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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Daten vergleichen und Zufall untersuchen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Einige nennen Team Süd, weil dort der weiteste Sprung ist oder weil die Summe größer ist. Andere widersprechen, weil Team Süd ein Kind mehr hat. Die Gruppen streiten, und jede hat ein Argument. Ein fairer Vergleich braucht eine Zahl, die nicht von der Anzahl der Kinder abhängt: den Mittelwert. Team Nord kommt auf 310 cm, Team Süd auf etwa 303 cm. Wie gleichmäßig ein Team springt, zeigt die Spannweite.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median beschreiben die Mitte einer Datenreihe, die Spannweite ihre Breite.

  1. ●35
    Punkte im Test: 1, 6, 5, 7, 12. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 6,2
  2. ●36
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 7, 14, 4, 10, 11. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 4, 7, 10, 11, 14
    2. Median = mittlerer Wert = 10
    3. Spannweite = 14 − 4 = 10
    Ergebnis:
    Median 10; Spannweite 10

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenKennwerte stehen für eine Gruppe

Ein Mittelwert oder Median steht für eine ganze Gruppe, die Spannweite für ihre Streuung. Gruppen vergleicht man über solche Kennwerte, nicht über einzelne Werte. Chancen zeigen sich erst bei vielen Versuchen.

Punktdiagramm einer Gruppe: Der Median 6 steht für die Mitte, die Spannweite 6 für die Streuung2345678910Median 6Spannweite 9 − 3 = 6

WeiterdenkenDenk nach

Team A hat den weitesten Springer, Team B den höheren Mittelwert. Welches Team ist besser – und was müsstest du wissen, um das zu entscheiden?

1Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

EntdeckenFrage

Warum nennen Statistiker beim Einkommen lieber den Median als den Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Einkommen ziehen den Durchschnitt nach oben, sodass die meisten Menschen darunter liegen. Der Median ist das Einkommen in der Mitte: Die eine Hälfte verdient weniger, die andere mehr. Deshalb beschreibt er, was für viele typisch ist, besser.

MerkenDatenreihen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.

Der Mittelwert zeigt die Mitte, die Spannweite zeigt, wie weit die Werte auseinanderliegen.

BeispielZwei Datenreihen mit Mittelwert und Median vergleichen

Weitsprung beim Sportfest, in cm. Gruppe Adler: 293, 338, 248, 304, 372. Gruppe Falken: 359, 309, 348, 277, 302. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe springt weiter?
Gruppe AdlerGruppe Falken240260280300320340360380
Schritt für Schritt
  1. Gruppe Adler geordnet: 248, 293, 304, 338, 372, Median 304
  2. Gruppe Falken geordnet: 277, 302, 309, 348, 359, Median 309
  3. 309 ist mehr als 304.
  1. Gruppe Adler geordnet: 248, 293, 304, 338, 372, Median 304
  2. Gruppe Falken geordnet: 277, 302, 309, 348, 359, Median 309
  3. 309 ist mehr als 304.
Ergebnis:
Gruppe Falken (Median 309 gegen 304)

AchtungMittelwert falsch berechnet oder einzelne Werte verglichen

So nicht
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 3 = 20
So richtig
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 4 = 15

Alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Eine Gruppe vergleicht man über Kennwerte, nicht über ihren besten Wert.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Team Nord: 340, 308, 299, 299, 249. Team Süd: 339, 318, 255, 304, 349. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe springt weiter?
    Team NordTeam Süd240260280300320340360
    So fängst du an:
    Team Nord geordnet: 249, 299, 299, 308, 340, Median 299
    Lösung zeigen
    1. Team Nord geordnet: 249, 299, 299, 308, 340, Median 299
    2. Team Süd geordnet: 255, 304, 318, 339, 349, Median 318
    3. 318 ist mehr als 299.
    Ergebnis:
    Team Süd (Median 318 gegen 299)
  2. ●2
    Lesezeit am Tag, in Minuten. Mädchen: 54, 29, 32, 59, 41. Jungen: 21, 50, 30, 38, 21. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    MädchenJungen202530354045505560
    Lösung zeigen
    1. Mädchen: 54 + 29 + 32 + 59 + 41 = 215, 215 : 5 = 43
    2. Jungen: 21 + 50 + 30 + 38 + 21 = 160, 160 : 5 = 32
    3. 43 − 32 = 11
    Ergebnis:
    Mädchen, um 11 min
  3. ★3
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Gruppe Adler: 11, 23, 40, 16, 35. Gruppe Falken: 36, 22, 40, 20, 22. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe geht weiter?
    Gruppe AdlerGruppe Falken10152025303540
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler geordnet: 11, 16, 23, 35, 40, Median 23
    2. Gruppe Falken geordnet: 20, 22, 22, 36, 40, Median 22
    3. 23 ist mehr als 22.
    Ergebnis:
    Gruppe Adler (Median 23 gegen 22)

2Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

EntdeckenFrage

Kann ein einziges Kind den Taschengeld-Durchschnitt einer ganzen Klasse verdoppeln?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. Bekommen 24 Kinder je 5 € und ein Kind 130 €, ist der Mittelwert 250 € : 25 = 10 €, also doppelt so viel wie fast alle bekommen. Der Median bleibt bei 5 €. Ein einziger Ausreißer verändert den Mittelwert stark, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.

Den Median verändert er kaum. Bei Ausreißern beschreibt der Median die Gruppe besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert oder Median?

Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 14, 18, 26, 22, 155. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
Werte020406080100120140160
Schritt für Schritt
  1. 155 ist viel größer als alle anderen Werte.
  2. Mit ihm: 235 : 5 = 47
  3. Ohne ihn: 80 : 4 = 20
  1. 155 ist viel größer als alle anderen Werte.
  2. Mit ihm: 235 : 5 = 47
  3. Ohne ihn: 80 : 4 = 20
Ergebnis:
Ausreißer 155, Mittelwert 47 statt 20

AchtungMittelwert trotz Ausreißer gewählt

So nicht
5, 6, 5, 7, 42 → Mittelwert 13 beschreibt die Gruppe
So richtig
5, 6, 5, 7, 42 → Median = 6 beschreibt die Gruppe besser

Liegt ein Wert weit weg von allen anderen, beschreibt der Median die Gruppe besser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 44, 30, 57, 245, 29. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte050100150200250
    So fängst du an:
    245 ist viel größer als alle anderen Werte.
    Lösung zeigen
    1. 245 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 405 : 5 = 81
    3. Ohne ihn: 160 : 4 = 40
    Ergebnis:
    Ausreißer 245, Mittelwert 81 statt 40
  2. ●5
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 29, 248, 53, 56, 34. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 84 min.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte050100150200250
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 29, 34, 53, 56, 248
    2. Median: 53
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 248.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 53 passt besser
  3. ★6
    Taschengeld in der Woche, in €: 8, 6, 31, 4, 9, 8. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 11 €.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder der Gruppe gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte05101520253035
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 4, 6, 8, 8, 9, 31
    2. Median: 8
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 31.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 8 passt besser

3Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

EntdeckenFrage

Wie kann eine Umfrage mit rund tausend Menschen etwas über ganz Deutschland sagen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn die Befragten gut ausgewählt sind, spiegeln sie die Bevölkerung im Kleinen. Der Anteil in der Umfrage ist dann eine Schätzung für den Anteil im ganzen Land. Große Umfragen zur Politik fragen deshalb meist nur etwa 1000 bis 1500 Menschen.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlender Wert aus dem Mittelwert

Der Mittelwert von 4 Kopfrechentests ist 20 Punkte. Bekannt sind 11, 22, 24. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
Schritt für Schritt
  1. Summe aller Werte: 4 · 20 = 80
  2. Summe der bekannten: 11 + 22 + 24 = 57
  3. 80 − 57 = 23
  1. Summe aller Werte: 4 · 20 = 80
  2. Summe der bekannten: 11 + 22 + 24 = 57
  3. 80 − 57 = 23
Ergebnis:
23 Punkte

AchtungFehlenden Wert vom Mittelwert statt von der Summe aus gesucht

So nicht
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → der fünfte ist 14
So richtig
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → 5 · 14 = 70, 70 − 54 = 16

Erst Mittelwert mal Anzahl: Das ist die Summe. Dann die bekannten Werte abziehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Noah möchte bei 4 Lesetagen im Mittel genau 41 min erreichen. Die ersten Ergebnisse: 56, 37, 17. Was braucht Noah beim letzten Mal?
    bisher1520253035404550556065?
    So fängst du an:
    Summe aller Werte: 4 · 41 = 164
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 41 = 164
    2. Summe der bekannten: 56 + 37 + 17 = 110
    3. 164 − 110 = 54
    Ergebnis:
    54 min
  2. ●8
    Tim hat die Ergebnisse von 5 Lesetagen notiert. Im Mittel waren es 41 min. 4 Ergebnisse sind noch zu lesen: 49, 48, 36, 30. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher303540455055?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 41 = 205
    2. Summe der bekannten: 49 + 48 + 36 + 30 = 163
    3. 205 − 163 = 42
    Ergebnis:
    42 min
  3. ★9
    Mila möchte bei 6 Kopfrechentests im Mittel genau 17 Punkte erreichen. Die ersten Ergebnisse: 28, 8, 27, 9, 15. Was braucht Mila beim letzten Mal?
    bisher5101520253035?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 6 · 17 = 102
    2. Summe der bekannten: 28 + 8 + 27 + 9 + 15 = 87
    3. 102 − 87 = 15
    Ergebnis:
    15 Punkte

4Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Krankheitsfälle je 100.000 Einwohner und nicht einfach die Fälle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Großstadt hat natürlich mehr Fälle als ein Dorf, weil dort mehr Menschen leben. Erst wenn man die Fälle durch die Einwohnerzahl teilt, kann man Orte verschiedener Größe fair vergleichen. Das ist eine relative Häufigkeit, nur auf 100.000 Menschen hochgerechnet.

MerkenRelative Häufigkeit

Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.

Zum Beispiel 12 von 40 ergibt 12/40 = 3/10 = 0,3. So kann man verschieden große Gruppen vergleichen.

BeispielVerschieden große Gruppen über Anteile vergleichen

In der Klasse 6a kommen 10 von 20 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 16 von 25 Kindern mit dem Rad zur Schule. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
A10 von 20B16 von 25
Schritt für Schritt
  1. Klasse 6a: 1020 = 0,5
  2. Klasse 6b: 1625 = 0,64
  3. 0,64 ist die größte Zahl.
  1. Klasse 6a: 1020 = 0,5
  2. Klasse 6b: 1625 = 0,64
  3. 0,64 ist die größte Zahl.
Ergebnis:
Klasse 6b (0,64)

AchtungAnzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    In der Klasse 6a kommen 10 von 25 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 6 von 10 Kindern mit dem Rad zur Schule. Ben sagt: „In der Klasse 6a ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A10 von 25B6 von 10
    So fängst du an:
    Klasse 6a: 1025 = 0,4
    Lösung zeigen
    1. Klasse 6a: 1025 = 0,4
    2. Klasse 6b: 610 = 0,6
    3. Die relative Häufigkeit ist in der Klasse 6b größer.
    Ergebnis:
    Nein, in der Klasse 6b ist der Anteil größer
  2. ●11
    In der Theater-AG haben 20 von 50 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 16 von 25 Kindern ein Haustier. Ben sagt: „In der Theater-AG ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A20 von 50B16 von 25
    Lösung zeigen
    1. Theater-AG: 2050 = 0,4
    2. Fußball-AG: 1625 = 0,64
    3. Die relative Häufigkeit ist in der Fußball-AG größer.
    Ergebnis:
    Nein, in der Fußball-AG ist der Anteil größer
  3. ★12
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 11-mal bei 40 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 14-mal bei 20 Schüssen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    Team Nord11 von 40Team Süd14 von 20
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 1140 = 0,275
    2. Team Süd: 1420 = 0,7
    3. 0,7 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Team Süd (0,7)

5Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

EntdeckenFrage

Landet eine Reißzwecke öfter auf dem Rücken oder auf der Seite?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht ausrechnen, sondern nur ausprobieren. Nach zehn Würfen weiß man fast nichts, nach Hunderten von Würfen pendelt sich der Anteil ein. Je nach Form der Reißzwecke kommt etwas anderes heraus, deshalb ist der Versuch selbst die Antwort.

MerkenKreuztabelle

Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.

Jede Zeile und jede Spalte muss ihre Summe ergeben. Das ist die Kontrolle.

BeispielTabelle mit zwei Merkmalen lesen und ergänzen

In der Tabelle fehlen Zahlen. Wie viele Kinder wurden insgesamt befragt?
RadBusgesamtKlasse 6a6??Klasse 6b7310gesamt?6?
Schritt für Schritt
  1. Spalte Bus: 6 − 3 = 3
  2. Zeile Klasse 6a: 6 + 3 = 9
  3. Insgesamt: 9 + 10 = 19
  1. Spalte Bus: 6 − 3 = 3
  2. Zeile Klasse 6a: 6 + 3 = 9
  3. Insgesamt: 9 + 10 = 19
Ergebnis:
19

AchtungNoch einmal: Anzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Jungen haben nicht gefrühstückt?
    Frühstückkein FrühstückgesamtMädchen121325Jungen9?19gesamt212344
    So fängst du an:
    Zeile Jungen: zusammen 19.
    Lösung zeigen
    1. Zeile Jungen: zusammen 19.
    2. 19 − 9 = 10
    3. Kontrolle mit der Spalte: 10 + 13 = 23
    Ergebnis:
    10
  2. ●14
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Bus?
    RadBusgesamtKlasse 6a12820Klasse 6b12?24gesamt242044
    Lösung zeigen
    1. Zeile Klasse 6b: zusammen 24.
    2. 24 − 12 = 12
    3. Kontrolle mit der Spalte: 12 + 8 = 20
    Ergebnis:
    12
  3. ★15
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. In welcher Zeile ist der Anteil in der Spalte „Haustier“ größer: bei Mädchen oder bei Jungen?
    Haustierkein TiergesamtMädchen17320Jungen12820gesamt291140
    Lösung zeigen
    1. Mädchen: 1720 = 0,85
    2. Jungen: 1220 = 0,6
    3. Verglichen wird innerhalb der Zeile, nicht die Anzahl.
    Ergebnis:
    Mädchen (0,85)

6Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

EntdeckenFrage

Hat schon einmal jemand eine Münze 24.000-mal geworfen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja, der Statistiker Karl Pearson um 1900. Er bekam 12.012-mal Kopf, das sind 0,5005 aller Würfe. Schon im 18. Jahrhundert warf der Naturforscher Buffon 4040-mal und bekam 2048-mal Kopf. Je länger die Reihe, desto näher liegt der Anteil bei einhalb.

Ausprobieren: Zufallsversuch: Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Münze, Würfel oder Glücksrad oft werfen – die relative Häufigkeit pendelt sich bei der Wahrscheinlichkeit ein.

MerkenLangfristig stabil

Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.

Bei vielen Versuchen wird sie stabil. Dann ist sie eine gute Schätzung für die Chance.

BeispielRelative Häufigkeiten bei vielen Versuchen

Eine Reißzwecke wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft sie auf dem Rücken landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
Würfe1050100500Treffer62744224
Schritt für Schritt
  1. 6 : 10 = 0,6
  2. 44 : 100 = 0,44
  3. 224 : 500 = 0,448
  4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
  1. 6 : 10 = 0,6
  2. 44 : 100 = 0,44
  3. 224 : 500 = 0,448
  4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
Ergebnis:
0,448

AchtungAus wenigen Versuchen auf die Chance geschlossen

So nicht
3 Sechsen in 10 Würfen → Chance 3 : 10 = 0,3
So richtig
3 Sechsen in 10 Würfen → noch zu wenige; 100 Sechsen in 600 Würfen → 100 : 600 ≈ 0,17

Erst viele Versuche machen die relative Häufigkeit verlässlich.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe1050100500Treffer11726128
    So fängst du an:
    1 : 10 = 0,1
    Lösung zeigen
    1. 1 : 10 = 0,1
    2. 26 : 100 = 0,26
    3. 128 : 500 = 0,256
    4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
    Ergebnis:
    0,256
  2. ●17
    Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 100 Würfen.
    Würfe1050100500Treffer11531148
    Lösung zeigen
    1. Treffer geteilt durch Würfe.
    2. 31 : 100 = 0,31
    Ergebnis:
    0,31
  3. ★18
    Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe10502001000Treffer41885404
    Lösung zeigen
    1. 4 : 10 = 0,4
    2. 85 : 200 = 0,425
    3. 404 : 1000 = 0,404
    4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
    Ergebnis:
    0,404

7Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Warum muss man beim Spiel „Die Siedler von Catan“ so oft den Räuber versetzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Räuber kommt bei der Augensumme 7. Von den 36 Ergebnissen zweier Würfel haben 6 die Summe 7, mehr als jede andere Summe. Die 2 und die 12 haben nur je ein Ergebnis. Deshalb sind die Zahlen 6 und 8 auf dem Spielfeld so wertvoll.

MerkenGewinnchancen auszählen

Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3. Wer alle günstigen Ergebnisse zählt, kennt die Chance.

BeispielGewinnchancen durch Auszählen

Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 8? Gib sie als gekürzten Bruch an.
123456123456?
Schritt für Schritt
  1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
  2. Summe 8: 2 und 6; 3 und 5; 4 und 4; 5 und 3; 6 und 2
  3. 5 von 36, also 536 = 536
  1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
  2. Summe 8: 2 und 6; 3 und 5; 4 und 4; 5 und 3; 6 und 2
  3. 5 von 36, also 536 = 536
Ergebnis:
536

AchtungErgebnisse unvollständig gezählt

So nicht
Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36
So richtig
Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Kopf und eine gerade Zahl?
    123456KopfZahl?
    So fängst du an:
    Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    Lösung zeigen
    1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    2. Günstig: 3 Ergebnisse.
    3. Die Chance ist 3 von 12, also 1/4.
    Ergebnis:
    12 Ergebnisse, 3 davon günstig
  2. ●20
    Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 5? Gib sie als gekürzten Bruch an.
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    2. Summe 5: 1 und 4; 2 und 3; 3 und 2; 4 und 1
    3. 4 von 36, also 436 = 19
    Ergebnis:
    19
  3. ★21
    Zwei Würfel werden geworfen, und die Augenzahlen werden malgenommen. Bei wie vielen der 36 Ergebnisse kommt 4 heraus?
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Geordnet zählen: erst Würfel 1, dann Würfel 2.
    2. Produkt 4: 1 und 4; 2 und 2; 4 und 1
    3. Das sind 3 Ergebnisse.
    Ergebnis:
    3 Ergebnisse

8Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

EntdeckenFrage

Ist ein Spiel fair, bei dem einer bei geradem und der andere bei ungeradem Augenprodukt gewinnt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Ungerade ist das Produkt nur, wenn beide Würfel ungerade zeigen: 3 · 3 = 9 von 36 Ergebnissen. Gerade ist es bei den übrigen 27. Wer auf gerade setzt, gewinnt also dreimal so oft – obwohl es gerecht aussieht.

MerkenFairness

Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Gefühle täuschen, Zählen nicht.

BeispielIst das Spiel fair?

Anna und Lotta werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn das Augenprodukt gerade ist. Lotta bekommt einen Punkt, wenn es ungerade ist. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
Schritt für Schritt
  1. Anna: 27 von 36 Ergebnissen
  2. Lotta: 9 von 36 Ergebnissen
  3. 27 ist mehr als 9.
  1. Anna: 27 von 36 Ergebnissen
  2. Lotta: 9 von 36 Ergebnissen
  3. 27 ist mehr als 9.
Ergebnis:
nicht fair, Anna gewinnt öfter (27 zu 9)

AchtungAlle Ergebnisse gleich wahrscheinlich angenommen

So nicht
Augensumme 7 → 1/11
So richtig
Augensumme 7 → 6/36 = 1/6

Zähl in der Tabelle mit 36 Feldern, wie oft die Summe vorkommt.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Mila und Emre werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn beide Würfel dieselbe Zahl zeigen. Emre bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme 11 oder 12 ist. Emre meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    So fängst du an:
    Mila: 6 von 36 Ergebnissen
    Lösung zeigen
    1. Mila: 6 von 36 Ergebnissen
    2. Emre: 3 von 36 Ergebnissen
    3. 6 ist mehr als 3.
    Ergebnis:
    nicht fair, Mila gewinnt öfter (6 zu 3)
  2. ●23
    Mila und Ben werfen einen Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn eine 1 oder 2 geworfen wird. Ben bekommt einen Punkt, wenn eine 3, 4, 5 oder 6 geworfen wird. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Mila je Treffer bekommen, damit es fair wird?
    Lösung zeigen
    1. Mila: 2 von 6 Ergebnissen
    2. Ben: 4 von 6 Ergebnissen
    3. Ben gewinnt 2-mal so oft.
    4. Mila braucht 2 Punkte je Treffer.
    Ergebnis:
    2 Punkte
  3. ★24
    Anna und Ben werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn der Unterschied der Augenzahlen 0, 1 oder 2 ist. Ben bekommt einen Punkt, wenn er 3, 4 oder 5 ist. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    Lösung zeigen
    1. Anna: 24 von 36 Ergebnissen
    2. Ben: 12 von 36 Ergebnissen
    3. 24 ist mehr als 12.
    Ergebnis:
    nicht fair, Anna gewinnt öfter (24 zu 12)

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Team Nord: 14, 27, 28, 22, 14. Team Süd: 18, 23, 30, 24, 15. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe hat mehr Punkte?
    Team NordTeam Süd141618202224262830
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 14 + 27 + 28 + 22 + 14 = 105, 105 : 5 = 21
    2. Team Süd: 18 + 23 + 30 + 24 + 15 = 110, 110 : 5 = 22
    3. 22 ist mehr als 21.
    Ergebnis:
    Team Süd (22 Punkte gegen 21 Punkte)
  2. ●26
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Gruppe Adler: 13, 37, 14, 21, 40. Gruppe Falken: 23, 24, 24, 28, 26. Berechne für beide Gruppen die Spannweite. Welche Gruppe hat gleichmäßigere Ergebnisse?
    Gruppe AdlerGruppe Falken10152025303540
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 40 − 13 = 27
    2. Gruppe Falken: 28 − 23 = 5
    3. Die kleinere Spannweite hat Gruppe Falken.
    Ergebnis:
    gleichmäßiger: Gruppe Falken (Spannweite 5 gegen 27)
  3. ●27
    Taschengeld in der Woche, in €: 6, 56, 5, 9, 4. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte0102030405060
    Lösung zeigen
    1. 56 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 80 : 5 = 16
    3. Ohne ihn: 24 : 4 = 6
    Ergebnis:
    Ausreißer 56, Mittelwert 16 statt 6
  4. ●28
    Der Mittelwert von 5 Kopfrechentests ist 16 Punkte. Bekannt sind 30, 15, 18, 8. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 16 = 80
    2. Summe der bekannten: 30 + 15 + 18 + 8 = 71
    3. 80 − 71 = 9
    Ergebnis:
    9 Punkte
  5. ●29
    In der Theater-AG haben 9 von 20 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 12 von 40 Kindern ein Haustier. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A9 von 20B12 von 40
    Lösung zeigen
    1. Theater-AG: 920 = 0,45
    2. Fußball-AG: 1240 = 0,3
    3. 0,45 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Theater-AG (0,45)
  6. ●30
    Beim Basketball wirft Jana 100-mal auf den Korb und trifft 36-mal. Gib die relative Häufigkeit als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl an.
    Treffer36 von 100
    Lösung zeigen
    1. Relative Häufigkeit: Anzahl geteilt durch alle, 36100
    2. Gekürzt: 36100 = 925
    3. Als Dezimalzahl: 36 : 100 = 0,36
    Ergebnis:
    925 = 0,36

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Datenreihen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.
Ausreißer
Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Relative Häufigkeit
Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.
Kreuztabelle
Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.
Langfristig stabil
Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.
Gewinnchancen auszählen
Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.
Fairness
Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

    31
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Team Nord: 251, 327, 314, 310, 383. Team Süd: 380, 326, 367, 254, 278. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe springt weiter?
    Team NordTeam Süd240260280300320340360380400
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Team Süd (Median 326 gegen 314)

  2. Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

    32
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 50, 8, 2, 5, 5. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Fahrgäste besser?
    Werte01020304050
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Median (5 statt 14)

  3. Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

    33
    Der Mittelwert von 4 Kopfrechentests ist 21 Punkte. Bekannt sind 25, 8, 30. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    21 Punkte

  4. Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

    34
    Anna und Lotta werfen einen Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn eine 1 oder 2 geworfen wird. Lotta bekommt einen Punkt, wenn eine 3, 4, 5 oder 6 geworfen wird. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nicht fair, Lotta gewinnt öfter (4 zu 2)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Mittelwert als faire Vergleichszahl für verschieden große Gruppen, die Spannweite für die Streuung.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Sportergebnisse vergleichen, Umfragen in der Klasse auswerten, Spielregeln auf Fairness prüfen. Beruf: Marktforschung, Qualitätskontrolle in der Produktion, Wetter- und Verkehrsstatistik.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Brüche und Dezimalzahlen, Systematisch zählen

Darauf baut auf: Daten und Zufall

Lösungen

  1. Team Süd (Median 318 gegen 299)
  2. Mädchen, um 11 min
  3. Gruppe Adler (Median 23 gegen 22)
  4. Ausreißer 245, Mittelwert 81 statt 40
  5. Nein, der Median 53 passt besser
  6. Nein, der Median 8 passt besser
  7. 54 min
  8. 42 min
  9. 15 Punkte
  10. Nein, in der Klasse 6b ist der Anteil größer
  11. Nein, in der Fußball-AG ist der Anteil größer
  12. Team Süd (0,7)
  13. 10
  14. 12
  15. Mädchen (0,85)
  16. 0,256
  17. 0,31
  18. 0,404
  19. 12 Ergebnisse, 3 davon günstig
  20. 19
  21. 3 Ergebnisse
  22. nicht fair, Mila gewinnt öfter (6 zu 3)
  23. 2 Punkte
  24. nicht fair, Anna gewinnt öfter (24 zu 12)
  25. Team Süd (22 Punkte gegen 21 Punkte)
  26. gleichmäßiger: Gruppe Falken (Spannweite 5 gegen 27)
  27. Ausreißer 56, Mittelwert 16 statt 6
  28. 9 Punkte
  29. Theater-AG (0,45)
  30. 925 = 0,36
  31. Team Süd (Median 326 gegen 314)
  32. Median (5 statt 14)
  33. 21 Punkte
  34. nicht fair, Lotta gewinnt öfter (4 zu 2)
  35. x̄ = 6,2
  36. Median 10; Spannweite 10