 250 € : 25 = 10 €, also doppelt so viel wie fast alle bekommen. Der Median bleibt bei 5 €. Ein einziger Ausreißer verändert den Mittelwert stark, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.

Den Median verändert er kaum. Bei Ausreißern beschreibt der Median die Gruppe besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert oder Median?

Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 236, 30, 26, 17, 11. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder besser?
Werte050100150200250
Schritt für Schritt
  1. Mittelwert: 320 : 5 = 64
  2. Geordnet: 11, 17, 26, 30, 236, Median 26
  3. Der Wert 236 zieht den Mittelwert nach oben.
  1. Mittelwert: 320 : 5 = 64
  2. Geordnet: 11, 17, 26, 30, 236, Median 26
  3. Der Wert 236 zieht den Mittelwert nach oben.
Ergebnis:
Median (26 statt 64)

AchtungMittelwert trotz Ausreißer gewählt

So nicht
5, 6, 5, 7, 42 → Mittelwert 13 beschreibt die Gruppe
So richtig
5, 6, 5, 7, 42 → Median = 6 beschreibt die Gruppe besser

Liegt ein Wert weit weg von allen anderen, beschreibt der Median die Gruppe besser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 20, 12, 201, 24, 28. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte0255075100125150175200225
    So fängst du an:
    201 ist viel größer als alle anderen Werte.
    Lösung zeigen
    1. 201 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 285 : 5 = 57
    3. Ohne ihn: 84 : 4 = 21
    Ergebnis:
    Ausreißer 201, Mittelwert 57 statt 21
  2. ●5
    Taschengeld in der Woche, in €: 8, 42, 8, 7, 5. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder der Gruppe besser?
    Werte51015202530354045
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 70 : 5 = 14
    2. Geordnet: 5, 7, 8, 8, 42, Median 8
    3. Der Wert 42 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (8 statt 14)
  3. ★6
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 4, 9, 6, 9, 60, 2. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Fahrgäste besser?
    Werte0102030405060
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 90 : 6 = 15
    2. Geordnet: 2, 4, 6, 9, 9, 60, Median 7,5
    3. Der Wert 60 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (7,5 statt 15)

3Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

EntdeckenFrage

Wie kann eine Umfrage mit rund tausend Menschen etwas über ganz Deutschland sagen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn die Befragten gut ausgewählt sind, spiegeln sie die Bevölkerung im Kleinen. Der Anteil in der Umfrage ist dann eine Schätzung für den Anteil im ganzen Land. Große Umfragen zur Politik fragen deshalb meist nur etwa 1000 bis 1500 Menschen.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlender Wert aus dem Mittelwert

Aylin möchte bei 5 Lesetagen im Mittel genau 40 min erreichen. Die ersten Ergebnisse: 37, 56, 48, 26. Was braucht Aylin beim letzten Mal?
bisher253035404550556065?
Schritt für Schritt
  1. Summe aller Werte: 5 · 40 = 200
  2. Summe der bekannten: 37 + 56 + 48 + 26 = 167
  3. 200 − 167 = 33
  1. Summe aller Werte: 5 · 40 = 200
  2. Summe der bekannten: 37 + 56 + 48 + 26 = 167
  3. 200 − 167 = 33
Ergebnis:
33 min

AchtungFehlenden Wert vom Mittelwert statt von der Summe aus gesucht

So nicht
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → der fünfte ist 14
So richtig
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → 5 · 14 = 70, 70 − 54 = 16

Erst Mittelwert mal Anzahl: Das ist die Summe. Dann die bekannten Werte abziehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Der Mittelwert von 5 Runden Korbwurf ist 8 Treffer. Bekannt sind 11, 4, 4, 9. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    So fängst du an:
    Summe aller Werte: 5 · 8 = 40
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 8 = 40
    2. Summe der bekannten: 11 + 4 + 4 + 9 = 28
    3. 40 − 28 = 12
    Ergebnis:
    12 Treffer
  2. ●8
    Der Mittelwert von 4 Runden Korbwurf ist 10 Treffer. Bekannt sind 9, 5, 11. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 10 = 40
    2. Summe der bekannten: 9 + 5 + 11 = 25
    3. 40 − 25 = 15
    Ergebnis:
    15 Treffer
  3. ★9
    Aylin hat die Ergebnisse von 6 Runden Korbwurf notiert. Im Mittel waren es 11 Treffer. 5 Ergebnisse sind noch zu lesen: 13, 12, 13, 8, 3. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher246810121416?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 6 · 11 = 66
    2. Summe der bekannten: 13 + 12 + 13 + 8 + 3 = 49
    3. 66 − 49 = 17
    Ergebnis:
    17 Treffer

4Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Krankheitsfälle je 100.000 Einwohner und nicht einfach die Fälle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Großstadt hat natürlich mehr Fälle als ein Dorf, weil dort mehr Menschen leben. Erst wenn man die Fälle durch die Einwohnerzahl teilt, kann man Orte verschiedener Größe fair vergleichen. Das ist eine relative Häufigkeit, nur auf 100.000 Menschen hochgerechnet.

MerkenRelative Häufigkeit

Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.

Zum Beispiel 12 von 40 ergibt 12/40 = 3/10 = 0,3. So kann man verschieden große Gruppen vergleichen.

BeispielVerschieden große Gruppen über Anteile vergleichen

In der Theater-AG haben 15 von 25 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 8 von 20 Kindern ein Haustier. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
A15 von 25B8 von 20
Schritt für Schritt
  1. Theater-AG: 1525 = 0,6
  2. Fußball-AG: 820 = 0,4
  3. 0,6 ist die größte Zahl.
  1. Theater-AG: 1525 = 0,6
  2. Fußball-AG: 820 = 0,4
  3. 0,6 ist die größte Zahl.
Ergebnis:
Theater-AG (0,6)

AchtungAnzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    In der Klasse 6a kommen 19 von 25 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 32 von 50 Kindern mit dem Rad zur Schule. Ben sagt: „In der Klasse 6b ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A19 von 25B32 von 50
    So fängst du an:
    Klasse 6a: 1925 = 0,76
    Lösung zeigen
    1. Klasse 6a: 1925 = 0,76
    2. Klasse 6b: 3250 = 0,64
    3. Die relative Häufigkeit ist in der Klasse 6a größer.
    Ergebnis:
    Nein, in der Klasse 6a ist der Anteil größer
  2. ●11
    In der Theater-AG haben 12 von 25 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 7 von 10 Kindern ein Haustier. Ben sagt: „In der Theater-AG ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A12 von 25B7 von 10
    Lösung zeigen
    1. Theater-AG: 1225 = 0,48
    2. Fußball-AG: 710 = 0,7
    3. Die relative Häufigkeit ist in der Fußball-AG größer.
    Ergebnis:
    Nein, in der Fußball-AG ist der Anteil größer
  3. ★12
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 14-mal bei 20 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 14-mal bei 50 Schüssen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    Team Nord14 von 20Team Süd14 von 50
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 1420 = 0,7
    2. Team Süd: 1450 = 0,28
    3. 0,7 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Team Nord (0,7)

5Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

EntdeckenFrage

Landet eine Reißzwecke öfter auf dem Rücken oder auf der Seite?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht ausrechnen, sondern nur ausprobieren. Nach zehn Würfen weiß man fast nichts, nach Hunderten von Würfen pendelt sich der Anteil ein. Je nach Form der Reißzwecke kommt etwas anderes heraus, deshalb ist der Versuch selbst die Antwort.

MerkenKreuztabelle

Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.

Jede Zeile und jede Spalte muss ihre Summe ergeben. Das ist die Kontrolle.

BeispielTabelle mit zwei Merkmalen lesen und ergänzen

Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Mädchen haben kein Haustier?
Haustierkein TiergesamtMädchen11?14Jungen151025gesamt261339
Schritt für Schritt
  1. Zeile Mädchen: zusammen 14.
  2. 14 − 11 = 3
  3. Kontrolle mit der Spalte: 3 + 10 = 13
  1. Zeile Mädchen: zusammen 14.
  2. 14 − 11 = 3
  3. Kontrolle mit der Spalte: 3 + 10 = 13
Ergebnis:
3

AchtungNoch einmal: Anzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Bei einer Umfrage machen 39 Kinder mit, davon sind 19 Mädchen. 14 Mädchen und 7 Jungen haben gefrühstückt. Wie viele Jungen haben nicht gefrühstückt? Lege eine Tabelle an.
    So fängst du an:
    Jungen: 39 − 19 = 20
    Lösung zeigen
    1. Jungen: 39 − 19 = 20
    2. Jungen, die nicht gefrühstückt haben: 20 − 7 = 13
    3. Kontrolle: 14 + 5 + 7 + 13 = 39
    Ergebnis:
    13
  2. ●14
    In der Tabelle fehlen Zahlen. Wie viele Kinder wurden insgesamt befragt?
    AG jaAG neingesamtKlasse 54??Klasse 681119gesamt?15?
    Lösung zeigen
    1. Spalte AG nein: 15 − 11 = 4
    2. Zeile Klasse 5: 4 + 4 = 8
    3. Insgesamt: 8 + 19 = 27
    Ergebnis:
    27
  3. ★15
    Bei einer Umfrage machen 34 Kinder mit, davon sind 11 Mädchen. 5 Mädchen und 12 Jungen haben gefrühstückt. Wie viele Jungen haben nicht gefrühstückt? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    1. Jungen: 34 − 11 = 23
    2. Jungen, die nicht gefrühstückt haben: 23 − 12 = 11
    3. Kontrolle: 5 + 6 + 12 + 11 = 34
    Ergebnis:
    11

6Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

EntdeckenFrage

Hat schon einmal jemand eine Münze 24.000-mal geworfen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja, der Statistiker Karl Pearson um 1900. Er bekam 12.012-mal Kopf, das sind 0,5005 aller Würfe. Schon im 18. Jahrhundert warf der Naturforscher Buffon 4040-mal und bekam 2048-mal Kopf. Je länger die Reihe, desto näher liegt der Anteil bei einhalb.

Ausprobieren: Zufallsversuch: Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Münze, Würfel oder Glücksrad oft werfen – die relative Häufigkeit pendelt sich bei der Wahrscheinlichkeit ein.

MerkenLangfristig stabil

Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.

Bei vielen Versuchen wird sie stabil. Dann ist sie eine gute Schätzung für die Chance.

BeispielRelative Häufigkeiten bei vielen Versuchen

Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,1.“ Hat sie recht?
Würfe1050100500Treffer141486
Schritt für Schritt
  1. 1 : 10 = 0,1
  2. 86 : 500 = 0,172
  3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
  4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,17.
  1. 1 : 10 = 0,1
  2. 86 : 500 = 0,172
  3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
  4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,17.
Ergebnis:
Nein, eher 0,172

AchtungAus wenigen Versuchen auf die Chance geschlossen

So nicht
3 Sechsen in 10 Würfen → Chance 3 : 10 = 0,3
So richtig
3 Sechsen in 10 Würfen → noch zu wenige; 100 Sechsen in 600 Würfen → 100 : 600 ≈ 0,17

Erst viele Versuche machen die relative Häufigkeit verlässlich.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,1.“ Hat sie recht?
    Würfe1050100500Treffer181999
    So fängst du an:
    1 : 10 = 0,1
    Lösung zeigen
    1. 1 : 10 = 0,1
    2. 99 : 500 = 0,198
    3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
    4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,2.
    Ergebnis:
    Nein, eher 0,198
  2. ●17
    Eine Reißzwecke wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft sie auf dem Rücken landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 100 Würfen.
    Würfe1050100500Treffer41936177
    Lösung zeigen
    1. Treffer geteilt durch Würfe.
    2. 36 : 100 = 0,36
    Ergebnis:
    0,36
  3. ★18
    Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 50 Würfen.
    Würfe10502001000Treffer11859302
    Lösung zeigen
    1. Treffer geteilt durch Würfe.
    2. 18 : 50 = 0,36
    Ergebnis:
    0,36

7Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Warum muss man beim Spiel „Die Siedler von Catan“ so oft den Räuber versetzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Räuber kommt bei der Augensumme 7. Von den 36 Ergebnissen zweier Würfel haben 6 die Summe 7, mehr als jede andere Summe. Die 2 und die 12 haben nur je ein Ergebnis. Deshalb sind die Zahlen 6 und 8 auf dem Spielfeld so wertvoll.

MerkenGewinnchancen auszählen

Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3. Wer alle günstigen Ergebnisse zählt, kennt die Chance.

BeispielGewinnchancen durch Auszählen

Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Kopf und eine gerade Zahl?
123456KopfZahl?
Schritt für Schritt
  1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
  2. Günstig: 3 Ergebnisse.
  3. Die Chance ist 3 von 12, also 1/4.
  1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
  2. Günstig: 3 Ergebnisse.
  3. Die Chance ist 3 von 12, also 1/4.
Ergebnis:
12 Ergebnisse, 3 davon günstig

AchtungErgebnisse unvollständig gezählt

So nicht
Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36
So richtig
Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 10?
    123456123456?
    So fängst du an:
    Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    Lösung zeigen
    1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    2. Summe 10: 4 und 6; 5 und 5; 6 und 4
    3. Das sind 3 Ergebnisse.
    Ergebnis:
    3 Ergebnisse
  2. ●20
    Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 6?
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    2. Summe 6: 1 und 5; 2 und 4; 3 und 3; 4 und 2; 5 und 1
    3. Das sind 5 Ergebnisse.
    Ergebnis:
    5 Ergebnisse
  3. ★21
    Zwei Würfel werden geworfen. Gewonnen hat, wer genau den Unterschied 2 der beiden Augenzahlen erreicht. Wie viele der 36 Ergebnisse gewinnen?
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Die Tabelle hat 6 · 6 = 36 Felder, erst Würfel 1, dann Würfel 2.
    2. Unterschied 2: 4 Felder, bei denen Würfel 1 größer ist, genauso viele umgekehrt.
    3. 4 + 4 = 8
    Ergebnis:
    8 Ergebnisse

8Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

EntdeckenFrage

Ist ein Spiel fair, bei dem einer bei geradem und der andere bei ungeradem Augenprodukt gewinnt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Ungerade ist das Produkt nur, wenn beide Würfel ungerade zeigen: 3 · 3 = 9 von 36 Ergebnissen. Gerade ist es bei den übrigen 27. Wer auf gerade setzt, gewinnt also dreimal so oft – obwohl es gerecht aussieht.

MerkenFairness

Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Gefühle täuschen, Zählen nicht.

BeispielIst das Spiel fair?

Mila und Emre werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme kleiner als 7 ist. Emre bekommt einen Punkt, wenn sie größer als 7 ist; bei 7 wird neu geworfen. Emre meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
Schritt für Schritt
  1. Mila: 15 von 36 Ergebnissen
  2. Emre: 15 von 36 Ergebnissen
  3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
  1. Mila: 15 von 36 Ergebnissen
  2. Emre: 15 von 36 Ergebnissen
  3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
Ergebnis:
fair (15 zu 15)

AchtungIm Sachzusammenhang falsch gerundet

So nicht
27 Kinder, Busse zu 20: 27 : 20 = 1,35 Busse
So richtig
27 Kinder, Busse zu 20: 1,35 → 2 Busse

Frag dich: Gibt es halbe Stücke? Entscheide dann: aufrunden oder abrunden.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Mila und Lotta werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn das Augenprodukt gerade ist. Lotta bekommt einen Punkt, wenn es ungerade ist. Lotta meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    So fängst du an:
    Mila: 27 von 36 Ergebnissen
    Lösung zeigen
    1. Mila: 27 von 36 Ergebnissen
    2. Lotta: 9 von 36 Ergebnissen
    3. 27 ist mehr als 9.
    Ergebnis:
    nicht fair, Mila gewinnt öfter (27 zu 9)
  2. ●23
    Jonas und Lotta werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn das Augenprodukt gerade ist. Lotta bekommt einen Punkt, wenn es ungerade ist. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    Lösung zeigen
    1. Jonas: 27 von 36 Ergebnissen
    2. Lotta: 9 von 36 Ergebnissen
    3. 27 ist mehr als 9.
    Ergebnis:
    nicht fair, Jonas gewinnt öfter (27 zu 9)
  3. ★24
    Mila und Emre werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn beide Würfel dieselbe Zahl zeigen. Emre bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme 11 oder 12 ist. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Emre je Treffer bekommen, damit es fair wird?
    Lösung zeigen
    1. Mila: 6 von 36 Ergebnissen
    2. Emre: 3 von 36 Ergebnissen
    3. Mila gewinnt 2-mal so oft.
    4. Emre braucht 2 Punkte je Treffer.
    Ergebnis:
    2 Punkte

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Lesezeit am Tag, in Minuten. Mädchen: 25, 59, 27, 23, 11. Jungen: 44, 46, 17, 59, 44. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    MädchenJungen102030405060
    Lösung zeigen
    1. Mädchen: 25 + 59 + 27 + 23 + 11 = 145, 145 : 5 = 29
    2. Jungen: 44 + 46 + 17 + 59 + 44 = 210, 210 : 5 = 42
    3. 42 − 29 = 13
    Ergebnis:
    Jungen, um 13 min
  2. ●26
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Team Nord: 9, 7, 11, 15, 18. Team Süd: 13, 11, 11, 13, 12. Berechne für beide Gruppen die Spannweite. Welche Gruppe hat gleichmäßigere Ergebnisse?
    Team NordTeam Süd681012141618
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 18 − 7 = 11
    2. Team Süd: 13 − 11 = 2
    3. Die kleinere Spannweite hat Team Süd.
    Ergebnis:
    gleichmäßiger: Team Süd (Spannweite 2 gegen 11)
  3. ●27
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 33, 365, 50, 56, 21. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 105 min.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte050100150200250300350400
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 21, 33, 50, 56, 365
    2. Median: 50
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 365.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 50 passt besser
  4. ●28
    Der Mittelwert von 5 Weitsprüngen ist 310 cm. Bekannt sind 312, 306, 281, 302. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 310 = 1550
    2. Summe der bekannten: 312 + 306 + 281 + 302 = 1201
    3. 1550 − 1201 = 349
    Ergebnis:
    349 cm
  5. ●29
    An der Schule am Park sagen 7 von 10 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 22 von 50 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A7 von 10B22 von 50
    Lösung zeigen
    1. Schule am Park: 710 = 0,7
    2. Schule am See: 2250 = 0,44
    3. 0,7 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Schule am Park (0,7)
  6. ●30
    Bei einer Umfrage antworten 20 Kinder. 9 von ihnen sagen, dass sie ein Instrument spielen. Gib die relative Häufigkeit als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl an.
    Lösung zeigen
    1. Relative Häufigkeit: Anzahl geteilt durch alle, 920
    2. 920 lässt sich nicht kürzen.
    3. Als Dezimalzahl: 9 : 20 = 0,45
    Ergebnis:
    920 = 0,45

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Datenreihen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.
Ausreißer
Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Relative Häufigkeit
Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.
Kreuztabelle
Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.
Langfristig stabil
Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.
Gewinnchancen auszählen
Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.
Fairness
Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

    31
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Gruppe Adler: 17, 26, 23, 16, 23. Gruppe Falken: 15, 7, 33, 39, 16. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe geht weiter?
    Gruppe AdlerGruppe Falken510152025303540
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Gruppe Adler (Median 23 gegen 16)

  2. Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

    32
    Taschengeld in der Woche, in €: 8, 3, 9, 51, 4. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 15 €.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder der Gruppe gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte0102030405060
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, der Median 8 passt besser

  3. Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

    33
    Mila möchte bei 4 Weitsprüngen im Mittel genau 299 cm erreichen. Die ersten Ergebnisse: 284, 260, 304. Was braucht Mila beim letzten Mal?
    bisher260270280290300310320?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    348 cm

  4. Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

    34
    An der Schule am Park sagen 5 von 10 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 15 von 20 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A5 von 10B15 von 20
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Schule am See (0,75)

  5. Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

    35
    Bei einer Umfrage machen 30 Kinder mit, davon sind 20 Mädchen. 10 Mädchen und 5 Jungen haben gefrühstückt. Wie viele Jungen haben nicht gefrühstückt? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    5

  6. Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

    36
    Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe1050100500Treffer1111883
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    0,166

  7. Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

    37
    Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Zahl und eine Zahl größer als 4?
    123456KopfZahl?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    12 Ergebnisse, 2 davon günstig

  8. Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

    38
    Anna und Lotta werfen einen Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn eine 1 oder 2 geworfen wird. Lotta bekommt einen Punkt, wenn eine 3, 4, 5 oder 6 geworfen wird. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Anna je Treffer bekommen, damit es fair wird?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2 Punkte

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Mittelwert als faire Vergleichszahl für verschieden große Gruppen, die Spannweite für die Streuung.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Sportergebnisse vergleichen, Umfragen in der Klasse auswerten, Spielregeln auf Fairness prüfen. Beruf: Marktforschung, Qualitätskontrolle in der Produktion, Wetter- und Verkehrsstatistik.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Brüche und Dezimalzahlen, Systematisch zählen

Darauf baut auf: Daten und Zufall

Lösungen

  1. Team Nord, um 10 cm
  2. Team Süd (22 Punkte gegen 17 Punkte)
  3. Team Nord (310 cm gegen 297 cm)
  4. Ausreißer 201, Mittelwert 57 statt 21
  5. Median (8 statt 14)
  6. Median (7,5 statt 15)
  7. 12 Treffer
  8. 15 Treffer
  9. 17 Treffer
  10. Nein, in der Klasse 6a ist der Anteil größer
  11. Nein, in der Fußball-AG ist der Anteil größer
  12. Team Nord (0,7)
  13. 13
  14. 27
  15. 11
  16. Nein, eher 0,198
  17. 0,36
  18. 0,36
  19. 3 Ergebnisse
  20. 5 Ergebnisse
  21. 8 Ergebnisse
  22. nicht fair, Mila gewinnt öfter (27 zu 9)
  23. nicht fair, Jonas gewinnt öfter (27 zu 9)
  24. 2 Punkte
  25. Jungen, um 13 min
  26. gleichmäßiger: Team Süd (Spannweite 2 gegen 11)
  27. Nein, der Median 50 passt besser
  28. 349 cm
  29. Schule am Park (0,7)
  30. 920 = 0,45
  31. Gruppe Adler (Median 23 gegen 16)
  32. Nein, der Median 8 passt besser
  33. 348 cm
  34. Schule am See (0,75)
  35. 5
  36. 0,166
  37. 12 Ergebnisse, 2 davon günstig
  38. 2 Punkte
  39. x̄ = 10,6
  40. Median 17; Spannweite 13