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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Daten vergleichen und Zufall untersuchen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Einige nennen Team Süd, weil dort der weiteste Sprung ist oder weil die Summe größer ist. Andere widersprechen, weil Team Süd ein Kind mehr hat. Die Gruppen streiten, und jede hat ein Argument. Ein fairer Vergleich braucht eine Zahl, die nicht von der Anzahl der Kinder abhängt: den Mittelwert. Team Nord kommt auf 310 cm, Team Süd auf etwa 303 cm. Wie gleichmäßig ein Team springt, zeigt die Spannweite.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median beschreiben die Mitte einer Datenreihe, die Spannweite ihre Breite.

  1. ●34
    Punkte im Test: 2, 12, 10, 10, 10. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 8,8
  2. ●35
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 11, 12, 9, 19, 2. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 2, 9, 11, 12, 19
    2. Median = mittlerer Wert = 11
    3. Spannweite = 19 − 2 = 17
    Ergebnis:
    Median 11; Spannweite 17

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenKennwerte stehen für eine Gruppe

Ein Mittelwert oder Median steht für eine ganze Gruppe, die Spannweite für ihre Streuung. Gruppen vergleicht man über solche Kennwerte, nicht über einzelne Werte. Chancen zeigen sich erst bei vielen Versuchen.

Punktdiagramm einer Gruppe: Der Median 6 steht für die Mitte, die Spannweite 6 für die Streuung2345678910Median 6Spannweite 9 − 3 = 6

WeiterdenkenDenk nach

Team A hat den weitesten Springer, Team B den höheren Mittelwert. Welches Team ist besser – und was müsstest du wissen, um das zu entscheiden?

1Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

EntdeckenFrage

Warum nennen Statistiker beim Einkommen lieber den Median als den Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Einkommen ziehen den Durchschnitt nach oben, sodass die meisten Menschen darunter liegen. Der Median ist das Einkommen in der Mitte: Die eine Hälfte verdient weniger, die andere mehr. Deshalb beschreibt er, was für viele typisch ist, besser.

MerkenDatenreihen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.

Der Mittelwert zeigt die Mitte, die Spannweite zeigt, wie weit die Werte auseinanderliegen.

BeispielZwei Datenreihen mit Mittelwert und Median vergleichen

Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Gruppe Adler: 31, 26, 19, 17, 32. Gruppe Falken: 34, 35, 9, 13, 9. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
Gruppe AdlerGruppe Falken5101520253035
Schritt für Schritt
  1. Gruppe Adler: 31 + 26 + 19 + 17 + 32 = 125, 125 : 5 = 25
  2. Gruppe Falken: 34 + 35 + 9 + 13 + 9 = 100, 100 : 5 = 20
  3. 25 − 20 = 5
  1. Gruppe Adler: 31 + 26 + 19 + 17 + 32 = 125, 125 : 5 = 25
  2. Gruppe Falken: 34 + 35 + 9 + 13 + 9 = 100, 100 : 5 = 20
  3. 25 − 20 = 5
Ergebnis:
Gruppe Adler, um 5 Hundert Schritte

AchtungMittelwert falsch berechnet oder einzelne Werte verglichen

So nicht
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 3 = 20
So richtig
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 4 = 15

Alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Eine Gruppe vergleicht man über Kennwerte, nicht über ihren besten Wert.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Lesezeit am Tag, in Minuten. Mädchen: 21, 25, 27, 57, 15. Jungen: 26, 52, 35, 42, 45. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    MädchenJungen102030405060
    So fängst du an:
    Mädchen: 21 + 25 + 27 + 57 + 15 = 145, 145 : 5 = 29
    Lösung zeigen
    1. Mädchen: 21 + 25 + 27 + 57 + 15 = 145, 145 : 5 = 29
    2. Jungen: 26 + 52 + 35 + 42 + 45 = 200, 200 : 5 = 40
    3. 40 − 29 = 11
    Ergebnis:
    Jungen, um 11 min
  2. ●2
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Mädchen: 24, 35, 36, 19, 21. Jungen: 32, 29, 29, 21, 19. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe geht weiter?
    MädchenJungen152025303540
    Lösung zeigen
    1. Mädchen: 24 + 35 + 36 + 19 + 21 = 135, 135 : 5 = 27
    2. Jungen: 32 + 29 + 29 + 21 + 19 = 130, 130 : 5 = 26
    3. 27 ist mehr als 26.
    Ergebnis:
    Mädchen (27 Hundert Schritte gegen 26 Hundert Schritte)
  3. ★3
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Gruppe Adler: 316, 379, 253, 319, 258. Gruppe Falken: 327, 328, 337, 248. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe springt weiter?
    Gruppe AdlerGruppe Falken240260280300320340360380
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 316 + 379 + 253 + 319 + 258 = 1525, 1525 : 5 = 305
    2. Gruppe Falken: 327 + 328 + 337 + 248 = 1240, 1240 : 4 = 310
    3. 310 ist mehr als 305.
    Ergebnis:
    Gruppe Falken (310 cm gegen 305 cm)

2Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

EntdeckenFrage

Kann ein einziges Kind den Taschengeld-Durchschnitt einer ganzen Klasse verdoppeln?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. Bekommen 24 Kinder je 5 € und ein Kind 130 €, ist der Mittelwert 250 € : 25 = 10 €, also doppelt so viel wie fast alle bekommen. Der Median bleibt bei 5 €. Ein einziger Ausreißer verändert den Mittelwert stark, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.

Den Median verändert er kaum. Bei Ausreißern beschreibt der Median die Gruppe besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert oder Median?

Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 56, 6, 9, 7, 2. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Fahrgäste besser?
Werte0102030405060
Schritt für Schritt
  1. Mittelwert: 80 : 5 = 16
  2. Geordnet: 2, 6, 7, 9, 56, Median 7
  3. Der Wert 56 zieht den Mittelwert nach oben.
  1. Mittelwert: 80 : 5 = 16
  2. Geordnet: 2, 6, 7, 9, 56, Median 7
  3. Der Wert 56 zieht den Mittelwert nach oben.
Ergebnis:
Median (7 statt 16)

AchtungMittelwert trotz Ausreißer gewählt

So nicht
5, 6, 5, 7, 42 → Mittelwert 13 beschreibt die Gruppe
So richtig
5, 6, 5, 7, 42 → Median = 6 beschreibt die Gruppe besser

Liegt ein Wert weit weg von allen anderen, beschreibt der Median die Gruppe besser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 25, 20, 20, 11, 194. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte0255075100125150175200
    So fängst du an:
    194 ist viel größer als alle anderen Werte.
    Lösung zeigen
    1. 194 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 270 : 5 = 54
    3. Ohne ihn: 76 : 4 = 19
    Ergebnis:
    Ausreißer 194, Mittelwert 54 statt 19
  2. ●5
    Taschengeld in der Woche, in €: 7, 3, 5, 51, 9. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder der Gruppe besser?
    Werte0102030405060
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 75 : 5 = 15
    2. Geordnet: 3, 5, 7, 9, 51, Median 7
    3. Der Wert 51 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (7 statt 15)
  3. ★6
    Taschengeld in der Woche, in €: 3, 47, 4, 7, 5, 6. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder der Gruppe besser?
    Werte01020304050
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 72 : 6 = 12
    2. Geordnet: 3, 4, 5, 6, 7, 47, Median 5,5
    3. Der Wert 47 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (5,5 statt 12)

3Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

EntdeckenFrage

Wie kann eine Umfrage mit rund tausend Menschen etwas über ganz Deutschland sagen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn die Befragten gut ausgewählt sind, spiegeln sie die Bevölkerung im Kleinen. Der Anteil in der Umfrage ist dann eine Schätzung für den Anteil im ganzen Land. Große Umfragen zur Politik fragen deshalb meist nur etwa 1000 bis 1500 Menschen.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlender Wert aus dem Mittelwert

Noah hat die Ergebnisse von 4 Kopfrechentests notiert. Im Mittel waren es 19 Punkte. 3 Ergebnisse sind noch zu lesen: 25, 11, 15. Welches Ergebnis fehlt?
bisher10121416182022242628?
Schritt für Schritt
  1. Summe aller Werte: 4 · 19 = 76
  2. Summe der bekannten: 25 + 11 + 15 = 51
  3. 76 − 51 = 25
  1. Summe aller Werte: 4 · 19 = 76
  2. Summe der bekannten: 25 + 11 + 15 = 51
  3. 76 − 51 = 25
Ergebnis:
25 Punkte

AchtungFehlenden Wert vom Mittelwert statt von der Summe aus gesucht

So nicht
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → der fünfte ist 14
So richtig
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → 5 · 14 = 70, 70 − 54 = 16

Erst Mittelwert mal Anzahl: Das ist die Summe. Dann die bekannten Werte abziehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Aylin hat die Ergebnisse von 4 Kopfrechentests notiert. Im Mittel waren es 18 Punkte. 3 Ergebnisse sind noch zu lesen: 27, 8, 22. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher5101520253035?
    So fängst du an:
    Summe aller Werte: 4 · 18 = 72
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 18 = 72
    2. Summe der bekannten: 27 + 8 + 22 = 57
    3. 72 − 57 = 15
    Ergebnis:
    15 Punkte
  2. ●8
    Aylin möchte bei 4 Runden Korbwurf im Mittel genau 9 Treffer erreichen. Die ersten Ergebnisse: 3, 9, 18. Was braucht Aylin beim letzten Mal?
    bisher2468101214161820?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 9 = 36
    2. Summe der bekannten: 3 + 9 + 18 = 30
    3. 36 − 30 = 6
    Ergebnis:
    6 Treffer
  3. ★9
    Lukas hat die Ergebnisse von 6 Runden Korbwurf notiert. Im Mittel waren es 11 Treffer. 5 Ergebnisse sind noch zu lesen: 18, 14, 6, 3, 10. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher2468101214161820?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 6 · 11 = 66
    2. Summe der bekannten: 18 + 14 + 6 + 3 + 10 = 51
    3. 66 − 51 = 15
    Ergebnis:
    15 Treffer

4Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Krankheitsfälle je 100.000 Einwohner und nicht einfach die Fälle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Großstadt hat natürlich mehr Fälle als ein Dorf, weil dort mehr Menschen leben. Erst wenn man die Fälle durch die Einwohnerzahl teilt, kann man Orte verschiedener Größe fair vergleichen. Das ist eine relative Häufigkeit, nur auf 100.000 Menschen hochgerechnet.

MerkenRelative Häufigkeit

Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.

Zum Beispiel 12 von 40 ergibt 12/40 = 3/10 = 0,3. So kann man verschieden große Gruppen vergleichen.

BeispielVerschieden große Gruppen über Anteile vergleichen

An der Schule am Park sagen 30 von 50 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 2 von 10 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
A30 von 50B2 von 10
Schritt für Schritt
  1. Schule am Park: 3050 = 0,6
  2. Schule am See: 210 = 0,2
  3. 0,6 ist die größte Zahl.
  1. Schule am Park: 3050 = 0,6
  2. Schule am See: 210 = 0,2
  3. 0,6 ist die größte Zahl.
Ergebnis:
Schule am Park (0,6)

AchtungAnzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 28-mal bei 50 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 17-mal bei 25 Schüssen. Ben sagt: „Bei Team Nord ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    Team Nord28 von 50Team Süd17 von 25
    So fängst du an:
    Team Nord: 2850 = 0,56
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 2850 = 0,56
    2. Team Süd: 1725 = 0,68
    3. Die relative Häufigkeit ist bei Team Süd größer.
    Ergebnis:
    Nein, bei Team Süd ist der Anteil größer
  2. ●11
    An der Schule am Park sagen 13 von 20 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 7 von 25 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A13 von 20B7 von 25
    Lösung zeigen
    1. Schule am Park: 1320 = 0,65
    2. Schule am See: 725 = 0,28
    3. 0,65 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Schule am Park (0,65)
  3. ★12
    An der Schule am Park sagen 20 von 40 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 30 von 50 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am Markt sagen 9 von 25 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A20 von 40B30 von 50C9 von 25
    Lösung zeigen
    1. Schule am Park: 2040 = 0,5
    2. Schule am See: 3050 = 0,6
    3. Schule am Markt: 925 = 0,36
    4. 0,6 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Schule am See (0,6)

5Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

EntdeckenFrage

Landet eine Reißzwecke öfter auf dem Rücken oder auf der Seite?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht ausrechnen, sondern nur ausprobieren. Nach zehn Würfen weiß man fast nichts, nach Hunderten von Würfen pendelt sich der Anteil ein. Je nach Form der Reißzwecke kommt etwas anderes heraus, deshalb ist der Versuch selbst die Antwort.

MerkenKreuztabelle

Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.

Jede Zeile und jede Spalte muss ihre Summe ergeben. Das ist die Kontrolle.

BeispielTabelle mit zwei Merkmalen lesen und ergänzen

Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Bus?
RadBusgesamtKlasse 6a101424Klasse 6b14?20gesamt242044
Schritt für Schritt
  1. Zeile Klasse 6b: zusammen 20.
  2. 20 − 14 = 6
  3. Kontrolle mit der Spalte: 6 + 14 = 20
  1. Zeile Klasse 6b: zusammen 20.
  2. 20 − 14 = 6
  3. Kontrolle mit der Spalte: 6 + 14 = 20
Ergebnis:
6

AchtungNoch einmal: Anzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    In der Tabelle fehlen Zahlen. Wie viele Kinder wurden insgesamt befragt?
    Haustierkein TiergesamtMädchen6??Jungen7916gesamt?12?
    So fängst du an:
    Spalte kein Tier: 12 − 9 = 3
    Lösung zeigen
    1. Spalte kein Tier: 12 − 9 = 3
    2. Zeile Mädchen: 6 + 3 = 9
    3. Insgesamt: 9 + 16 = 25
    Ergebnis:
    25
  2. ●14
    Bei einer Umfrage machen 35 Kinder mit, davon sind 16 Mädchen. 6 Mädchen und 13 Jungen haben ein Haustier. Wie viele Jungen haben kein Haustier? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    1. Jungen: 35 − 16 = 19
    2. Jungen, die kein Haustier haben: 19 − 13 = 6
    3. Kontrolle: 6 + 10 + 13 + 6 = 35
    Ergebnis:
    6
  3. ★15
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Mädchen haben ein Haustier?
    Haustierkein TiergesamtMädchen?1126Jungen10717gesamt251843
    Lösung zeigen
    1. Zeile Mädchen: zusammen 26.
    2. 26 − 11 = 15
    3. Kontrolle mit der Spalte: 15 + 10 = 25
    Ergebnis:
    15

6Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

EntdeckenFrage

Hat schon einmal jemand eine Münze 24.000-mal geworfen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja, der Statistiker Karl Pearson um 1900. Er bekam 12.012-mal Kopf, das sind 0,5005 aller Würfe. Schon im 18. Jahrhundert warf der Naturforscher Buffon 4040-mal und bekam 2048-mal Kopf. Je länger die Reihe, desto näher liegt der Anteil bei einhalb.

Ausprobieren: Zufallsversuch: Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Münze, Würfel oder Glücksrad oft werfen – die relative Häufigkeit pendelt sich bei der Wahrscheinlichkeit ein.

MerkenLangfristig stabil

Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.

Bei vielen Versuchen wird sie stabil. Dann ist sie eine gute Schätzung für die Chance.

BeispielRelative Häufigkeiten bei vielen Versuchen

Eine Reißzwecke wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft sie auf dem Rücken landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,4.“ Hat sie recht?
Würfe1050100500Treffer41937200
Schritt für Schritt
  1. 4 : 10 = 0,4
  2. 200 : 500 = 0,4
  3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
  4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,4.
  1. 4 : 10 = 0,4
  2. 200 : 500 = 0,4
  3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
  4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,4.
Ergebnis:
Zufällig ja, aber 10 Würfe sind zu wenige

AchtungAus wenigen Versuchen auf die Chance geschlossen

So nicht
3 Sechsen in 10 Würfen → Chance 3 : 10 = 0,3
So richtig
3 Sechsen in 10 Würfen → noch zu wenige; 100 Sechsen in 600 Würfen → 100 : 600 ≈ 0,17

Erst viele Versuche machen die relative Häufigkeit verlässlich.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 50 Würfen.
    Würfe1050100500Treffer31736200
    So fängst du an:
    Treffer geteilt durch Würfe.
    Lösung zeigen
    1. Treffer geteilt durch Würfe.
    2. 17 : 50 = 0,34
    Ergebnis:
    0,34
  2. ●17
    Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 500 Würfen.
    Würfe1050100500Treffer31934148
    Lösung zeigen
    1. Treffer geteilt durch Würfe.
    2. 148 : 500 = 0,296
    Ergebnis:
    0,296
  3. ★18
    Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 1000 Würfen.
    Würfe10502001000Treffer1527159
    Lösung zeigen
    1. Treffer geteilt durch Würfe.
    2. 159 : 1000 = 0,159
    Ergebnis:
    0,159

7Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Warum muss man beim Spiel „Die Siedler von Catan“ so oft den Räuber versetzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Räuber kommt bei der Augensumme 7. Von den 36 Ergebnissen zweier Würfel haben 6 die Summe 7, mehr als jede andere Summe. Die 2 und die 12 haben nur je ein Ergebnis. Deshalb sind die Zahlen 6 und 8 auf dem Spielfeld so wertvoll.

MerkenGewinnchancen auszählen

Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3. Wer alle günstigen Ergebnisse zählt, kennt die Chance.

BeispielGewinnchancen durch Auszählen

Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 3? Gib sie als gekürzten Bruch an.
123456123456?
Schritt für Schritt
  1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
  2. Summe 3: 1 und 2; 2 und 1
  3. 2 von 36, also 236 = 118
  1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
  2. Summe 3: 1 und 2; 2 und 1
  3. 2 von 36, also 236 = 118
Ergebnis:
118

AchtungErgebnisse unvollständig gezählt

So nicht
Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36
So richtig
Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Zahl und eine Zahl größer als 4?
    123456KopfZahl?
    So fängst du an:
    Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    Lösung zeigen
    1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    2. Günstig: 2 Ergebnisse.
    3. Die Chance ist 2 von 12, also 1/6.
    Ergebnis:
    12 Ergebnisse, 2 davon günstig
  2. ●20
    Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Kopf und eine Sechs?
    123456KopfZahl?
    Lösung zeigen
    1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    2. Günstig: 1 Ergebnis.
    3. Die Chance ist 1 von 12, also 1/12.
    Ergebnis:
    12 Ergebnisse, 1 davon günstig
  3. ★21
    Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 6?
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    2. Summe 6: 1 und 5; 2 und 4; 3 und 3; 4 und 2; 5 und 1
    3. Das sind 5 Ergebnisse.
    Ergebnis:
    5 Ergebnisse

8Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

EntdeckenFrage

Ist ein Spiel fair, bei dem einer bei geradem und der andere bei ungeradem Augenprodukt gewinnt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Ungerade ist das Produkt nur, wenn beide Würfel ungerade zeigen: 3 · 3 = 9 von 36 Ergebnissen. Gerade ist es bei den übrigen 27. Wer auf gerade setzt, gewinnt also dreimal so oft – obwohl es gerecht aussieht.

MerkenFairness

Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Gefühle täuschen, Zählen nicht.

BeispielIst das Spiel fair?

Anna und Lotta werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme gerade ist. Lotta bekommt einen Punkt, wenn sie ungerade ist. Lotta meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
Schritt für Schritt
  1. Anna: 18 von 36 Ergebnissen
  2. Lotta: 18 von 36 Ergebnissen
  3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
  1. Anna: 18 von 36 Ergebnissen
  2. Lotta: 18 von 36 Ergebnissen
  3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
Ergebnis:
fair (18 zu 18)

AchtungNoch einmal: Ergebnisse unvollständig gezählt

So nicht
Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36
So richtig
Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Jonas und Ben werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn das Augenprodukt gerade ist. Ben bekommt einen Punkt, wenn es ungerade ist. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    So fängst du an:
    Jonas: 27 von 36 Ergebnissen
    Lösung zeigen
    1. Jonas: 27 von 36 Ergebnissen
    2. Ben: 9 von 36 Ergebnissen
    3. 27 ist mehr als 9.
    Ergebnis:
    nicht fair, Jonas gewinnt öfter (27 zu 9)
  2. ●23
    Jonas und Lotta werfen eine Münze und einen Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn Kopf und eine gerade Zahl kommt. Lotta bekommt einen Punkt, wenn Zahl und eine ungerade Zahl kommt. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    Lösung zeigen
    1. Jonas: 3 von 12 Ergebnissen
    2. Lotta: 3 von 12 Ergebnissen
    3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
    Ergebnis:
    fair (3 zu 3)
  3. ★24
    Mila und Ben werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn das Augenprodukt gerade ist. Ben bekommt einen Punkt, wenn es ungerade ist. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    Lösung zeigen
    1. Mila: 27 von 36 Ergebnissen
    2. Ben: 9 von 36 Ergebnissen
    3. 27 ist mehr als 9.
    Ergebnis:
    nicht fair, Mila gewinnt öfter (27 zu 9)

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Gruppe Adler: 293, 378, 286, 363, 375. Gruppe Falken: 306, 259, 372, 334, 304. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe springt weiter?
    Gruppe AdlerGruppe Falken240260280300320340360380
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler geordnet: 286, 293, 363, 375, 378, Median 363
    2. Gruppe Falken geordnet: 259, 304, 306, 334, 372, Median 306
    3. 363 ist mehr als 306.
    Ergebnis:
    Gruppe Adler (Median 363 gegen 306)
  2. ●26
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Gruppe Adler: 361, 308, 387, 286, 298. Gruppe Falken: 339, 328, 325, 327, 321. Beide Gruppen haben denselben Mittelwert. Worin unterscheiden sie sich? Nutze die Spannweite.
    Gruppe AdlerGruppe Falken280300320340360380400
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert beider Gruppen: 1640 : 5 = 328
    2. Gruppe Adler: 387 − 286 = 101
    3. Gruppe Falken: 339 − 321 = 18
    4. Die Werte von Gruppe Falken liegen enger beisammen.
    Ergebnis:
    gleichmäßiger: Gruppe Falken (Spannweite 18 gegen 101)
  3. ●27
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 57, 30, 60, 33, 310. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte050100150200250300350
    Lösung zeigen
    1. 310 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 490 : 5 = 98
    3. Ohne ihn: 180 : 4 = 45
    Ergebnis:
    Ausreißer 310, Mittelwert 98 statt 45
  4. ●28
    Aylin möchte bei 4 Runden Korbwurf im Mittel genau 9 Treffer erreichen. Die ersten Ergebnisse: 9, 5, 5. Was braucht Aylin beim letzten Mal?
    bisher5678910?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 9 = 36
    2. Summe der bekannten: 9 + 5 + 5 = 19
    3. 36 − 19 = 17
    Ergebnis:
    17 Treffer
  5. ●29
    In der Theater-AG haben 12 von 20 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 8 von 40 Kindern ein Haustier. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A12 von 20B8 von 40
    Lösung zeigen
    1. Theater-AG: 1220 = 0,6
    2. Fußball-AG: 840 = 0,2
    3. 0,6 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Theater-AG (0,6)
  6. ●30
    Ein Würfel wird 10-mal geworfen. 4-mal fällt eine gerade Zahl. Gib die relative Häufigkeit als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl an.
    Treffer4 von 10
    Lösung zeigen
    1. Relative Häufigkeit: Anzahl geteilt durch alle, 410
    2. Gekürzt: 410 = 25
    3. Als Dezimalzahl: 4 : 10 = 0,4
    Ergebnis:
    25 = 0,4

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Datenreihen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.
Ausreißer
Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Relative Häufigkeit
Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.
Kreuztabelle
Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.
Langfristig stabil
Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.
Gewinnchancen auszählen
Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.
Fairness
Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

    31
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Team Nord: 4, 13, 17, 13, 18. Team Süd: 17, 17, 11, 5, 10. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    Team NordTeam Süd4681012141618
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Team Nord, um 1 Treffer

  2. Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

    32
    Taschengeld in der Woche, in €: 9, 7, 47, 3, 9. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder der Gruppe besser?
    Werte01020304050
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Median (9 statt 15)

  3. Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

    33
    Mila und Lotta werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn das Augenprodukt gerade ist. Lotta bekommt einen Punkt, wenn es ungerade ist. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nicht fair, Mila gewinnt öfter (27 zu 9)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Mittelwert als faire Vergleichszahl für verschieden große Gruppen, die Spannweite für die Streuung.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Sportergebnisse vergleichen, Umfragen in der Klasse auswerten, Spielregeln auf Fairness prüfen. Beruf: Marktforschung, Qualitätskontrolle in der Produktion, Wetter- und Verkehrsstatistik.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Brüche und Dezimalzahlen, Systematisch zählen

Darauf baut auf: Daten und Zufall

Lösungen

  1. Jungen, um 11 min
  2. Mädchen (27 Hundert Schritte gegen 26 Hundert Schritte)
  3. Gruppe Falken (310 cm gegen 305 cm)
  4. Ausreißer 194, Mittelwert 54 statt 19
  5. Median (7 statt 15)
  6. Median (5,5 statt 12)
  7. 15 Punkte
  8. 6 Treffer
  9. 15 Treffer
  10. Nein, bei Team Süd ist der Anteil größer
  11. Schule am Park (0,65)
  12. Schule am See (0,6)
  13. 25
  14. 6
  15. 15
  16. 0,34
  17. 0,296
  18. 0,159
  19. 12 Ergebnisse, 2 davon günstig
  20. 12 Ergebnisse, 1 davon günstig
  21. 5 Ergebnisse
  22. nicht fair, Jonas gewinnt öfter (27 zu 9)
  23. fair (3 zu 3)
  24. nicht fair, Mila gewinnt öfter (27 zu 9)
  25. Gruppe Adler (Median 363 gegen 306)
  26. gleichmäßiger: Gruppe Falken (Spannweite 18 gegen 101)
  27. Ausreißer 310, Mittelwert 98 statt 45
  28. 17 Treffer
  29. Theater-AG (0,6)
  30. 25 = 0,4
  31. Team Nord, um 1 Treffer
  32. Median (9 statt 15)
  33. nicht fair, Mila gewinnt öfter (27 zu 9)
  34. x̄ = 8,8
  35. Median 11; Spannweite 17